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1、学习好资料 欢迎下载 全国高中数学联赛 金牌教练员讲座 兰州一中数学组 第十二讲：联赛训练之直线 圆 圆锥曲线 平面向量 一,基础知识导引,直线与圆 1,两点间的距离公式:设111222(,),(,)P x yP xy,则22121212()()PPxxyy;2,线段的定比分点坐标公式:设111222(,),(,)P x yP xy,点(,)P x y分12PP的比为,则 121xxx,121yyy(1)3,直线方程的各种形式(1),点斜式:00()yyk xx;(2),斜截式:ykxb;(3),两点式:112121yyxxyyxx(4),截距式:1(,0)xya bab;(5),一般式:0(
2、,AxByCA B 不同为零);(6)参数方程:00cos(sinxxttyyt 为参数,为倾斜角,t表示点(,)x y与00(,)xy之间的距离)4,两直线的位置关系 设11112222:0,:0lAxB yClA xB yC(或111222:,:lyk xb lyk xb).则(1),121221/0llABA B且12210ACAC(或12kk且12bb);(2),1212120llAAB B(或121k k ).5,两直线的到角公式与夹角公式:(1),到角公式:1l到2l的到角为,则2112tan1kkk k,(000180);(2),夹角公式:1l与2l的夹角为,则2112tan1k
3、kkk,(00090).6,点000(,)P xy到直线:0l AxByC 的距离:0022AxByCdAB.7,圆的方程(1),标准方程:222()()xaybR,其中(,)a b为圆心坐标,R 为圆半径;学习好资料 欢迎下载(2),一般方程:220 xyDxEyF,其中2240DEF,圆心为(,)22DE,半径为22142DEF.(3),参数方程:cossinxaRybR ,其中圆心为(,)a b,半径为 R.,圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 定义 与两个定点的距离的 和等于常数 与两个定点的距离的 差的绝对值等于常数 与一个定点和一条定 直线的距离相等 标准方程 22221xyab(或2
4、2221xyba),22221xyab(或22221yxab)22ypx(或22xpy)参数方程 cossinxayb(或sincosxbya)sectanxayb(或tansecxbya)222xptypt (或222xptypt)焦点(,0)c或(0,)c(,0)c或(0,)c(,0)2p或(0,)2p 正数 a,b,c,p 的关系 222cab(0ab)222cab(0,0ab)离心率 1cea 1cea 1e 准线 2axc(或2ayc)2axc(或2ayc)2px (或2py )渐近线 byxa(或bxya)焦半径 10PFaex 20PFaex (或10PFaey 10PFexa
5、20PFexa (10PFeya,02pPFx(或02pPFy)向量一基础知识导引一直线与圆两点间的距离公式设则线段的定比分点坐标公式设点分的比为则直线方程的各种形式点斜式斜截式两点式截距式一般式不同为零参数方程为参数为倾斜角表示点与之间的距离两直线的位置关系设或则准方程其中为圆心坐标为圆半径学习好资料欢迎下载一般方程其中圆心为半径为参数方程其中圆心为半径为二圆锥曲线椭圆定义与两个定点的距离的和等于常数双曲线与两个定点的距离的差的绝对值等于常数抛物线与一个定点和一或学习好资料欢迎下载点在左或下支统一定义到定点的距离与到定直线的距离之比等于定值二解题思想与方法导引函数与方程思想数形结合思想分类讨
