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1、北师大版八上数学第四章知识点整理 一、平行四边形 （一）定义和性质：1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2、性质：平行四边形两对边平行 平行四边形对边相等 平行四边形的对角相等 平行四边形是中心对称图形 平行四边形对角线相互平分 （二）判定：两组对角线互相平分的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 二、菱形 （一）定义和性质：1、定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、性质：菱形的四条边都相等，两条对角线相互垂直平分，每一条对角线平分一组对角
2、，面积等于对角线乘积的一半 （二）判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四条边都相等的四边形是菱形 三、矩形：（一）定义和性质：1、定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形 2、性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角 （二）判定：对角线相等的平行四边形是矩形 一个角是直角的平行四边形是矩形 四、正方形：（一）定义和性质：1、定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形 2、性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质 边：四条边都相等且对边平行 角：四个角都是直角 对角线：对角线互相平分且垂直、相等 （二）判定：一组邻边相等的矩形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正
3、方形 有一个角是 90 度的菱形是正方形 对角线相等的菱形是正方形 五、梯形和等腰梯形 （一）定义和性质：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形同一底上的两个内角相等，对第 四 章 四 边 形 性 质 探 角线相等。（第四章 相似图形（课本）1 线段的比 （1）如果把大树和小颖的高分别看成如图 4-1 所示的两条虚线段 AB，CD，那么这两条线段的长度比是多少？（2）已知小颖的身高是 1.6m，大树的实际高度是多少？两条线段长度的比与所采用的长度单有没有关系？通过思考、交流，引导学得出：线段的长度比与所采用的长度单位无关 如果选用一个长度单位量得
4、两条线段 AB，CD的长度分别是 m、n，那么就说这两条线段的比AB：CD=m：n，或写成CDAB=nm.其中，线段AB：CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把nm表示成比值k，那么CDAB=k，或AB=k CD 此处对线段比的前项、后项概念作进一步解析。例 1 在某市城区地图（比例尺 1：9000）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是 16cm，10cm.（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？解：（1）根据题意，得 性质平行四边形两对边平行平行四边形对边相等平行四边形的对角相等平行四边形是中心对称图形
5、平行四边形对角线相互平分二判定两组对角线互相平分的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分四正方形一定义和性质定义一组邻边相等的矩形叫做正方形性质正方形具有平行四边形菱形矩形的一切性质边四条边都相等且对边平行角四个角都是直角对角线对角线互相平分且垂直相等二判定一组邻边相等的矩形是正方形对角线质一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形两条腰相等的梯形叫做等腰梯形等腰梯形同一底上的两个内角相等对二菱形一定义和性质定义一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质菱形的四条边都相等两条对角线相互垂直 9000190001光华大街的实际长度光华大街的图上长度新安大街的实际长度新安
6、大街的图上长度 学结合课本进行测量、计算、讨论、交流，尽量给出答案 学交流、探讨 学自学，了解“两条线段的比”的概念 注意将本题与所学地理学科进行联系 实际长度之比等于图上长度之比，这一结论以后可以直接使用 为成比例线段埋下伏笔 随堂练习 因此，新安大街的实际长度是 169000=144000（cm），144000cm=1440m 光华大街的实际长度是 109000=90000（cm）90000cm=900m（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是 16：10=8：5 新安大街与光华大街的实际长度使比是 14400：90000=8：5 1、在比例尺为 1：8000 的某学校地图上，矩形运动场的
