次函数竞赛赏析图解例题剖析竞赛真题中学教育竞赛题_中学教育-竞赛题.pdf

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1、【本讲教育信息】一.教学内容:一次函数的图像、性质和应用;二元一次方程组的图像解法 学习目标 1.理解一次函数的图像是一条直线以及它的性质,会画一次函数的图像.2.会应用一次函数的性质解决实际问题,能够用图像法解二元一次方程组.3.通过学习,进一步体会“数形结合”的数学思想方法以及数学建模的思想.二.重点、难点:能够熟练地用描点法、两点法画出一次函数的图像,用图像法解二元一次方程组,理解一次函数性质并会应用一次函数解决问题是重点;难点是对一次函数性质的理解以及应用一次函数解决问题.三.知识要点:1.一次函数与正比例函数的图像 一般地,一次函数的图像是过(),(0,b)的一条直线;特殊的,正比例

2、函数的图像是过(0,0),(1,k)的一条直线.直线是由直线向上或向下平移单位得到的.或者说直线是由直线向右或向左平移单位得到的.2.一次函数的性质(1)增减性:如果,那么y的值随x值的增大而增大;如果,那么y的值随x值的增大而减小 (2)所通过的象限如下表 k,b 的符号 k0,b0 k0,b0 k0 k0,b0,即k,b为同号;另外从一次函数ykx+b的图像可以看出 k0,即 k,b 异号,所以出现矛盾情况.做此类题目的关键是对一次函数性质的理解和掌握.解 A 例 3 一次函数的图像过(3,0),且与坐标轴所围成的图形的面积为 9,求一次函数的函数关系式.分析 要求一次函数的函数关系式,必

3、须知道函数图像经过两点的坐标,由条件知一个点的坐标,必须求出另一个点的坐标.由“图像与坐标轴所围成的面积为 9”可求得另一个点的坐标.最后用待定系数法去求关系式.解 如图,设一次函数的图像与 x 轴交于点A(3,0),与 y 轴交于点B(0,b),则OA3,OB.又,故B的坐标为(0,6)或(0,6).设一次函数的函数关系式为,则 得 所以一次函数的解析式为y2x+6 或y2x6 评析 解决面积问题结合图形考虑,不但对问题容易把握,而且可以使问题解决的更全面.例 4 如图所表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中,路程 y(km)随时间 x(min)变化的图像(全程).根据图像回答下列问题:(1

4、)求比赛开始多少分钟时,两人第一次相遇;(2)求这次比赛的全程是多少千米;(3)求比赛开始多少分钟时,两人第二次相遇.分析 认真读图,通过图像上的一些特殊点,如图像与坐标轴的交点,图像的起、终点,图像上已用虚线表示出横、纵坐标的点等寻找突破口,如本题以 A,B两点为突破口.解 (1)当 把(15,5)和(33,7)代入得 当 y6 时,有 比赛开始 24min 两人第一次相遇.(2)设 比赛的全程为 12km.(3)当 解得 解方程组 比赛开始 38min 两人第二次相遇.一条直线以及它的性质会画一次函数的图像会应用一次函数的性质解决实际问题能够用图像法解二元一次方程组通过学习进一步体会数形结

5、合的数学思想方法以及数学建模的思想二重点难点能够熟练地用描点法两点法画出一次函数理解以及应用一次函数解决问题三知识要点一次函数与正比例函数的图像一般地一次函数的图像是过的一条直线特殊的正比例函数的图像是过的一条直线直线是由直线向上或向下平移单位得到的或者说直线是由直线向右或向左平移如下表的符号图像所通过的象一二一三一二二三限三四四四一次函数图像上任意一点的坐标与二元一次方程解的关系一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的一个解以二元一次方程的解坐标的点都在一次函数图像上数形评析 本题体现了从形到数的转化,是数形结合的具体运用,也是待定系数法的具体应用,此方法与方程、方程组的解法密不可分.

