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1、分析矩阵的最高阶非零子式的一种简易求法导读:？线性代数?是各个高校理工科学生必修的公共根底课，而矩阵 及矩阵的运算是学习这门课的重要工具。矩阵的秩是它最高阶非零子式的 阶数，最高阶非零子式对于理解矩阵的秩的概念、向量组的最大无关组的 概念以及这两个概念之间的关系等有着非常重要的作用，很多情况下需要 我们求出矩阵的一个最高阶非零子式。：矩阵，最高阶非零子式，初等行变换，行阶梯行?线性代数?是各个高校理工科学生必修的公共根底课，而矩阵及矩阵的运 算是学习这门课的重要工具。参考网。矩阵的秩是矩阵品质的一个重要指 数，它是矩阵初等变换下的不变量。矩阵的秩有着非常广泛的应用。参考 网。矩阵的秩是它最高阶
2、非零子式的阶数，最高阶非零子式对于理解矩阵的秩 的概念、向量组的最大无关组的概念以及这两个概念之间的关系等有着非 常重要的作用，很多情况下需要我们求出矩阵的一个最高阶非零子式。一个矩阵的阶子式有个,所以直接从定义出发求最高阶非零子式计算量往 往很大。很多教材中给出的方法是：通过初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，确 定其秩为，取其非零行的非零首元所在的列所对应的原矩阵中的各列构成 一个矩阵，它有行列，有个阶子式，从中找一个非零子式即为原矩阵的一个 最高阶非零子式。这种方法比起用定义求最高阶非零子式可省去很多工作 量，但仍需要排除一些零子式。参考网。下面给出一种方法，可直接求得矩阵的一个最高阶非零
3、子式，省去排除零 子式的运算过程，方法如下：对矩阵施行标准程序的初等行变换，把矩阵化成行阶梯形矩阵（即适当地 作行交换后，对矩阵按自上而下的顺序化“0，并且在进行第三种初等行 变换时只用行标小的行作用于行标大的行，而不用行标大的行作用于行标 小的行。），的最高阶非零子式可取为它的非零行的非零首元所在的行和列 构成的子式，记为。相应于的这些行和列，取中对应的行和列构成的子式即 为的一个最高阶非零子式，记为。这是因为我们这样选出的这个子式对它 施行与上述对矩阵的这些行一样的初等行变换后，此行列式恰好化为上三 角行行列式，它与的非零子式仅相差一个非零常数倍，从而就是的一个阶 非零子式，即它为的一个最
4、高阶非零子式。举例如下：是一个行阶梯行矩阵，它的一个最高阶非零子式为，于是和的秩都是3。是 由的第一、二、四列，第一、二、三行构成的，的这些列与的第一、二、四 列相对应，的第一行与的第一行相对应，第二行与的第三行相对应，第三行 与的第二行相对应。因此取的第一、二、四列，第一、二、三行得到一个 子式就是的一个最高阶非零子式。事实上对施行与的相应行一样的初等行变换,恰好可以把化为上三角形行 列式，它和只相差负一倍。过程如下：我们使用这种方法可以直接得到矩阵的一个最高阶非零子式，且很容易知 道它的值，从而大大减少了计算量。：1同济大学应用数学系.线性代数.高等教育出版社,2019.2北京大学数学系.高等代数.高等教育出版社,2019.