6、论思想参数法整体处理三习题导引一选择题的点的集合注焦点要与对应准线配对学习好资料 欢迎下载 20PFaey)20PFeya),(点P在左或下支)统一定义 到定点的距离与到定 直线的距离之比等于定值 的点的集合,(注:焦点要与对应 准线配对使用)二,解题思想与方法导引.1,函数与方程思想 2,数形结合思想.3,分类讨论思想.4,参数法.5,整体处理 三,习题导引,选择题 1,在平面直角坐标系中,方程1(,22xyxya bab为相异正数),所表示的曲线是 A,三角形 B,正方形 C,非正方形的长方形 D,非正方形的菱形 2,平面上整点(坐标为整数的点)到直线5435yx的距离中的最小值是 A,3
7、4170 B,3485 C,120 D,130 3,过抛物线28(2)yx的焦点 F 作倾斜角为060的直线,若此直线与抛物线交于 A,B 两点,弦 AB 的中垂线与x轴交于 P 点,则线段 PF 的长等于 A,163 B,83 C,1633 D,8 3 4,若椭圆2213620 xy上一点 P 到左焦点的距离等于它到右焦点距离的 2 倍,则 P 点坐标为 A,(3,15)B,(3,15)C,(3,15)D,(3,15)5,过椭圆22221xyab(0)ab 中心的弦 AB,(,0)F c是右焦点,则AFB的最大面积为 A,bc B,ab C,ac D,2b 6,已知 P 为双曲线22221x
8、yab上的任意一点,12,F F为焦点,若12F PF,则12F PFS A,2cot2b B,1sin2ab C,22tan2ba D,22()sinab,填空题 7,给定点(2,3),(3,2)PQ,已知直线20axy 与线段 PQ(包括 P,Q 在内)有公共点,则a的取值范围是 .8,过定点(,0)F a(0)a 作直线l交y轴于 Q 点,过 Q 点作QTFQ交x轴于 T 点,向量一基础知识导引一直线与圆两点间的距离公式设则线段的定比分点坐标公式设点分的比为则直线方程的各种形式点斜式斜截式两点式截距式一般式不同为零参数方程为参数为倾斜角表示点与之间的距离两直线的位置关系设或则准方程其中为
9、圆心坐标为圆半径学习好资料欢迎下载一般方程其中圆心为半径为参数方程其中圆心为半径为二圆锥曲线椭圆定义与两个定点的距离的和等于常数双曲线与两个定点的距离的差的绝对值等于常数抛物线与一个定点和一或学习好资料欢迎下载点在左或下支统一定义到定点的距离与到定直线的距离之比等于定值二解题思想与方法导引函数与方程思想数形结合思想分类讨论思想参数法整体处理三习题导引一选择题的点的集合注焦点要与对应准线配对学习好资料 欢迎下载 延长 TQ 至 P 点,使QPTQ,则 P 点的轨迹方程是 .9,已知椭圆22221(0)xyabab 与直线1xy 交于 M,N 两点,且OMON,(O为 原点),当椭圆的离心率32,
10、32e时,椭圆长轴长的取值范围是 .10,已知12,F F是椭圆2211612xy的两个焦点,M 是椭圆上一点,M 到y轴的距离为 MN,且MN是1MF和2MF的等比中项,则MN的值等于 .11,已知点 A 为双曲线221xy的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,ABC是 等边三角形,则ABC的面积等于 .12,若椭圆221xymn(0mn)和双曲线221(0,0)xyabab有相同的焦点1,F 2F,P 为两条曲线的一个交点,则12PF PF的值为 .,解答题 13,设椭圆22126xy有一个内接PAB,射线 OP 与x轴正向成3角,直线 AP,BP 的斜率 适合条件0APBPkk
11、.(1),求证:过 A,B 的直线的斜率k是定值;(2),求PAB面积的最大值.14,已知(AOB为常数且02),动点 P,Q 分别在射线 OA,OB 上使得POQ 的面积恒为 36.设POQ的重心为 G,点 M 在射线 OG 上,且满足32OMOG.(1),求OG的最小值;(2),求动点 M 的轨迹方程.15,过抛物线22ypx(p为不等于 2 的素数)的焦点 F,作与x轴不垂直的直线l交抛物线 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 MN 于 P 点,交x轴于 Q 点.(1),求 PQ 中点 R 的轨迹 L 的方程;(2),证明:L 上有无穷多个整点,但 L 上任意整点到原点的距离均