6、例 5 在一次蜡烛燃烧实验中,甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧时间x(h)的关系如图所示.请根据图象所提供的信息解答下列问题:(1)甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ,从点燃到燃尽所用的时间分别是 ;(2)分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式;(3)当x为何值时,甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等?分析 (1)纵轴表示蜡烛的高度.(2)因为图像都是线段,所以它们的函数关系式都是一次函数.根据图像上提供的点的坐标用待定系数法分别求解.(3)求出两条线段的交点坐标,结合图像的位置求解.解 (1)30cm,25cm;2h,(2)设甲蜡烛燃烧时y与x函数关系式为 观察可

7、知,它的图像经过点(2,0),(0,30)所以 解得 所以甲蜡烛燃烧时函数关系式为 设乙蜡烛燃烧时y与x函数关系式为 观察可知,它的图像经过点(,0),(0,25)所以 解得 乙蜡烛燃烧时函数关系式为:(3)当甲蜡烛与乙蜡烛的高度相等时,则 所以x1 时,甲蜡烛与乙蜡烛的高度相等.观察图像可知,当甲蜡烛比乙蜡烛低.方法指导 第(3)小问要抓住交点的意义,并结合图像求解.例 6 学校有一批复印任务,原来有甲复印社承接,按每 100 页 40 元计费.现在乙复印社表示:若学校先按月付给一定数额的承包费,则可按每 100 页 15 元收费.两复印社每月收费情况如图 根据图像回答下列问题:(1)乙复印

8、社的每月承包费是多少?(2)当每月复印多少页时,两复印社实际收费相同?(3)如果每月复印页数在 1200 页左右,那么学校应选择哪个复印社比较合算?分析 由图像可知,乙的图像与y轴的交点坐标为(0,200),说明乙每月的承包费为 200 元;而“收费相同”在图像上的反映就是两条直线的交点位置;对于选择哪家复印社比较合算,那就要看当x1200 时,哪条直线的位置“较低”了.解 (1)乙复印社的每月承包费为 200 元;(2)从图像上观察可知,当每月复印 800 页时,两复印社实际收费相同;一条直线以及它的性质会画一次函数的图像会应用一次函数的性质解决实际问题能够用图像法解二元一次方程组通过学习进

9、一步体会数形结合的数学思想方法以及数学建模的思想二重点难点能够熟练地用描点法两点法画出一次函数理解以及应用一次函数解决问题三知识要点一次函数与正比例函数的图像一般地一次函数的图像是过的一条直线特殊的正比例函数的图像是过的一条直线直线是由直线向上或向下平移单位得到的或者说直线是由直线向右或向左平移如下表的符号图像所通过的象一二一三一二二三限三四四四一次函数图像上任意一点的坐标与二元一次方程解的关系一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的一个解以二元一次方程的解坐标的点都在一次函数图像上数形(3)如果每月复印页数在 1200 页左右,也就是当x1200 时,其在乙图像上的点低于甲图像上的点,

10、故说明学校应选择乙复印社比较合算.评析 根据条件,本题还可以依据图像写出收费y(元)与复印页数x(页)之间的函数关系式,甲为y,乙为y+200.这样就可以通过解方程以及计算来求出第(2),(3)问了.【模拟试题】(答题时间:60 分钟)1.若函数的图象经过点(1,2),则函数的表达式可能是 (写出一个即可)2.一次函数 ykx+b 满足 kb0 且 y 随 x 的增大而减小,则此函数图象不经过 ()A、第1 象限 B、第2 象限 C、第 3 象限 D、第 4 象限 3.两个一次函数 y1mx+n,y2nx+m,它们在同一坐标系中的图象可能是下图中的 ()4.在函数 y2x+3 中,当自变量 x

11、 满足 时,图象在第一象限.5.已知一次函数 ykx+b 的图象经过点(0,1)且不经过第四象限,则满足以上条件的一个一次函数的解析式为 6.某污水处理厂的一个净化池设有 2 个进水口和 1 个出水口,三个水口至少打开一个,每个进水口进水速度由图甲给出,出水口出水的速度由图乙给出.某一天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量与时间的函数关系如图丙所示.通过对图象的观察,小亮得出了以下三个论断:(1)0 点到 3 点只进水不出水;(2)3 点到 4 点不进水只出水;(3)4 点到 6 点不进水也不出水.其中正确的是 ()A、(1)B、(1)(2)C、(1)(3)D、(1)(2)(3)7.如图,过点

12、A的一次函数的图象与正比例函数 y2x 的图象相交于点 B,能表示这个一次函数的解析式为 ()A.2x y+30 B.x y30 C.2y x+30 D.x+y 30 8.如图,表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车均行驶 90km的过程中,行驶的路程与经过的时间的函数关系,请根据图象填空:出发早,早了 小时,先到达,先到 小时,电动自行车的速度为 km/h,汽车的速度为 km/h.9.已知正比例函数yk1x的图象与一次函数y k2x9 的图象相交于点P(3,6).(1)求k1、k2的值;(2)如果一次函数y k1x9 的图象与x轴交于点A,求A的坐标.10.某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物,

