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1、正态分布机基础通美二水平一(15分钟30分)1.如图是当6取三个不同值& , b ,后时的三种正态曲线M。，”的 图象，那么6,6,6的大小关系是()A . 6 1 。2 6 0B . 0 (71 (72 1 1 0D . 0 (71 (J2 = 1 (73【解析】选D.利用正态曲线的性质求解.1当 =0,0=1 时，正态曲线/(x)e .“ 飞 V三个正态分布密度函数g(M二标 e 2o- (xeR , i=l ,2 , 3)的图(xR),在X=0时，取得最大值忘，故。2二1.由正态曲线的性质，当肯 定时,曲线的外形由。确定，。越小,曲线越高瘦；。越大，曲线 越矮胖”，于是有 0 (71 (
2、J2 = 1 C73.教师 专用 求的零件.该团队在试验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取 10个零件，其内径如下(单位：m).97 97 98 102 105 107 108 109113 114计算平均值与标准差。；(2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z听从正态分布，). 该团队到工厂安装调试后，试打了 5个零件，度量其内径分别为(单 位：|im) ： 86 , 95 , 103 , 109 , 118 ,试问此打印设备是否需要进一 步调试？为什么？1【解析】(1) 二记 乂(97 + 97 + 98 + 102 + 105 + 107 + 108 + 109 + 113+ 11
3、4) = 105 , 1/ 二记 x( - 8产 + ( - 8/ + ( - 7/ + ( - 3)2 + 02 + 22 + 32 + 42 + 82 + 92= 36 ,所以 0 = 6.(2)结论：需要进一步调试.理由如下：假如机器正常工作 那么Z听从正态分布N( 105 z62)那么P(- 3aZp + 3a)=P(87Z123)0.997 3 ,零彳牛内径在87 , 123之勺卜的概率只有 0.002 7 ,而86487 , 123,依据3a原那么,机器特别,需要进一步调试.关闭Word文档返回原板块象如下图，那么（）A 03B 2 =3 , Ol = O2 03C 以=2 3,6
4、 。2 = 6D , 2 =3,6 =。2 6【解析】选D.正态曲线关于直线X=对称，且在X二处取得峰值y/lrio 111由图易得内 A/2na3，故6 = 66.X 听从正态分布 A/(3 ,1),且 P(2X4) = ()A . 0.158 8B . 0.158 65C . 0.158 6D . 0.158 5【解析】X听从正态分布M3, 1), 故正态分布曲线的对称轴为x=3.1 - P(2X4) = P(X4)= =2=0.158 65.3 .某厂生产的零件直径,今从该厂上午和下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.9 cm和9.3 cm ,那么可认 为()A.上午生产
5、状况未见特别现象，下午生产状况消失了特别现象B.上午生产状况消失了特别，而下午生产状况正常C.上午和下午生产状况均是正常D.上午和下午生产状况均消失了特别现象【解析】。住(9.4 , 10.6),所以上午生产状况未见特别，下午生产状 况消失了特别.4 .设随机变量5 M2 . 2),那么D快=.【解析】由于牝M2 , 2),所以。0=2.(11 1 1所以O国二尹D(H二,x2 = 2 .-1答案：,5 .在某项测量中,测量结果X听从正态分布N(1,。2)付 0)，假设X 在0川内取值的概率为0.4那么X在0 ,2内取值的概率为.【解析】由于 X/V(l，o2) ,P(OX1) = 0.4 ,
6、所以 P(QX2) =2P(OX1)= 0.8.答案：6 .某地农夫工年均收入f听从正态分布，其密度函数图象如下图.写出此地农夫工年均收入的概率密度曲线函数解析式；(2)求此地农夫工年均收入在8 0008 500元之间的人数百分比.【解析】设农夫工年均收入，结合图象可知，=8 000 ,。=500.1此地农夫工年均收入的正态分布密度函数解析式为P(x)二盒1(x-8000)2e 2c2 二藐标 e 2x5002,x(-8, +8).(2)由于 P(7 5008 500)=P(8 000 - 5008 000 + 500) = 0.682 7 ,1所以 P(8 0008 500) = P。500
7、8 500) = 0.341 35 = 34.135%.即农夫工年均收入在8 0008 500元之间的人数占总体的34.135%. l能力进阶二水平二(30分钟60分)一、单项选择题(每题5分，共20分)1 .以下不行以作为正态分布概率密度函数的是(其中( - 0)()1 -CW二不标，D =/e心工 (X)2【解析】选B.对于A ,/(x)=e 21，由于(g , +回，所 以-昨(-8 , + 8),故它可以作为正态分布概率密度函数；对于B ,假设。 (X-#2二1 ,那么应为f(x)二/e 2，假设。二啦，那么应为f(x)=1(X-H)2标/e-k ,均与所给函数不相符,故它不能作为正态
8、分布概率 密度函数；对于C ,它是当。二啦，二0时的正态分布概率密度函 数；对于D,它是当。二平时的正态分布概率密度函数.2 .设随机变量f听从正态分布M3 , 7)，假设P(f o + 2) = P(f a + 2)=P(f a - 2),所以a+ 2 + o- 2 = 6,解得 a = 3.3 . 一次考试共有60名同学参与，考生的成果XN(110 , 52),据此 估量，大约应有57人的分数在以下哪个区间内()A . 90 , 110B .95 , 125C . 100 , 120D . 105 , 115【解析】二0.95 ,符合P( - 2aX/ + 2a),所以在100 , 120