12、不是整数.四,解题导引 1,D 令yx,得yxa ,令yx 得xyb ,由此可见,曲线必过四个点:(,)a a,向量一基础知识导引一直线与圆两点间的距离公式设则线段的定比分点坐标公式设点分的比为则直线方程的各种形式点斜式斜截式两点式截距式一般式不同为零参数方程为参数为倾斜角表示点与之间的距离两直线的位置关系设或则准方程其中为圆心坐标为圆半径学习好资料欢迎下载一般方程其中圆心为半径为参数方程其中圆心为半径为二圆锥曲线椭圆定义与两个定点的距离的和等于常数双曲线与两个定点的距离的差的绝对值等于常数抛物线与一个定点和一或学习好资料欢迎下载点在左或下支统一定义到定点的距离与到定直线的距离之比等于定值二解
13、题思想与方法导引函数与方程思想数形结合思想分类讨论思想参数法整体处理三习题导引一选择题的点的集合注焦点要与对应准线配对学习好资料 欢迎下载(,)aa,(,)b b,(,)bb,从结构特征看,方程表示的曲线是以这四点为顶点的四边形,易知 它是非正方形的菱形.2,B 00002515125(53)128505 34xyxyd,当00532xy(可取001xy)时,min3485d(其中00(,)xy为平面上任意整点).3,A 此抛物线的焦点与原点重合,得直线 AB 的方程为3yx,因此 A,B 两点的横坐标 满足方程:238160 xx.由此求得弦 AB 中点的横坐标043x,纵坐标043y,进而
14、 求得其中垂线方程为414()333yx,令0y,得 P 点的横坐标416433x ,即 PF=163.4,C 设00(,)P xy,又椭圆的右准线为9x,而122PFPF,且1212PFPF,得24PF,又20293PFex,得03x,代入椭圆方程得015y .5,A (1)当ABx轴时,1(2)2AFBSbcbc;(2)当 AB 与x轴不垂直时,设 AB 的方程为ykx,由22221ykxxyab消去x得2222222k a bybk a.设11(,)A x y,22(,)B xy,则1222kabybk a,2222kabybk a,212222222112()22AFBabkSc yy
15、ckabcbk abk a2221abcbcbak.6,A 由2221212122cosF FPFPFPFPF212()PFPF122 PFPF(1cos),得21221 cosbPFPF,1222121sinsincot21 cos2F PFSPFPFbb.7,4 1,5 2 设线段 PQ 上任意一点00(,)M xy且令(01)PMttPQ,则0(1)23xtt 向量一基础知识导引一直线与圆两点间的距离公式设则线段的定比分点坐标公式设点分的比为则直线方程的各种形式点斜式斜截式两点式截距式一般式不同为零参数方程为参数为倾斜角表示点与之间的距离两直线的位置关系设或则准方程其中为圆心坐标为圆半径
16、学习好资料欢迎下载一般方程其中圆心为半径为参数方程其中圆心为半径为二圆锥曲线椭圆定义与两个定点的距离的和等于常数双曲线与两个定点的距离的差的绝对值等于常数抛物线与一个定点和一或学习好资料欢迎下载点在左或下支统一定义到定点的距离与到定直线的距离之比等于定值二解题思想与方法导引函数与方程思想数形结合思想分类讨论思想参数法整体处理三习题导引一选择题的点的集合注焦点要与对应准线配对学习好资料 欢迎下载=2t,0(1)(3)235yttt ,故(2)(35)20att ,1 25ata,由01t 得1 2015aa,解得4152a .8,24yax 设直线l的方程为()yk xa,则 Q 点坐标为(0,
