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1、学习好资料 欢迎下载 三角形内角和定理 教学设计 一、教材分析：地位与作用：三角形内角和定理是初中几何中的一个很重要的定理。它从数量角度揭示三角形三内角之间的关系，是三角形的一个重要性质，既是今后几何推理的重要依据，又是计算角度的重要方法。教材从学生实践操作到证明过程的呈现训练了学生的抽象思维能力和逻辑推理能力；其中辅助线的作法学生第一次接触，它集中了条件、构造了新图形、形了成新关系，实现了未知与已知的转化，起到了解决问题的桥梁作用；因此本节内容不仅在知识上具有承前启后的地位，而且对今后学习和生活都将起到重要的指导作用。重点：教学重点以三角形内角和定理的证明为载体，学习几何证明思想，以及辅助线
2、的有关知识，体会数形结合思想。难点：辅助线添加的必要性和具体方法：（1）为什么要添加；（2）在哪里添加；（3）如何添加；（4）哪种添加方法最简单。二、学情分析：（1）学生已经接触过三角形内角和定理，并且进行了猜想与验证及口头说理过程。这为证明三角形内角和定理提供了认知基础。（2）从学生的学习动机与需要上看，他们有探究新事物的欲望和好奇心，这为探究三角形内角和定理的证明策略及方法提供了情感保障。（3）学生在学习三角形内角和定理的证明过程中，其认知顺序可能是建构型的。平行线是其原有知识储备的主要图式，他们利用原有图式完全可以同化三角形内角和定理。三、教学目标：知识与技能：掌握“三角形内角和定理”的
3、证明以及简单应用。并初步学会利用添加辅助线的方法进行命题的证明。过程与方法：学生亲历探索撕纸过程对比，体会思维实验和符号化的理性运用，在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成逻辑推理能力，并形成一定的逻辑思维能力。情感态度与价值观：通过多种证明定理的方法，初步体会思维的多向性，培养学生创新思维能力、创新想象能力，并体会推理的严谨性，初步树立步步有据的推理意识，发展推理论证能力，同时，善于表达自己的想法，并能与同伴交流。四、教学方法：1、教学方式：学生自主探究、合作交流学习，教师引导发现教学。五、教学资源：为促进学生自主学习，增大课堂容量，提高效率，突出重点，突破难点，本
4、节课将采学习好资料 欢迎下载 用多媒体演示教学。六、设计思路：数学课程标准 明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人。”为能更多地向学生提供从事数学活动的机会，我将本节课设为以下七个环节：知识回顾，积累经验情景再现，导入新课活用化归，开启智慧分组探究，证明定理实践应用，培养能力畅谈收获，反思升华当堂检测，布置作业。七、评价机制 一个好的评价机制能更好的促进学生的发展，评价应该注重过程，注重考查学生证明意识的建立和运用过程，注重考查他们是否积极地独立思考、积极地参与合作，是否认真反思自己的行为。为此我们引进星光大道分组进步评价机制。说明：班级同学分成八组，正确回答问题的同学将本
5、组五星向上进一步，如果同学回答错误，能被同组同学救起的，五星不进不退，否则五星后退一步。最后五星进步最多的组获胜，获胜组可适当减免家庭作业。星 光 大 道 四组 五组 六组 七组 八组 一组 二组 三组 我的表现 重要的定理它从数量角度揭示三角形三内角之间的关系是三角形的一个重要性质既是今后几何推理的重要依据又是计算角度的重要方法教材从学生实践操作到证明过程的呈现训练了学生的抽象思维能力和逻辑推理能力其中辅助线的用因此本节内容不仅在知识上具有承前启后的地位且对今后学习和生活都将起到重要的指导作用重点教学重点以三角形内角和定理的证明为载体学习几何证明思想以及辅助线的有关知识体会数形结合思想难点辅
6、助线添加的必要性和且进行了猜想与验证及口头说理过程这为证明三角形内角和定理提供了认知基础从学生的学习动机与需要上看他们有探究新事物的欲望和好奇心这为探究三角形内角和定理的证明策略及方法提供了情感保障学生在学习三角形内角和学习好资料 欢迎下载 八、教学过程：教学 程序 教师活动 学生活动 设计意图 知 识 回 顾，积 累 经 验 问题 1、证明一个文字命题的一般步骤：1.推敲命题的条件和结论 2.画图，写已知、求证 3.完成证明 问题 2、平行线的性质：性质 文字语言 符号语言 图形 性质公理 两 直 线 平行，同位角相等 ab 1=2 2 3 4 1 性质定理1 两 直 线 平行，同旁内角互补
7、。ab 1+4=180 性质定理2 两 直 线 平行，内错角相等 ab 1=3 学 生 复 习巩 固 命 题证 明 的 三个 步 骤 和平 行 线 的三个性质，为 本 节 课的 顺 利 进行做准备。复习上节课所学的平行线的三个性质，并引入探究课题，为三角形内角和定理的证明做好铺垫。情 景 再 现，导 入 新 师：我们知道三角形三个内角的和等于 180.你还记得这个结论的探索过程吗?（1）数的研究：对于三角形的内角和是 180这样一个结论，启发学生回想，我们在小学时是怎样知道这个结论的。（通过量角器进行角度的测量，这就是“数”的研究，量角器在这里起到桥的作用。）问题 2：通过前两节课的学习，我们
