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1、学习必备 欢迎下载 费马点及其在中考中的应用 一、费马点的由来 费马(Pierre de Fermat，16011665)是法国数学家、物理学家费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余爱好 然而，在 17 世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌 他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承 17 世纪数论天地的人 一代数学大师费马堪称是 17 世纪法国最伟大的数学家 尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者 358 年 费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在ABC内求一点 P，使 PA+PB+PC之值为最小，人们称这个点为“费马点”二、探索费马点 1 当三角形有一个内角
2、大于或等于 120的时候，则费马点就是这个内角的顶点 下面来验证这个结论：如图 1，对三角形内任意一点 P，延长 BA至点 C，使得 AC=AC，作CAP=CAP，并且使得 AP=AP 即把APC以 A为中心做旋转变换 则APC AP C，BAC 120，PAP 60 在等腰三角形 PAP 中，AP PP，PA+PB+PC PP+PB+PCBC=AB+AC 所以 A是费马点 学习必备 欢迎下载 图1 图 2 2 如果三个内角都在 120以内，那么，费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为 120的点 如图 2，以 B点为中心，将APB旋转 60到ABP 因为旋转 60，且 PB=P B
3、，所以PPB为正三角形 因此，PA+PB+PC=P A+PP+PC 由此可知当 A，P，P，C四点共线时，PA+PB+PC=P A+PP+PC为最小 当 A，P，P共线时，BPP=60，APB=APB=120 同理，若 P，P，C共线时，则BPP=60，BPC=120 所以点 P为满足APB=BPC=CPA=120 的点 三、费马点的简单应用 近几年，在全国各地的中考中，时常可以看见费马点的影子 例 1(2009 浙江湖州-25)若 P为ABC所在平面上一点，且APB=BPC=CPA=120，则点 P叫做ABC的费马点 (1)若点 P为锐角ABC的费马点，且ABC=60，PA=3，PC=4，则
4、 PB的值为_；(2)如图 3，在锐角ABC外侧作等边ACB，连结 BB 求证：BB 过ABC的费马点 P，且 BB=PA+PB+PC 解：(1)PBA+PBC=PBC+PCB=60，PBA=PCB 又APB=BPC=120，PBA PCB，则 PB2=PA PC=12，即 PB=2 (2)证明：在 BB 上取点 P，使BPC=120，连结 AP，再在 PB上 的数学教育数学研究也不过是业余爱好然而在世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌他是解析几何的发明者之一概率论的主要创始人以及独承世纪数论天地的人一代数学大师费马堪称是世纪法国最伟大的数学家尤其他提出的为费马点二探索费马点当三角形有一个
5、内角大于等于的时候则费马点就是这个内角的顶点下面来验证这个结论如图对三角形内任意一点延长至点使得作并且使得即把以为中心做旋转变换则在等腰三角形中所以是费马点学习必备欢迎将旋转到因为旋转且所以为正三角形因此由此可知当四点共线时为最小当共线时同理若共线时则所以点为满足的点三费马点的简单应用近几年在全国各地的中考中时常可以看见费马点的影子例浙江湖州若为所在平面上一点且则点叫学习必备 欢迎下载 截取 PE=PC，连结 CE PC=CE，AC=CB，PCA=ECB，ACP BCE APC=BEC=120，PA=EB APB=APC=BPC=120，P为ABC的费马点，且 BB=EB+PB+PE=PA+P
