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1、随机变量及其分布 知识网络 知识要点梳理 知识点一：离散型随机变量及其分布列 1离散型随机变量：2离散性随机变量的分布列：3离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：（1）pi0,i=1,2；（2）P1+P2+=1 知识点二：离散型随机变量的二点分布 知识点三：离散型随机变量的二项分布 在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在 n 次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量，如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是，于是得到随机变量的概率分布如下：0 1 K N p 若，则，。知识点四：离散型随机变量的几何分布 独立重复
2、试验中，某个事件第一次发生时所作试验的次数也是一个正整数的离散型随机变量。表示在第 k 次独立重复试验时该事件第一次发生，如果把第 k 次重复试验时事件 A发生记作 Ak，事件 A不发生记作且 那么离散型随机变量的概率分布是：1 2 3 k P 称这样的随机变量服从几何分布，记作其中 若随机变量服从几何分布，则，知识点五：超几何分布 在含 M件次品的 N件产品中，任取 n 件，其中恰有 X件次品数，则事件发生的概率为：，其中，称分布列 0 1 为超几何分布列。离散型随机变量 X服从超几何分布。若随机变量 X服从超几何分布，则，。知识点六：离散型随机变量的期望与方差 1、离散型随机变量的期望：2
3、、离散型随机变量的方差：分布列离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质知识点二离散型随机变量的二点分布知识点三离散型随机变量的二项分布在一次随机试验中某事件可能发生也可能不发生在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量的概率分布如下若则知识点四离散型随机变量的几何分布独立重复试验中某个事件第一次发生时所作试验的次数也是一个正整数的离散型随机变量表示在第次独立重复试验时该事件第一次发生如果把第次重复试验时事件发生记作事分布则知识点五超几何分布在含件次品的件产品中任取件其中恰有件次品数则事件发生的概率为其中称分布列为超几何分布列离散型随机变量服从超几何分布若随机变量服从超几何分布则知识点六
4、离散型随机变量的期望与方差离散经典例题精析 类型一：独立重复试验的概率 1、把 n 个不同的球随机地放入编号为 1，2，m的 m个盒子内，求 1 号盒恰有 r 个球的概率 【变式 1】十层电梯从低层到顶层停不少于 3 次的概率是多少？停几次概率最大？【变式 2】实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定 5 局 3 胜制（即 5 局内谁先赢 3 局就算胜出并停止比赛）（1）试分别求甲打完 3 局、4 局、5 局才能取胜的概率 （2）按比赛规则甲获胜的概率 类型二：分布列的性质 2、若离散型随机变量的概率分布列为：0 1 p 9c2-c 3-8c 试求出常数 c 与的分布列。【变式 1】某一射
5、手射击所得的环数的分布列如下：4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 求此射手“射击一次命中环数7”的概率 【变式 2】随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则的值是_ 分布列离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质知识点二离散型随机变量的二点分布知识点三离散型随机变量的二项分布在一次随机试验中某事件可能发生也可能不发生在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量的概率分布如下若则知识点四离散型随机变量的几何分布独立重复试验中某个事件第一次发生时所作试验的次数也是一个正整数的离散型随机变量表示在第次独立重复试验时该事件第
6、一次发生如果把第次重复试验时事件发生记作事分布则知识点五超几何分布在含件次品的件产品中任取件其中恰有件次品数则事件发生的概率为其中称分布列为超几何分布列离散型随机变量服从超几何分布若随机变量服从超几何分布则知识点六离散型随机变量的期望与方差离散类型三：离散型随机变量的分布列 3、某人参加射击，击中目标的概率是。设为他射击 6 次击中目标的次数，求随机变量的分布列；设为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求的分布列；若他只有 6 颗子弹，若他击中目标，则不再射击，否则子弹打完，求他射击次数的分布列。举一反三：【变式 1】在 10 件产品中有 2 件次品，连续抽 3 次，每次抽 1 件，求：（1）
7、不放回抽样时，抽到次品数的分布列；（2）放回抽样时，抽到次品数的分布列.【变式 2】从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事件：“取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 （1）求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率；（2）若该批产品共 100 件，从中任意抽取 2 件，表示取出的 2 件产品中二等品的件数，求的分布列 分布列离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质知识点二离散型随机变量的二点分布知识点三离散型随机变量的二项分布在一次随机试验中某事件可能发生也可能不发生在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量的概率分布如下若则知识点四离散型随机变量
8、的几何分布独立重复试验中某个事件第一次发生时所作试验的次数也是一个正整数的离散型随机变量表示在第次独立重复试验时该事件第一次发生如果把第次重复试验时事件发生记作事分布则知识点五超几何分布在含件次品的件产品中任取件其中恰有件次品数则事件发生的概率为其中称分布列为超几何分布列离散型随机变量服从超几何分布若随机变量服从超几何分布则知识点六离散型随机变量的期望与方差离散 【变式 3】某运动员射击一次所得环数的分布如下：6 7 8 9 10 0 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.(I)求该运动员两次都命中 7 环的概率；(II)求的分布列；类型四：离散型随机变量的期望和方差
9、 4、已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4个黑球现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球 （）求取出的 4 个球均为黑球的概率；（）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率；（）设为取出的 4 个球中红球的个数，求的分布列和数学期望 举一反三：【变式 1】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有 60%，参加过计算机培训的有 75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响 （I）任选 1 名下岗人员，求该人参
10、加过培训的概率；（II）任选 3 名下岗人员，记为 3 人中参加过培训的人数，求的分布列和期望 【变式 2】某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望 分布列离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质知识点二离散型随机变量的二点分布知识点三离散型随机变量的二项分布在一次随机
