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1、学习必备 欢迎下载 第 1 页 高一数学二次函数知识盘点 在数学中，我们把形如 y=ax2+bx+c(其中 a，b，c 是常数，a0)的函数叫做二次函数。小编准备了高一数学二次函数知识，希望你喜欢。I.定义与定义表达式 一般地，自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系：y=ax2+bx+c(a，b，c 为常数，a0，且 a 决定函数的开口方向，a0 时，开口方向向上，a0 时，开口方向向下，IaI 还可以决定开口大小，IaI 越大开口就越小，IaI 越小开口就越大.)则称 y 为 x 的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。II.二次函数的三种表达式 一般式：y=ax2+bx+c(
2、a，b，c 为常数，a0)顶点式：y=a(x-h)2+k抛物线的顶点 P(h，k)交点式：y=a(x-x?)(x-x?)仅限于与 x 轴有交点 A(x?，0)和 B(x?，0)的抛物线 注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b2)/4ax?，x?=(-bb2-4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数 y=x2 的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 P。特别地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是 y 轴(即直线 x
3、=0)2.抛物线有一个顶点 P，坐标为 P(-b/2a，(4ac-b2)/4a)当-b/2a=0 时，P在 y 轴上;当=b2-4ac=0 时，P在 x 轴上。3.二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。当 a0 时，抛物线向上开口;当 a0 时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。当 a 与 b 同号时(即 ab0)，对称轴在 y 轴左;当 a 与 b 异号时(即 ab0)，对称轴在 y 轴右。5.常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。抛物线与 y 轴交于(0，c)6.抛物线与 x 轴交点个数=b2-4ac0 时，抛
4、物线与 x 轴有 2 个交点。=b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点。=b2-4ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点。X的取值是虚数(x=-bb2-4ac的值的相反数，乘上虚数 i，整个式子除以 2a)V.二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数(以下称函数)y=ax2+bx+c，学习必备 欢迎下载 第 2 页 当 y=0 时，二次函数为关于 x 的一元二次方程(以下称方程)，即 ax2+bx+c=0 此时，函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。1.二次函数 y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+
5、c(各式中，a0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式 顶点坐标 对称轴 y=ax2(0，0)x=0 y=a(x-h)2(h，0)x=h y=a(x-h)2+k(h，k)x=h y=ax2+bx+c(-b/2a，4ac-b2/4a)x=-b/2a 当 h0 时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线 y=ax2 向右平行移动 h 个单位得到，当 h0 时，则向左平行移动|h|个单位得到.当 h0，k0 时，将抛物线 y=ax2 向右平行移动 h 个单位，再向上移动 k 个单位，就可以得到 y=a(x-h)2+k的图象;当 h0，k0 时，将抛物线 y=ax2 向右平行
6、移动 h 个单位，再向下移动|k|个单位可得到 y=a(x-h)2+k的图象;当 h0，k0 时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动 k 个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;当 h0，k0 时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;因此，研究抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.2.抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的图象：当 a0 时，开口向上，当 a0 时开口向下，对称轴是直线 x=-b
7、/2a，顶点坐标是(-b/2a，4ac-b2/4a).3.抛物线 y=ax2+bx+c(a0)，若 a0，当 x-b/2a 时，y 随 x 的增大而减小;当 x-b/2a时，y 随 x 的增大而增大.若 a0，当 x-b/2a 时，y 随 x 的增大而增大;当 x-b/2a时，y 随 x 的增大而减小.4.抛物线 y=ax2+bx+c 的图象与坐标轴的交点：(1)图象与 y 轴一定相交，交点坐标为(0，c);(2)当=b2-4ac0，图象与 x 轴交于两点 A(x?，0)和 B(x?，0)，其中的 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两根.这两点间的距离 AB=|x?-x?
8、|一数学二次函数知识希望你喜欢定义与定义表达式一般地自变量和因变量之间存在如下关系为常数且决定函数的开口方向时开口方向向上时开口方向向下还可以决定开口大小越大开口就越小越小开口就越大则称为的二次函数二次函交点和的抛物线注在种形式的互相转化中有如下关系二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数的图像可以看出二次函数的图像是一条抛物线抛物线的性质抛物线是轴对称图形对称轴为直线对称轴与抛物线唯一的交点为抛物抛物线的开口方向和大小当时抛物线向上开口当时抛物线向下开口越大则抛物线的开口越小一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置当与同号时即对称轴在轴左当与异号时即对称轴在轴右常数项决定抛物线与轴交点
9、抛物线与学习必备 欢迎下载 第 3 页 当=0.图象与 x 轴只有一个交点;当0.图象与 x 轴没有交点.当 a0 时，图象落在 x 轴的上方，x 为任何实数时，都有 y 当 a0 时，图象落在 x 轴的下方，x 为任何实数时，都有 y0.5.抛物线 y=ax2+bx+c 的最值：如果 a0)，则当 x=-b/2a 时，y 最小(大)值=(4ac-b2)/4a.顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.6.用待定系数法求二次函数的解析式 我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹
10、经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在 1978 年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,十几年上课总时数是 9160 课时,语文是 2749 课时,恰好是 30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题分析问题解决问题,但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。根本原因还是无
11、“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知 x、y 的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a0).“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。说文解字 中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技
12、术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于史记，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a0).语文课本中的文章都是精选的比较优秀
13、的文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,一数学二次函数知识希望你喜欢定义与定义表达式一般地自变量和因
14、变量之间存在如下关系为常数且决定函数的开口方向时开口方向向上时开口方向向下还可以决定开口大小越大开口就越小越小开口就越大则称为的二次函数二次函交点和的抛物线注在种形式的互相转化中有如下关系二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数的图像可以看出二次函数的图像是一条抛物线抛物线的性质抛物线是轴对称图形对称轴为直线对称轴与抛物线唯一的交点为抛物抛物线的开口方向和大小当时抛物线向上开口当时抛物线向下开口越大则抛物线的开口越小一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置当与同号时即对称轴在轴左当与异号时即对称轴在轴右常数项决定抛物线与轴交点抛物线与学习必备 欢迎下载 第 4 页 这种思想内容、写作技巧
15、和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。(3)当题给条件为已知图象与 x 轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a0).7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.高一数学二次函数知识就为大家介绍到这里，希望对你有所帮助。一数学二次函数知识希望你喜欢定义与定义表达式一般地自变量和因变量之间存在如下关系为常数且决定函数的开口方向时开口方向向上时开口方向向下还可以决定开口大小越大开口就越小越小开口就越大则称为的二次函数二次函交点和的抛物线注在种形式的互相转化中有如下关系二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数的图像可以看出二次函数的图像是一条抛物线抛物线的性质抛物线是轴对称图形对称轴为直线对称轴与抛物线唯一的交点为抛物抛物线的开口方向和大小当时抛物线向上开口当时抛物线向下开口越大则抛物线的开口越小一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置当与同号时即对称轴在轴左当与异号时即对称轴在轴右常数项决定抛物线与轴交点抛物线与