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1、高等数学上册复习要点 一、函数与极限（一）函数 1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数；4、函数的连续性与间断点；函数)(xf在0 x连续 )()(lim00 xfxfxx 第一类：左右极限均存在.间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在.无穷间断点、振荡间断点 5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.（二）极限 1、定义 1）数列极限 axNnNaxnnn ,0lim 2）函数极限 AxfxxxAxfxx)(0 ,
2、0 ,0)(lim00时，当 左极限：)(lim)(00 xfxfxx 右极限：)(lim)(00 xfxfxx)()()(lim000 xfxfAxfxx存在 2、极限存在准则 1）夹逼准则：1）)(0nnzxynnn 2）azynnnnlimlim axnnlim 2）单调有界准则：单调有界数列必有极限.3、无穷小（大）量 1）定义：若0lim则称为无穷小量；若lim则称为无穷大量.2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小 Th1 )(o;Th2 limlim lim,存在，则（无穷小代换）4、求极限的方法 1）单调有界准则；2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性
3、；4）两个重要极限：a)1sinlim0 xxx b)exxxxxx)11(lim)1(lim10 5）无穷小代换：（0 x）a)xxxxxarctanarcsintansin b)221cos1xx c)xex1 （axaxln1）d)xx)1ln(（axxaln)1(log）算初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数函数的连续性与间断点连续函数在第一类左右极限均存在间断点可去间断点跳跃间断点第二类左右极限至少有一个不存在无穷间断点振荡间断点闭区间上连续函数的性质有界准则夹逼准则单调有界准则单调有界数列必有极限无穷小大量则称为无穷小量若定义若则称为无穷大量无穷小的阶高阶无穷小同阶无穷
4、小等价无穷小阶无穷小存在则无穷小代换求极限的方法单调有界准则夹逼准则极限运算准则及函切线的斜率可导与连续的关系求导的方法导数定义基本公式四则运算复合函数求导链式法则隐函数求导数参数方程求导对数求导法高阶导数定义公式二微分定义可微与可导的关系可微可导且其中与无关三微分中值定理与导数的应用e)xx1)1(二、导数与微分（一）导数 1、定义：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 左导数：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 右导数：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 函数)(xf在0 x点可导)()(00 xfxf 2、几何意义：)(0 xf 为曲线)(xfy
5、在点)(,00 xfx处的切线的斜率.3、可导与连续的关系：4、求导的方法 1）导数定义；2）基本公式；3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则）；5）隐函数求导数；6）参数方程求导；7）对数求导法.5、高阶导数 1）定义：dxdydxddxyd22 算初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数函数的连续性与间断点连续函数在第一类左右极限均存在间断点可去间断点跳跃间断点第二类左右极限至少有一个不存在无穷间断点振荡间断点闭区间上连续函数的性质有界准则夹逼准则单调有界准则单调有界数列必有极限无穷小大量则称为无穷小量若定义若则称为无穷大量无穷小的阶高阶无穷小同阶无穷小等价无穷小阶无穷小存在则无
6、穷小代换求极限的方法单调有界准则夹逼准则极限运算准则及函切线的斜率可导与连续的关系求导的方法导数定义基本公式四则运算复合函数求导链式法则隐函数求导数参数方程求导对数求导法高阶导数定义公式二微分定义可微与可导的关系可微可导且其中与无关三微分中值定理与导数的应用2）Leibniz 公式：nkknkknnvuCuv0)()()(（二）微分 1）定义：)()()(00 xoxAxfxxfy，其中A与x无关.2）可微与可导的关系：可微可导，且dxxfxxfdy)()(00 三、微分中值定理与导数的应用（一）中值定理 1、Rolle 罗尔定理：若函数)(xf满足：1）,)(baCxf；2）),()(baD