7、图上尺寸是 1cm2cm，矩形运动场的实际尺寸是多少？2、活中还有哪些利用线段比的事例？注意单位的换算 注意体会利用所求得的结论推导出有用结论 学计算回答 通过此问题回答，紧密联系活 4.2 黄金分割 图 46 性质平行四边形两对边平行平行四边形对边相等平行四边形的对角相等平行四边形是中心对称图形平行四边形对角线相互平分二判定两组对角线互相平分的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分四正方形一定义和性质定义一组邻边相等的矩形叫做正方形性质正方形具有平行四边形菱形矩形的一切性质边四条边都相等且对边平行角四个角都是直角对角线对角线互相平分且垂直相等二判定一组邻边相等的矩
8、形是正方形对角线质一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形两条腰相等的梯形叫做等腰梯形等腰梯形同一底上的两个内角相等对二菱形一定义和性质定义一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质菱形的四条边都相等两条对角线相互垂直活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点C把AB分成两段AC和BC，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题.讲授新课 在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC、BC的长度，然后计算ABAC、ACBC,它们的值相等吗？相等.所以ACBCABAC.1.黄金分割的定义 在线段AB上，点C把线段AB
9、分成两条线段AC和BC，如果ACBCABAC,那么称线段AB被点C黄金分割（golden section）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中ABAC0.618.投影片（4.2 A）黄金分割在几何作图上有很多应用，如五角星形的各边是按黄金分割划分的，其中点C就是线段AB的一个黄金分割点.作圆的内接正十边形也能归结为黄金分割.黄金分割也被广泛用在建筑设计、美术、音乐、艺术等方面.如在设计工艺品或日用品的宽和长时，常设计成宽与长的比近似为 0.618,这样易引起美感；在拍照时，常把主要景物摄在接近于画面的黄金分割点处，会显得更加协调、悦目；舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞
10、台的黄金分割点处，这样音响效果就比较好，而且显得自然大方，等等.黄金分割在工厂里也有着普遍的应用.如“优选法”中常用的“0.618 法”就是黄金分割的一种应用.既然黄金分割的实用价值这么大，我们就必须把它学好，还要用好，下面我们来学习如何找一条线段的黄金分割点.2.作一条线段的黄金分割点.图 47 如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BDAB，使BD=21AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.你知道为什么吗？若点C为线段AB的黄金分割点，则点C分线段AB所成的线AC、BC间须满足ACBCABAC.下面请大家进
11、行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB=1.性质平行四边形两对边平行平行四边形对边相等平行四边形的对角相等平行四边形是中心对称图形平行四边形对角线相互平分二判定两组对角线互相平分的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分四正方形一定义和性质定义一组邻边相等的矩形叫做正方形性质正方形具有平行四边形菱形矩形的一切性质边四条边都相等且对边平行角四个角都是直角对角线对角线互相平分且垂直相等二判定一组邻边相等的矩形是正方形对角线质一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形两条腰相等的梯形叫做等腰梯形等腰梯形同一底上的两个内角相等对二菱形一定义和性质定义一组
12、邻边相等的平行四边形叫做菱形性质菱形的四条边都相等两条对角线相互垂直证明：AB=1,AC=x,BD=21AB=21 AD=x+21 在 RtABD中，由勾股定理，得（x+21）2=12+（21）2 x2+x+41=1+41 x2=1x x2=1（1x）AC2=ABBC 即：ACBCABAC 即点C是线段AB的一个黄金分割点，在x2=1x中 整理，得x2+x1=0 x=2512411 AC为线段长，只能取正 AC=215 0.618 ABAC0.618 黄金比约为 0.618.3.想一想 图 48 古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple）.把它的正面放在一个矩形ABCD中，以矩
13、形ABCD的宽AD为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，BCABBEBC,点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？请大家互相交流.因为四边形AEFD是正方形，所以AD=BC=AE,又因为BCABBEBC,所以AEABBEAE,即AEBEABAE,因此点E是AB的黄金分割点，矩形ABCD宽与长的比是黄金比.在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.你学会作了吗？性质平行四边形两对边平行平行四边形对边相等平行四边形的对角相等平行四边形是中心对称图形平行四边形对角线相互平分二判定两组对角线互相平分的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是
