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1、学习好资料 欢迎下载 八年级数学上册导学案（九）杨成超 做轴对称图形 DE应用【教学目标】：研究轴对称性及其相关性质，进行实际问题的应用。【师生共同探讨，总结】：一、学生看 P39-P42 师生共同探讨，总结：常用知识点：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等。三角形两边之和大于第三边。一、两点一线问题 1.如图，牧童在处放牛，其家在处，到河岸的距离分别为，且，若到河岸 CD 的中点的距离为 500m。（1）牧童从处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短?在图中作出该处，并说明理由；（2）最短路程是多少?解：（1）已知直线同侧两点、。求作：上一点，使最小。作法：作点关于的对称点
2、；连结交于点，则点即为所求的点。证明：在上任取一点，连结，直线是、的对称轴，、在上，在中，即最小。（2）由（1）可得：，学习好资料 欢迎下载 ，即为的中点且，最短路程为。练习：如图 1，某同学打台球时想绕过黑球，通过击黑球 A，使主球 A撞击桌边 MN 后反弹，击中白球 B请在图中标明，黑球撞在 MN 上哪一点才能达到目的？(以球心 A、B 来代表两球)?二、一点两线问题 2.如图，OA、OB 是两条相交的公路，点 P 是一个邮电所，现想在 OA、OB 上各设立一个投递点，要想使邮电员每次投递路程最近，问投递点应设立在何处？作法：作点 P 关于直线 AO 的对称点 M，作点 P 关于直线 BO
3、 的对称点 N；连结 MN 分别交 AO、BO 于 E、F；连接 EF、PE、PF，PEF 即为所求三角形。证明：在 AO 上任取一点 E，连结 ME、FE、PE。M 是 P 关于直线 AO 的轴对称点，PE=ME，PE=ME。在中，M N 图 1 B A 实际问题的应用师生共同探讨总结一学生看师生共同探讨总结常用知识点线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等三角形两边之和大于第三边一两点一线问题如图牧童在处放牛其家在处到河岸的距离分别为若到河岸的中点的距离且解已知直线小同侧两点求作上一点使最作法作点关于的对称点连结交于点则点即为所求的点证明在上任取一点连结直线是的对称轴在上在中即最小由可得学习
4、好资料欢迎下载即为的中点且最短路程为练习如图某同学打台球时想绕两球二一点两线问题如图是两条相交的公路点是一个邮电所现想在上各设立一个投递点要想使邮电员每次投递路程最近问投递点应设立在何处作法作点关于直线的对称点作点关于直线的对称点连结分别交于连接即为所求三角形证明学习好资料 欢迎下载 即的周长的周长。同理，在 BO 上任取一点 F亦可证的周长的周长。的周长最小。练习：在一条大的河流中有一形如三角形的小岛（如图 3），岸与小岛有一桥相连现准备在小岛的三边上各设立一个水质取样点水利部门在岸边设立了一个观测站，每天有专人从观测站步行去三个取样点取样，然后带回去化验请问，三个取样点应分别设在什么位置，
5、才能使得每天取样所用时间最短(假设速度一定)?三、同类变式 3 如图，村庄 A、B 位于一条小河的两侧，若河岸 a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥 CD，问桥址应如何选择，才能使 A 村到 B 村的路程最近？作法：设 a、b 的距离为 r。把点 B 竖直向上平移 r 个单位得到点 B；连接 AB，交 a 于 C；过 C 作 CDb 于 D；连接 AC、BD。证明：BBCD 且 BBCD，四边形 BBCD 是平行四边形，CBBD ACCDDBACCBBBABBB 在 a 上任取一点 C，作 CD，连接 AC、DB，CB 同理可得 ACCDDBACCBBB 而 ACCBA B 小观测点
6、图 3 实际问题的应用师生共同探讨总结一学生看师生共同探讨总结常用知识点线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等三角形两边之和大于第三边一两点一线问题如图牧童在处放牛其家在处到河岸的距离分别为若到河岸的中点的距离且解已知直线小同侧两点求作上一点使最作法作点关于的对称点连结交于点则点即为所求的点证明在上任取一点连结直线是的对称轴在上在中即最小由可得学习好资料欢迎下载即为的中点且最短路程为练习如图某同学打台球时想绕两球二一点两线问题如图是两条相交的公路点是一个邮电所现想在上各设立一个投递点要想使邮电员每次投递路程最近问投递点应设立在何处作法作点关于直线的对称点作点关于直线的对称点连结分别交于连接即为
7、所求三角形证明学习好资料 欢迎下载 ACCDDB 最短。4 在正方形 ABCD 上，P 在 AC 上，E 是 AB 上一定点，则当点 P 运动到何处时，PBE的周长最小?作法：连接 DE 交 AC 于 Q，当 P 运动到 Q 点处时，PBE 的周长最小。证明：连接 BQ。P、Q 都在正方形对角线 AC 上，PB=PD，QB=QD BP+PE=DP+PE，BQ+QE=DQ+QE=DE 而 DP+PE DE BP+PE BQ+QE 又PBE 的周长=BE+BP+PE，QBE 的周长=BE+BQ+QE PBE 的周长QBE 的周长 即当 P 运动到 Q 点处时，PBE 的周长最小。实际问题的应用师生共同探讨总结一学生看师生共同探讨总结常用知识点线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等三角形两边之和大于第三边一两点一线问题如图牧童在处放牛其家在处到河岸的距离分别为若到河岸的中点的距离且解已知直线小同侧两点求作上一点使最作法作点关于的对称点连结交于点则点即为所求的点证明在上任取一点连结直线是的对称轴在上在中即最小由可得学习好资料欢迎下载即为的中点且最短路程为练习如图某同学打台球时想绕两球二一点两线问题如图是两条相交的公路点是一个邮电所现想在上各设立一个投递点要想使邮电员每次投递路程最近问投递点应设立在何处作法作点关于直线的对称点作点关于直线的对称点连结分别交于连接即为所求三角形证明