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1、学习必备 欢迎下载 圆锥曲线与平面向量交汇问题热点透视 由于平面向量具有代数（坐标）表示和几何（有向线段）表示的特点，这就使其成为表述圆锥曲线问题的重要载体。圆锥曲线与平面向量的交汇问题是近几年各省市新课程高考考查的热点之一，这类问题往往与向量、函数、方程、不等式、数列等知识相融合，具有知识点多、覆盖面广、综合性强的特点，能有效考查学生的思维水平和综合能力。下面结合近几年的部分高考题，介绍高考对这类问题考查的六大热点，供复习参考。热点 1求圆锥曲线的方程 例 1 如图 1，A,B,C 是长轴为 4 的椭圆上的三点，点 A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆的中心，ACBC，|BC|=2|AC|，求
2、椭圆的方程。思路：建系，设点 C 的坐标，将向量间的关系（垂直关系、长度关系）转化为代数表达式，从而确定椭圆的方程。解：建立如图所示的直角坐标系，则 A(2,0)，椭圆方程为14222byx。设点 C 的坐标 为(m,n)，则点 B 的坐标为(m,n).ACBC，AC.BC=0，即(m2,n)(2m,2n)=0，图 1 m22m+n2=0 (*)|BC|=2|AC|，|CO|=|AC|，即1,)2(2222mnmnm 将 m=1 代入(*)得，n=1，C(1,1).将 x=1，y=1 代入椭圆方程得，34114122bb，.故椭圆方程为143422yx 例 2 已知OFQ 的面积 S=26,且
3、mFQOF。设以 O 为中心，F 为焦点的双曲线经过 Q，2)146(,|cmcOF，当|OQ取得最小值时，求此双曲线方程。x y A C B O 学习必备 欢迎下载 思路：设点 Q 的坐标，将向量的数量积、长度转化为代数表达式，再求目标函数的最小值，从而确定双曲线的方程。解：设双曲线方程为12222byax，Q（x0,y0）。),(00ycxFQ，SOFQ=62|210yOF，cy640。),)(0,(00ycxcFQOF=c(x0c)=cxc46)146(02。,329683222020ccyxOQ 当且仅当)6,6()6,6(,|,4,968322或此时最小时即QOQccc，所以1124
4、.1241616622222222yxbababa故所求的双曲线方程为。类型 2求待定字母的值 例 3 设双曲线 C：)0(1222ayax与直线 L：x+y=1 相交于两个不同的点A、B，直线 L 与 y 轴交于点 P，且 PA=PB125，求a的值 思路：设 A、B 两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求 a 的值。解：设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,1)PA=),1,(125)1,(,1252211yxyxPB x1=2125x.联立，11222yaxyx消去 y 并整理得，(1a2)x2+2a2x2a2=0(*)特点这就使其成为表述圆锥
5、曲线问题的重要载体圆锥曲线与平面向量的交汇问题是近几年各省市新课程高考考查的热点之一这类问题往往与向量函数方程不等式数列等知识相融合具有知识点多覆盖面广综合性强的特点能有效考查学锥曲线的方程例如图是长轴为的椭圆上的三点点是长轴的一个端点过椭圆的中心求椭圆的方程思路建系设点的坐标将向量间的关系直关系长度关系转化为代数表达式从而确定椭圆的方程解建立如图所示的直角坐标系则椭圆方程为设曲线经过当取得最小值时求此双曲线方程学习必备欢迎下载思路设点的坐标将向量的数量积长度转化为代数表达式再求目标函数的最小值从而确定双曲线的方程解设双曲线方程为当且仅当时即或此时最小所以故所求的双曲线方程为学习必备 欢迎下载
6、 A、B 是不同的两点，0)1(84012242aaaa 0a2且 a1.于是 x1+x2=2212aa 且 x1 x2=2212aa，即222222212125,121217aaxaax且，消去 x2得，2212aa=60289，a=1317，0a2且 a1，a=1317。类型 3求动点的轨迹 例 4 如图 2，动直线1kxy与 y 轴交于点A，与抛物32xy交于不同的两点 B 和 C,且满足 BP=PC，AB=AC，其中.R。求POA 的重心 Q 的轨迹。思路：将向量表达式转化为坐标表达式，消去参数获得重心 Q 的轨迹方程，再运用判别式确定实数 k 的取值范围，从而确定轨迹的形状。解：由3
