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1、学习必备 欢迎下载 函数复习 一填空题 1 已知函数 f（x）3axa1（a1），若 a0，则 f（x）的定义域是_ 2 设有两个命题，p：不等式xx1a 的解集为 R；q：函数 f（x）log（73a）x 在（0，）是增函数，若 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，那么实数 a 的取值范围是_ 3 设 f（x）是 R 上的减函数，且 f（0）3，f（3）1，设 Pxf（xt）12，Qxf（x）1，若“xP”是“xQ”的充分不必要条件，则实数 t 的取值范围是_ 4 已知函数 f（x）的定义域为 R，则下列命题中：若 f（x2）是偶函数，则函数 f（x）的图象关于直线 x2 对称；若
2、f（x2）f（x2），则函数 f（x）的图象关于原点对称；函数 yf（2x）与函数 yf（2x）的图象关于直线 x2 对称；函数 yf（x2）与函数 yf（2x）的图象关于直线 x2 对称 其中正确的命题序号是_ 5 已知函数 f（x）的定义域为xxR 且 x1，f（x1）为奇函数，当 x1 时，f（x）2x2x1，则当 x1 时，f（x）的递减区间是_ 6 若函数 f（x）mx4x3（x34）在定义域内恒有 f f（x）x，则 m 等于_ 7 已知函数 f（x）x22ax2a4 的定义域为 R，值域为1，），则 a的取值集合为_ 8 已知函数 f（x），g（x）满足 xR 时，f（x）g（x
3、），则 x1x2时，则 f（x1）f（x2）_g（x1）g（x2）（填、）9 已知二次函数 f（x）x22x6，设向量 a（sinx，2），b（2sinx，12），c（cos2x，1），d（1，2）当 x0，时，不等式 f（ab）f（c d）的解集为_ 10设函数 f（x）x1xa的图象关于直线 x1 对称，则 a 的值为_ 11已知函数 f（x）x2cosx，对于2，2上的任意 x1，x2，有如下条件：x1x2；x12x22；x1x2其中能使 f（x1）f（x2）恒成立的条件序号是_ 12如果函数 f（x）满足：对于任意的实数 a，b 都有 f（ab）f（a）f（b），且 f（1）2，则f（
4、1）f（0）f（5）f（3）f（9）f（6）f（14）f（10）f（1274）f（1225）_ 13将长度为 1 的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为_ 14已知函数 f（x）x22axb（xR），给出下列命题：f（x）必是偶函数；当 f（0）f（2）时，f（x）的图象必关于直线 x1 对称；若 a2b0，则 f（x）在区面a，）上是增函数；f（x）有最大值a2b 学习必备 欢迎下载 其中正确命题的序号是_ 二解答题 类型一：函数的图像与性质的综合应用。15已知函数 f（x）和 g（x）的图象关于原点对称，且 f（x）x22x（1）求函数
5、 g（x）的解析式；（2）解不等式 g（x）f（x）x1；（3）若 h（x）g（x）f（x）1 在1，1上是增函数，求实数 的取值范围 16设函数 f（x）定义在 R 上，对于任意实数 m，n 总有 f（mn）f（m）f（n），且当 x0 时，0f（x）1（1）证明：f（0）1，且 x0 时，f（x）1；（2）证明：函数 f（x）在 R 上单调递减；（3）设 A（x，y）f（x2）f（y2）f（1），B（x，y）f（axy2）1，aR，若 AB，确定 a 的取值范围 为真命题且为假命题那么实数的取值范围是设是上的减函数且设若是的充分不必要条件则实数的取值范围是已知函数的定义域为则下列命题中若是
6、偶函数则函数的图象关于直线对称若则函数的图象关于原点对称函数与函数的图象关递减区间是在定义域内恒有则等于已知函数的定义域为值域为则的取值集合为已知函数满足时则时则填已知二次函数设向量当时不等式的解集为设函数的图象关于直线对称则的值为若函数且则已知函数对于上的任意有如下条件其中圆形要使正方形与圆的面积之和最小正方形的周长应为已知函数给出下列命题必是偶函数当时的图象必关于直线对称若则在区面上是增函数有最大值学习必备欢迎下载其中正确命题的序号是二解答题类型一函数的图像与性质的综合学习必备 欢迎下载 类型二：含参变量的方程或不等式求取值范围。17对于满足 0p4 的一切实数，不等式 x2px4xp3
