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1、2016年贵州省黔东南州中考数学试题及答案本试卷满分150分,考试时间120分钟.第卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.的相反数是()A.2B.C.D.2.如图,直线,若,则等于()A.B.C.D.3.已知一元二次方程的两根分别为,则的值为()A.B.C.D.4.如图,在菱形中,对角线与相交于点,若,则的长为()A.B.C.D.5.小明在某商店购买商品、共两次,这两次购买商品、的数量和费用如下表.购买商品的数量(个)购买商品的数量(个)购买总费用(元)第一次购物4393第二次购物66162若小丽需要购
2、买3个商品和2个商品,则她要花费()A.64元B.65元C.66元D.67元6.已知一次函数和反比例函数的图象如图所示,则二次函数的大致图象是()ABCD7.不等式组的整数解有三个,则的取值范围是()A.B.C.D.8.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图,它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形,如图所示,如果大正方形的面积是13,小正方形的面积为1,直角三角形的较短直角边长为,较长直角边长为,那么的值为()A.13B.19C.25D.1699.将一个棱长为1的正方体水平放于桌面(始终保持正方体的一个面落在桌面上),则该正方体正视图面积的
3、最大值为()A.2B.C.D.110.如图,在等腰直角三角形中,点是的中点,且,将一块直角三角板的直角顶点放在点处,始终保持该直角三角板的两直角边分别与,相交,交点分别为,则等于()A.B.C.D.第卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.请把答案填写在题中的横线上)11.12.分解因式：.13.在一个不透明的箱子中装有4件同型号的产品,其中合格品3件、不合格品1件,现从这4件产品中随机抽取2件检测,则抽到的都是合格品的概率是.14.如图,在中,现将绕点逆时针旋转得到,则阴影部分的面积为.15.如图,点是反比例函数图象上一点,过点作轴的平行线,交反比例函数的
4、图象于点,连接,若的面积为,则的值为.16.如图,在平面直角坐标系中,矩形的边,分别在轴和轴上,是的中点,将沿直线折叠后得到,延长交于点,连接,则点的坐标为.三、解答题(本大题共8小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分8分)计算：.18.(本小题满分10分)先化简：,然后在,0,1,2四个数中选一个你认为合适的数代入求值.19.(本小题满分8分)解方程：.20.(本小题满分12分)黔东南州某中学为了解本校学生平均每天的课外学习时间情况,随机抽取部分学生进行问卷调查,并将调查结果分为,四个等级,设学习时间为(小时),根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计
5、图.请你根据图中信息解答下列问题：(1)本次抽样调查共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整；(2)本次抽样调查中,学习时间的中位数落在哪个等级内？(3)表示等级的扇形圆心角的度数是多少？(4)在此次问卷调查中,甲班有2人平均每天课外学习时间超过2小时,乙班有3人平均每天课外学习时间超过2小时,若从这5人中任选2人去参加座谈,试用列表或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率.21.(本小题满分10分)黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动,带领同学们测量学校附近一电线杆的高.已知电线杆直立于地面上,某天在太阳光的照射下,电线杆的影子(折线)恰好落在水平地面和斜坡上,在处测得电
6、线杆顶端的仰角为,在处测得电线杆顶端得仰角为,斜坡与地面成角,请你根据这些数据求电线杆的高.(结果精确到,参考数据：,).22.(本小题满分12分)如图,是的直径,点在的延长线上,弦,垂足为,且.(1)求证：是的切线.(2)若,求的半径.23.(本小题满分12分)凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元,售价20元,多买优惠,优惠方法是：凡是一次买10只以上的,每多买一只,所买的的全部计算器每只就降价0.1元,例如：某人18只计算器,于是每只只降价(元),因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买,但是每只计算器的最低售价为16元.(1)求一次至少购买多少只计算器,才能以最低价购买