7、12xykxy得，k2x2+(2k1)x+4=0.由00k.06121kk且 设 P(x,y)，B(x1，y1)，C(x2,y2)，（图 2）则 x1+x2=221kk,x1.x2=24k.由PCBP),(11yyxx=),(22yyxx 1xx=)(2xx 由)1,()1,(2211yxyxACAB1x=2x。.2182021212211kxxxxxxxxxxx .211612181kkkkxky 消去 k 得，x 2 y 6=0 (*)A B C O P x y 特点这就使其成为表述圆锥曲线问题的重要载体圆锥曲线与平面向量的交汇问题是近几年各省市新课程高考考查的热点之一这类问题往往与向量函
8、数方程不等式数列等知识相融合具有知识点多覆盖面广综合性强的特点能有效考查学锥曲线的方程例如图是长轴为的椭圆上的三点点是长轴的一个端点过椭圆的中心求椭圆的方程思路建系设点的坐标将向量间的关系直关系长度关系转化为代数表达式从而确定椭圆的方程解建立如图所示的直角坐标系则椭圆方程为设曲线经过当取得最小值时求此双曲线方程学习必备欢迎下载思路设点的坐标将向量的数量积长度转化为代数表达式再求目标函数的最小值从而确定双曲线的方程解设双曲线方程为当且仅当时即或此时最小所以故所求的双曲线方程为学习必备 欢迎下载 设重心 Q(x,y)，则133313yyxxyyxx，代入(*)式得，3x6y4=0。因为384348
9、12406121xxxxkk且且且 故点 Q 的轨迹方程是 3x6y4=0（38434xx且），其轨迹是直线 3x6y4=0 上且不包括点)32,38(),34,4(),0,34(CBA的线段AB。类型 4证明定值问题 例 5 已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点，OBOA 与)1,3(a共线。设 M 为椭圆上任意一点，且OBOAOM，其中.,R证明：22为定值。思路：设 A、B、M 三点的坐标，将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系，再利用方程组、韦达定理、点在椭圆上满足方程等证明定值。解：设椭圆方程为).0,(),
10、0(12222cFbabyax 则直线 AB 的方程为.cxy代入椭圆方程中，化简得，.02)(22222222bacacxaxba 设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，则.,22222222122221babacaxxbacaxx 由 OBOA 与)1,3(a共线，),(2121yyxxOBOA得，0)()(32121xxyy。又,2211cxycxy.3,232,23,0)()2(322222212121bacbacacxxxxcxx即 而,222bac于 是222221,23cbca。因此椭圆方程为.33,132222222byxbybx即 特点这就使其成为表述圆锥曲线问题的重要载体
11、圆锥曲线与平面向量的交汇问题是近几年各省市新课程高考考查的热点之一这类问题往往与向量函数方程不等式数列等知识相融合具有知识点多覆盖面广综合性强的特点能有效考查学锥曲线的方程例如图是长轴为的椭圆上的三点点是长轴的一个端点过椭圆的中心求椭圆的方程思路建系设点的坐标将向量间的关系直关系长度关系转化为代数表达式从而确定椭圆的方程解建立如图所示的直角坐标系则椭圆方程为设曲线经过当取得最小值时求此双曲线方程学习必备欢迎下载思路设点的坐标将向量的数量积长度转化为代数表达式再求目标函数的最小值从而确定双曲线的方程解设双曲线方程为当且仅当时即或此时最小所以故所求的双曲线方程为学习必备 欢迎下载 设 M(x,y)
12、,由OBOAOM得，),(),(),(2211yxyxyx，.2121yyyxxx且 因 M 为椭圆上一点，所以.3)(3)(2221221byyxx 即2212122222212123)3(2)3()3(byyxxyxyx 又22222121,23,23cbcacxx，.83222222221cbabacaxx 则 22121212121213)(34)(33ccxxxxcxcxxxyyxx .032923222ccc 而,3322121byx,3322222byx 代入得，22=1，22为定值。类型 5探索点、线的存在性 例 6 在ABC 中，已知 B(2,0),C(2,0),AD BC
13、于 D，ABC 的垂心H 分有向线段 AD。所成的比为31设 P(1,0),Q(1,0),那么是否存在点 H，使|1,|1,|1HQPQHP成等差数列，为什么？思路：先将 ACBH 转化为代数关系，由此获得动点 H 的轨迹方程；再将向量的长度关系转化为代数（坐标）关系，通过解代数方程组获解。解：设 H(x,y),由分点坐标公式知)34,(yxA H 为垂心 ACBH，0),2)(34,2(yxyx，整理得，动点H 的轨迹方程为 13422yx)0(y。22)1(|yxHP，2|PQ，22)1(|yxHQ。假设|1,|1,|1HQPQHP成等差数列，则|1|1|2HQHPPQ 特点这就使其成为表
