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1、函数和不等式结的恒成立问题的解法“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用恒成立问题的基本类型：一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2Rxacbxaxxf,有 1）0)(xf对Rx恒成立00a;2）0)(xf对Rx恒成立.00a 例 1：若不等式02)1()
2、1(2xmxm的解集是 R，求 m的范围。例 2 设函数 f(x)mx2-mx-1(1)若对于一切实数 x，f(x)0 恒成立，求 m的取值范围；(2)对于 x1,3，f(x)m 5 恒成立，求 m的取值范围 二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）axf)(恒成立min)(xfa 2）axf)(恒成立max)(xfa 例 1、若 2,2x时，不等式23xaxa 恒成立，求a的取值范围。例 2设22)(2mxxxf，当),1x时，mxf)(恒成立，求实数m的取值范围。巩固已知函数),1,2)(2xxaxxxf，若对任意),1 x，0)(xf恒成立，求
3、实数a的取值范围。练习 2 已知aaxxxf3)(2，若2)(,2,2xfx恒成立，求a的取值范围.三、分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为222100,1 xmxmxxm练习1：若不等式对满足的所有实数都成立，求的取值范围。盖知识点多综合性强解法灵活等特点而倍受高考竞赛命题者的青睐另一方面在解决这类问题的过程中涉及的函数与方程化归与转化数形结合分类讨论等数学思想对锻炼学生的综合解题能力培养其思维的灵活性创造性都有着独到的作函数有对恒成立对恒成立例若不等式的解集是求的范围例设函数若对于一切实数恒成立求的取值范围对于恒成立求的取值范围二最值法将不等
4、式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法其一般类型有恒成立恒成立例若时不若不等式的所有实数都成立求的取值范围对满足练习已知若恒成立求的取值范围三分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端从而问题转化为求主元函数的最值进而求出参数范围这种方法本质也还是求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）为参数）aagxf)()(恒成立max)()(xfag 2）为参数）aagxf)()(恒成立max)()(xfag 例 3已知,1x时，不等式 21240 xxaa 恒成立，求a的取值范围。巩固 已知函数 4,0(,
5、4)(2xxxaxxf时0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。四、变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例 1对任意 1,1a，不等式024)4(2axax恒成立，求x的取值范围。2.若不等式 2211xm x 对满足2m 的所有m都成立，求x的取值范围。盖知识点多综合性强解法灵活等特点而倍受高考竞赛命题者的青睐另一方面在解决这类问题的过程中涉及的函数与方程化归与转化数形结合分类讨论等数学思想对锻炼学生的综合解题能力培养其思维的灵活性创造性都有着独到的作函数有
6、对恒成立对恒成立例若不等式的解集是求的范围例设函数若对于一切实数恒成立求的取值范围对于恒成立求的取值范围二最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法其一般类型有恒成立恒成立例若时不若不等式的所有实数都成立求的取值范围对满足练习已知若恒成立求的取值范围三分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端从而问题转化为求主元函数的最值进而求出参数范围这种方法本质也还是 四、数形结合法 数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1）)()(x
7、gxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象上方；2）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象下上方。例.设xxxf4)(2,axxg134)(,若恒有)()(xgxf成立,求实数a的取值范围.例 2 已知函数|54|)(2xxxf，若在区间 5,1上，kkxy3的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围.练习 已知函数|54|)(2xxxf，若在区间 5,1上，2)3(xky的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围 由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。综合练习;盖知识点多综合性强解法灵活等特
8、点而倍受高考竞赛命题者的青睐另一方面在解决这类问题的过程中涉及的函数与方程化归与转化数形结合分类讨论等数学思想对锻炼学生的综合解题能力培养其思维的灵活性创造性都有着独到的作函数有对恒成立对恒成立例若不等式的解集是求的范围例设函数若对于一切实数恒成立求的取值范围对于恒成立求的取值范围二最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法其一般类型有恒成立恒成立例若时不若不等式的所有实数都成立求的取值范围对满足练习已知若恒成立求的取值范围三分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端从而问题转化为求主元函数的最值进而求出参数范围这种方法本质也还是例 6 已知f(x)是定
9、义在-1,1上的奇函数,且f(1)=1,若0)()(0,1,1,nmnfmfnmnm时，若12)(2attxf对 于 所 有 的 1,1,1,1ax恒成立，求实数t的取值范围.课后作业:若不等式|1|2|xxa 对任意xR 恒成立，则a的取值范围是 已知函数 f(x)=1/a-1/x(a0,x0)(1)若 f(x)在m,n 上的值域是m,n,求 a 的取值范围,并求相应的 m,n 的值 (2)若 f(x)2x在(0,+无穷大)上恒成立,求 a 的取值范围 盖知识点多综合性强解法灵活等特点而倍受高考竞赛命题者的青睐另一方面在解决这类问题的过程中涉及的函数与方程化归与转化数形结合分类讨论等数学思想对锻炼学生的综合解题能力培养其思维的灵活性创造性都有着独到的作函数有对恒成立对恒成立例若不等式的解集是求的范围例设函数若对于一切实数恒成立求的取值范围对于恒成立求的取值范围二最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法其一般类型有恒成立恒成立例若时不若不等式的所有实数都成立求的取值范围对满足练习已知若恒成立求的取值范围三分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端从而问题转化为求主元函数的最值进而求出参数范围这种方法本质也还是