13、若该读物首次印刷的印数不少于5000册时,投入的成本与印数间的相应数据如下:一条直线以及它的性质会画一次函数的图像会应用一次函数的性质解决实际问题能够用图像法解二元一次方程组通过学习进一步体会数形结合的数学思想方法以及数学建模的思想二重点难点能够熟练地用描点法两点法画出一次函数理解以及应用一次函数解决问题三知识要点一次函数与正比例函数的图像一般地一次函数的图像是过的一条直线特殊的正比例函数的图像是过的一条直线直线是由直线向上或向下平移单位得到的或者说直线是由直线向右或向左平移如下表的符号图像所通过的象一二一三一二二三限三四四四一次函数图像上任意一点的坐标与二元一次方程解的关系一次函数图像上任意

14、一点的坐标都是二元一次方程的一个解以二元一次方程的解坐标的点都在一次函数图像上数形印数 x(册)5000 8000 10000 15000 成本 y(元)28500 36000 41000 53500 (1)经过对上表数据的探究,发现这种读物的投入成本 y(元)是印数 x(册)的一次函数,求这个一次函数的解析式(不要求写出 x 的取值范围);(2)如果出版社投入 48000 元,那么能印读物多少册?11.某公司推销一种产品,设 x(件)是推销产品的数量,y(元)是推销费,下图表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案,看图解答下列问题:(1)求 y1、y2的解析式;(2)解释图中表示的两种方案是

15、如何付推销费的;(3)如果你是推销员,应如何选择付费方案?12.电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧.经调查,播放甲连续剧平均每集有收视观众 20 万人次,播放乙连续剧平均每集有收视观众 15 万人次,公司要求电视台每周共播放 7 集.(1)设一周内甲连续剧播 x 集,甲、乙两部连续剧观众的人次的总和为y 万人次,求 y 关于 x 的函数关系式;(2)已知电视台每周只能为该公司提供不超过 300 分钟的播放时间,并且播放甲连续剧每集需 50 分钟,播放乙连续剧每集需 35 分钟,请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集,才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大,

16、并求出这个最大值.【试题答案】1.y 2x 2.A 3.B 4.5.yx+1 6.C 7.D 8.电动车,2 ,汽车,2 ,18 km/h,60 km/h.9.(1)k12,k21;(2)(9,0)10.(1)(2)12800 11.(1)(2)第一种情况是按照推销的件数提成;第二种情况是先付给推销员 300 元,然后再按推销的件数提成.(3)当推销产品的件数等于 30 件时,两种方案一样,然后再分大于 30 件和小于 30件来考虑 12.(1)y5x+105(2)略 一条直线以及它的性质会画一次函数的图像会应用一次函数的性质解决实际问题能够用图像法解二元一次方程组通过学习进一步体会数形结合的

17、数学思想方法以及数学建模的思想二重点难点能够熟练地用描点法两点法画出一次函数理解以及应用一次函数解决问题三知识要点一次函数与正比例函数的图像一般地一次函数的图像是过的一条直线特殊的正比例函数的图像是过的一条直线直线是由直线向上或向下平移单位得到的或者说直线是由直线向右或向左平移如下表的符号图像所通过的象一二一三一二二三限三四四四一次函数图像上任意一点的坐标与二元一次方程解的关系一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的一个解以二元一次方程的解坐标的点都在一次函数图像上数形 一次函数最优化问题的解法 一次函数解法全析 取值范围 1、方法要领 求自变量的取值范围,主要考虑三点:(1)分母不为

18、0,即x1中 x0;(2)二次根号内的数大于或等于 0,即x中,x0;(3)实际问题中的自变量,要使其有实际意义.2、实战分析 例 1、(2005 年,荆门)如果代数式mnm1有意义,那么平面直角坐标系中的点 P(m,n)的位置在().A第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解:要考虑两点:第一,分母不为 0,即mn0;第二,二次根号内的数大于或等于 0,故要00mnm.所以 m0,n0.故点 P(m,n)在第三象限.例 2、求xxy22中自变量 x 的取值范围.解:由分子中的x-20,及分母 2-x0.综合可得 x2.3、融会贯通(1)(2005 年,兰州)函数42113xx

19、中自变量的取值范围是()A且 B C且 D 全体实数(2)求132xxy中自变量 x 的取值范围.一条直线以及它的性质会画一次函数的图像会应用一次函数的性质解决实际问题能够用图像法解二元一次方程组通过学习进一步体会数形结合的数学思想方法以及数学建模的思想二重点难点能够熟练地用描点法两点法画出一次函数理解以及应用一次函数解决问题三知识要点一次函数与正比例函数的图像一般地一次函数的图像是过的一条直线特殊的正比例函数的图像是过的一条直线直线是由直线向上或向下平移单位得到的或者说直线是由直线向右或向左平移如下表的符号图像所通过的象一二一三一二二三限三四四四一次函数图像上任意一点的坐标与二元一次方程解的