7、恒成立，试求 x的取值范围 18已知对于 x 的所有实数值，二次函数 f（x）x24ax2a12（aR）的值都是非负的，求关于 x 的方程xa2a12 的根的取值范围 为真命题且为假命题那么实数的取值范围是设是上的减函数且设若是的充分不必要条件则实数的取值范围是已知函数的定义域为则下列命题中若是偶函数则函数的图象关于直线对称若则函数的图象关于原点对称函数与函数的图象关递减区间是在定义域内恒有则等于已知函数的定义域为值域为则的取值集合为已知函数满足时则时则填已知二次函数设向量当时不等式的解集为设函数的图象关于直线对称则的值为若函数且则已知函数对于上的任意有如下条件其中圆形要使正方形与圆的面积之和
8、最小正方形的周长应为已知函数给出下列命题必是偶函数当时的图象必关于直线对称若则在区面上是增函数有最大值学习必备欢迎下载其中正确命题的序号是二解答题类型一函数的图像与性质的综合学习必备 欢迎下载 类型三：二次函数的性质及三个“二次”之间的关系。19已知二次函数 f（x）ax2bxc（1）若 abc 且 f（1）0，是否存在实数 m，使得当 f（m）a 成立时，f（m3）为正数？若存在，则证明你的结论；若不存在，则说明理由 （2）若x1x2，f（x1）f（x2）且方程 f（x）12f（x1）f（x2）有两个不相等的实数根，求证：必有一实数根存 x1与 x2之间 20某公司有价值 a 万元的一条流水
9、线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值假设附加值 y万元与技术改造投入 x万元之间的关系满足：y与ax和x的乘积成正比；xa2时，ya2；0 x2（ax）t，其中 t 为常数，且 t0，1 （1）设 yf（x），求出 f（x）的表达式，并求出 yf（x）的定义域；（2）求出附加值 y 的最大值，并求出此时的技术改造投入的 x 值 为真命题且为假命题那么实数的取值范围是设是上的减函数且设若是的充分不必要条件则实数的取值范围是已知函数的定义域为则下列命题中若是偶函数则函数的图象关于直线对称若则函数的图象关于原点对称函数与函数的图象关递减区间是在定
10、义域内恒有则等于已知函数的定义域为值域为则的取值集合为已知函数满足时则时则填已知二次函数设向量当时不等式的解集为设函数的图象关于直线对称则的值为若函数且则已知函数对于上的任意有如下条件其中圆形要使正方形与圆的面积之和最小正方形的周长应为已知函数给出下列命题必是偶函数当时的图象必关于直线对称若则在区面上是增函数有最大值学习必备欢迎下载其中正确命题的序号是二解答题类型一函数的图像与性质的综合学习必备 欢迎下载 函数复习参考答案 一填空题 1 已知函数 f（x）3axa1（a1），若 a0，则 f（x）的定义域是_（，3a 2 设有两个命题，p：不等式xx1a 的解集为 R；q：函数 f（x）log
11、（73a）x 在（0，）是增函数，若 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，那么实数 a 的取值范围是_ 1，2）3 设 f（x）是 R 上的减函数，且 f（0）3，f（3）1，设 Pxf（xt）12，Qxf（x）1，若“xP”是“xQ”的充分不必要条件，则实数 t 的取值范围是_t3 4 已知函数 f（x）的定义域为 R，则下列命题中：若 f（x2）是偶函数，则函数 f（x）的图象关于直线 x2 对称；若 f（x2）f（x2），则函数 f（x）的图象关于原点对称；函数 yf（2x）与函数 yf（2x）的图象关于直线 x2 对称；函数 yf（x2）与函数 yf（2x）的图象关于直线 x2