11、试验中某事件可能发生也可能不发生在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量的概率分布如下若则知识点四离散型随机变量的几何分布独立重复试验中某个事件第一次发生时所作试验的次数也是一个正整数的离散型随机变量表示在第次独立重复试验时该事件第一次发生如果把第次重复试验时事件发生记作事分布则知识点五超几何分布在含件次品的件产品中任取件其中恰有件次品数则事件发生的概率为其中称分布列为超几何分布列离散型随机变量服从超几何分布若随机变量服从超几何分布则知识点六离散型随机变量的期望与方差离散 【变式 3】A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是 A1，A2，A3，B队队员是 B1，B2
12、，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 A1对 B1 A2对 B2 A3对 B3 现按表中对阵方式出场，每场胜队得 1 分，负队得 0 分，设 A队、B队最后所得总分分别为、，（1）求、的概率分布；（2）求 E、E。5、甲乙两人独立解某一道数学题，该题被甲独立解出的概率为 0.6，被甲或乙解出的概率为 0.92。(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数的数学期望和方差。举一反三：【变式】一名学生骑自行车上学，从他的家到学校的途中有 6 个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是。()求这名学生首次遇
13、到红灯前，已经过了两个交通岗的概率；()求这名学生在途中遇到红灯数的期望与方差。分布列离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质知识点二离散型随机变量的二点分布知识点三离散型随机变量的二项分布在一次随机试验中某事件可能发生也可能不发生在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量的概率分布如下若则知识点四离散型随机变量的几何分布独立重复试验中某个事件第一次发生时所作试验的次数也是一个正整数的离散型随机变量表示在第次独立重复试验时该事件第一次发生如果把第次重复试验时事件发生记作事分布则知识点五超几何分布在含件次品的件产品中任取件其中恰有件次品数则事件发生的概率为其中称分布列为超几何分布列离散型
14、随机变量服从超几何分布若随机变量服从超几何分布则知识点六离散型随机变量的期望与方差离散 举一反三：【变式 1】利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是_.【变式 2】甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为、，和的分布列如下：0 1 2 P 0 1 2 P 试对这两名工人的技术水平进行比较。【变式 3】甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量与的分布列为：1 2 3 p a 0.1 0.6 1 2 3 p 0.3 b 0.3 (1)求 a、b 的值；(2)甲、乙两名射手在一次射击中的得分均小于 3 的概率谁更大？(3)计算的期望与方差，并以
15、此分析甲乙的技术状况。分布列离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质知识点二离散型随机变量的二点分布知识点三离散型随机变量的二项分布在一次随机试验中某事件可能发生也可能不发生在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量的概率分布如下若则知识点四离散型随机变量的几何分布独立重复试验中某个事件第一次发生时所作试验的次数也是一个正整数的离散型随机变量表示在第次独立重复试验时该事件第一次发生如果把第次重复试验时事件发生记作事分布则知识点五超几何分布在含件次品的件产品中任取件其中恰有件次品数则事件发生的概率为其中称分布列为超几何分布列离散型随机变量服从超几何分布若随机变量服从超几何分布则知识点六离
16、散型随机变量的期望与方差离散 高考题萃 1.（2008 全国 I）已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止 方案乙：先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动物为这3 只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验 （）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（）表示依方案乙所需化验次数，求的期望 2.（2008 全国 II）购买某种保险，每个投保人每年度向保险
17、公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得 10 000 元的赔偿金假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为 （）求一投保人在一年度内出险的概率；（）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元，为保证盈利的期望不小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）3.（2008 北京）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者 （）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；（）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（）设随机变量为这
18、五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列 4.（2008 四川）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。（）求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（）求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（）记表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望。分布列离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质知识点二离散型随机变量的二点分布知识点三离散型随机变量的二项分布在一次随机试验中某事件可能发生也可能不发生在次独立重复试验中这个事
19、件发生的次数是一个随机变量的概率分布如下若则知识点四离散型随机变量的几何分布独立重复试验中某个事件第一次发生时所作试验的次数也是一个正整数的离散型随机变量表示在第次独立重复试验时该事件第一次发生如果把第次重复试验时事件发生记作事分布则知识点五超几何分布在含件次品的件产品中任取件其中恰有件次品数则事件发生的概率为其中称分布列为超几何分布列离散型随机变量服从超几何分布若随机变量服从超几何分布则知识点六离散型随机变量的期望与方差离散 5.（2008 安徽)为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了 n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为 p，设为成活沙柳
20、的株数，数学期望，标准差为。（）求 n,p 的值并写出的分布列；（）若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率。6.（2008 山东）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队 3 人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中 3 人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用表示甲队的总得分.（）求随机变量分布列和数学期望；()用 A表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件，用 B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求 P(AB).7.（2008 江西）某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出