9、内.4 .设随机变量听从正态分布N似,)，函数/(x) = X? + 4x + f没有1零点的概率是5，那么=()A . 1B . 4C.2D.不能确定【解析】选B.依据题意，函数f(x) = x2+ 4x + f没有零点时,21 = 16 -4 4 ,依据正态分布密度曲线的对称性，当函数/(x)=x2 + 4x 1+ f没有零点的概率是5时， =4.二、多项选择题(每题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全 的得2分，有选错的得0分)(X-从)25.正态分布N(/)的密度曲线是/(X)二e 2，XRR.以下命题正确的选项是()A .对任意xG R , /( + x)=加-x)成立B .假
10、如随机变量X听从, )，且F(X)= P(X x),那么F(x)是R 上的增函数C .假如随机变量X听从M108 , 100),那么X的期望是108 ,标准差 是1001D .随机变量X 听从，a2), P(X2) = P ,那么 P(0X2) = 1 - 2p【解析】，)的密度曲线图象(图略)可得：图象关于x=对称, 故A正确；随着x的增加，F(x) = P(X x)也增加，故B正确；假如随 机变量X听从A/(108 , 100),那么X的期望是108 ,标准差是10 , C 不正确；由图象的对称性，可得D正确.6 .设随机变量f听从正态分布N(0, 1),那么以下结论正确的选项是()A.P
11、( | f | 0)= P(f - a)(a 0)B . P(K| a) = 2P( 0)C . P(K| a) = 1 - 2P0)D . P(K| 0)(0 0)【解析】P(用a) = P(- a a) t所以A不正确；由于P(|f a) =P( - o f a) = P(f o) - P(f - a) = P(f a) = P(f a) - (1 -P(f a) = 2P(a) - 1 ,所以 B 正确，C 不正确；由于 P(用 。)=1 ,所以P(|f| o)，所以 D 正确.教师 专用随机变量X听从正态分布，。2),其正态曲线在(-8,80)上是增 函数,在(80 , + 8)上为减
12、函数,且P(72X64) = 0.977 25D . P(64X 72) = 0.135 9【解析】选ACD.由于正态曲线在(-,80)上是增函数，在(80 , +河 上为减函数，所以正态曲线关于直线x=80对称，所以二80 ；由于P(72X88) = 0.682 7 ,结合 P( - aXp + 亦0.682 7 ,可知 a = 8 ； 由于 P( - 2oXpi + 20=0.954 5 ,1 1且 P(X 96),所以 P(X 64) = 0.977 25 ；1 1由于 P(X72) x(l - P(72X88) = 5 x(l - 0.682 7) = 0.158 65 ,所以 P(6
13、4X64) - P(X72) = 0.977 25 - (1 - 0.158 65) = 0.135 9. 三、填空题(每题5分，共10分)7 .正态总体的数据落在区间(-3 , - 1)里的概蔚口落在区间(3 , 5)里 的概率相等，那么这个正态总体的均值为.【解析】正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区 间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，由于区间(-3 , - 1)和区 间(3 , 5)的长度相等,说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们 需要找出对称轴.由于正态曲线关于直线x二对称，的概率意义 是均值,由于区间(-3 , - 1)和区间(3 , 5)关于x = 1对称(
14、-1的对称 点是3 , - 3的对称点是5),所以均值为1.答案：18 .XN(4 ,a2),且0(2殳46卜0.682 7,那么0 =ZP(|X- 2|4)【解析】由于XN(4炉)，所以同2口46卜0.682 7,所以彳所以 aP(|X- 2|4) = P( - 2X6)=P( - 2X2) + P(2X6)1 1 1=2 仍(-2X10) - P(2X6) + P(2X6) = 2 P(- 24X410)+5P(2X6)0.84.答案：四、解答题(每题10分，共20分)( 八9 .工厂制造的某零件尺寸X听从正态分布从4 , $，问在一次正常 试验中，取10 000个零件时，不属于区间3 ,
15、 5这个尺寸范围内的零 件大约有多少个？【解析】不属于区间3 , 5的概率为P(X5) = 1 - P(3X5),(ni由于X吊4 , gj ,所以 =4 = .所以 1 - P(3X5)( 1 1=1 - 3x-X4 + 3x-=1 - 0.997 3 = 0.002 7 ,从而10 000x0.002 7 = 27 ,所以不属于3 , 5这个尺寸范围内的零件大 约有27个.10 . 3D打印通常是采纳数字技术材料打印机来实现的，常在模具制 造、工业设计等领域被用于制造模型，后渐渐用于一些产品的直接制 造，已经有使用这种技术打印而成的零部件.该技术应用非常广泛， 可以估计在将来会有宽阔的开展空间.某制造企业向人高校3D打印 试验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要