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1、学习必备 欢迎下载 含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x项的系数a的符号分类，即0,0,0aaa;例 1 解不等式：0122xaax 分析：本题二次项系数含有参数，044222aaa，故只需对二次项 系数进行分类讨论。解：044222aaa 解得方程 0122xaax两根,24221aaaxaaax24222 当0a时,解集为aaaxaaaxx242242|22或 当0a时，不等式为012x,解集为21|xx 当0a时,解集为aaaxaaax242242|22 例 2 解不等式0
2、0652aaaxax 分析 因为0a，0，所以我们只要讨论二次项系数的正负。解 032)65(2xxaxxa 当0a时，解集为32|xxx或；当0a时，解集为32|xx 二、按判别式的符号分类，即0,0,0；例 3 解不等式042 axx 分析 本题中由于2x的系数大于 0,故只需考虑与根的情况。解：162 a 当 4,4a即0时，解集为R；学习必备 欢迎下载 当4a即0 时，解集为2axRxx且；当4a或4a即0,此时两根分别为21621aax，21622aax，显然21xx,不等式的解集为21621622aaxaaxx或 例 4 解不等式 Rmxxm014122 解 因,012m 2223
3、414)4(mm 所以当3m，即0时，解集为21|xx；当33m，即0时，解集为1321322222mmxmmxx或；当33mm或，即0时，解集为 R。三、按方程02cbxax的根21,xx的大小来分类，即212121,xxxxxx；例 5 解不等式)0(01)1(2axaax 分析：此不等式可以分解为：0)1(axax，故对应的方程必有两解。本题 只需讨论两根的大小即可。解：原不等式可化为：0)1(axax，令aa1，可得：1a 当1a或10a时，aa1，故原不等式的解集为axax1|；当1a或1a时，aa1,可得其解集为；当01a或1a时,aa1,解集为axax1|。例 6 解不等式065
4、22aaxx，0a 分析 此不等式 0245222aaa，又不等式可分解为0)3(2axax，故讨论呢对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种一按项的系数的符号分类即例解不等式分析本题二次项系数含有参数故只需对二次项系数进行分类讨论解解得方程两根当时解集为或当时不等式为解集为当时解集为例解不等式分本题中由于的系数大于故只需考虑与根的情况解当即时解集为学习必备欢迎下载当即时解集为且当或即此时两根分别为显然不等式的解集为或例解不等式解因所以当即时解集为当即时解集为或当或即时解集为三按方程的根的大小来为令可得当或时故原不等式的解集为当或时可得其解集为当或时解集为例解不等式分析此不等式又不等式可分解为
5、故学习必备欢迎下载只需比较两根与的大小解原不等式可化为当时即解集为或对应方程解集为或的两根为当时即含参学习必备 欢迎下载 只需比较两根a2与a3的大小.解 原不等式可化为：0)3(2axax，对应方程0)3(2axax的两根为 axax3,221，当0a时，即23aa，解集为axaxx23|或；当0a时，即23aa，解集为|23x xaxa或 含参不等式恒成立问题的求解策略“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合
6、”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2Rxacbxaxxf,有 1）0)(xf对Rx恒成立00a;2）0)(xf对Rx恒成立.00a 例 1：若不等式02)1()1(2xmxm的解集是 R，求 m 的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 m，所以要讨论 m-1是否是 0。（1）当 m-1=0时，元不等式化为 20 恒成立，满足题意；（2）01m时，
7、只需0)1(8)1(012mmm，所以，)9,1 m。例 2已知函数)1(lg22axaxy的定义域为 R，求实数a的取值范围。解：由 题 设 可 将 问 题 转 化 为 不 等 式0)1(22axax对Rx恒 成 立，即 有04)1(22aa解得311aa或。所以实数a的取值范围为),31()1,(。若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：讨论呢对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种一按项的系数的符号分类即例解不等式分析本题二次项系数含有参数故只需对二次项系数进行分类讨论解解得方程两根当时解
8、集为或当时不等式为解集为当时解集为例解不等式分本题中由于的系数大于故只需考虑与根的情况解当即时解集为学习必备欢迎下载当即时解集为且当或即此时两根分别为显然不等式的解集为或例解不等式解因所以当即时解集为当即时解集为或当或即时解集为三按方程的根的大小来为令可得当或时故原不等式的解集为当或时可得其解集为当或时解集为例解不等式分析此不等式又不等式可分解为故学习必备欢迎下载只需比较两根与的大小解原不等式可化为当时即解集为或对应方程解集为或的两根为当时即含参学习必备 欢迎下载 1）axf)(恒成立min)(xfa 2）axf)(恒成立max)(xfa 例 3、若 2,2x时，不等式23xaxa 恒成立，求
