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1、学习必备 欢迎下载 2010年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（福建卷及详解）第 I 卷（选择题 共 60分）一、选择题：本大题共 12小题。每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（）A.12 B.33 C.22 D.32 2以抛物线24yx的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为()A.22x+y+2x=0 B.22x+y+x=0 C.22x+y-x=0 D.22x+y-2x=0 3设等差数列na的前 n 项和为nS,若111a ,466aa,则当nS取最小值时,n 等于 A.
2、6 B.7 C.8 D.9 4函数2x+2x-3,x0 x)=-2+lnx,x0f（的零点个数为()A.0 B.1 C.2 D.3 5阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于（）A.2 B.3 C.4 D.5 6如图,若是长方体1111ABCD-A B C D被平面EFGH截去几何体11EFGHBC后得到的几何体,其中 E 为线段11A B上异于1B的点，F 为线段1BB上异于1B的点，且EH11AD，则下列结论中不正确的是（）A.EHFG B.四边形EFGH是矩形 C.是棱柱 D.是棱台 学习必备 欢迎下载 7 若点 O 和点(2,0)F 分别是双曲线2221(a0)axy的中
3、心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP的取值范围为()A.3-2 3,)B.32 3,)C.7-,)4 D.7,)4 8设不等式组x1x-2y+30yx所表示的平面区域是1,平面区域是2与1关于直线3490 xy 对称,对于1中的任意一点 A 与2中的任意一点 B,|AB的最小值等于()A.285 B.4 C.125 D.2 9对于复数a,b,c,d,若集合S=a,b,c,d具有性质“对任意x,yS,必有xyS”,则当 22a=1b=1c=b时,b+c+d等于()A.1 B.-1 C.0 D.i 10对于具有相同定义域 D 的函数f(x)和g(x),若存在函数h(x)=kx
4、+b(k,b为常数),对任给的正数 m,存在相应的0 xD,使得当xD且0 xx时,总有0()()0()()1的四组函数如下:2f(x)=x,g(x)=x;-xf(x)=10+2,2x-3g(x)=x;2x+1f(x)=x,xlnx+1g(x)=lnx;22xf(x)=x+1,-xg(x)=2x-1-e)（.其中,曲线y=f(x)和y=g(x)存在“分渐近线”的是()A.B.C.D.二、填空题：11在等比数列na中,若公比q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式na .题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的计算的值等于以抛物线的焦点为圆心且过坐标原点
5、的圆的方程为设等差数列的前项和为若则当取最小值时等于函数的零点个数为阅读右图所示的程序框图异于的点且则下列结论中不正确的是四边形是矩形是棱柱是棱台学习必备欢迎下载若点和点分别是双曲线的中心和左焦点点为双曲线右支上的任意一点则的取值范围为设不等式组所表示的平面区域是平面区域是与关于直线对称对于的函数和若存在函数为常数对任给的正数存在相应的线为曲线和的分渐近线给出定义域均为的四组函使得当且时总有则称直数如下其中曲线和存在分渐近线的是二填空题在等比数列中若公比且前项之和等于则该数列的通项公式学习学习必备 欢迎下载 12若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 .13某次知识竞赛规
6、则如下:在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于 。14已知函数f(x)=3sin(x-)(0)6和g(x)=2cos(2x+)+1的图象的对称轴完全相同。若x0,2，则f(x)的取值范围是 。15已知定义域为0 （，）的函数f(x)满足：对任意x0（，），恒有f(2x)=2f(x)成立；当x（1，2时，f(x)=2-x。给出如下结论：对任意mZ，有mf(2)=0；函数f(x)的值域为0 ，）；存在nZ，使得nf(2+1)=
7、9；“函数f(x)在区间(,)a b上单调递减”的充要条件是“存在Zk，使得 1(,)(2,2)kka b”。其中所有正确结论的序号是 。三、解答题：16（本小题满分 13 分）设S是不等式260 xx 的解集，整数,m nS。（1）记使得“0mn 成立的有序数组(,)m n”为事件 A，试列举 A 包含的基本事件；（2）设2m，求的分布列及其数学期望E。17（本小题满分 13 分）已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A（2，3），且点 F（2，0）为其右焦点。（1）求椭圆 C 的方程；（2）是否存在平行于 OA 的直线l，使得直线l与椭圆 C 有公共点，且直线 OA 与l的距离题共小
