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1、第七讲 复习直线和圆的方程本讲进度 一 直线和圆的方程复习 二、本讲主要内容 1、直线方程的五种表现形式，如何求直线方程；二元一次不等式的几何意义及运用。2、圆的方程三种形式，如何求圆的方程。3、直线和圆位置关系的研究。三、复习指导 1、曲线和方程是中学数学的两种常见研究对象。借助于平面直角坐标系，形和数可 以得到高度的统一，它们最基本的对应关系是点和有序数对的一一对应。当点运动形成轨迹时，对应坐标便会满足一个方程。当曲线 C和方程 F(x，y)=0 满足如下关系时：曲线 C上点的坐标都是方程 F(x，y)=0 的解；以方程 F(x，y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C上，则称曲线 C为方程
2、F(x，y)=0 表示的曲线；方程 F(x，y)=0 是曲线 C表示的方程。从集合角度看，点集（曲线）与方程解集相等。解析几何研究的内容就是给定曲线 C，如何求出它所对应的方程，并根据方程的理论研究曲线的几何性质。其特征是以数解形。坐标法是几何问题代数化的重要方法。2、直线的倾斜角和斜率 k 是描述直线位置的重要参数，它们之间关系是正切函数关系：k=tan，0，),2()2，当=2时，直线斜率不存在，否则由求出唯一的 k 与之对应。当已知 k，求倾斜角时：k0 时，=arctank；k0或 Ax0+By0+C0（或0。圆方程常见形式：（1）标准式：(x-a)2+(y-b)2=R2（R0），其中
3、（a，b）为圆心，R为半径；（2）一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0；（3）参数式：(x-a)2+(y-b)2=R2（R0）的参数式为：x=a+Rcos，y=b+Rsin，其中为参数，表示旋转角，参数式常用来表示圆周上的点。求圆方程的原理与求直线方程完全类似。直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识，而不采用方程组理论（法）。6、对称是平面几何的基本变换。在掌握点关于点及直线对称的基础上，理解曲线与曲线之间的中心对称及轴对称。善于利用对称的知识解题。7、本章主要思想方法：数形结合，分类讨论，函数与方程，等价变换等。四、典型例题 例 1、已知定点 P（6，4）与定直线1：y=4x
4、，过 P点的直线与1交于第一象限 Q点，与 x 轴正半轴交于点 M，求使OQM 面积最小的直线方程。解题思路分析：直线是过点 P的旋转直线，因此是选其斜率 k 作为参数，还是选择点 Q（还是 M）作为参数是本题关键。通过比较可以发现，选 k 作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。设 Q（x0，4x0），M（m，0）Q，P，M共线 kPQ=kPM m64x6x4400 解之得：1xx5m00 x00，m0 x0-10 方程二元一次不等式的几何意义及运用圆的方程三种形式如何求圆的方程直线和圆位置关系的研究三复习指导曲线和方程是中学数学的两种常见研究对象借助于平面直角坐标系形和数可以得到高度的统一它
5、们最基本的对应关系是点坐标都是方程的解以方程的解为坐标的点都在曲线上则称曲线为方程表示的曲线方程是曲线表示的方程从集合角度看点集曲线与方程解集相等解析几何研究的内容就是给定曲线如何求出它所对应的方程并根据方程的理论研究曲线的之间关系是正切函数关系当时直线斜率不存在否则由求出唯一的与之对应当已知求倾斜角时时时或时时由正切函数可知当递增时斜率当递减时斜率当涉及到斜率参数时通常对是否存在分类讨论直线是平面几何的基本图形它与方程中 1xx10mx2x4|OM|21S02000OMQ 令 x0-1=t，则 t0 )2t1t(10t)1t(10S240 当且仅当 t=1，x0=11 时，等号成立 此时 Q
6、（11，44），直线：x+y-10=0 评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数 SOQM的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率 k，截距 b，角度，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。例 2、已知ABC中，A（2，-1），B（4，3），C（3，-2），求：（1）BC边上的高所在直线方程；（2）AB边中垂线方程；（3）A平分线所在直线方程。解题思路分析：（1）kBC=5 BC 边上的高 AD所在直线斜率 k=51 AD所在直线方程 y+1=51(x-2)即 x+5y+3=0 （2）AB 中点为（3，1），kAB=2 AB 中垂线方程为 x+2y