9、a的取值范围。解：设 23f xxaxa，则问题转化为当 2,2x时，f x的最小值非负。（1）当22a 即：4a 时，min2730f xfa 73a 又4a 所以a不存在；（2）当222a 即：44a 时，2min3024aafxfa 62a 又44a 42a （3）当22a 即：4a 时，min270f xfa 7a 又4a 74a 综上所得：72a 例 4函数),1,2)(2xxaxxxf，若对任意),1 x，0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。解：若对任意),1 x，0)(xf恒成立，即对),1 x，02)(2xaxxxf恒成立，考虑到不等式的分母),1 x，只需022axx在),
10、1 x时恒成立而得 而抛物线axxxg2)(2在),1 x的最小值03)1()(minagxg得3a 注：本题还可将)(xf变形为2)(xaxxf，讨论其单调性从而求出)(xf最小值。例 5：在ABC 中，已知2|)(|,2cos)24(sinsin4)(2mBfBBBBf且恒成立，求实数 m 的范围。解析：由 1,0(sin,0,1sin22cos)24(sinsin4)(2BBBBBBBf，3,1()(Bf，2|)(|mBf恒成立，2)(2mBf，即2)(2)(BfmBfm恒成立，3,1(m 例 6：求使不等式,0,cossinxxxa恒成立的实数 a 的范围。讨论呢对含参一元二次不等式常
11、用的分类方法有三种一按项的系数的符号分类即例解不等式分析本题二次项系数含有参数故只需对二次项系数进行分类讨论解解得方程两根当时解集为或当时不等式为解集为当时解集为例解不等式分本题中由于的系数大于故只需考虑与根的情况解当即时解集为学习必备欢迎下载当即时解集为且当或即此时两根分别为显然不等式的解集为或例解不等式解因所以当即时解集为当即时解集为或当或即时解集为三按方程的根的大小来为令可得当或时故原不等式的解集为当或时可得其解集为当或时解集为例解不等式分析此不等式又不等式可分解为故学习必备欢迎下载只需比较两根与的大小解原不等式可化为当时即解集为或对应方程解集为或的两根为当时即含参学习必备 欢迎下载 解
12、析：由于函43,44),4sin(2cossinxxxxa，显然函数有最大值2，2a。三、分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）为参数）aagxf)()(恒成立max)()(xfag 2）为参数）aagxf)()(恒成立max)()(xfag。例 7、已知,1x 时，不等式 21240 xxaa 恒成立，求a的取值范围。解：令2xt，,1x 0,2t 所以原不等式可化为：221taat，要使上式在0,2t上恒成立，只须求出 21tf tt在0,2
13、t上的最小值即可。22211111124tf ttttt 11,2t min324f tf 234aa 1322a 例 8、已知函数 lg2afxxx，若对任意2,x恒有 0f x，试确定a的取值范围。解：根据题意得：21axx 在2,x上恒成立，即：23axx 在2,x上恒成立，设 23f xxx ，则 23924f xx 当2x 时，max2f x 所以2a 例 9已知函数 4,0(,4)(2xxxaxxf时0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。解：将问题转化为xxxa24 对 4,0(x恒成立。令xxxxg24)(，则min)(xga 讨论呢对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种一按项
14、的系数的符号分类即例解不等式分析本题二次项系数含有参数故只需对二次项系数进行分类讨论解解得方程两根当时解集为或当时不等式为解集为当时解集为例解不等式分本题中由于的系数大于故只需考虑与根的情况解当即时解集为学习必备欢迎下载当即时解集为且当或即此时两根分别为显然不等式的解集为或例解不等式解因所以当即时解集为当即时解集为或当或即时解集为三按方程的根的大小来为令可得当或时故原不等式的解集为当或时可得其解集为当或时解集为例解不等式分析此不等式又不等式可分解为故学习必备欢迎下载只需比较两根与的大小解原不等式可化为当时即解集为或对应方程解集为或的两根为当时即含参学习必备 欢迎下载 由144)(2xxxxxg
15、可知)(xg在 4,0(上为减函数，故0)4()(mingxg 0a即a的取值范围为)0,(。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。四、变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例 10对任意 1,1a，不等式024)4(2axax恒成立，求x的取值范围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2xxax在 1,1a上恒成立的问题。解：令44)2()(2xxaxaf，则原问题转化为0)(af恒成立（1,1a）。当2x时，可得0)(af，不合题意
