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1、湖南省怀化市湖天中学高中数学正弦函数、余弦函数的图象教案 新人教 A 版必修 4 教学日期 20XX年 月 日第 周星期 第 节 教学年级 高一 年级 上学期 科目 数学 课题 教学班级 13级 20 班 三 维目 标 知识与 技能 通过实验演示,让学生经历图象画法的过程及方法,通过对图象的感知,形成正弦曲线的初步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力 过程与 方法 通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换,了解函数之间的内在联系.通过三角函数图象的
2、三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象 情感态度与价值观 通过本节的学习,让学生体会数学中的图形 美,体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识,理解动与静的辩证关系,树立科学的辩证唯物主义观 教学用具 教学重点 正弦函数、余弦函数的图象 教学难点 将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系 教学步骤及要点：导入新课 思路 1.(复习导入)遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有什么特殊点,并借助图象研
3、究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然的想知道 y=sinx 与 y=cosx 的图象是怎样的呢?回忆我们在必修 1 中学过的指数函数、对数函数的图象是什么?是如何画出它们图象的(列表描点法:列表、描点、连线)?进而引导学生通过取值,画出当 x0,2 时,y=sinx的图象.思路 2.(情境导入)请学生动手做一做章头图表示的“简谐运动”实验.教师指导学生将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条
4、曲线,它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移 s(纵坐标)随时间 t(横坐标)变化的情况.有了上述实验,你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象?画函数的图象,最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法,但不够精确.下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象.推进新课 新知探究 提出问题 问题:作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示 x 角的三角函数值?怎样得到函数图象上点的两个
5、坐标的准确数据呢?简单地说,就是如何得到 y=sinx,x0,2 的精确图象呢?问题:如何得到 y=sinx,x R时的图象?活动:教师先让学生阅读教材、思考讨论,对于程度较弱的学生,教师指导他们查阅课本上的正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图象,怎样在 x 轴上标横坐标?为什么将单位圆分成 12 份?学生思考探索仍不得要领时,教师可进行适时的点拨.只要解决了 y=sinx,x 0,2 的图象,就很容易得到y=sinx,x R时的图象了.对问题,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并 12 等分,再把 x 轴上从 0 到2 这一段分成 12 等份.由于单位圆周长是 2,这样就解决
6、了横坐标问题.过O1上的各分点作 x 轴的垂线,就可以得到对应于 0、6、4、3、2、2 等角的正弦线,这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”).第二步,把角 x 的正弦线向右平移,使它的起点与 x 轴上的点 x 重合,这就得到了函数对(x,y)(相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我们就得到函数y=sinx在0,2 上的一段光滑曲线(相当于“连线”).如图1 所示(这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图象的感知).这是本节的难点,教师要和学生共同探讨.图 1 对问题,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数
7、 y=sinx在x2k,2(k+1),k Z且 k0 上的图象与函数 y=sinx 在 x0,2 上的图象的形状完全一致,只是位置不同.于是我们只要将函数 y=sinx,x0,2的图象向左、右平行移动(每次 2 个单位长度),就可以得到正弦函数 y=sinx,x R的图象.(这一过程用课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性)图 2 级高一年级上学期科目数学课题教学班级级班知识与技能三维目标通过实验演示让学生经历图象画法的过程及方法通过对图象的感知形成正弦曲线的初步认识进而探索正弦曲线准确的作法养成善于发现善于探究的良好习惯学会遇到度与价值观通过本节学习理解正弦函数余弦函数图象的
8、画法借助图象变换了解函数之间的内在联系通过三角函数图象的三种画法描点法几何法五点法体会用五点法作图给我们学习带来的好处并会练地画出一些较简单的函数图象通过的思想加深数形结合思想的认识理解动与静的辩证关系树立科学的辩证唯物主义观教学用具教学重点教学难点教学步骤及要点正弦函数余弦函数的图象将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点正弦函数与余弦函数图讨论结果:利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到 y=sinx,x 0,2 的图象.左、右平移,每次 2 个长度单位即可.提出问题 如何画出余弦函数 y=cosx,x R 的图象?你能从正弦函数与余弦函数的关系出发,利用正弦函数图象得到余弦函