7、-5=0 （3）设A平分线为 AE，斜率为 k，则直线 AC到 AE的角等于 AE到 AB的角。kAC=-1，kAB=2 k21k2k11k k2+6k-1=0 k=-3-10（舍），k=-3+10 AE 所在直线方程为(10-3)x-y-210+5=0 评注：在求角 A平分线时，必须结合图形对斜率 k 进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求 AE所在直线方程，设 P(x，y)为直线 AE上任一点，则 P到 AB、AC距离相等，得2|1yx|5|5yx2|，化简即可。还可注意到，AB与 AC关于 AE对称。例 3、（1）求经过点 A（5，2），B（3，2
8、），圆心在直线 2x-y-3=0 上圆方程；（2）设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0 的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0 相交的弦长为22，求圆方程。解题思路分析：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量。总之，要数形结合，拓宽解题思路。（1）法一：从数的角度 若选用标准式：设圆心 P（x，y），则由|PA|=|PB|得：(x0-5)2+(y0-2)2=(x0-3)2+(y0-2)2 又 2x0-y0-3=0 两方程联立得：5y4x00，|PA|=10 方程二元一次不等式的几何意义及运用圆的方程三种形式如何求圆的方程直线和
9、圆位置关系的研究三复习指导曲线和方程是中学数学的两种常见研究对象借助于平面直角坐标系形和数可以得到高度的统一它们最基本的对应关系是点坐标都是方程的解以方程的解为坐标的点都在曲线上则称曲线为方程表示的曲线方程是曲线表示的方程从集合角度看点集曲线与方程解集相等解析几何研究的内容就是给定曲线如何求出它所对应的方程并根据方程的理论研究曲线的之间关系是正切函数关系当时直线斜率不存在否则由求出唯一的与之对应当已知求倾斜角时时时或时时由正切函数可知当递增时斜率当递减时斜率当涉及到斜率参数时通常对是否存在分类讨论直线是平面几何的基本图形它与方程中 圆标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10 若选用一般式：设
10、圆方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心（2E,2D）03)2E()2D(20FE2D3230FE2D5252222 解之得：31F10E8D 法二：从形的角度 AB为圆的弦，由平几知识知，圆心 P应在 AB中垂线 x=4 上，则由4x03yx2得圆心 P（4，5）半径 r=|PA|=10 显然，充分利用平几知识明显降低了计算量（2）设 A关于直线 x+2y=0 的对称点为 A 由已知 AA 为圆的弦 AA对称轴 x+2y=0 过圆心 设圆心 P（-2a，a），半径为 R 则 R=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2 又弦长22dR222，2|1aa2|d 2)1a3(2R22 4(
11、a+1)2+(a-3)2=2+2)1a3(2 a=-7 或 a=-3 当 a=-7 时，R=52；当 a=-3时，R=244 所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52 或(x-14)2+(y+7)2=244 例 4、已知方程 x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆，（1）求实数 m取值范围；（2）求圆半径 r 取值范围；（3）求圆心轨迹方程。解题思路分析：（1）m满足-2(m+3)2+2(1-4m2)2-4(16m4+9)0，即 7m2-6m-10 1m71（3）半径 r=716)73m(71m6m722 1m71 73m 时，774rmax 方程二元一
12、次不等式的几何意义及运用圆的方程三种形式如何求圆的方程直线和圆位置关系的研究三复习指导曲线和方程是中学数学的两种常见研究对象借助于平面直角坐标系形和数可以得到高度的统一它们最基本的对应关系是点坐标都是方程的解以方程的解为坐标的点都在曲线上则称曲线为方程表示的曲线方程是曲线表示的方程从集合角度看点集曲线与方程解集相等解析几何研究的内容就是给定曲线如何求出它所对应的方程并根据方程的理论研究曲线的之间关系是正切函数关系当时直线斜率不存在否则由求出唯一的与之对应当已知求倾斜角时时时或时时由正切函数可知当递增时斜率当递减时斜率当涉及到斜率参数时通常对是否存在分类讨论直线是平面几何的基本图形它与方程中 0