7、？(2)写出该文具店一次销售只时,所获利润(元)与(只)之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围；(3)一天,甲顾客购买了46只,乙顾客购买了50只,店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多,请你说明发生这一现象的原因；当时,为了获得最大利润,店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？24.(本小题满分14分)如图,直线与轴、轴分别相交于点,经过,两点的抛物线与轴的另一个交点为,顶点为,且对称轴为直线.(1)求该抛物线的解析式；(2)连接,求的面积；(3)连接,在轴上是否存在一点,使得以点,为顶点的三角形与相似？若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由.2016年贵州省黔东南州中考数学试题数
8、学答案解析第卷一、选择题1.【答案】A【解析】根据相反数的定义，的相反数是2.选A.【提示】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0.【考点】相反数2.【答案】B【解析】如下图，因为直线，所以。因为，所以.选B.【提示】本题运用了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.【考点】平行线的性质3.【答案】D【解析】因为方程的两根分别为m、n，所以.选D.【提示】解题的关键是找出.题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键.【考点】根与系数的关系4.【答案】D【解析】因为四边形ABCD菱形，所以，因为，所以是正三角
9、形，所以，所以，所以.选D.【提示】本题主要运用解直角三角形和菱形的性质的知识点，解析本题的关键是熟记菱形的对角线垂直平分，本题难度一般.【考点】菱形的性质5.【答案】C【解析】设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据题意，得，解得：.品A的标价为12元，商品B的标价为15元.所以元，故选C.【提示】此题是二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程组.【考点】二元一次方程组的应用6.【答案】B【解析】因为一次函数图象过第一、二、四象限，所以，所以二次函数开口向下，与y轴交点在x轴上方。因为反比例函数的图象在第二、四象限，所以，所以，所以二次函数对
10、称轴在y轴左侧。满足上述条件的函数图象只有B选项，故选B。【提示】本题解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系是解题的关键.【考点】反比例函数的图象，一次函数的图象，二次函数的图象7.【答案】A【解析】不等式组的解集为。该不等式组的整数解有三个，即，得到，故选A。【提示】表示出不等式组的解集是解本题的关键.【考点】一元一次不等式组的整数解8.【答案】C【解析】根据题意得：，即，则，故选C.【提示】此题利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.【考点】勾股定理的证明9.【答案】C【解析】正方体正视图为正方形或矩形
11、.为正方体的棱长为1，所以边长为1.以每个面的对角线的长为。所以正方体的正视图（矩形）的长的最大值为.为始终保持正方体的一个面落在桌面上，所以正视图（矩形）的宽为1.所以最大值面积.选C.【提示】本题运用正方体的正视图，先求得正方体的一个面的上的对角线的长度，然后可求得正方体视图面积的最大值。判断出正方体的正视图的形状是解题的关键【考点】简单几何体的三视图10.【答案】B【解析】如下图，连接OC。因为等腰直角中，所以，所以，所以。因为点O是AB的中点，所以，所以。因为，所以，同理得，所以，所以，所以，故选B.【提示】对于求线段的和或差时，想办法把线段利用相等关系放到同一条线段中去，再计算和或差
12、.题是利用三角形全等将CD转化为BE，使问题得以解决.【考点】全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形第卷二、填空题11.【答案】【解析】的值为，故答案为：.【提示】本题根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可。熟记各特殊角的三角函数值是解析此题的关键。【考点】特殊角的三角函数值12.【答案】【解析】解：原式。故答案为：.【提示】本题先提取公因式，再利用十字相乘法把原式因式分解即可。熟知利用十字相乘法因式分解是解析此题的关键.【考点】因式分解，十字相乘法，提公因式法13.【答案】【解析】根据题意，画树状图得：因为共有12种等可能的结果，抽到的都是合格品的有6种情况，所以抽到的都是合格品的概率是：.