9、数图象吗?活动:如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了,根据已学的知识,教师引导学生观察诱导公式,思考探究两个函数之间的关系,通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象?让学生从函数解析式之间的关系思考,进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法.让学生动手做一做,体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同,感知两个函数的整体形状,为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础.讨论结果:把正弦函数 y=sinx,x R 的图象向左平移2个单位长度即可得到余弦函数图象.如图 3.图 3 正弦函数 y=sinx,x R的图象和余弦函数 y=cosx,x R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线点.提出问题 问题:以
10、上方法作图,虽然精确,但不太实用,自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象的方法.你认为哪些点是关键性的点?问题:你能确定余弦函数图象的关键点,并作出它在0,2 上的图象吗?活动:对问题,教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象,发现在0,2上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数 y=sinx在0,2 上的图象的形状就基本上确定了.这五点如下:(0,0),(2,1),(,0),(23,-1),(2,0).因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的,要求熟练掌握.对问题,引导
11、学生通过类比,很容易确定在0,2 上起关键作用的五个点,并指导学生通过描这五个点作出在0,2 上的图象.讨论结果:略.关键点也有五个,它们是:(0,1),(2,0),(,-1),(23,0),(2,1).应用示例 例 1 画出下列函数的简图(1)y=1+sinx,x0,2;(2)y=-cosx,x0,2.活动:本例的目的是让学生在教师的指导下会用“五点法”画图,并通过独立完成课后练习 1 领悟画正弦、余弦函数图象的要领,最终达到熟练掌握.从实际教级高一年级上学期科目数学课题教学班级级班知识与技能三维目标通过实验演示让学生经历图象画法的过程及方法通过对图象的感知形成正弦曲线的初步认识进而探索正弦
12、曲线准确的作法养成善于发现善于探究的良好习惯学会遇到度与价值观通过本节学习理解正弦函数余弦函数图象的画法借助图象变换了解函数之间的内在联系通过三角函数图象的三种画法描点法几何法五点法体会用五点法作图给我们学习带来的好处并会练地画出一些较简单的函数图象通过的思想加深数形结合思想的认识理解动与静的辩证关系树立科学的辩证唯物主义观教学用具教学重点教学难点教学步骤及要点正弦函数余弦函数的图象将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点正弦函数与余弦函数图学来看,“五点法”画图易学却难掌握,学生需练好扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学
13、生操作中指导一一纠正,这对以后学习大有好处.解:(1)按五个关键点列表:x 0 2 23 2sinx 0 1 0-1 1+sinx 1 2 1 0 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图 4).图 4(2)按五个关键点列表:x 0 2 23 2cosx 1 0-1 0-cos x-1 0 1 0-描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图 5).图 5 点评:“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法,本例是最简单的变化.本例的目的是让学生熟悉“五点法”.如果是多媒体教学,要突破课件教学的互动性,多留给学生一些动手操作的时间,或者增加图象纠错的环节,效果将会令人满意,切不可教师画图学生看.完成本例
14、后,让学生阅读本例下面的“思考”,并回答如何通过图象变换得出要画的图象,让学生从另一个角度熟悉函数作图的方法.变式训练 2007山东临沂一摸统考 17(1)在给定的直角坐标系如图 6 中,作出函数f(x)=2cos(2x+4)在区间0,上的图象.解:列表取点如下:x 0 8 83 85 87 42x 4 2 23 2 49f(x)1 0 2 0 2 级高一年级上学期科目数学课题教学班级级班知识与技能三维目标通过实验演示让学生经历图象画法的过程及方法通过对图象的感知形成正弦曲线的初步认识进而探索正弦曲线准确的作法养成善于发现善于探究的良好习惯学会遇到度与价值观通过本节学习理解正弦函数余弦函数图象
15、的画法借助图象变换了解函数之间的内在联系通过三角函数图象的三种画法描点法几何法五点法体会用五点法作图给我们学习带来的好处并会练地画出一些较简单的函数图象通过的思想加深数形结合思想的认识理解动与静的辩证关系树立科学的辩证唯物主义观教学用具教学重点教学难点教学步骤及要点正弦函数余弦函数的图象将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点正弦函数与余弦函数图描点连线作出函数 f(x)=2cos(2x+4)在区间0,上的图象如图 7 所示.图6 图 7 知能训练 课本本节练习 课堂小结 以提问的方式,先由学生反思学习内容并回答,教师再作补充完善.1.怎样利用“周而复始”的特点,把区间0,2 上的图
16、象扩展到整个定义域的?2.如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线?这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法.除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外,余弦函数图象还可由平移交换法得到.“五点法”作图是比较方便、实用的方法,应熟练掌握.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.作业 1.课本习题 1.4 A组 1.2.预习下一节:正弦函数、余弦函数的性质.级高一年级上学期科目数学课题教学班级级班知识与技能三维目标通过实验演示让学生经历图象画法的过程及方法通过对图象的感知形成正弦曲线的初步认识进而探索正弦曲线准确的作法养成善于发现善于探究的良好习惯学会遇到度与价值观通过本节学习理解正弦函数余弦函数图象的画法借助图象变换了解函数之间的内在联系通过三角函数图象的三种画法描点法几何法五点法体会用五点法作图给我们学习带来的好处并会练地画出一些较简单的函数图象通过的思想加深数形结合思想的认识理解动与静的辩证关系树立科学的辩证唯物主义观教学用具教学重点教学难点教学步骤及要点正弦函数余弦函数的图象将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点正弦函数与余弦函数图