13、r 774 （3）设圆心 P（x，y），则1m4y3mx2 消去 m得：y=4(x-3)2-1 又1m71 4x720 所求轨迹方程为(x-3)2=41(y+1)（4x720）例 5、如图，过圆 O：x2+y2=4 与 y 轴正半轴交点 A作此圆的切线，M为上任一点，过 M作圆 O的另一条切线，切点为 Q，求MAQ 垂心 P的轨迹方程。解题思路分析：从寻找点 P满足的几何条件着手，着眼于平几知识的运用。连 OQ，则由 OQ MQ，AP MQ得 OQ AP 同理，OA PQ 又 OA=OQ OAPQ为菱形|PA|=|OA|=2 设 P(x，y)，Q(x0，y0)，则2yyxx00 又 x02+y
14、02=4 x2+(y-2)2=4（x0）评注：一般说来，当涉及到圆的切线时，总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系；涉及到圆的弦时，常取弦的中点，考虑圆心、弦的中点、弦的端点组成的直角三角形。方程二元一次不等式的几何意义及运用圆的方程三种形式如何求圆的方程直线和圆位置关系的研究三复习指导曲线和方程是中学数学的两种常见研究对象借助于平面直角坐标系形和数可以得到高度的统一它们最基本的对应关系是点坐标都是方程的解以方程的解为坐标的点都在曲线上则称曲线为方程表示的曲线方程是曲线表示的方程从集合角度看点集曲线与方程解集相等解析几何研究的内容就是给定曲线如何求出它所对应的方程并根据方程的理论研究曲线的之间关系是
15、正切函数关系当时直线斜率不存在否则由求出唯一的与之对应当已知求倾斜角时时时或时时由正切函数可知当递增时斜率当递减时斜率当涉及到斜率参数时通常对是否存在分类讨论直线是平面几何的基本图形它与方程中直线与圆部分同步练习（一）选择题 1、若直线(m2-1)x-y+1-2m=0不过第一象限，则实数 m取值范围是 A、-1m 21 B、21m 1 C、21m1 D、21m 1 2、已知直线 2x+y-2=0 和 mx-y+1=0的夹角为4，则 m值为 A、31或-3 B、-3或31 C、-3或 3 D、31或 3 3、点 P在直线 x+y-4=0 上，O为原点，则|OP|的最小值是 A、2 B、6 C、2
16、2 D、10 4、过点 A（1，4），且横纵截距的绝对值相等的直线共有 A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条 5、圆 x2+y2-4x+2y+C=0与 y 轴交于 A、B两点，圆心为 P，若APB=900，则 C的值是 A、-3 B、3 C、22 D、8 6、若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线 4x-3y-2=0 距离等于 1，则半径 r 取值范围是 A、（4，6）B、4，6）C、（4，6 D、4，6 7、将直线 x+y-1=0 绕点（1，0）顺时针旋转2后，再向上平移一个单位，此时恰与圆 x2+(y-1)2=R2相切，则正数R等于 A、21 B、22 C、1
17、 D、2 8、方程 x2+y2+2ax-2ay=0 所表示的圆 A、关于 x 轴对称 B、关于 y 轴对称 C、关于直线 x-y=0 对称 D、关于直线 x+y=0 对称（二）填空题 9、直线 ax+by+c=0 与直线 dx+ey+c=0 的交点为（3，-2），则过点（a，b），（d，e）的直线方程是_。10、已知(x，y)|(m+3)x+y=3m-4(x，y)|7x+(5-m)y-8=0=，则直线(m+3)x+y=3m+4与坐标轴围成的三角形面积是_。11、已知 x，y 满足010y5x206y3x5015y8x3，则 x-y 的最大值为_，最小值为_。12、过点 A（2，1），且在坐标轴
18、截距相等的直线方程是_。13、已知圆：(x-1)2+y2=1，作弦 OA，则 OA中点的轨迹方程是_。（三）解答题 14、已知 y=2x 是ABC中C平分线所在直线方程，A（-4，2），B（3，1），求点 C坐标，并判断ABC形状。15、已知 n 条直线：x-y+ci=0（i=1，2，n），其中 C1=2，C1C2C32，b2，（1）求证：(a-2)(b-2)=2；（2）求线段 AB中点的轨迹方程；（3）求AOB面积的最小值。17、已知两圆 x2+y2=4 和 x2+(y-8)2=4，（1）若两圆分别在直线 y=25x+b 两侧，求 b 取值范围；（2）求过点 A（0，5）且和两圆都没有公共点
19、的直线的斜率 k 的范围。18、当 0a1，y1)（3）322 17、（1）画图 3b5 （2）k（25,25）18、21 方程二元一次不等式的几何意义及运用圆的方程三种形式如何求圆的方程直线和圆位置关系的研究三复习指导曲线和方程是中学数学的两种常见研究对象借助于平面直角坐标系形和数可以得到高度的统一它们最基本的对应关系是点坐标都是方程的解以方程的解为坐标的点都在曲线上则称曲线为方程表示的曲线方程是曲线表示的方程从集合角度看点集曲线与方程解集相等解析几何研究的内容就是给定曲线如何求出它所对应的方程并根据方程的理论研究曲线的之间关系是正切函数关系当时直线斜率不存在否则由求出唯一的与之对应当已知求倾斜角时时时或时时由正切函数可知当递增时斜率当递减时斜率当涉及到斜率参数时通常对是否存在分类讨论直线是平面几何的基本图形它与方程中