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1、高等数学B (综合测试答案)一、填空题(每题3分，共30分)1. 1 .2. _a/733. -5.4. sin(yz)dr + x2 cos(yz)cfy + xycos(yz)dz .5. 0.6. y - -2e 2x.7. y = cy-y2) + c2(y2 y3) +yI. 8. x + y + 2z 4 = 0.9. -l+- + (-)2+ +(-f+ ,-2x210.-1-2222-_ _ ijk二、解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即 = xZ=l -2 4 =(-16,14,11).3 5-2所求平面的方程为16(x 2) + 14(y 0) + H(z 3) =
2、 0,即 16x 14y llz + l = 0 .1.占“.(_匿/= dx dx dx a-b三.证明：方程工-公=。（丁-反）两边同时对工,丁求偏导得, dz 7 dz 1故 QF b I dx dy四、解： =2xy3ex2y , = （6xy2+6x3y5）ex2y3dxdxdy五、解：特征方程为：r2-3r + 2 = 0特征根为：4=2,弓=1对应齐次方程的通解是：y = q/x +生/设原方程的特解为：y* =内/，将其代入原方程待定系数得。=2 .所以y* = 2%/故原方程的通解为y =+_ 2%,由y（0） = o, y（0） = 1解得q = 3,生=-3因此所求的特解
3、是y = 3才3 - 2x/六、解:(x2 + y)dxdy =。x1 dxdy = (rcos 0)2 rdr =65714七、解：（1） E的方程是Z = x2+y2（0zV2）.（2）肝，+ V 胆=dej：2丽 J：?也=2句;2p3（2 - p2 ）dp =与d)nT1+00s(x)= .L n=d严(3尸=_L_2t2)-3-x5(1) = 0 ,八、解：收敛半径R = 2,收敛区间为1,3)s(x) = Zn=i抛物线在(%, %, z0)处的切平面方程为2x0(x-x0) + 2y0(y- y0)-(z-z0) = 0z = 2x0x + 2yQy + l-xl-yl该平面与抛
4、物面及圆柱面所围成的立体的体积为f p2cos。=皂呵。2rdr1+/? ? dz TC2 天)广 cos6+2% 广 sinO+1一云 一为3(%； + y；)+5 万 一 2/万j s(x心=Idx, s(x) = In 2 - ln(3 - x)九、解：方程/(x)cosx + 2, /sin/力=x + 1两边对X求导得尸(x) cos x + f(x) sin x = 1即 /(x) + tan x - /(x) = -5cos x求解上面的一阶线性微分方程得tan xdx f 1 f tan xdx. e ax + C = smx + CcosxJ cosx由于/(0) = 1,所以。=1,故/(x) = sinx + cosx得q=2x,Fv=2y,=-l十、解：设尸(,y,Z)= l + X2 + y2z,dV八=LTiXr. 27r = (J编dV=2% = 013为得%=1,%=0,由提意可知V的最小值一定存在，且只有一个驻点，故可断定V的最小值为371V = 71 + 71 -171 =,切平面为 Z = 2x