6、B+PC 例 2(2009 北京)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC三个点的坐标分别为A(-6，0)，B(6，0)，C(0，4)，延长 AC到点 D，使 CD=AC，过点 D作 DE AB，交 BC的延长线于点 E (1)求 D点的坐标；(2)作 C点关于直线 DE的对称点 F，分别连结 DF，EF，若过 B点的直线 y=kx+b将四边形 CDFE分成周长相等的两个四边形，试确定此直线的解析式；(3)设 G为 y 轴上一点，点 P从直线 y=kx+b 与 y 轴的交点出发，先沿y 轴到达 G点，再沿 GA到达 A点，若 P点在 y 轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的 2 倍，试确
7、定 G点的位置，使 P点按照上述要求到达 A点所用的时间最短(要求：简述确定 G点位置的方法，但不要求证明)【析】本题第三问要求：简述确定 G点位置的方法，但不要求证明如果不知原理，比较难找，用常规数学的方法，会涉及到一元二次方程的判别式的问题，并不容易想到而用费马点的知识就能轻松找出这个 G点 由于直线 y=kx+b 与 y 轴的交点坐标在第二问当中可求出 M(0，6)，所以，本题第三问便可以转化为：AO OM于点 O，AO=6，MO=6，G点从 M出发，向 O点运动到达 G点后，再沿 GA到达 A点若 G点在 MO上运动的速度是它在 GA上运动速度的 2 倍，试确定 G点的位置(如图 5，
8、G点按照上述要求到达 A点所用的时间为 t)解法一：方程解法 设 GO=x，则 MG=6-x，AG=，则 t=，的数学教育数学研究也不过是业余爱好然而在世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌他是解析几何的发明者之一概率论的主要创始人以及独承世纪数论天地的人一代数学大师费马堪称是世纪法国最伟大的数学家尤其他提出的为费马点二探索费马点当三角形有一个内角大于等于的时候则费马点就是这个内角的顶点下面来验证这个结论如图对三角形内任意一点延长至点使得作并且使得即把以为中心做旋转变换则在等腰三角形中所以是费马点学习必备欢迎将旋转到因为旋转且所以为正三角形因此由此可知当四点共线时为最小当共线时同理若共线时则
9、所以点为满足的点三费马点的简单应用近几年在全国各地的中考中时常可以看见费马点的影子例浙江湖州若为所在平面上一点且则点叫学习必备 欢迎下载 移项平方得：3x2+(12-4t)x+36+24t-4t2=0，方程有解，=(12-4t)2-12(36+24t-4t2)0 解得 t 6，将 t=6代回方程，求出 x=2时，t 最小 解法二：费马点解法 如图 6，要使MG+AG 最小，即使 MG+2AG 最小 作 A关于 MO的对称点 A，则 MG+2AG=MG+AG+AG，即 MG+AG+AG 最小故 G为AAM的费尔马点作GAO=30，交 MO于 G点，则AGM=AGM=AG A=120，故 G点为所
10、求 OG=2 由此利用费马点的解法可以看出：当动点 G在 OM上的运动速度是在 AG上的 2 倍的时候，动点的位置与 MO的长度无关，与 AO的长度有关，GO长是 AO长的倍 2009 北京中考 25 题最后一问不需证明其实证明也很简单！（仅供参考）QNOMGKBA 其中K为DE与y轴的交点，由前两个问题容易得知ABK为等边三角形，G为y轴上的任意一点，作GNBK,30BKO,12GNKG,故速度为2v走完KG所用的时间等于速度为v走完GN所用的时间，即2KGGNvv，故以2v速度走完KG和以v走完GA的时间和，其实就是以v速度走完路程AGGN,由速度一定，路程最短，时间最少！再由垂线段最短,
11、最短路程就是AM,此时G点就是Q点。求该点坐标就不难了！的数学教育数学研究也不过是业余爱好然而在世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌他是解析几何的发明者之一概率论的主要创始人以及独承世纪数论天地的人一代数学大师费马堪称是世纪法国最伟大的数学家尤其他提出的为费马点二探索费马点当三角形有一个内角大于等于的时候则费马点就是这个内角的顶点下面来验证这个结论如图对三角形内任意一点延长至点使得作并且使得即把以为中心做旋转变换则在等腰三角形中所以是费马点学习必备欢迎将旋转到因为旋转且所以为正三角形因此由此可知当四点共线时为最小当共线时同理若共线时则所以点为满足的点三费马点的简单应用近几年在全国各地的中考中时常可以看见费马点的影子例浙江湖州若为所在平面上一点且则点叫