7、xf；3）)()(bfaf；则0)(),(fba使.2、Lagrange 拉格朗日中值定理：若函数)(xf满足：1）,)(baCxf；2）),()(baDxf；则)()()(),(abfafbfba使.3、Cauchy 柯西 中值定理：若函数)(),(xFxf满足：1）,)(),(baCxFxf；2）),()(),(baDxFxf；3）),(,0)(baxxF 则)()()()()()(),(FfaFbFafbfba使 （二）洛必达法则（三）Taylor 公式（四）单调性及极值 1、单调性判别法：,)(baCxf，),()(baDxf，则若0)(xf，则算初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数
8、反三角函数函数的连续性与间断点连续函数在第一类左右极限均存在间断点可去间断点跳跃间断点第二类左右极限至少有一个不存在无穷间断点振荡间断点闭区间上连续函数的性质有界准则夹逼准则单调有界准则单调有界数列必有极限无穷小大量则称为无穷小量若定义若则称为无穷大量无穷小的阶高阶无穷小同阶无穷小等价无穷小阶无穷小存在则无穷小代换求极限的方法单调有界准则夹逼准则极限运算准则及函切线的斜率可导与连续的关系求导的方法导数定义基本公式四则运算复合函数求导链式法则隐函数求导数参数方程求导对数求导法高阶导数定义公式二微分定义可微与可导的关系可微可导且其中与无关三微分中值定理与导数的应用)(xf单调增加；则若0)(xf，
9、则)(xf单调减少.2、极值及其判定定理：a)必要条件：)(xf在0 x可导，若0 x为)(xf的极值点，则0)(0 xf.b)第一充分条件：)(xf在0 x的邻域内可导，且0)(0 xf，则若当0 xx 时，0)(xf，当0 xx 时，0)(xf，则0 x为极大值点；若当0 xx 时，0)(xf，当0 xx 时，0)(xf，则0 x为极小值点；若在0 x的两侧)(xf 不变号，则0 x不是极值点.c)第二充分条件：)(xf在0 x处二阶可导，且0)(0 xf，0)(0 xf，则 若0)(0 xf，则0 x为极大值点；若0)(0 xf，则0 x为极小值点.3、凹凸性及其判断，拐点 1）)(xf
10、在区间I上连续，若2)()()2(,212121xfxfxxfIxx，则称)(xf在区间I 上的图形是凹的；若2)()()2(,212121xfxfxxfIxx，则称)(xf在区间I 上的图形是凸的.2）判定定理：)(xf在,ba上连续，在),(ba上有一阶、二阶导数，则 a)若0)(),(xfbax,则)(xf在,ba上的图形是凹的；b)若0)(),(xfbax,则)(xf在,ba上的图形是凸的.3）拐点：设)(xfy 在区间I上连续，0 x是)(xf的内点，如果曲线)(xfy 经过点)(,(00 xfx时，曲线的凹凸性改变了，则称点)(,(00 xfx为曲线的拐点.（五）不等式证明 1、利
11、用微分中值定理；2、利用函数单调性；算初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数函数的连续性与间断点连续函数在第一类左右极限均存在间断点可去间断点跳跃间断点第二类左右极限至少有一个不存在无穷间断点振荡间断点闭区间上连续函数的性质有界准则夹逼准则单调有界准则单调有界数列必有极限无穷小大量则称为无穷小量若定义若则称为无穷大量无穷小的阶高阶无穷小同阶无穷小等价无穷小阶无穷小存在则无穷小代换求极限的方法单调有界准则夹逼准则极限运算准则及函切线的斜率可导与连续的关系求导的方法导数定义基本公式四则运算复合函数求导链式法则隐函数求导数参数方程求导对数求导法高阶导数定义公式二微分定义可微与可导的关系可微
12、可导且其中与无关三微分中值定理与导数的应用3、利用极值（最值）.（六）方程根的讨论 1、连续函数的介值定理；2、Rolle 定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性.（七）渐近线 1、铅直渐近线：)(limxfax，则ax 为一条铅直渐近线；2、水平渐近线：bxfx)(lim，则by 为一条水平渐近线；四、不定积分（一）概念和性质 1、原函数：在区间I上，若函数)(xF可导，且)()(xfxF，则)(xF称为)(xf的一个原函数.2、不定积分：在区间I上，函数)(xf的带有任意常数的原函数称为)(xf在区间I上的不定积分.3、基本积分表（P188，13 个公式）；4、性质（线性性）.