8、题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的计算的值等于以抛物线的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为设等差数列的前项和为若则当取最小值时等于函数的零点个数为阅读右图所示的程序框图异于的点且则下列结论中不正确的是四边形是矩形是棱柱是棱台学习必备欢迎下载若点和点分别是双曲线的中心和左焦点点为双曲线右支上的任意一点则的取值范围为设不等式组所表示的平面区域是平面区域是与关于直线对称对于的函数和若存在函数为常数对任给的正数存在相应的线为曲线和的分渐近线给出定义域均为的四组函使得当且时总有则称直数如下其中曲线和存在分渐近线的是二填空题在等比数列中若公比且前项之和等于则该数列的通项公式学习
9、学习必备 欢迎下载 等于 4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。18（本小题满分 13 分）如图，圆柱1OO内有一个三棱柱111ABC-A B C，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 AB 是圆 O 直径。（）证明：平面11A ACC 平面11B BCC；（）设 AB=1AA，在圆柱1OO内随机选取一点，记该点取自于三棱柱111ABC-A B C内的概率为p。（i）当点 C 在圆周上运动时，求p的最大值；（ii）记平面11A ACC与平面1BOC所成的角为(0 0,b0)xyab，且可知左焦点为 F（-2，0），从而有c=22a=|AF|+|AF|=3+5=8，解得c=2a=
10、4，又222a=b+c，所以2b12，故椭圆 C 的方程为2211612xy。（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为3y=x+t2，题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的计算的值等于以抛物线的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为设等差数列的前项和为若则当取最小值时等于函数的零点个数为阅读右图所示的程序框图异于的点且则下列结论中不正确的是四边形是矩形是棱柱是棱台学习必备欢迎下载若点和点分别是双曲线的中心和左焦点点为双曲线右支上的任意一点则的取值范围为设不等式组所表示的平面区域是平面区域是与关于直线对称对于的函数和若存在函数为常数对任给的正数存在相应的线为曲线和的分渐
11、近线给出定义域均为的四组函使得当且时总有则称直数如下其中曲线和存在分渐近线的是二填空题在等比数列中若公比且前项之和等于则该数列的通项公式学习学习必备 欢迎下载 由223y=x+t2xy+=11612得223x+3tx+t-12=0，因为直线l与椭圆有公共点，所以有223t)-4 3(t-12)0（，解得4 3t4 3，另一方面，由直线 OA 与l的距离 4 可得：|t|=4914，从而t=2 13，由于2 134 3,4 3，所以符合题意的直线l不存在。18、【解析】（）因为1AA平面 ABC，BC 平面 ABC，所以1AABC，因为 AB 是圆 O 直径，所以BCAC，又AC 1AAA，所以
12、BC平面11A ACC，而BC 平面11B BCC，所以平面11A ACC 平面11B BCC。（）（i）设圆柱的底面半径为r，则 AB=1AA=2r，故三棱柱111ABC-A B C的体积为 11V=AC BC 2r2=AC BC r，又因为2222ACBC=AB=4r，所以22AC+BCAC BC2=22r，当且仅当AC=BC=2r时等号成立，从而31V2r，而圆柱的体积23V=r2r=2 r，故p=313V2r1=,V2 r当且仅当AC=BC=2r，即OCAB时等号成立，所以p的最大值是1。（ii）由（i）可知，p取最大值时，OCAB，于是以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz
13、（如图），则 C（r，0，0），B（0，r，0），1B（0，r，2r），因为BC平面11A ACC，所以BC=(r,-r,0)是平面11A ACC的一个法向量，设平面1BOC的法向量n=(x,y,z)，由1nOC020nOBrxryrz得，故02xyz，题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的计算的值等于以抛物线的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为设等差数列的前项和为若则当取最小值时等于函数的零点个数为阅读右图所示的程序框图异于的点且则下列结论中不正确的是四边形是矩形是棱柱是棱台学习必备欢迎下载若点和点分别是双曲线的中心和左焦点点为双曲线右支上的任意一点则的取值范围
14、为设不等式组所表示的平面区域是平面区域是与关于直线对称对于的函数和若存在函数为常数对任给的正数存在相应的线为曲线和的分渐近线给出定义域均为的四组函使得当且时总有则称直数如下其中曲线和存在分渐近线的是二填空题在等比数列中若公比且前项之和等于则该数列的通项公式学习学习必备 欢迎下载 取1z 得平面1BOC的一个法向量为n=(0,-2,1)，因为0,ACOCOCACAC故且对于线段上任意点P 有OPOC，而小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时，故轮船与小艇不可能在 A、C（包含 C）的任意位置相遇，设COD=(0 90),10 3 tanRt CODCD则在中，OD=10 3cos，由于从出