20、关系一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的一个解以二元一次方程的解坐标的点都在一次函数图像上数形 函数概念 1、方法要领 若两个变量x,y的关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k0)的形式,则称y=kx+b为一次函数(x为自变量,y为因变量)特别地,当b=0 时,一次函数y=kx(k0)也叫正比例函数 2、实战分析 例 3、已知关于 x 的函数y=(m2)x552mm+m3,问:当m为何值时,它是一次函数?解:根据一次函数的定义,有 021552mmm 解得241mmm或 故m=1 或m=4 例 4、如果关于 x 的函数y=mx32m是正比例函数,而且对于它的每一组非零的对应值(

21、x,y),总有xy0,求m的值 分析:根据正比例函数y=kx(k0)中对k的要求及对x的指数的要求,可求得m的值 解:根据题意,y=mx32m是正比例函数,故有m23=1,且m0,得2m.但当m=2 时,y=2x,由 xy0,与题设矛盾.m=2 3、融会贯通 (3)若函数y=(3m-2)x2+(1-2m)x(m为常数)是正比例函数,则m的值为_.函数表达式 1、方法要领 一条直线以及它的性质会画一次函数的图像会应用一次函数的性质解决实际问题能够用图像法解二元一次方程组通过学习进一步体会数形结合的数学思想方法以及数学建模的思想二重点难点能够熟练地用描点法两点法画出一次函数理解以及应用一次函数解决

22、问题三知识要点一次函数与正比例函数的图像一般地一次函数的图像是过的一条直线特殊的正比例函数的图像是过的一条直线直线是由直线向上或向下平移单位得到的或者说直线是由直线向右或向左平移如下表的符号图像所通过的象一二一三一二二三限三四四四一次函数图像上任意一点的坐标与二元一次方程解的关系一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的一个解以二元一次方程的解坐标的点都在一次函数图像上数形确定一次函数的表达式,一般是先设出一次函数的一般形式,再把符合函数的点的坐标代入,解方程(组)求得 k 和 b 的值.2、实战分析 例 5、若一次函数y=kx+b(k、b 为常数)的图象经过点(3,2)和(1,6),求k

23、,b及一次函数的表达式 分析:题目中已经设好了关系式,直接代入求值就行了.解:根据题意,得 623bkbk 解得:42bk 从而,所求一次函数的表达式为y=2x+4.例 6、已知一次函数的图象过点A(2,1)和点B,其中点B是直线y=21x+3与y轴的交点,求这个一次函数的表达式 解:在函数y=21x+3 中 当x=0 时,y=3 即直线y=21x+3 与y轴的交点 B坐标为(0,3).设过A、B两点的直线表达式为y=kx+b 根据题意,得312bbk 解得:32bk 故所求一次函数的表达式为y=2x+3 3、融会贯通(4)在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k、b 为常数)的图象经过三

24、点A(2,0),B(0,2),C(m,3),求这个函数的表达式,并求m的值 图象解题 1、方法要领 当函数图象反映的是实际问题时,图象与图象以及图象与坐标轴的交点都是具有特殊意义的,图象的形状反映了事物的状态或变化过程.要会根据实际问题看图、用图.2、实战分析 例 7、某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备与一合资出租车公司或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同,设所租汽车每月行驶x千米,应付给合资出租车公司的月租费y2元,应付给国营出租车公司的月租费是y1元,y1、一条直线以及它的性质会画一次函数的图像会应用一次函数的性质解决实际问题能够用图像法解二元一次方程组通过学习进一步体会数形结合

25、的数学思想方法以及数学建模的思想二重点难点能够熟练地用描点法两点法画出一次函数理解以及应用一次函数解决问题三知识要点一次函数与正比例函数的图像一般地一次函数的图像是过的一条直线特殊的正比例函数的图像是过的一条直线直线是由直线向上或向下平移单位得到的或者说直线是由直线向右或向左平移如下表的符号图像所通过的象一二一三一二二三限三四四四一次函数图像上任意一点的坐标与二元一次方程解的关系一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的一个解以二元一次方程的解坐标的点都在一次函数图像上数形y2与x之间的函数关系图象分别如图 1 所示,观察图象回答下列问题(1)每月行驶的路程在什么范围内时租国营公司的车合算