17、)ka,直线 QT 的方程为 1yxkak,所以 T 点坐标为2(,0)k a,从而P 点坐标为2(,2)k aka,设 P 的坐标为(,)x y,则22xk ayka ,消去k可得 P 点轨迹方程为24yax.9,5,6 由222211xyabxy,可得2222222()20abxa xaa b 由OMON得12120 x xy y,即12122()10 x xxx,将212222axxab,2221222aa bx xab代入得22112ab,即22112ba,因为3232ca,得 2211132ba,得221223ba,有2231(2)22aa,解得526a.10,8 55 延长 NM
18、与椭圆2211612xy的右准线l:8x 相交于 D,设(,)M x y,则 8MDx,因1,282ea,得211(8)22MFMDx,1218(8)2MFMFx,又212MNMFMF,得2645x,故8 55MN.11,3 3 设点 C 在x轴上方,由ABC是等边三角形得直线 AB 的斜率33k,又直线 过(1,0)A 点,故方程为3333yx,代入双曲线方程221xy,得点 B 的坐标为(2,3),同理可得 C 的坐标为(2,3),所以ABC的面积为2(1)33 3.12,ma 不妨设 P 为第一象限的一点,则122PFPFm,122PFPFa,.得 1PFam,2PFma,于是12PFP
19、Fma.向量一基础知识导引一直线与圆两点间的距离公式设则线段的定比分点坐标公式设点分的比为则直线方程的各种形式点斜式斜截式两点式截距式一般式不同为零参数方程为参数为倾斜角表示点与之间的距离两直线的位置关系设或则准方程其中为圆心坐标为圆半径学习好资料欢迎下载一般方程其中圆心为半径为参数方程其中圆心为半径为二圆锥曲线椭圆定义与两个定点的距离的和等于常数双曲线与两个定点的距离的差的绝对值等于常数抛物线与一个定点和一或学习好资料欢迎下载点在左或下支统一定义到定点的距离与到定直线的距离之比等于定值二解题思想与方法导引函数与方程思想数形结合思想分类讨论思想参数法整体处理三习题导引一选择题的点的集合注焦点要
20、与对应准线配对学习好资料 欢迎下载 13,:(1)证明:易知直线 OP 的方程为3yx,将此方程代入2236xy,可求得交点 P(1,3).由题意可设直线 PA,PB 的方程分别为3(1)yk x和3(1)yk x,分别与椭圆方程联立,可求得 A,B 的横坐标分别为222 333Akkxk,Bx 222 333kkk.从而22(2 36)(2 36)3,33ABkkkkyykk3,所以22123334 3BAABBAyykkkxxkk(定值).(2)不妨设直线 AB 的方程为3yxb,与椭圆方程联立,并消去y得262 3xbx+2(6)0b ,有22222()()4()4()4ABABABAB
21、ABABxxyyxxxxx x =2223244()(6)16333bbb 点 P 到战线 AB 的距离3322bbd,所以22214(16)443PABbSb=22(12)12bb2221(12)3122bb,当且仅当2212bb,即6b 时,max()3PABS.14,解(1),以 O 为原点,AOB的平分线为x轴建立直角坐标系,则可设(cos,sin)22P aa(cos,sin)22Q bb.于是OPQ的重心(,)GGG xy的坐标为 11(coscos0)()cos32232Gxabab,11(sinsin0)()sin32232Gyabab 222222212()(cossin)9
22、922GGOGxyabab=2212()cos99abab 21242coscos9992ababab.又已知1sin36,2OPQSab得72sinab,于是2472cos9 sin2OG 向量一基础知识导引一直线与圆两点间的距离公式设则线段的定比分点坐标公式设点分的比为则直线方程的各种形式点斜式斜截式两点式截距式一般式不同为零参数方程为参数为倾斜角表示点与之间的距离两直线的位置关系设或则准方程其中为圆心坐标为圆半径学习好资料欢迎下载一般方程其中圆心为半径为参数方程其中圆心为半径为二圆锥曲线椭圆定义与两个定点的距离的和等于常数双曲线与两个定点的距离的差的绝对值等于常数抛物线与一个定点和一或学