13、（二）换元积分法 1、第一类换元法（凑微分）：)()(d)()(xuduufxxxf 算初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数函数的连续性与间断点连续函数在第一类左右极限均存在间断点可去间断点跳跃间断点第二类左右极限至少有一个不存在无穷间断点振荡间断点闭区间上连续函数的性质有界准则夹逼准则单调有界准则单调有界数列必有极限无穷小大量则称为无穷小量若定义若则称为无穷大量无穷小的阶高阶无穷小同阶无穷小等价无穷小阶无穷小存在则无穷小代换求极限的方法单调有界准则夹逼准则极限运算准则及函切线的斜率可导与连续的关系求导的方法导数定义基本公式四则运算复合函数求导链式法则隐函数求导数参数方程求导对数求
14、导法高阶导数定义公式二微分定义可微与可导的关系可微可导且其中与无关三微分中值定理与导数的应用 2、第二类换元法（变量代换：三角代换、倒代换、根式代换等）：)(1d)()()(xttttfdxxf（三）分部积分法：vduuvudv（反对幂指三，前 U 后 V）（四）有理函数积分 1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、定积分（一）概念与性质：1、定义：niiibaxfdxxf10)(lim)(2、性质：（7 条）性质 7（积分中值定理）函数)(xf在区间,ba上连续，则,ba，使)()(abfdxxfba （平均值：abdxxffba)()(）（二）微积分基本公式（NL 公
15、式）1、变上限积分：设xadttfx)()(，则)()(xfx 推广：)()()()()()()(xxfxxfdttfdxdxx 2、NL 公式：若)(xF为)(xf的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba 算初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数函数的连续性与间断点连续函数在第一类左右极限均存在间断点可去间断点跳跃间断点第二类左右极限至少有一个不存在无穷间断点振荡间断点闭区间上连续函数的性质有界准则夹逼准则单调有界准则单调有界数列必有极限无穷小大量则称为无穷小量若定义若则称为无穷大量无穷小的阶高阶无穷小同阶无穷小等价无穷小阶无穷小存在则无穷小代换求极限的方法单调有界准则夹逼
16、准则极限运算准则及函切线的斜率可导与连续的关系求导的方法导数定义基本公式四则运算复合函数求导链式法则隐函数求导数参数方程求导对数求导法高阶导数定义公式二微分定义可微与可导的关系可微可导且其中与无关三微分中值定理与导数的应用（三）换元法和分部积分 1、换元法：tttfdxxfbad)()()(2、分部积分法：bababavduuvudv（四）反常积分 1、无穷积分：tatadxxfdxxf)(lim)(bttbdxxfdxxf)(lim)(00)()()(dxxfdxxfdxxf 2、瑕积分：btatbadxxfdxxf)(lim)(（a为瑕点）tabtbadxxfdxxf)(lim)(（b为瑕
17、点）两个重要的反常积分：1)1 ,11 ,d1ppapxxpap 2)1 ,1 ,1)()(d)(d1qqqabxbxaxxqbaqbaq 算初等函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数函数的连续性与间断点连续函数在第一类左右极限均存在间断点可去间断点跳跃间断点第二类左右极限至少有一个不存在无穷间断点振荡间断点闭区间上连续函数的性质有界准则夹逼准则单调有界准则单调有界数列必有极限无穷小大量则称为无穷小量若定义若则称为无穷大量无穷小的阶高阶无穷小同阶无穷小等价无穷小阶无穷小存在则无穷小代换求极限的方法单调有界准则夹逼准则极限运算准则及函切线的斜率可导与连续的关系求导的方法导数定义基本公式四则运算复合函数求导链式法则隐函数求导数参数方程求导对数求导法高阶导数定义公式二微分定义可微与可导的关系可微可导且其中与无关三微分中值定理与导数的应用