8、知道通过观察、度量、猜测得到的结论不一定是正确的，测量会 小 组 合 作探 究 得 出结论，然后交流。（1）鉴于学生对证明已有一定的认识和了解，并且对三角形内角和已经有初步认识，在教学过程设计重要的定理它从数量角度揭示三角形三内角之间的关系是三角形的一个重要性质既是今后几何推理的重要依据又是计算角度的重要方法教材从学生实践操作到证明过程的呈现训练了学生的抽象思维能力和逻辑推理能力其中辅助线的用因此本节内容不仅在知识上具有承前启后的地位且对今后学习和生活都将起到重要的指导作用重点教学重点以三角形内角和定理的证明为载体学习几何证明思想以及辅助线的有关知识体会数形结合思想难点辅助线添加的必要性和且进
9、行了猜想与验证及口头说理过程这为证明三角形内角和定理提供了认知基础从学生的学习动机与需要上看他们有探究新事物的欲望和好奇心这为探究三角形内角和定理的证明策略及方法提供了情感保障学生在学习三角形内角和学习好资料 欢迎下载 课 产生误差，问题解决得并不完美。这就促使我们去寻找新的研究方向形。（体会证明的必要性）（2）形的研究：对于三角形的内角和是 180这样一个结论，启发学生回想，是怎样知道这个结论的。（通过动手操作拼图，将分散的三个角“搬”到一起，从而构成一个平角或两角互补，为本节课引出辅助线做好铺垫）命题 三角形三个内角的和等于 180 数 度量三个内角的度数并求和 等于 180 测量 形 三
10、个角拼在一起（1）平角；（2）两角互补 证明 学 生 自 主思考，从数和 形 两 个角 度 进 一步 体 会 三角 形 的 内角和。上并没有从学生身边熟悉的事例创设情境，而是简单地对三角形内角和的知识加以回忆。（2）剪拼得到的结论有一定的合理性，但还需证明来确认，教育学生研究问题要有一个严谨的科学态度。活 用 化 归，开 启 智 慧 根据前面给出的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流.结论：三角形三个内角的和等于180。师：这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？生：需要先画图形，根据命题的条件和结论写出已知、求证。师：对，下
11、面大家来证明，哪位同学上黑板给大家板演呢？已知:A、B、C 是ABC的三内角.求证:A+B+C=180 分析:延长BC到D,过点C作射线CE AB,这样,就相当于把A移到了ACE 的位置,把B移到了ECD 的位置.（当条件不够时，添加辅助线，构造新图形，形成新关系，找到已知与未知的桥梁，把问题转化为自己已经会解的情况，这是解决问题常用的策论之一，学 生 在 三个 角 拼 接的 过 程 中体 会 辅 助线 的 巧 妙之处。结合平 行 线 的性 质 将 某些 角 成 功转移，将三角 形 的 三个内角“凑”到一起，形成一 让学生学会运用旧知解决新知，从以前的活动中思考获取解决的方法，有合作学习的能力
12、，有探究新知的能力。教师在这里要交代什 么 是 辅 助线，添加时要用虚线画出；辅助线怎么来的重要的定理它从数量角度揭示三角形三内角之间的关系是三角形的一个重要性质既是今后几何推理的重要依据又是计算角度的重要方法教材从学生实践操作到证明过程的呈现训练了学生的抽象思维能力和逻辑推理能力其中辅助线的用因此本节内容不仅在知识上具有承前启后的地位且对今后学习和生活都将起到重要的指导作用重点教学重点以三角形内角和定理的证明为载体学习几何证明思想以及辅助线的有关知识体会数形结合思想难点辅助线添加的必要性和且进行了猜想与验证及口头说理过程这为证明三角形内角和定理提供了认知基础从学生的学习动机与需要上看他们有探
13、究新事物的欲望和好奇心这为探究三角形内角和定理的证明策略及方法提供了情感保障学生在学习三角形内角和学习好资料 欢迎下载 辅助线的添法没有统一的规律，需要根据问题而定，本题就是把三个角“搬”到一起的，让三个顶点重合，两条边形成一条直线，以便利用平角解决问题）证明：延长 BC到 D，过点 C作直线 CE AB BECD（两直线平行，同位角相等）ACE=A（两直线平行，内错角相等）ACE+ECD+ACB 180 ABACB 180（等量代换）师：同学们写得证明过程很好，在证明过程中，我们添画了射线 CE、CD，使处于原三角中不同位置的三个角，巧妙地拼凑到一起来了。为了证明的需要，在原来的图形上添画的
