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1、数值计算方法作业 实验名称 实验 4.3 三次样条插值函数（P126）4.5三次样条插值函数的收敛性（P127）实验时间 姓名 班级 学号 成绩 实验 4.3 三次样条差值函数 实验目的：掌握三次样条插值函数的三弯矩方法 实验函数:1x f(x)e 2 dt x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 F(x)0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.7554 求 f（0.13）和 f（0.36）的近似值 实验内容：（1）编程实现求三次样条插值函数的算法，分别考虑不同的边界条件；（2）计算各插值节点的弯矩值；（3）在同一坐标系中绘制函数 f（x），插值多项式，三次样条插值多项
2、式的曲线 比较插值结果。实验 4.5 三次样条差值函数的收敛性 实验目的：多项式插值不一定是收敛的，即插值的节点多，效果不一定好。对三次样条插值 函数如何呢？理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的，通过本实验 可以证明这一理论结果。实验内容：按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个 数。实验要求：（1）随着节点个数的增加，比较被逼近函数和三样条插值函数的误差变化情 况，分析所得结果并与拉格朗日插值多项式比较；（2）三次样条插值函数的思想最早产生于工业部门。作为工业应用的例子，考 虑如下例子：某汽车制造商根据三次样条插值函数设计车门曲线，其中一 段数据如下：x
3、k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 yk 0.0 0.79 1.53 2.19 2.71 3.03 3.27 2.89 3.06 3.19 3.29 yk 0.8 0.2 算法描述：拉格朗日插值：错误!未找到引用源 其中 错误!未找到引用源。是拉格朗日基函数，其表达式为：牛顿插值：Nn(x)f(x0)fx0,x1(x x0)f x0,x1,x2(x x0)(x x1)三样条插值：所 谓 三 次 样 条 插 值 多 项 式 Sn(x)是 一 种 分 段 函 数，它 在 节 点 Xi(aX0X1 Xn=j Y(i)=(Y(i)-Y(i-1)/(X(i)-X(i-j+1);else Y
4、(i)=0;end end newt=newt,Y;end%计算牛顿插值 f=newt(1,2);for i=2:n z=1;for k=1:i-1 z=(xi-X(k)*z;end f=f+newt(i-1,i)*z;end fprintf(%dn,f)return 3 三次样条插值第一类边界条件 Threch.m function S=Threch1(X,Y,dy0,dyn,xi)%X 为已知数据的横坐标%Y为已知数据的纵坐标%xi 插值点处的横坐标%S求得的三次样条插值函数的值%dy0 左端点处的一阶导数%dyn 右端点处的一阶导数 n=length(X)-1;d=zeros(n+1,1
5、);h=zeros(1,n-1);f1=zeros(1,n-1);f2=zeros(1,n-2);for i=1:n%求函数的一阶差商 h(i)=X(i+1)-X(i);f1(i)=(Y(i+1)-Y(i)/h(i);end for i=2:n%求函数的二阶差商 f2(i)=(f1(i)-f1(i-1)/(X(i+1)-X(i-1);d(i)=6*f2(i);end d(1)=6*(f1(1)-dy0)/h(1);d(n+1)=6*(dyn-f1(n-1)/h(n-1);%?赋初值 A=zeros(n+1,n+1);B=zeros(1,n-1);C=zeros(1,n-1);for i=1:n
6、-1 B(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1);C(i)=1-B(i);end A(1,2)=1;A(n+1,n)=1;for i=1:n+1 A(i,i)=2;end for i=2:n A(i,i-1)=B(i-1);A(i,i+1)=C(i-1);end 次样条差值函数实验目的掌握三次样条插值函数的三弯矩方法实验函数求和的近似值实验内容编程实现求三次样条插值函数的算法分别考虑不同的边界条件计算各插值节点的弯矩值在同一坐标系中绘制函数插值多项式三次样条插值效果不一定好对三次样条插值函数如何呢理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的通过本实验可以证明这一理论结果实验内容按照一定的规
7、则分别选择等距或非等距的插值节点并不断增加插值节点的个数实验要求随着节条插值函数的思想最早产生于工业部门作为工业应用的例子考虑如下例子某汽车制造商根据三次样条插值函数设计车门曲线其中一段数据如下算法描述拉格朗日插值错误未找到引用源其中错误未找到引用源是拉格朗日基函数其表达M=Ad;syms x;for i=1:n Sx(i)=collect(Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i)*(x-X(i)+M(i)/2*(x-X(i)2+(M(i+1)-M(i)/(6*h(i)*(x-X(i)3);digits(4);Sx(i)=vpa(Sx(i);%三样条插值函数表达式
8、end for i=1:n disp(S(x)=);fprintf(%s(%d,%d)n,char(Sx(i),X(i),X(i+1);end for i=1:n if xi=X(i)&xi=X(i)&xi=X(i+1)S(i)=Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i)*(xi-X(i)+M(i)/2*(xi-X(i)2+(M(i+1)-M(i)/(6*h(i)*(xi-X(i)3;end end disp(xi S);fprintf(%d,%dn,xi,S);return 5插值节点处的插值结果 main3.m clear clc X=0.0,0.1,0.2,0.