13、答案为：.【提示】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到的都是合格品的情况，再利用概率公式求解即可求得答案。此题属于不放回实验.到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.【考点】列表法与树状图法14.【答案】【解析】因为，所以.答案为：.【提示】本题解题的关键是找出.题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出阴影部分的面积等于扇形的面积是关键.【考点】旋转的性质15.【答案】5【解析】如下图，延长BA，与y轴交于点C，因为轴，所以轴，因为A是反比例函数图象上一点，B为反比例函数的图象上的点，所以，。因为，即，解得：.【提示】熟练掌握反比例函数k的几
14、何意义是解本题的关键.【考点】反比例函数系数k的几何意义16.【答案】【解析】如下图，过点G作于点F，如图所示。因为点D为BC的中点，所以。因为四边形OABC是矩形，所以，。在和中，所以，所以。设，则，所以，即，解得：。所以，.又因为，所以，所以.则有，.所以点G的坐标为.【提示】本题解题的关键是求出线段AE的长度.题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用勾股定理得出边与边之间的关系是关键.【考点】翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，矩形的性质三、解答题17.【答案】原式.【提示】解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运算。注意：负
15、指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数.【考点】实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值18.【答案】原式.因为在，0，1，2这四个数中，使原式有意义的值只有2，所以当时，原式.【提示】本题的关键是将原分式化简成.题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，先将原分式化简，再代入数据求值.【考点】分式的化简求值19.【答案】方程的两边同乘，得，解得.检验：把代入，得.以不是原方程的解，即原方程无解.【提示】本题需要注意：解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，并且解分式方程一定注意要验根.【考点】解分式
16、方程20.【答案】（1）共调查的中学生数是：（人），C类的人数是：（人），条形统计图补充如下图1：（2）本次抽样调查中，学习时间的中位数落在C等级内.（3）根据题意得：.（4）设甲班学生为A1，A2，乙班学生为B1，B2，B3，随机选出2人参加座谈的树状图如下：由图可知，一共有20种等可能结果，其中2人来自不同班级共有12种，所以P（2人来自不同班级）.【提示】本题是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键。条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据。扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小。【考点】列表法与树状图法，扇形统计图，条形统计图，中位
17、数21.【答案】如下图，延长AD交BC的延长线于G，作于H.在中，则，.为，所以，所以.设（m），因为，所以，.又因为，所以，解得：（m）.答：电线杆的高为11m.【提示】本题掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.【考点】解直角三角形的应用，方向角问题，仰角俯角问题22.【答案】（1）连结OC，如下图.因为，所以.为，所以，而，所以，所以，所以，所以PC是的切线.（2）设，则，.为，所以，所以，即，解得，所以，解得，所以.的半径为3.【提示】在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，同时也应当掌握切线的判定方法.【考点】
18、相似三角形的判定与性质，垂径定理，切线的判定23.【答案】（1）设一次购买x只，则，解得：.答：一次至少买50只，才能以最低价购买.（2）当时，当时，.综上所述：.（3）.当时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大.当时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小.且当时，当时，.出现了卖46只赚的钱比卖50只赚的钱多的现象。当时，最低售价为（元），此时利润最大.【提示】最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解析.先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案。其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得。【考点
19、】二次函数的应用24.【答案】（1）因为直线与x轴相交于点B，所以当时，所以点B的坐标为。因为过点C，易知，所以.又因为抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为，根据抛物线的对称性，所以点A的坐标为。又因为抛物线过点，所以，解得：.以该抛物线的解析式为：.（2）如下图1，因为，又因为，所以，所以.又因为，所以，所以是直角三角形，所以.（3）如下图2，由，得，设抛物线的对称轴交x轴于点M，因为在中，所以，.由点，易得，在等腰中，由勾股定理，得。假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与相似. 当，时，。即，解得：。又因为，所以点Q与点O重合，所以的坐标是.当，时，。即，解得：。因为，所以，所以的坐标是。当Q在B点右侧，则，故。则点Q不可能在B点右侧的x轴上.综上所述，在x轴上存在两点，能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与相似。【提示】本题的解题关键是综合运用数学知识、分析问题、解决问题的能力以及数形结合、分类讨论的思想，学会正确运用分类讨论.【考点】二次函数综合题