26、?(2)每月行驶的路程等于多少时租两家的车的费用相同?(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为 2300km,那么这个单位租哪一家的车合算?图 1 分析:结合实际意义,图象在下方的费用少,在上方的费用多,交点表示费用相等.解:观察图象可知:(1)每月行驶的路程小于 1500km时,租国营公司的车合算(2)每月行驶的路程等于 1500km时,租两家车的费用相同(3)如果每月行驶的路程为 2300km时,那么租合资公司的车合算 例 8、图 2 中的折线ABC为从甲地向乙地打长途电话所需付的电话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的函数关系的图象,当x3 时,该函数的解析式为_.图 2 解:由图象知,当

27、x3 时,图象过 B(3,)和 C(5,)两点.设直线 BC的解析式为y=kx+b则 4.454.23bkbk 解得:6.01bk 故该函数的解析式为y=(x3)3、融会贯通(5)某医药研究所开发了一种新药,在试验药效时发现,如果成人按规定剂量服用,那么每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(h)的变化情况如图3所示 一条直线以及它的性质会画一次函数的图像会应用一次函数的性质解决实际问题能够用图像法解二元一次方程组通过学习进一步体会数形结合的数学思想方法以及数学建模的思想二重点难点能够熟练地用描点法两点法画出一次函数理解以及应用一次函数解决问题三知识要点一次函数与正比例函数的图像一般地一次函数的

28、图像是过的一条直线特殊的正比例函数的图像是过的一条直线直线是由直线向上或向下平移单位得到的或者说直线是由直线向右或向左平移如下表的符号图像所通过的象一二一三一二二三限三四四四一次函数图像上任意一点的坐标与二元一次方程解的关系一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的一个解以二元一次方程的解坐标的点都在一次函数图像上数形服药后_h 时,血液中含药量最高,达每毫升_微克,接着逐步衰减;服药后 5h 时,血液中含药量为每毫升_微克;当x2 时,y与x之间的函数关系式是_;当x2 时,y与x之间的函数关系式是_ 如果每毫升血液中含药量不小于 3 微克时,治疗疾病最有效,那么这个有效时间范围是服药后

29、的_ 图 3(6)一次函数y=kx+b(k、b 为常数,k0)的图象是一条直线,它可以表示许多实际意义,比如在图 4 中,若x代表时间(h),y代表路程(km),那么从图象上可以看出,某人出发时(x=0),离某地 2km,出发 1h 后,由x=1,得y=5,即某人离某地 5km,他走了 3km 甲、乙两人的运动图象如图 5 所示,请根据图象回答下列问题 图 4 图 5 如果用t表示时间,y 表示路程,那么甲、乙两人各自的路程与时间的函数关系式分别是_,_;甲的运动速度是_km/h 两人同时同向出发,相遇时,甲比乙多走_km 图象应用 1、方法要领 一次函数关系式中 k 和 b 的取值与函数图象

30、位置的关系如下图所示:一条直线以及它的性质会画一次函数的图像会应用一次函数的性质解决实际问题能够用图像法解二元一次方程组通过学习进一步体会数形结合的数学思想方法以及数学建模的思想二重点难点能够熟练地用描点法两点法画出一次函数理解以及应用一次函数解决问题三知识要点一次函数与正比例函数的图像一般地一次函数的图像是过的一条直线特殊的正比例函数的图像是过的一条直线直线是由直线向上或向下平移单位得到的或者说直线是由直线向右或向左平移如下表的符号图像所通过的象一二一三一二二三限三四四四一次函数图像上任意一点的坐标与二元一次方程解的关系一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的一个解以二元一次方程的解坐

31、标的点都在一次函数图像上数形k0,b=0 k0,b0 k0,b0 k0 k0 利用图象的性质可轻松解决很多问题.另外,两个一次函数的图象平行时,它们的自变量系数k 是相等的.2、实战分析 例 9、已知关于 x 的函数 y=(m 2)x+n 的图象经过第一、二、四象限,求m、n 的取值范围 解:由函数 y=(m 2)x+n 的图象经过第一、二、四象限,可知 m 20,m0 例 10、已知关于 x 的一次函数182)3(2mxmy (1)m为何值时,函数的图象经过原点?(2)m为何值时,函数的图象经过点(0,2)?(3)m为何值时,函数的图象和直线y=x 平行?(4)m为何值时,y 随 x 的增大