9、3,0.4;Y=0.5000,0.5398,0.5793,0.6179,0.7554;xi=0.13;%xi=0.36;disp(xi=0.13);%disp(xi=0.36);disp(拉格朗日插值结果 );lang(X,Y,xi);disp(牛顿插值结果 );newton(X,Y,xi);disp(三次样条第一类边界条件插值结果 );Threch1(X,Y,0.40,0.36,xi);%0.4,0.36 分别为两端点处的一阶导数 disp(三次样条第二类边界条件插值结果 );Threch2(X,Y,0,-0.136,xi);%0,-0.136 分别为两端点处的二阶导数 6将多种插值函数即原
10、函数图像画在同一张图上 main2.m clear clc X=0.0,0.1,0.2,0.3,0.4;Y=0.5000,0.5398,0.5793,0.6179,0.7554;a=linspace(0,0.4,21);次样条差值函数实验目的掌握三次样条插值函数的三弯矩方法实验函数求和的近似值实验内容编程实现求三次样条插值函数的算法分别考虑不同的边界条件计算各插值节点的弯矩值在同一坐标系中绘制函数插值多项式三次样条插值效果不一定好对三次样条插值函数如何呢理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的通过本实验可以证明这一理论结果实验内容按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点并不断增加插值
11、节点的个数实验要求随着节条插值函数的思想最早产生于工业部门作为工业应用的例子考虑如下例子某汽车制造商根据三次样条插值函数设计车门曲线其中一段数据如下算法描述拉格朗日插值错误未找到引用源其中错误未找到引用源是拉格朗日基函数其表达NUM=21;L=zeros(1,NUM);N=zeros(1,NUM);S=zeros(1,NUM);B=zeros(1,NUM);for i=1:NUM xi=a(i);L(i)=lang(X,Y,xi);N(i)=newton(X,Y,xi);B(i)=normcdf(xi,0,1);end plot(a,B,-r);hold on;plot(a,L,b);hold
12、 on;plot(a,N,r);hold on;plot(a,S,r+);hold on;legend（原函数 ,拉格朗日插值 ,牛顿插值 ,三次样条插值 ,2）;hold off 7增加插值节点观察误差变化 main4.m clear;clc;N=5;%4.5 第一问 Ini=zeros(1,1001);a=linspace(-1,1,1001);Ini=1./(1+25*a.2);for i=1:3%节点数量变化次数 N=2*N;t=linspace(-1,1,N+1);%插值节点 ft=1./(1+25*t.2);%插值节点函数值 val=linspace(-1,1,101);for j
13、=1:101 L(j)=lang(t,ft,val(j);S(j)=Threch1(t,ft,0.074,-0.074,val(j);%三样条第一类边界条件插值 end plot(a,Ini,k)%原函数图象 hold on plot(val,L,r)%拉格朗日插值函数图像 hold on plot(val,S,b)%三次样条插值函数图像 str=sprintf(插值节点为%d时的插值效果,N);title(str);%拉格朗日插值%牛顿插值 原函数 S(i)=Threch1(X,Y,0.4,0.36,xi);%三次样条函数第一类边界条件 次样条差值函数实验目的掌握三次样条插值函数的三弯矩方法
14、实验函数求和的近似值实验内容编程实现求三次样条插值函数的算法分别考虑不同的边界条件计算各插值节点的弯矩值在同一坐标系中绘制函数插值多项式三次样条插值效果不一定好对三次样条插值函数如何呢理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的通过本实验可以证明这一理论结果实验内容按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点并不断增加插值节点的个数实验要求随着节条插值函数的思想最早产生于工业部门作为工业应用的例子考虑如下例子某汽车制造商根据三次样条插值函数设计车门曲线其中一段数据如下算法描述拉格朗日插值错误未找到引用源其中错误未找到引用源是拉格朗日基函数其表达legend(原函数 ,拉格朗日插值 ,三次样条
15、插值 );%显示图例 hold off figure end 8车门曲线 main5.m clear clc X=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10;Y=0.0,0.79,1.53,2.19,2.71,3.03,3.27,2.89,3.06,3.19,3.29;dy0=0.8;dyn=0.2;n=length(X)-1;d=zeros(n+1,1);h=zeros(1,n-1);f1=zeros(1,n-1);f2=zeros(1,n-2);for i=1:nh(i)=X(i+1)-X(i);f1(i)=(Y(i+1)-Y(i)/h(i);end for i=2:nf2(i)=(f1
16、(i)-f1(i-1)/(X(i+1)-X(i-1);d(i)=6*f2(i);end d(1)=6*(f1(1)-dy0)/h(1);d(n+1)=6*(dyn-f1(n-1)/h(n-1);A=zeros(n+1,n+1);B=zeros(1,n-1);C=zeros(1,n-1);for i=1:n-1 B(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1);C(i)=1-B(i);end A(1,2)=1;A(n+1,n)=1;for i=1:n+1 A(i,i)=2;end for i=2:n A(i,i-1)=B(i-1);A(i,i+1)=C(i-1);end M=Ad;x=zeros(1