14、线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。我们通过推理的过程，得证了命题：三角形的三个内角的和等于 180是真命题，这时称它为定理。即：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180。个 对 命 题证 明 的 严密的思考、证明过程。在证明开始时要交代清楚，后添加的字母要在证明的开始前交代清楚；规范书写格式是自上而下的；有条理的表达上面的分析思路，有一个严密的逻辑思维过程。分 组 探 究，证 明 定 理 师：你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到 A 处,他过点 A 作直线 PQ BC(如图),他的想法可以吗?请你帮小明把想法化为实
15、际行动 证明:过点 A 作 PQBC PAB=B(两直线平行,内错角相等),QAC=C(两直线平行,内错角相等),BAC+B+C=180(平角的定义),BAC+B+C=180(等量代换).小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?你有新的证法吗?1、教师组织学生分组讨论：有了上面的知识作为铺垫，我们可以开展探究活动了，看哪组最先找到解决办法，找到的方法最多。2、在学生开展探究的过程中，教师参与其中，对个别感到困难的小组可以进行适当的提示和引导。3、教师指导学生添加辅助线，给出完整的“三角形内角和定理”的证明。4、分组探究，成果展示 教师指导学生进行全班交流：（1）借助实物投影仪，将学生找到的
16、添加辅助线的方法进行汇总展示。（2）在展示过程中，注意关注学生的表达以及寻找到的添加辅助线的方法，若有不全的，教师进行必要的提示。（3）引导学生将辅助线添加在三角形的顶部，边上及三角形内、外部均可。然后，进一步引导学生比较哪种最好。学 生 要 积极思考，主动 寻 求 将内角“凑”到 一 起 的办法，小组合 作 探 讨完成。班内交流。争取为 本 组 加分。1、让学生在证明的过程中，进一步了解三角形内角和定理的证明思路，并且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路2、三角形内角和的证明实质是利用化归思想将三角形内角和转化为“平角等于180”或“两直线平行同旁内 角 和 等 于180 这一点应向学生交
17、代清楚 3、给学生充重要的定理它从数量角度揭示三角形三内角之间的关系是三角形的一个重要性质既是今后几何推理的重要依据又是计算角度的重要方法教材从学生实践操作到证明过程的呈现训练了学生的抽象思维能力和逻辑推理能力其中辅助线的用因此本节内容不仅在知识上具有承前启后的地位且对今后学习和生活都将起到重要的指导作用重点教学重点以三角形内角和定理的证明为载体学习几何证明思想以及辅助线的有关知识体会数形结合思想难点辅助线添加的必要性和且进行了猜想与验证及口头说理过程这为证明三角形内角和定理提供了认知基础从学生的学习动机与需要上看他们有探究新事物的欲望和好奇心这为探究三角形内角和定理的证明策略及方法提供了情感
18、保障学生在学习三角形内角和学习好资料 欢迎下载 师：在证明三角形内角和定理时,以上的方法是把三个角“凑”某个顶点处，也可将三个角“凑”在别处。比如：证明：过 BC上一点 D做 DF AB,DE AC DF AB （已知）FDC=B（两直线平行，同位角相等）DFC=A(两直线平行，同位角相等）DEAC （已知）EDB=C（两直线平行，同位角相等）DFC=EDF(两直线平行，内错角相等）EDF=A(等量代换）EDF+EDB+FDC=180（平角的定义）A+B+C=180(等量代换）分的自我展示的机会，尽量发现更多的添加辅助线的方法。实 践 应 用，培 养 能 力 例 1、如图，在ABC 中，已知A
19、BC=38，ACB=62，AD 平分BAC，求ADB 的度数。1.证明：直角三角形的两锐角互余 已知，RtABC 中，C=90，求证：A+B=90 学 生 积 极思考、整理书面过程，大胆发言，让学生体会“三角形内角和定理”最直接的应用：已知两角求第三个角.A B D C 重要的定理它从数量角度揭示三角形三内角之间的关系是三角形的一个重要性质既是今后几何推理的重要依据又是计算角度的重要方法教材从学生实践操作到证明过程的呈现训练了学生的抽象思维能力和逻辑推理能力其中辅助线的用因此本节内容不仅在知识上具有承前启后的地位且对今后学习和生活都将起到重要的指导作用重点教学重点以三角形内角和定理的证明为载体
20、学习几何证明思想以及辅助线的有关知识体会数形结合思想难点辅助线添加的必要性和且进行了猜想与验证及口头说理过程这为证明三角形内角和定理提供了认知基础从学生的学习动机与需要上看他们有探究新事物的欲望和好奇心这为探究三角形内角和定理的证明策略及方法提供了情感保障学生在学习三角形内角和学习好资料 欢迎下载 A C B 2.证明：有两角互余的三角形是直角三角形 已知，ABC 中，A+B=90 求证：C=90 证明：ABC 中 A+B+C=180(三角形内角和定理）A+B=90（已知）C=90（等量代换）A C B C 3、A D B 已知：如图，在 RtABC 中，ACB=90,CDAB,垂足为点 D.