32、而减小?解:(1)由题意,m需满足330301822mmmm,故 m=3 时,函数的图象经过原点;(2)由题意得:m需满足,21822 m,故10m时,函数的图象经过点(0,2);(3)由题意,m需满足431301822mmmm,故 m=4时,函数的图象平行于直线y=x;(4)当 3m3时,y 随 x 的增大而减小 3、融会贯通(7)已知某一次函数的图象与正比例函数xy32平行,且通过点 M(0,4)若点(8,m)和(n,5)在一次函数图象上,求m、n 的值;x 在什么范围内取值时,这个一次函数的值是正数?一条直线以及它的性质会画一次函数的图像会应用一次函数的性质解决实际问题能够用图像法解二元

33、一次方程组通过学习进一步体会数形结合的数学思想方法以及数学建模的思想二重点难点能够熟练地用描点法两点法画出一次函数理解以及应用一次函数解决问题三知识要点一次函数与正比例函数的图像一般地一次函数的图像是过的一条直线特殊的正比例函数的图像是过的一条直线直线是由直线向上或向下平移单位得到的或者说直线是由直线向右或向左平移如下表的符号图像所通过的象一二一三一二二三限三四四四一次函数图像上任意一点的坐标与二元一次方程解的关系一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的一个解以二元一次方程的解坐标的点都在一次函数图像上数形 图象面积 1、方法要领 一次函数的图象与两坐标轴相交(或两相交直线与坐标轴之间)

34、能组成三角形,如何求其面积呢?解这类题目一般通过解析式求出三角形顶点的坐标,找出三角形的底和高,直接求其面积.不易找出底和高的,可把三角形进行分割,再分别求其面积.解题时一定要准确画出图形,注意数形结合思想的运用.2、实战分析 例 11、已知直线111bxky经过原点和点(2,4),直线222bxky经过点(1,5)和点(8,2)(1)求这两条直线的解析式,并作出其图象 (2)若直线111bxky与222bxky交于点 M,直线222bxky与 x 轴交于点 N,试求MON 的面积 分析:本题可利用待定系数法求解析式 然后把两条直线的解析式均看作二元一次方程,二元一次方程组的解就是它们交点的坐

35、标 解:(1)对直线111bxky,由题意可得:420111bkb 解得21k,xy21 对直线222bxky,由题意可得:.28,52222bkbk 解得:12k,62b 62 xy 图 6 它们的图象如图 6 所示其交点为 M(2,4).(2)由于直线222bxky与 x 轴交于点 N,令02y,得 x=6 一条直线以及它的性质会画一次函数的图像会应用一次函数的性质解决实际问题能够用图像法解二元一次方程组通过学习进一步体会数形结合的数学思想方法以及数学建模的思想二重点难点能够熟练地用描点法两点法画出一次函数理解以及应用一次函数解决问题三知识要点一次函数与正比例函数的图像一般地一次函数的图像

36、是过的一条直线特殊的正比例函数的图像是过的一条直线直线是由直线向上或向下平移单位得到的或者说直线是由直线向右或向左平移如下表的符号图像所通过的象一二一三一二二三限三四四四一次函数图像上任意一点的坐标与二元一次方程解的关系一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的一个解以二元一次方程的解坐标的点都在一次函数图像上数形 点 N的坐标为(6,0),于是MON 中,ON=6 又 ON边上的高为点 M的纵坐标 4 124621 MONS 例 12、直线 y=kx+b 过点 A(1,5)且平行于直线 y=x若点 B(m,-5)在这条直线上,O为坐标原点,求m的值及AOB 的面积 分析:直线解析式易求.

37、求三角形面积时,因三角形的边不在坐标轴上,可用坐标轴把三角形分成几个边在坐标轴上的小三角形来处理 解:易得直线解析式为 y=x+4 B(m,5)在直线上,5=m+4,m=9 如图 7,设直线与 y 轴的交点为 C,则 C的坐标为(0,4)由图知 BOCAOCAOBSSS 图 7 .2094211421|21|21BAxOCxOC(注:Ax为 A的横坐标,Bx为 B的横坐标)3、融会贯通(8)如图 8,直线 y=-x+2与 x 轴、y 轴分别交于点 A和点 B,另一直线 y=kx+b经过点 C(1,0),且把AOB分成两部分,若AOB被分成的两部分面积比为 1:5,求 k 和 b 的值.图 8

38、中考函数 1、方法要领 中考中的一次函数问题,一般和实际问题结合较多.解题中一定要读懂题目的意思,结合一次函数的图象和性质来解题.2、实战分析 例 13、如图 9,直线l1、l2相交于点 A,l1与 x 轴的交点坐标为(-1,0),l2与 y 轴的交点坐标为(0,-2),结合图象解答下列问题:一条直线以及它的性质会画一次函数的图像会应用一次函数的性质解决实际问题能够用图像法解二元一次方程组通过学习进一步体会数形结合的数学思想方法以及数学建模的思想二重点难点能够熟练地用描点法两点法画出一次函数理解以及应用一次函数解决问题三知识要点一次函数与正比例函数的图像一般地一次函数的图像是过的一条直线特殊的

