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1、精品资料 欢迎下载 坐标转换方法 空间直角坐标系如果其原点不动，绕着某一个轴旋转而构成的新的坐标系，这个过程就叫做坐标旋转。在旧坐标系中的坐标与在旋转后新坐标系中的坐标有一定的转换关系，这种转换关系可以用转换矩阵来表示。如图 5.7，直角坐标系 XYZ，P 点的坐标为（x,y,z），其相应的在 XY 平面，XZ 平面，YZ 平面分别为 M（x,y,0），Q（x,0,z）和 N（0,y,z）。图 5.7 直角坐标系 XYZ 设 表示第 j 轴的旋转角度，R j()表示绕第 j 轴的旋转，其正方向是沿坐标轴向原点看去的逆时针方向。很明显当 j 轴为旋转轴时，它对应的坐标中的j 分量是不变的。由于直
2、角坐标系是对称的，下面我们以绕 Z 轴旋转为例推导其旋转变换矩阵，其它两个轴推导和它是一样的。设图 5.7 的坐标绕 Z 轴逆时针旋转 角度，新坐标为 X YZ，如图 5.8 所示：图 5.8 坐标绕 Z 轴逆时针旋转 角度 由于坐标中的 z 分量不变，我们可以简化地在 XY 平面进行分分析，如图精品资料 欢迎下载 5.9 所示：图 5.9 坐标绕 Z 轴逆时针旋转 角度的 XY 平面示意图 点 M X 和点 M X 分别是 M 点在 X 轴和 X 轴的投影。如图 5.9 coscos()sinsin()XXXXxOMOMMOMOMyMMOMMOMOM （5-1）coscossinsinXXX
3、XxOMOMMOMOMyMMOMMOMOM （5-2）把（5-1）式按照三角函数展开得：coscossinsinsincoscossinxOMOMyOMOM（5-3）把（5-2）式代入（5-3）式得：cossinsincosxxyyxy （5-4）坐标中的 z 分量不变，即 z=z这样整个三维坐标变换就可以写成（用新坐标表 示旧坐标）cossinsincosxxyyxyzz（5-5）把式（5-5）用一个坐标旋转变换矩阵 RZ()表示可以写成：就叫做坐标旋转在旧坐标系中的坐标与在旋转后新坐标系中的坐标有一定的转换关系这种转换关系可以用转换矩阵来表示如图直角坐标系点的坐标为其相应的在平面平面平面分
4、别为和图直角坐标系设表示第轴的旋转角度表示绕第轴直角坐标系是对称的下面我们以绕轴旋转为例推导其旋转变换矩阵其它两个轴推导和它是一样的设图的坐标绕轴逆时针旋转角度新坐标为如图所示图坐标绕轴逆时针旋转角度由于坐标中的分量不变我们可以简化地在平面进行分分析照三角函数展开得把式代入式得坐标中的分量不变即这样整个三维坐标变换就可以写成用新坐标表示旧坐标把式用一个坐标旋转变换矩阵表示可以写成精品资料欢迎下载坐标系是坐标系绕轴逆时针旋转角度而来从另一个角度来看也精品资料 欢迎下载 ()ZxxyRyzz （5-6）cossin0()sincos0001ZR （5-7）坐标系 X YZ是坐标系 XYZ 绕 Z
5、轴逆时针旋转 角度而来，从另一个角度来 看，也可以说坐标系 XYZ 是坐标系 X YZ绕 Z轴逆时针旋转 角度而来，所以 根据（5-6）式有：1()()()ZzzxxyRyRRzz （5-8）就叫做坐标旋转在旧坐标系中的坐标与在旋转后新坐标系中的坐标有一定的转换关系这种转换关系可以用转换矩阵来表示如图直角坐标系点的坐标为其相应的在平面平面平面分别为和图直角坐标系设表示第轴的旋转角度表示绕第轴直角坐标系是对称的下面我们以绕轴旋转为例推导其旋转变换矩阵其它两个轴推导和它是一样的设图的坐标绕轴逆时针旋转角度新坐标为如图所示图坐标绕轴逆时针旋转角度由于坐标中的分量不变我们可以简化地在平面进行分分析照三角函数展开得把式代入式得坐标中的分量不变即这样整个三维坐标变换就可以写成用新坐标表示旧坐标把式用一个坐标旋转变换矩阵表示可以写成精品资料欢迎下载坐标系是坐标系绕轴逆时针旋转角度而来从另一个角度来看也