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1、学习必备 欢迎下载 空间向量之 建立空间直角坐标系的方法及技巧 一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例 1 已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12，底面 ABCD 是直角梯形，A 为直角，ABCD，AB4，AD2，DC1，求异面直线 BC1与 DC 所成角的余弦值 解析：如图 1，以 D 为坐标原点，分别以 DA、DC、DD1所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，则 C1（，1，2）、B（2，4，），1(232)BC ，(010)CD，设1BC与CD所成的角为，则113 17cos17BC CDBC CD 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 例 2 如图 2，在
2、三棱柱 ABCA1B1C1中，AB侧面 BB1C1C，E 为棱 CC1上异于 C、C1的一点，EAEB1已知2AB，BB12，BC1，BCC13求二面角 AEB1A1的平面角的正切值 解析：如图 2，以 B 为原点，分别以 BB1、BA 所在直线为 y 轴、z 轴，过 B 点垂直于平面AB1的直线为 x 轴建立空间直角坐标系 由于 BC1，BB12，AB2，BCC13，在三棱柱ABCA1B1C1中，有B（，）、A（，2）、B1（，2，）、31022c，、13 3022C，设302Ea，且1322a ，学习必备 欢迎下载 由 EAEB1，得10EA EB，即3322022aa ，233(2)20
3、44a aaa ，13022aa ，即12a 或32a（舍去）故3 1022E，由已知有1EAEB，111B AEB，故二面角 AEB1A1的平面角的大小为向量11B A与EA的夹角 因11(0 02)B ABA，31222EA，故11112cos3EA B AEA B A，即2tan2 三、利用面面垂直关系构建直角坐标系 例 3 如图 3，在四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD是正三角形，平面VAD底面 ABCD （1）证明 AB平面 VAD；（2）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值 解析：（1）取 AD 的中点 O 为原点，建立如图 3 所示的空间直
4、角坐标系 设 AD2，则 A（1，）、D（1，）、B（1，2，）、V（，3），AB（，2，），VA（1，3）由(0 2 0)(1 03)0AB VA，得 ABVA 又 ABAD，从而 AB与平面 VAD内两条相交直线 VA、AD 都垂直，AB平面 VAD；系例已知直四棱柱中底面是直角梯形为直角求异面直线与所成角的余弦值解析如图以为坐标原点分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系则设与所成的角为则二利用线面垂直关系构建直角坐标系例如图在三棱柱中侧面为棱上异于的间直角坐标系由于在三棱柱中有设且学习必备欢迎下载由得即即或舍去故由已知有的夹角故二面角的平面角的大小为向量与因故即三利用面面垂直关系构建直角坐
5、标系例如图在四棱锥中底面是正方形侧面是正三角形平面底面证明平两条相交直线都垂直平面学习必备欢迎下载设为的中点则又因此是所求二面角的平面角故所求二面角的余弦值为四利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例已知正四棱锥中为中点正四棱锥底面边长为高为求的余弦值若求的学习必备 欢迎下载 （2）设 E 为 DV 的中点，则13022E，33022EA，33222EB，(1 03)DV ，332(1 03)022EB DV，EBDV 又 EADV，因此AEB是所求二面角的平面角 21cos7EA EBEAEBEA EB，故所求二面角的余弦值为217 四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系 例 4
6、 已知正四棱锥 VABCD 中，E 为 VC 中点，正四棱锥底面边长为 2a，高为 h （1）求DEB 的余弦值；（2）若 BEVC，求DEB 的余弦值 解析：（1）如图 4，以 V在平面 AC 的射影 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中 OxBC，OyAB，则由 AB2a，OVh，有 B（a，a，）、C（-a，a，）、D（-a，-a，）、V（0，0，h）、2 2 2a a hE，322 2a hBEa，32 22ahDEa，22226cos10BE DEahBE DEahBE DE，即22226cos10ahDEBah；系例已知直四棱柱中底面是直角梯形为直角求异面直线与所成角的余弦值解析
7、如图以为坐标原点分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系则设与所成的角为则二利用线面垂直关系构建直角坐标系例如图在三棱柱中侧面为棱上异于的间直角坐标系由于在三棱柱中有设且学习必备欢迎下载由得即即或舍去故由已知有的夹角故二面角的平面角的大小为向量与因故即三利用面面垂直关系构建直角坐标系例如图在四棱锥中底面是正方形侧面是正三角形平面底面证明平两条相交直线都垂直平面学习必备欢迎下载设为的中点则又因此是所求二面角的平面角故所求二面角的余弦值为四利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例已知正四棱锥中为中点正四棱锥底面边长为高为求的余弦值若求的学习必备 欢迎下载（2）因为 E 是 VC 的中点，又 BEV
8、C，所以0BE VC，即3()022 2a haaah，22230222aha，2ha 这时222261cos103ahBE DEah，即1cos3DEB 五、利用图形中的对称关系建立坐标系 图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系 例 5 已知两个正四棱锥 PABCD 与 QABCD 的高都为 2，AB4（1）证明：PQ平面 ABCD；（2）求异面直线 AQ 与 PB 所成的角；（3）求点 P 到平面 QAD 的距离 （2）由题设知，ABCD 是正方形，且 ACBD由（1），PQ平面 ABCD，故可分别以直线CADBQ
9、P，为x，y，z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系（如 图1），易 得(2 2 02)(0 2 22)AQPB，1cos3AQ PBAQ PBAQ PB，系例已知直四棱柱中底面是直角梯形为直角求异面直线与所成角的余弦值解析如图以为坐标原点分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系则设与所成的角为则二利用线面垂直关系构建直角坐标系例如图在三棱柱中侧面为棱上异于的间直角坐标系由于在三棱柱中有设且学习必备欢迎下载由得即即或舍去故由已知有的夹角故二面角的平面角的大小为向量与因故即三利用面面垂直关系构建直角坐标系例如图在四棱锥中底面是正方形侧面是正三角形平面底面证明平两条相交直线都垂直平面学习必备欢迎下载
10、设为的中点则又因此是所求二面角的平面角故所求二面角的余弦值为四利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例已知正四棱锥中为中点正四棱锥底面边长为高为求的余弦值若求的学习必备 欢迎下载 所求异面直线所成的角是1arccos3（3）由（2）知，点(02 2 0)(2 22 2 0)(0 04)DADPQ，设 n=（x，y，z）是平面 QAD 的一个法向量，则00AQAD，nn得200 xzxy ，取 x1，得(112)，n=点P 到平面 QAD 的距离2 2PQd nn 点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出第（3）问也可用“等体积法”求距离 系例已知直四棱柱中底面是直角梯形为直角求异面直线与所成角的余弦值解析如图以为坐标原点分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系则设与所成的角为则二利用线面垂直关系构建直角坐标系例如图在三棱柱中侧面为棱上异于的间直角坐标系由于在三棱柱中有设且学习必备欢迎下载由得即即或舍去故由已知有的夹角故二面角的平面角的大小为向量与因故即三利用面面垂直关系构建直角坐标系例如图在四棱锥中底面是正方形侧面是正三角形平面底面证明平两条相交直线都垂直平面学习必备欢迎下载设为的中点则又因此是所求二面角的平面角故所求二面角的余弦值为四利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例已知正四棱锥中为中点正四棱锥底面边长为高为求的余弦值若求的