17、,n);S=zeros(1,n);for i=1:n x(i)=X(i)+0.5;S(i)=Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i)*(x(i)-X(i)+M(i)/2*(x(i)-X(i)2+(M(i+1)-M(i)/(6*h(i)*(x(i)-X(i)3;end plot(X,Y,k);hold on;plot(x,S,o);title(三次样条插值效果图 );legend(已知插值节点 ,三次样条插值 );hold off 次样条差值函数实验目的掌握三次样条插值函数的三弯矩方法实验函数求和的近似值实验内容编程实现求三次样条插值函数的算法分别考虑不同的边界条件计
18、算各插值节点的弯矩值在同一坐标系中绘制函数插值多项式三次样条插值效果不一定好对三次样条插值函数如何呢理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的通过本实验可以证明这一理论结果实验内容按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点并不断增加插值节点的个数实验要求随着节条插值函数的思想最早产生于工业部门作为工业应用的例子考虑如下例子某汽车制造商根据三次样条插值函数设计车门曲线其中一段数据如下算法描述拉格朗日插值错误未找到引用源其中错误未找到引用源是拉格朗日基函数其表达实验结果：4.3 1计算插值节点处的函数值 xi=0.13 时次样条差值函数实验目的掌握三次样条插值函数的三弯矩方法实验函数求和的近
19、似值实验内容编程实现求三次样条插值函数的算法分别考虑不同的边界条件计算各插值节点的弯矩值在同一坐标系中绘制函数插值多项式三次样条插值效果不一定好对三次样条插值函数如何呢理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的通过本实验可以证明这一理论结果实验内容按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点并不断增加插值节点的个数实验要求随着节条插值函数的思想最早产生于工业部门作为工业应用的例子考虑如下例子某汽车制造商根据三次样条插值函数设计车门曲线其中一段数据如下算法描述拉格朗日插值错误未找到引用源其中错误未找到引用源是拉格朗日基函数其表达Xi=0.36 时 2将多种插值函数即原函数图像画在同一张图上
20、4.5.1 增加插值节点观察误差变化次样条差值函数实验目的掌握三次样条插值函数的三弯矩方法实验函数求和的近似值实验内容编程实现求三次样条插值函数的算法分别考虑不同的边界条件计算各插值节点的弯矩值在同一坐标系中绘制函数插值多项式三次样条插值效果不一定好对三次样条插值函数如何呢理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的通过本实验可以证明这一理论结果实验内容按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点并不断增加插值节点的个数实验要求随着节条插值函数的思想最早产生于工业部门作为工业应用的例子考虑如下例子某汽车制造商根据三次样条插值函数设计车门曲线其中一段数据如下算法描述拉格朗日插值错误未找到引用源
21、其中错误未找到引用源是拉格朗日基函数其表达-0.8-0.6-04-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 次样条差值函数实验目的掌握三次样条插值函数的三弯矩方法实验函数求和的近似值实验内容编程实现求三次样条插值函数的算法分别考虑不同的边界条件计算各插值节点的弯矩值在同一坐标系中绘制函数插值多项式三次样条插值效果不一定好对三次样条插值函数如何呢理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的通过本实验可以证明这一理论结果实验内容按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点并不断增加插值节点的个数实验要求随着节条插值函数的思想最早产生于工业部门作为工业应用的例子考虑如下例子某汽车制造商根据三次样
22、条插值函数设计车门曲线其中一段数据如下算法描述拉格朗日插值错误未找到引用源其中错误未找到引用源是拉格朗日基函数其表达 从上面三张图可以看出增加插值节点并不能改善差之效果 4.5.2 车门曲线 次样条差值函数实验目的掌握三次样条插值函数的三弯矩方法实验函数求和的近似值实验内容编程实现求三次样条插值函数的算法分别考虑不同的边界条件计算各插值节点的弯矩值在同一坐标系中绘制函数插值多项式三次样条插值效果不一定好对三次样条插值函数如何呢理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的通过本实验可以证明这一理论结果实验内容按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点并不断增加插值节点的个数实验要求随着节条插值函数的思想最早产生于工业部门作为工业应用的例子考虑如下例子某汽车制造商根据三次样条插值函数设计车门曲线其中一段数据如下算法描述拉格朗日插值错误未找到引用源其中错误未找到引用源是拉格朗日基函数其表达