15、发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为1010 3tan30t和10 3costv，所以1010 3tan3010 3cosv，解得15 33,30,sin(+30)sin(+30)2vv又故，从而300f；当3x(-,33)3时，(x)0f，因此，(x)f的单调递增区间为3(-,-)3和33（，），单调递减区间为3(-,33)3。（ii）曲线 C 与其在点1P处的切线方程为231111y=(3x-1)(x-x)+x-x,即 2311y=(3x-1)x-2x,由23113(3x-1)x-2xy=x-xy 得3x-x=2311(3x-1)x-2x，题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有
16、一项是符合题目要求的计算的值等于以抛物线的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为设等差数列的前项和为若则当取最小值时等于函数的零点个数为阅读右图所示的程序框图异于的点且则下列结论中不正确的是四边形是矩形是棱柱是棱台学习必备欢迎下载若点和点分别是双曲线的中心和左焦点点为双曲线右支上的任意一点则的取值范围为设不等式组所表示的平面区域是平面区域是与关于直线对称对于的函数和若存在函数为常数对任给的正数存在相应的线为曲线和的分渐近线给出定义域均为的四组函使得当且时总有则称直数如下其中曲线和存在分渐近线的是二填空题在等比数列中若公比且前项之和等于则该数列的通项公式学习学习必备 欢迎下载 即211(x-x)x+
17、2x)=0（，解得1121x=x2,x2xxx 或故，进而有 1123234111127(x-3x x+2x)dx=x4xxS，用2x代替1x，重复上述计算过程，可得 32x2x 和42227S=x4，又21x20 x，所以42127 16S=x0,4 因此有12S1=S16。（）记函数32g(x)=ax+bx+cx+d(a0)的图象为曲线C，类似于（）（ii）的正确命题为：若对任意不等式b3a的实数1x，曲线C与其在点111P(x,g(x)处的切线交于另一点 222P(x,g(x)，曲线 C 与其在点222P(x,g(x)处的切线交于另一点333P(x,g(x)，线段 11223122PP,
18、P P,S,.SCS与曲线所围成封闭图形的面积分别记为 S则为定值 证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心b(3ag（，b)3a平移至坐标原点，因而不妨设3g(x)=ax+hx(x0)，类似（i）（ii）的计算可得 41127S=x4，42127 16S=x0,4故12S1=S16。21、（1）【解析】（）由题设得02200220cadbcbd ，解得1122abcd ；（）因为矩阵 M 所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线3yx上的两（0，0），（1，3），由001111 00 ，131111 22 得：点（0，0），（1，3）在矩阵 M 所
19、对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），从而 直线3yx在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程为yx。（2）选修 4-4：坐标系与参数方程【解析】（）由2 5sin得222 50,xyy即22(5)5.xy 题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的计算的值等于以抛物线的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为设等差数列的前项和为若则当取最小值时等于函数的零点个数为阅读右图所示的程序框图异于的点且则下列结论中不正确的是四边形是矩形是棱柱是棱台学习必备欢迎下载若点和点分别是双曲线的中心和左焦点点为双曲线右支上的任意一点则的取值范围为设不等式组所表示的平面区域是平面区
20、域是与关于直线对称对于的函数和若存在函数为常数对任给的正数存在相应的线为曲线和的分渐近线给出定义域均为的四组函使得当且时总有则称直数如下其中曲线和存在分渐近线的是二填空题在等比数列中若公比且前项之和等于则该数列的通项公式学习学习必备 欢迎下载（）将l的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得2222(3)()522tt，即23 240,tt 由于2(3 2)4420 ，故可设12,t t是上述方程的两实根，所以121 23 2,(3,5),4ttlPt t 又直线 过点故由上式及 t 的几何意义得：|PA|+|PB|=12|t|+|t|=12t+t=3 2。（3）选修 4-5：不等式选讲【解析】
21、（）由()3f x 得|3xa，解得33axa ，又已知不等式()3f x 的解集为|15xx，所以3135aa ，解得2a。（）当2a 时，()|2|f xx，设()=()(5)g xf xf x，于是()=|x-2|3|g xx=21,2xxxxx ，所以 当x5；当-3 x2 时，g(x)5；当x2时，g(x)5。题共小题每小题分共分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的计算的值等于以抛物线的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为设等差数列的前项和为若则当取最小值时等于函数的零点个数为阅读右图所示的程序框图异于的点且则下列结论中不正确的是四边形是矩形是棱柱是棱台学习必备欢迎下载若点和点分别是双曲线的中心和左焦点点为双曲线右支上的任意一点则的取值范围为设不等式组所表示的平面区域是平面区域是与关于直线对称对于的函数和若存在函数为常数对任给的正数存在相应的线为曲线和的分渐近线给出定义域均为的四组函使得当且时总有则称直数如下其中曲线和存在分渐近线的是二填空题在等比数列中若公比且前项之和等于则该数列的通项公式学习