21、求证：A=DCB.4、已知:如图在ABC 中，DEBC,A=60,C=70.求证：ADE=50 1.结 合 命题 证 明 的三部曲，争取 学 生 独立 推 敲 命题，画图、写 已 知 求证，完成证明。第 3 题是“直 角 三角 形 两 锐角互余”的典型应用。第 4 题是“三 角 形内角和”和平 行 线 的结合。通过1.2 题的命题证明，进一步让学生体会三角形内角和定理与直角三角形结合后形成的特殊特征。重要的定理它从数量角度揭示三角形三内角之间的关系是三角形的一个重要性质既是今后几何推理的重要依据又是计算角度的重要方法教材从学生实践操作到证明过程的呈现训练了学生的抽象思维能力和逻辑推理能力其中辅
22、助线的用因此本节内容不仅在知识上具有承前启后的地位且对今后学习和生活都将起到重要的指导作用重点教学重点以三角形内角和定理的证明为载体学习几何证明思想以及辅助线的有关知识体会数形结合思想难点辅助线添加的必要性和且进行了猜想与验证及口头说理过程这为证明三角形内角和定理提供了认知基础从学生的学习动机与需要上看他们有探究新事物的欲望和好奇心这为探究三角形内角和定理的证明策略及方法提供了情感保障学生在学习三角形内角和学习好资料 欢迎下载 畅 谈 收 获，反 思 升 华 本节课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理。学数学，要善于抓住不变的根本，又要善于灵活的在变化中认识处理解决问题 通过本节课的学习,
23、你有哪些收获?1、我们通过讨论、观察、添加辅助线(平行线）把三角形三个内角转化为平角或两平行线间的同旁内角，证明了三角形的内角和定理,即运用了转化与化归思想。2、我们知道了一题多解。学 生 要 大胆概括、归纳，积极发言。通过归纳与总结、反思与交流，强化概念，提高学生概括表达能力。当 堂 检 测，布 置 作 业 必做题 如图,AB/CD,ABD 与BDC 的平分线相交于点 O,求O 的度数.A B 2 1 O 3 4 C D 选做题 已知：如图，ABC 中，B 和C 的平分线 BE，CF 交点 O.求证：BOC=90+21A 考 查 学 生要 准 确 运用 三 角 形内 角 和 定理能力，和灵
24、活 结 合角 平 分 线解 决 具 体问题能力。考虑到学生的个体差异，为更好地促使每一个学生得到不同的发展，在课外作业的布置上分必做与选做。九、板书设计：三角形内角和定理的证明 三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于 180。添加辅助线：1、构造平角 2、构造同旁内角。例题解析 练习：随堂练习。重要的定理它从数量角度揭示三角形三内角之间的关系是三角形的一个重要性质既是今后几何推理的重要依据又是计算角度的重要方法教材从学生实践操作到证明过程的呈现训练了学生的抽象思维能力和逻辑推理能力其中辅助线的用因此本节内容不仅在知识上具有承前启后的地位且对今后学习和生活都将起到重要的指导作用重点教学重点
25、以三角形内角和定理的证明为载体学习几何证明思想以及辅助线的有关知识体会数形结合思想难点辅助线添加的必要性和且进行了猜想与验证及口头说理过程这为证明三角形内角和定理提供了认知基础从学生的学习动机与需要上看他们有探究新事物的欲望和好奇心这为探究三角形内角和定理的证明策略及方法提供了情感保障学生在学习三角形内角和学习好资料 欢迎下载 重要的定理它从数量角度揭示三角形三内角之间的关系是三角形的一个重要性质既是今后几何推理的重要依据又是计算角度的重要方法教材从学生实践操作到证明过程的呈现训练了学生的抽象思维能力和逻辑推理能力其中辅助线的用因此本节内容不仅在知识上具有承前启后的地位且对今后学习和生活都将起到重要的指导作用重点教学重点以三角形内角和定理的证明为载体学习几何证明思想以及辅助线的有关知识体会数形结合思想难点辅助线添加的必要性和且进行了猜想与验证及口头说理过程这为证明三角形内角和定理提供了认知基础从学生的学习动机与需要上看他们有探究新事物的欲望和好奇心这为探究三角形内角和定理的证明策略及方法提供了情感保障学生在学习三角形内角和