39、正比例函数的图像是过的一条直线直线是由直线向上或向下平移单位得到的或者说直线是由直线向右或向左平移如下表的符号图像所通过的象一二一三一二二三限三四四四一次函数图像上任意一点的坐标与二元一次方程解的关系一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的一个解以二元一次方程的解坐标的点都在一次函数图像上数形(1)求出直线l2表示的一次函数的表达式;(2)当 x 为何值时,l1、l2表示的两个一次函数的函数值都大于 0?解:(1)设l2的解析式为 y=kx+b,由图象可知,l2过点(2,3)和点(0,-2),则有 232kbb ,解得:b=-2,k=52 图 9 所以l2的解析式为 y=52x-2(2)

40、从图象可知,当 x-1 时,l1表示的一次函数的函数值大于 0.对于l2,当 y=0 时,x=45,所以 l2与 x 轴的交点为(45,0).再结合图象可知,当 x45时,l2表示的一次函数的函数值大于 0.综合可知,当 x45时,l1、l2表示的两个一次函数的函数值都大于 0.例 14、在一次蜡烛燃烧实验中,甲、乙两根蜡烛燃烧过程中,其高度 y(cm)与燃烧时间 x(h)之间的关系如图 10 所示(蜡烛点燃到燃尽过程中不熄灭),请根据图象所提供的信息解答下列问题:(1)甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ,从点燃到燃尽所用的时间分别是 .(2)分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数

41、关系式.(3)燃烧多长时间时,甲、乙两根蜡烛的高度相等(不考虑都燃尽时的情况)?在什么时间段内,甲蜡烛比乙蜡烛高?在什么时间段内,甲蜡烛比乙蜡烛低?图 10 解:(1)30cm和 25cm;2h 和.(2)设甲蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b.由图 10 可知,函数的图象过点(2,0),(0,30),则有 3002bbk,解得3015bk 所以 y=-15x+30(0 x2).同理可得乙蜡烛燃烧时y 与 x 之间的函数关系式为 y=-10 x+25(0 x).(3)由25103015xyxy,解得两图象交点为(1,15),所以当燃烧 1h 的时一条直线以及它的性质会画一

42、次函数的图像会应用一次函数的性质解决实际问题能够用图像法解二元一次方程组通过学习进一步体会数形结合的数学思想方法以及数学建模的思想二重点难点能够熟练地用描点法两点法画出一次函数理解以及应用一次函数解决问题三知识要点一次函数与正比例函数的图像一般地一次函数的图像是过的一条直线特殊的正比例函数的图像是过的一条直线直线是由直线向上或向下平移单位得到的或者说直线是由直线向右或向左平移如下表的符号图像所通过的象一二一三一二二三限三四四四一次函数图像上任意一点的坐标与二元一次方程解的关系一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的一个解以二元一次方程的解坐标的点都在一次函数图像上数形候,甲、乙两根蜡烛的

43、高度相等.观察图象可知,当 0 x1 时,甲蜡烛比乙蜡烛高;当 1x时,甲蜡烛比乙蜡烛低.3、融会贯通(9)温度与我们的生活息息相关,你仔细观察过温度计吗?如图 11 是一个温度计实物示意图,左边的刻度是摄氏温度(),右边的刻度是华氏温度(F),设摄氏温度为 x(),华氏温度为 y(F),则 y 是 x 的一次函数.仔细观察图中数据,试求出 y 与 x 之间的函数表达式;当摄氏温度为零下 15时,求华氏温度为多少?图 11 创新题型 1、方法要领 创新题型主要包括开放型问题、探索型问题、应用型问题.这类题型解法比较灵活,技巧性较强,难以找到解题的突破口.解题关键是要结合一次函数性质,大胆猜测,

44、敢于动手.2、实战分析 例 15、设直线 nx+(n+1)y=2(n 为非零自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为 Sn(n=1,2,2005),则 S1+S2+S2005的值是多少?分析:通过直线解析式求出直线与两坐标轴交点的坐标,再用n 表示出 Sn,这时你就会发现表示Sn的代数式是一个非常熟悉的式子,求和将会很简单.解:当 x=0 时,12ny,直线与 y 轴交点 B(0,12n)当 y=0 时,nx2,直线与 x 轴交点 A(n2,0)故 OA=n2,OB=12n)1(112221nnnnSSOABn S1+S2+S2005=)12005(20051)12(21)11(11 一条直线以及