14、述圆锥曲线问题的重要载体圆锥曲线与平面向量的交汇问题是近几年各省市新课程高考考查的热点之一这类问题往往与向量函数方程不等式数列等知识相融合具有知识点多覆盖面广综合性强的特点能有效考查学锥曲线的方程例如图是长轴为的椭圆上的三点点是长轴的一个端点过椭圆的中心求椭圆的方程思路建系设点的坐标将向量间的关系直关系长度关系转化为代数表达式从而确定椭圆的方程解建立如图所示的直角坐标系则椭圆方程为设曲线经过当取得最小值时求此双曲线方程学习必备欢迎下载思路设点的坐标将向量的数量积长度转化为代数表达式再求目标函数的最小值从而确定双曲线的方程解设双曲线方程为当且仅当时即或此时最小所以故所求的双曲线方程为学习必备 欢
15、迎下载 即1)1(1)1(12222yxyx H 在椭圆上 a=2,b=3,c=1，P、Q 是焦点，42 aHQHP，即4)1()1(2222yxyx 由得，2222)1()1(yxyx4)1()1(2222yxyx 联立、可得，2)1()1(2222yxyx，,3,0 yx显然满足 H 点的轨迹方程13422yx，故存在点 H（0，3），使|1,|1,|1HQPQHP成等差数列。类型 6求相关量的取值范围 例 7 给定抛物线 C：xy42，F 是 C 的焦点，过点 F 的直线 l 与 C相交于A、B两点，且9,4,AFFB，求 l 在y轴上截距的变化范围。思路：设 A、B两点的坐标，将向量间
16、的共线关系转化为坐标关系，再求出l 在y轴上的截距，利用函数的单调性求其变化范围。解：设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，由AFFB得，),1(),1(1122yxyx，即 1212)1(1yyxx 由得，.21222yy,4121xy122222,4xxxy。联立、得，2x。而).2,(),2,(,0BB或当直线 l 垂直于x轴时，,1不符合题意。因此直线 l 的方程为)1(2)1(xy或).1(2)1(xy 直线 l 在y轴上的截距为12或.12由121212知，12在特点这就使其成为表述圆锥曲线问题的重要载体圆锥曲线与平面向量的交汇问题是近几年各省市新课程高考考查的热点之一这类问题往
17、往与向量函数方程不等式数列等知识相融合具有知识点多覆盖面广综合性强的特点能有效考查学锥曲线的方程例如图是长轴为的椭圆上的三点点是长轴的一个端点过椭圆的中心求椭圆的方程思路建系设点的坐标将向量间的关系直关系长度关系转化为代数表达式从而确定椭圆的方程解建立如图所示的直角坐标系则椭圆方程为设曲线经过当取得最小值时求此双曲线方程学习必备欢迎下载思路设点的坐标将向量的数量积长度转化为代数表达式再求目标函数的最小值从而确定双曲线的方程解设双曲线方程为当且仅当时即或此时最小所以故所求的双曲线方程为学习必备 欢迎下载 9,4上递减的，所以,341243.431234 于是直线 l 在y轴上截距的变化范围是.3
18、4,4343,34 由上可见，解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是：设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、乘、数乘向量）或运算律或数量积的意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行、和差、数量积等）转化为代数关系。当然，在解题过程中还要涉及到圆锥曲线问题中一些常见方法，如解方程组、解不等式（组）、消元、利用根的判别式求字母的取值范围、利用韦达定理建构方程等等。这种问题有一定的难度，必须加强训练才能逐渐把握。特点这就使其成为表述圆锥曲线问题的重要载体圆锥曲线与平面向量的交汇问题是近几年各省市新课程高考考查的热点之一这类问题往往与向量函数方程不等式数列等知识相融合具有知识点多覆盖面广综合性强的特点能有效考查学锥曲线的方程例如图是长轴为的椭圆上的三点点是长轴的一个端点过椭圆的中心求椭圆的方程思路建系设点的坐标将向量间的关系直关系长度关系转化为代数表达式从而确定椭圆的方程解建立如图所示的直角坐标系则椭圆方程为设曲线经过当取得最小值时求此双曲线方程学习必备欢迎下载思路设点的坐标将向量的数量积长度转化为代数表达式再求目标函数的最小值从而确定双曲线的方程解设双曲线方程为当且仅当时即或此时最小所以故所求的双曲线方程为