12、 对称 其中正确的命题序号是_ 5 已知函数 f（x）的定义域为xxR 且 x1，f（x1）为奇函数，当 x1 时，f（x）2x2x1，则当 x1 时，f（x）的递减区间是_74，）6 若函数 f（x）mx4x3（x34）在定义域内恒有 f f（x）x，则 m 等于_ 3 7 已知函数 f（x）x22ax2a4 的定义域为 R，值域为1，），则 a的取值集合为_ 1，3 8 已知函数 f（x），g（x）满足 xR 时，f（x）g（x），则 x1x2时，则 f（x1）f（x2）_g（x1）g（x2）（填、）9 已知二次函数 f（x）x22x6，设向量 a（sinx，2），b（2sinx，12），
13、c（cos2x，1），d（1，2）当 x0，时，不等式 f（ab）f（c d）的解集为_ 解：a b2sin2x11，c d2cos2x11，f（x）图象关于 x1 对称，f（x）在（1，）内单调递增 由 f（a b）f（c d）a bc d，即 2sin2x12cos2x1，又x0，x（4，34）故不等式的解集为（4，34）10设函数 f（x）x1xa的图象关于直线 x1 对称，则 a 的值为_3 11已知函数 f（x）x2cosx，对于2，2上的任意 x1，x2，有如下条件：x1x2；x12x22；x1x2其中能使 f（x1）f（x2）恒成立的条件序号是_ 12如果函数 f（x）满足：对于
14、任意的实数 a，b 都有 f（ab）f（a）f（b），为真命题且为假命题那么实数的取值范围是设是上的减函数且设若是的充分不必要条件则实数的取值范围是已知函数的定义域为则下列命题中若是偶函数则函数的图象关于直线对称若则函数的图象关于原点对称函数与函数的图象关递减区间是在定义域内恒有则等于已知函数的定义域为值域为则的取值集合为已知函数满足时则时则填已知二次函数设向量当时不等式的解集为设函数的图象关于直线对称则的值为若函数且则已知函数对于上的任意有如下条件其中圆形要使正方形与圆的面积之和最小正方形的周长应为已知函数给出下列命题必是偶函数当时的图象必关于直线对称若则在区面上是增函数有最大值学习必备欢迎
15、下载其中正确命题的序号是二解答题类型一函数的图像与性质的综合学习必备 欢迎下载 且 f（1）2，则f（1）f（0）f（5）f（3）f（9）f（6）f（14）f（10）f（1274）f（1225）_2502 13将长度为 1 的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为_14 14已知函数 f（x）x22axb（xR），给出下列命题：f（x）必是偶函数；当 f（0）f（2）时，f（x）的图象必关于直线 x1 对称；若 a2b0，则 f（x）在区面a，）上是增函数；f（x）有最大值a2b 其中正确命题的序号是_ 二解答题 类型一：函数的图像与性质的综
16、合应用。15已知函数 f（x）和 g（x）的图象关于原点对称，且 f（x）x22x（1）求函数 g（x）的解析式；（2）解不等式 g（x）f（x）x1；（3）若 h（x）g（x）f（x）1 在1，1上是增函数，求实数 的取值范围 解：（1）设函数 yf（x）的图象上任一点 Q（x0，y0）关于原点的对称点为 P（x，y），则x0 x20y0y20，即x0 xy0y，又因为点 Q（x0，y0）在函数 yf（x）的图象上，所以yx22x，即 yx22x，故 g（x）x22x（2）由 g（x）f（x）x1，可得 2x2x10 当 x1 时，2x2x10，此时不等式无解 当 x1 时，2x2x10，所
17、以1x12 因此，原不等式的解集为1，12 （3）h（x）（1）x22（1）x1 当 1 时，h（x）4x1 在1，1上是增函数，所以 1 符合条件 当 1 时，对称轴方程为 x11，当 1 时，111，解得 1，当 1 时，111，解得1 0，综上可知，（，0 16设函数 f（x）定义在 R 上，对于任意实数 m，n 总有 f（mn）f（m）f（n），且当 x0 时，0f（x）1（1）证明：f（0）1，且 x0 时，f（x）1；为真命题且为假命题那么实数的取值范围是设是上的减函数且设若是的充分不必要条件则实数的取值范围是已知函数的定义域为则下列命题中若是偶函数则函数的图象关于直线对称若则函数