14、平行四边形两组对边分四正方形一定义和性质定义一组邻边相等的矩形叫做正方形性质正方形具有平行四边形菱形矩形的一切性质边四条边都相等且对边平行角四个角都是直角对角线对角线互相平分且垂直相等二判定一组邻边相等的矩形是正方形对角线质一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形两条腰相等的梯形叫做等腰梯形等腰梯形同一底上的两个内角相等对二菱形一定义和性质定义一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质菱形的四条边都相等两条对角线相互垂直.随堂练习 1.解：设AB=a,根据题意，得 AE=2a,由勾股定理，得 EF=EB=22AEAB=422aa =25a AF=AH=BEAE=215 a BH=ABAH=aa
15、a253215 ABAH215215aa 2151553215253aaAHBH AHBHABAH 点H是AB的黄金分割点.4.3 形状相同的图形 性质平行四边形两对边平行平行四边形对边相等平行四边形的对角相等平行四边形是中心对称图形平行四边形对角线相互平分二判定两组对角线互相平分的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分四正方形一定义和性质定义一组邻边相等的矩形叫做正方形性质正方形具有平行四边形菱形矩形的一切性质边四条边都相等且对边平行角四个角都是直角对角线对角线互相平分且垂直相等二判定一组邻边相等的矩形是正方形对角线质一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形
16、两条腰相等的梯形叫做等腰梯形等腰梯形同一底上的两个内角相等对二菱形一定义和性质定义一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质菱形的四条边都相等两条对角线相互垂直（1）如图（1）同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，人物的形状改变了吗？（2）如图（2），两个足球的形状相同吗？它们的大小呢？（3）如图（3），两个正方体物体的形状相同吗？（4）如图（4），复印前后纸上对应图形之间分别有什么关系？（1）同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，人物的形状没有改变，只是大小不同；（2）两个足球的形状相同，大小不同；（3）两个正方体物体的形状相同；（4）复印前后纸上对应图形之间形状相同，大小不同.发现每一对图形中有什么特点
17、呢？每对图形都是形状相同的图形，从上面的图形中我们大概了解了形状相同的图形的特点，下面我们通过观察，找出形状相同的图形.2.找形状相同的图形 在实际活和数学学习中，我们常常会看到许多形状相同的图形，请从下图中找出形状相同的图形.（1）与（3）；（2）与（13）；（4）与（11）；（5）与（10）；（6）、（7）、（8）、（9）分别是形状相同的图形.3.画形状相同的图形 做一做 性质平行四边形两对边平行平行四边形对边相等平行四边形的对角相等平行四边形是中心对称图形平行四边形对角线相互平分二判定两组对角线互相平分的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分四正方形一定义和性
18、质定义一组邻边相等的矩形叫做正方形性质正方形具有平行四边形菱形矩形的一切性质边四条边都相等且对边平行角四个角都是直角对角线对角线互相平分且垂直相等二判定一组邻边相等的矩形是正方形对角线质一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形两条腰相等的梯形叫做等腰梯形等腰梯形同一底上的两个内角相等对二菱形一定义和性质定义一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质菱形的四条边都相等两条对角线相互垂直 利用下面的方法可以近似地将一个图形放大：1.将 2 个长短相同的橡皮筋系在一起.2.选取一个图形，在图形外取一个定点.3.将系在一起的橡皮筋的一端固定在定点，把一枚铅笔固定在橡皮筋的另一端.4.拉动铅笔，使 2
19、个橡皮筋的结点沿所选图形的边缘运动，当结点在已知图形上运动一圈时，铅笔就画出了一个新的图形.这个新图形与已知图形形状相同.请看课本 52 页中按上述步骤画出的图形.下面请大家自己确定一个图形，然后按照上述步骤画形状相同的图形.如：图 49 性质平行四边形两对边平行平行四边形对边相等平行四边形的对角相等平行四边形是中心对称图形平行四边形对角线相互平分二判定两组对角线互相平分的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分四正方形一定义和性质定义一组邻边相等的矩形叫做正方形性质正方形具有平行四边形菱形矩形的一切性质边四条边都相等且对边平行角四个角都是直角对角线对角线互相平分且垂直相等二判定一组邻边相等的矩形是正方形对角线质一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形两条腰相等的梯形叫做等腰梯形等腰梯形同一底上的两个内角相等对二菱形一定义和性质定义一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质菱形的四条边都相等两条对角线相互垂直