21、两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的 1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.5、0.5.若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的 1.2 倍、1.0 倍、0.8 倍的概率分别是 0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的 1.2 倍、1.0 倍的概率分别是 0.4、0.6.实施每种方案，第二年与第一年相互独立。令表示方案 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数 （1）写出的分布列；（2）实施哪种方案，两年后柑
22、桔产量超过灾前产量的概率更大？（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益 10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益 15 万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益 20 万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？8.（2008 湖北）袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上号的有个（=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.（）求的分布列，期望和方差；（）若,试求 a,b 的值.分布列离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质知识点二离散型随机变量的二点分布知识点三离散型随机变量的二项分布在一次随机试验中某事
23、件可能发生也可能不发生在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量的概率分布如下若则知识点四离散型随机变量的几何分布独立重复试验中某个事件第一次发生时所作试验的次数也是一个正整数的离散型随机变量表示在第次独立重复试验时该事件第一次发生如果把第次重复试验时事件发生记作事分布则知识点五超几何分布在含件次品的件产品中任取件其中恰有件次品数则事件发生的概率为其中称分布列为超几何分布列离散型随机变量服从超几何分布若随机变量服从超几何分布则知识点六离散型随机变量的期望与方差离散 9.（2008 湖南）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定
24、：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：（）至少有 1 人面试合格的概率;（）签约人数的分布列和数学期望.10.（2008 陕西）某射击测试规则为：每人最多射击 3 次，击中目标即终止射击，第次击中目标得分，3 次均未击中目标得 0 分已知某射手每次击中目标的概率为 0.8，其各次射击结果互不影响 （）求该射手恰好射击两次的概率；（）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望 11.（2008 重庆）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮
25、空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满 6 局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：（）打满 3 局比赛还未停止的概率；（）比赛停止时已打局数的分别列与期望.12.（2008 福建）某项考试按科目 A、科目 B依次进行，只有当科目 A成绩合格时，才可继续参加科目 B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目 A每次考试成绩合格的概率均为，科目 B每次考试成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.（）求他不需要补考就可获得证书的概率；（）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参
26、加考试的次数为，求的数学期望.13.（2008 广东）随机抽取某厂的某种产品 200 件，经质检，其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品 4 件已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6万元、2 万元、1 万元，而 1 件次品亏损 2 万元设 1 件产品的利润（单位：万元）为 分布列离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质知识点二离散型随机变量的二点分布知识点三离散型随机变量的二项分布在一次随机试验中某事件可能发生也可能不发生在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量的概率分布如下若则知识点四离散型随机变量的几何分布独立重复试验中某个事件第一次发生时
27、所作试验的次数也是一个正整数的离散型随机变量表示在第次独立重复试验时该事件第一次发生如果把第次重复试验时事件发生记作事分布则知识点五超几何分布在含件次品的件产品中任取件其中恰有件次品数则事件发生的概率为其中称分布列为超几何分布列离散型随机变量服从超几何分布若随机变量服从超几何分布则知识点六离散型随机变量的期望与方差离散 （1）求的分布列；（2）求 1 件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为 如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元，则三等品率最多是多少？14.（2008 浙江）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和
28、红球。已知从袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是。（）若袋中共有 10 个球，（i）求白球的个数；（ii）从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望。（）求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。15.（2008 辽宁）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近 100周的统计结果如下表所示：周销售量 2 3 4 频数 20 50 30 （）根据上面统计结果，求周销售量分别为 2 吨，3 吨和 4 吨的频率；（）已知每吨该商品的销售利润为 2
29、 千元，表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望 分布列离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质知识点二离散型随机变量的二点分布知识点三离散型随机变量的二项分布在一次随机试验中某事件可能发生也可能不发生在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量的概率分布如下若则知识点四离散型随机变量的几何分布独立重复试验中某个事件第一次发生时所作试验的次数也是一个正整数的离散型随机变量表示在第次独立重复试验时该事件第一次发生如果把第次重复试验时事件发生记作事分布则知识点五超几何分布在含件次品的件产品中任取件其中恰有件次品数则事件发生的概率为其中称分布列为超几何分布列离散型随机变量服从超几何分布若随机变量服从超几何分布则知识点六离散型随机变量的期望与方差离散