18、的图象关于原点对称函数与函数的图象关递减区间是在定义域内恒有则等于已知函数的定义域为值域为则的取值集合为已知函数满足时则时则填已知二次函数设向量当时不等式的解集为设函数的图象关于直线对称则的值为若函数且则已知函数对于上的任意有如下条件其中圆形要使正方形与圆的面积之和最小正方形的周长应为已知函数给出下列命题必是偶函数当时的图象必关于直线对称若则在区面上是增函数有最大值学习必备欢迎下载其中正确命题的序号是二解答题类型一函数的图像与性质的综合学习必备 欢迎下载（2）证明：函数 f（x）在 R 上单调递减；（3）设 A（x，y）f（x2）f（y2）f（1），B（x，y）f（axy2）1，aR，若 AB
19、，确定 a 的取值范围 证明：（1）令 n0，则 f（m0）f（m）f（0）对于任意实数 m 恒成立所以f（0）1，设 x0，则x0，由 f x（x）f（x）f（x）1，得 f（x）1f（x），当 x0，0f（x）1，1f（x）1 x0 时，x0，于是 f（x）1f（x）1（2）设 x1x2，x2x10 f（x2）f（x2x1）x1f（x2x1）f（x1）x2x10，0f（x2x1）1，且 f（x）0，f（x2x1）f（x1）f（x1），即 f（x2）f（x1）故函数 f（x）在 R 上是减函数（3）f（x2）f（y2）f（x2y2）f（1），f（axy2）1f（0），x2y21，axy20，
20、由于 A B，则圆心（0，0）到直线 axy20 的距离 d2a211 解之得 3a 3 类型二：含参变量的方程或不等式求取值范围。17对于满足 0p4 的一切实数，不等式 x2px4xp3 恒成立，试求 x的取值范围 解：不等式 x2px4xp3 很容易让我们联想到二次函数：f（x）x2（p4）xp3 基于这种认识，本题实质上就是：对于二次曲线系 f（x）x2（p4）xp3（0p4），考虑使得 f（x）0 恒成立的 x 的取值范围 对于每一个给定的 p，由于 f（x）0 的二根分别为 1，3p，记 u（p）max（1，3p），v（p）min（1，3p），则 f（x）0 的解集为：M（p）（，
21、v（p）（u（p），）所以，当 p 在区间0，4上变化时，使得 f（x）0 恒成立的 x 的取值范围就是所有 M（p）的交集 因为 0p4，所以，u（p）的最大值为 3，v（p）的最小值为1 所以，本题的答案应该为：（，1）（3，）（法二）上述解法实际上源于我们思维的一种定势，即习惯于把 x 当作变量，而把其余的字母作为参数而事实上，在上面的不等式中，x 与 p 的地位是平等的如果我们换一个角度看问题，即把 p 作为自变量，而把 x 作为参数，则可以得到下面的另一种较为简洁的解法：考虑关于 p 的函数：g（p）（x1）p（x24x3），可以看到：g（p）是关于 p 的一次函数或常数函数，要使得
22、对于满足 0p4 的一切实数，g（p）0 恒成立，由函数的单调性可知，需且只需：g（0）0g（4）0，为真命题且为假命题那么实数的取值范围是设是上的减函数且设若是的充分不必要条件则实数的取值范围是已知函数的定义域为则下列命题中若是偶函数则函数的图象关于直线对称若则函数的图象关于原点对称函数与函数的图象关递减区间是在定义域内恒有则等于已知函数的定义域为值域为则的取值集合为已知函数满足时则时则填已知二次函数设向量当时不等式的解集为设函数的图象关于直线对称则的值为若函数且则已知函数对于上的任意有如下条件其中圆形要使正方形与圆的面积之和最小正方形的周长应为已知函数给出下列命题必是偶函数当时的图象必关于
23、直线对称若则在区面上是增函数有最大值学习必备欢迎下载其中正确命题的序号是二解答题类型一函数的图像与性质的综合学习必备 欢迎下载 解之得：x3，或 x1 18已知对于 x 的所有实数值，二次函数f（x）x24ax2a12（aR）的值都是非负的，求关于x 的方程xa2a12 的根的取值范围 解：由条件知 0，即（4a）24（2a12）0，32a2（1）当32a1 时，原方程化为 xa2a6，a2a6（a12）2254 a32时，xmin94，a12时，xmax254 94x254（2）当 1a2 时，xa23a2（a32）214 当 a1 时，xmin6，当 a2 时，xmax12，6x12，综上