16、。当2x时，应有0)1(0)1(ff解之得31xx或。故x的取值范围为),3()1,(。注：一般地，一次函数)0()(kbkxxf在,上恒有0)(xf的充要条件为0)(0)(ff。例 11、若不等式 2211xm x 对满足2m 的所有m都成立，求x的取值范围。解：设 2121f mm xx，对满足2m 的m，0f m 恒成立，2221210202021210 xxffxx 解得：171322x 五、数形结合法 数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1）)()(x
17、gxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象上方；2）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象下上方。讨论呢对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种一按项的系数的符号分类即例解不等式分析本题二次项系数含有参数故只需对二次项系数进行分类讨论解解得方程两根当时解集为或当时不等式为解集为当时解集为例解不等式分本题中由于的系数大于故只需考虑与根的情况解当即时解集为学习必备欢迎下载当即时解集为且当或即此时两根分别为显然不等式的解集为或例解不等式解因所以当即时解集为当即时解集为或当或即时解集为三按方程的根的大小来为令可得当或时故原不等式的解集为当或时可得其解集为当或时解集为例解不等式分析此不等式
18、又不等式可分解为故学习必备欢迎下载只需比较两根与的大小解原不等式可化为当时即解集为或对应方程解集为或的两根为当时即含参学习必备 欢迎下载 例 12设xxxf4)(2,axxg134)(,若恒有)()(xgxf成立,求实数a的取值范围.分析：在同一直角坐标系中作出)(xf及)(xg 的图象 如图所示，)(xf的图象是半圆)0(4)2(22yyx)(xg的图象是 平行的直线系03334ayx。要使)()(xgxf恒成立，则圆心)0,2(到直线03334ayx的距离 满足 25338ad 解得355aa或（舍去)由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化
19、，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。例 13：已知恒成立有时当21)(,)1,1(,)(,1,02xfxaxxfaax，求实数 a 的取值范围。解析：由xxaxaxxf2121)(22，得，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在 x=-1和 x=1 处相交，则由12221)1(211aa及得到 a 分别等于 2 和0.5，并作出函数xxyy)21(2及的图象，所以，要想使函数xax212在区间)1,1(x中恒成立，只须xy2在区间)1,1(x对应的图象在212xy在区间)1,1(x对应图象的上面 即 可。当2,1aa只有时才 能 保 证
20、，而2110aa时，只有才 可 以，所 以 2,1()1,21a。例 14、若不等式23log0axx在10,3x内恒成立，求实数a的取值范围。x-2-4 y O-4 讨论呢对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种一按项的系数的符号分类即例解不等式分析本题二次项系数含有参数故只需对二次项系数进行分类讨论解解得方程两根当时解集为或当时不等式为解集为当时解集为例解不等式分本题中由于的系数大于故只需考虑与根的情况解当即时解集为学习必备欢迎下载当即时解集为且当或即此时两根分别为显然不等式的解集为或例解不等式解因所以当即时解集为当即时解集为或当或即时解集为三按方程的根的大小来为令可得当或时故原不等式的解
21、集为当或时可得其解集为当或时解集为例解不等式分析此不等式又不等式可分解为故学习必备欢迎下载只需比较两根与的大小解原不等式可化为当时即解集为或对应方程解集为或的两根为当时即含参学习必备 欢迎下载 解：由题意知：23logaxx在10,3x内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数23yx和logayx 观察两函数图象，当10,3x时，若1a 函数logayx的图象显然在函数23yx图象的下方，所以不成立；当01a 时，由图可知，logayx的图象必须过点1 1,3 3或在这个点的上方，则，11log33a 127a 1127a 综上得：1127a 例 15设22)(2mxxxf，当),1x时，mxf
22、)(恒成立，求实数m的取值范围。解：设mmxxxF22)(2，则当),1x时，0)(xF恒成立 当120)2)(1(4mmm即时，0)(xF显然成立；当0时，如图，0)(xF恒成立的充要条件为：1220)1(0mF解得23m。综上可得实数m的取值范围为)1,3。O x yx-1 讨论呢对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种一按项的系数的符号分类即例解不等式分析本题二次项系数含有参数故只需对二次项系数进行分类讨论解解得方程两根当时解集为或当时不等式为解集为当时解集为例解不等式分本题中由于的系数大于故只需考虑与根的情况解当即时解集为学习必备欢迎下载当即时解集为且当或即此时两根分别为显然不等式的解集为或例解不等式解因所以当即时解集为当即时解集为或当或即时解集为三按方程的根的大小来为令可得当或时故原不等式的解集为当或时可得其解集为当或时解集为例解不等式分析此不等式又不等式可分解为故学习必备欢迎下载只需比较两根与的大小解原不等式可化为当时即解集为或对应方程解集为或的两根为当时即含参