23、习好资料欢迎下载点在左或下支统一定义到定点的距离与到定直线的距离之比等于定值二解题思想与方法导引函数与方程思想数形结合思想分类讨论思想参数法整体处理三习题导引一选择题的点的集合注焦点要与对应准线配对学习好资料 欢迎下载 16cot4 cot22,且当72sinab 时等号成立,故min4 cot2OG.(2),设(,)M x y,则由32OMOG得,31()cos0222Gxxab,32Gyy=1(2a b)sin2,得cossin22xya,cossin22xyb,代入72sinab,并整理得 221(0)36cot36tan22xyx,这就是所求动点 M 的轨迹方程.15,解:(1)抛物线
24、22ypx的焦点为(,0)2p,设l的直线方程为()2pyk x(0)k.由22()2ypxpyk x 得222221(2)04k xpkp xp k,设 M,N 的横坐标分别为12,x x 则21222pkpxxk,得2122222Pxxpkpxk,222()22Ppkpppykkk,而PQl,故 PQ 的斜率为1k,PQ 的方程为2212()2ppkpyxkkk .代入0Qy 得222223222Qpkppkpxpkk.设动点 R 的坐标(,)x y,则 21()21()22PQPQpxxxpkpyyyk,因此222()4(0)pp xpyyk,故 PQ 中点 R 的轨迹 L 的方程为24
25、()(0)yp xpy.(2),显然对任意非零整数t,点2(41),)ptpt都是 L 上的整点,故 L 上有无穷多个整点.反设 L 上有一个整点(x,y)到原点的距离为整数 m,不妨设0,0,0 xym,则 2222()4()()xymiyp xp ii,因为p是奇素数,于是p y,从()ii可推出p x,再由()i可推出 p m,令111,xpx ypy mpm,则有222111211()41()xymiiiyxiv ,向量一基础知识导引一直线与圆两点间的距离公式设则线段的定比分点坐标公式设点分的比为则直线方程的各种形式点斜式斜截式两点式截距式一般式不同为零参数方程为参数为倾斜角表示点与之
26、间的距离两直线的位置关系设或则准方程其中为圆心坐标为圆半径学习好资料欢迎下载一般方程其中圆心为半径为参数方程其中圆心为半径为二圆锥曲线椭圆定义与两个定点的距离的和等于常数双曲线与两个定点的距离的差的绝对值等于常数抛物线与一个定点和一或学习好资料欢迎下载点在左或下支统一定义到定点的距离与到定直线的距离之比等于定值二解题思想与方法导引函数与方程思想数形结合思想分类讨论思想参数法整体处理三习题导引一选择题的点的集合注焦点要与对应准线配对学习好资料 欢迎下载 由()iii,()iv得2211114xxm,于是2211(81)(8)17xm,即 1111(81 8)(81 8)17xmxm ,于是118
27、1 817xm,1181 81xm,得111xm,故10y,有10ypy,但 L 上的点满足0y,矛盾!因此,L 上任意点到原点的距离不为整数.向量一基础知识导引一直线与圆两点间的距离公式设则线段的定比分点坐标公式设点分的比为则直线方程的各种形式点斜式斜截式两点式截距式一般式不同为零参数方程为参数为倾斜角表示点与之间的距离两直线的位置关系设或则准方程其中为圆心坐标为圆半径学习好资料欢迎下载一般方程其中圆心为半径为参数方程其中圆心为半径为二圆锥曲线椭圆定义与两个定点的距离的和等于常数双曲线与两个定点的距离的差的绝对值等于常数抛物线与一个定点和一或学习好资料欢迎下载点在左或下支统一定义到定点的距离与到定直线的距离之比等于定值二解题思想与方法导引函数与方程思想数形结合思想分类讨论思想参数法整体处理三习题导引一选择题的点的集合注焦点要与对应准线配对