24、所述，94x12 类型三：二次函数的性质及三个“二次”之间的关系。19已知二次函数 f（x）ax2bxc（1）若 abc 且 f（1）0，是否存在实数 m，使得当 f（m）a 成立时，f（m3）为正数？若存在，则证明你的结论；若不存在，则说明理由 （2）若x1x2，f（x1）f（x2）且方程 f（x）12f（x1）f（x2）有两个不相等的实数根，求证：必有一实数根存 x1与 x2之间 证：（1）由 f（1）abc0 及 abc 得 a0，c0，ca0，又 aac，2ac，a0，ca2，2ca0，假设存在实数 m，使 f（m）a 成立，则由ca，1 是 f（x）0 的两根知：f（x）a（xca）
25、（x1）从而 f（m）a（mca）（m1）a0，cam1，进而ca3m3，且ca31，m31，又 f（x）在1，）上单调递增，f（m3）f（1）0，故满足条件的实数存在（2）令 g（x）f（x）12f（x1）f（x2），则 g（x）为二次函数，g（x1）f（x1）12f（x1）f（x2）12f（x1）f（x2）g（x2）f（x2）12f（x1）f（x2）12f（x1）f（x2）为真命题且为假命题那么实数的取值范围是设是上的减函数且设若是的充分不必要条件则实数的取值范围是已知函数的定义域为则下列命题中若是偶函数则函数的图象关于直线对称若则函数的图象关于原点对称函数与函数的图象关递减区间是在定义域
26、内恒有则等于已知函数的定义域为值域为则的取值集合为已知函数满足时则时则填已知二次函数设向量当时不等式的解集为设函数的图象关于直线对称则的值为若函数且则已知函数对于上的任意有如下条件其中圆形要使正方形与圆的面积之和最小正方形的周长应为已知函数给出下列命题必是偶函数当时的图象必关于直线对称若则在区面上是增函数有最大值学习必备欢迎下载其中正确命题的序号是二解答题类型一函数的图像与性质的综合学习必备 欢迎下载 g（x1）g（x2）14f（x1）f（x2）20 又 x1x2，g（x）0 必有一根在 x1，x2之间，故 f（x）12f（x1）f（x2）必有一根在 x1，x2之间 20某公司有价值 a 万元
27、的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值假设附加值 y万元与技术改造投入 x万元之间的关系满足：y与ax和x的乘积成正比；xa2时，ya2；0 x2（ax）t，其中 t 为常数，且 t0，1 （1）设 yf（x），求出 f（x）的表达式，并求出 yf（x）的定义域；（2）求出附加值 y 的最大值，并求出此时的技术改造投入的 x 值 解：（1）设 yk（ax）x，当 xa2时，ya2，k4，y4（ax）x 定义域为0，2at12t，t 为常数，t0，1 （2）y4（ax）x4（xa2）2a2，当2at12ta2，即12t1 时，xa2时
28、，ymaxa2，当2at12ta2，即 0t12时，y4（ax）x 在0，2at12t上为增函数，当 x2at12t时，y8a2t（12t）2 答：当12t1 时，投入 xa2时，附加值 y 最大值为 a2万元；当 0t12时，投入 x2at12t时，附加值最大为8a2t（12t）2万元 为真命题且为假命题那么实数的取值范围是设是上的减函数且设若是的充分不必要条件则实数的取值范围是已知函数的定义域为则下列命题中若是偶函数则函数的图象关于直线对称若则函数的图象关于原点对称函数与函数的图象关递减区间是在定义域内恒有则等于已知函数的定义域为值域为则的取值集合为已知函数满足时则时则填已知二次函数设向量当时不等式的解集为设函数的图象关于直线对称则的值为若函数且则已知函数对于上的任意有如下条件其中圆形要使正方形与圆的面积之和最小正方形的周长应为已知函数给出下列命题必是偶函数当时的图象必关于直线对称若则在区面上是增函数有最大值学习必备欢迎下载其中正确命题的序号是二解答题类型一函数的图像与性质的综合