45、它的性质会画一次函数的图像会应用一次函数的性质解决实际问题能够用图像法解二元一次方程组通过学习进一步体会数形结合的数学思想方法以及数学建模的思想二重点难点能够熟练地用描点法两点法画出一次函数理解以及应用一次函数解决问题三知识要点一次函数与正比例函数的图像一般地一次函数的图像是过的一条直线特殊的正比例函数的图像是过的一条直线直线是由直线向上或向下平移单位得到的或者说直线是由直线向右或向左平移如下表的符号图像所通过的象一二一三一二二三限三四四四一次函数图像上任意一点的坐标与二元一次方程解的关系一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的一个解以二元一次方程的解坐标的点都在一次函数图像上数形=(1

46、-21)+(21-31)+(2006120051)=1-20061=20062005 3、融会贯通(10)如图 12,在直角梯形ABCD 中,AB=22,CD=10,AD=16.在斜腰BC上任取一点P,过 P点作底边的垂线,与上下底分别交于 E、F.设 PE长为 x,PF长为 y,求 y 与 x 的函数表达式;如果 SPCD=SPAB,P点应取在什么地方?图 12 运费与利润 一、一次函数的最值 一次函数 y=kx+b 在 nxm时可取得最值。何时取得最大值,何时取得最小值,与比例系数 k 的符号有关,可分下面几种情况。1 当 k0 时,时,取得最小值时,取得最大值nxmx 如:y=2x-6(

47、2x5)当 x=5 时取得最大值 4,当 x=2 时取得最小值-2.2 当 k0 时,时,取得最小值时,取得最大值mxnx 如:y=-2x-6(2x5)当 x=2 时取得最大值-10,当 x=5 时取得最小值-16.二、最优化问题的解法 在商品经济领域,人们要考虑降低生产成本和追求最大利润,有时需要考虑合理调配人力和物力来达到这一目的,下面就如何减少运费和分配劳动力来达到最优化的两个问题来领会一次函数的作用。例 1、A市和 B市分别库存机器 12 台和 6 台,现在决定支援给 C市 10 台,B市 8 台。已知从 A市调走一台机器到 C市、D市的运费分别为 400 元和 800 元,从 B市调

48、走一台机器到 C市、D市的运费分别为 300 元和 500 元。指出总运费最低的调运方案,最低运费是多少?分析与解:不妨设从 A市调走 x 台机器到 C市(见下面的两张表)表1调运机器台数 收地 C市 收地 D市 总计 运地 A市 x 12-x 12 台 运地 B市 10-x x106或x128 6 台 总计 10 台 8 台 18 台 表2运费 收地 C市 收地 D市 运地 A市 400 x 元 800(12-x)元 运地 B市 300(10-x)元 500(x-4)元 由上表可以看出:总运费 y=400 x+800(12-x)+300(10-x)+500(x-4)一条直线以及它的性质会画一

49、次函数的图像会应用一次函数的性质解决实际问题能够用图像法解二元一次方程组通过学习进一步体会数形结合的数学思想方法以及数学建模的思想二重点难点能够熟练地用描点法两点法画出一次函数理解以及应用一次函数解决问题三知识要点一次函数与正比例函数的图像一般地一次函数的图像是过的一条直线特殊的正比例函数的图像是过的一条直线直线是由直线向上或向下平移单位得到的或者说直线是由直线向右或向左平移如下表的符号图像所通过的象一二一三一二二三限三四四四一次函数图像上任意一点的坐标与二元一次方程解的关系一次函数图像上任意一点的坐标都是二元一次方程的一个解以二元一次方程的解坐标的点都在一次函数图像上数形化简得:y=-200

50、 x+9700 要想运输方案能够实施,调运机器台数必须为非负数 所以:04-x0 x-100 x-120 x 解得:4x10.所以,当 x=10 时,总运费 y 取得最小值,最低运费为 7700 元。答:总运费最低的调运方案是:从 A市调运 10 台机器到 C市,从 A市调运 2 台机器到 D市,从 B市调运 0 台机器到 C市,从 B市调运 6 台机器到 D市,最低运费是 7700 元。例 2、某水产品养殖加工厂有 200 名工人,每名工人每天平均捕捞水产品 50 千克,或将当日所捕捞的水产品 40 千克进行精加工。已知每千克水产品直接出售可获利润 6 元,精加工后再出售,可获利润 18 元

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