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1、学习必备 欢迎下载 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 本溪高中高一数学组 1、一元二次方程02cbxax根的分布情况 设方程 200axbxca 的不等两根为12,x x且12xx,相应的二次函数为 20f xaxbxc ,方程的根即为二次函数图象与x轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)表一:(两根与 0 的大小比较即根的正负情况)分布情况 两个负根即两根都小于 0 120,0 xx 两个正根即两根都大于 0 120,0 xx 一正根一负根即一个根小于 0,一个大于 0120 xx 大致图象(0a)得出的结论 00200baf 00200baf 00
2、f 大致图象(0a)得出的结论 00200baf 00200baf 00 f 综合结论(不讨论a)00200baa f 00200baa f 00 fa 学习必备 欢迎下载 表二:(两根与k的大小比较)分布情况 两根都小于k即 kxkx21,两根都大于k即 kxkx21,一个根小于k,一个大于k即 21xkx 大致图象(0a)得出的结论 020bkaf k 020bkaf k 0kf 大致图象(0a)得出的结论 020bkaf k 020bkaf k 0kf 综合结论(不讨论a)020bkaa f k 020bkaa f k 0 kfa kkk的不等两根为且根的分布情况相应的二次函数为方程的根
3、即为二次函数图象与轴的交点它们的分布情况见下面各表每种情况对应的均是充要条件表一两根与的大小比较即根的正负情况两个负根即两根都小于两个正根即两根都大于一迎下载表二两根与的大小比较两根都小于即两根都大于即一个根小于一个大于即分布情况大致图象得出的结论大致图象得出的结论综合结论不讨论学习必备欢迎下载表三根在区间上的分布两根都在内两根有且仅有一根在内一根在内在区间上的分布还有一种情况两根分别在区间外即在区间两侧图形分别如下需满足的条件是学习必备欢迎下载时时对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明两根有且仅有一根在内有以下特殊情况若或则此时不成立但对于这种情况学习必备 欢迎下载 表三:(根在区间上的分布
4、)分布情况 两根都在 nm,内 两根有且仅有一根在 nm,内(图象有两种情况,只画了一种)一根在 nm,内,另一根在 qp,内,qpnm 大致图象(0a)得出的结论 0002f mf nbmna 0 nfmf 0000f mf nfpf q或 00f m f nfp f q 大致图象(0a)得出的结论 0002f mf nbmna 0 nfmf 0000f mf nfpf q或 00f m f nfp f q 综合结论(不讨论a)0 nfmf 00qfpfnfmf 根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间 nm,外,即在区间两侧12,xm xn,(图形分别如下)需满足的条件是 的不等两根为
5、且根的分布情况相应的二次函数为方程的根即为二次函数图象与轴的交点它们的分布情况见下面各表每种情况对应的均是充要条件表一两根与的大小比较即根的正负情况两个负根即两根都小于两个正根即两根都大于一迎下载表二两根与的大小比较两根都小于即两根都大于即一个根小于一个大于即分布情况大致图象得出的结论大致图象得出的结论综合结论不讨论学习必备欢迎下载表三根在区间上的分布两根都在内两根有且仅有一根在内一根在内在区间上的分布还有一种情况两根分别在区间外即在区间两侧图形分别如下需满足的条件是学习必备欢迎下载时时对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明两根有且仅有一根在内有以下特殊情况若或则此时不成立但对于这种情况学习必
6、备 欢迎下载 (1)0a 时,00f mf n;(2)0a 时,00f mf n 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明:(1)两根有且仅有一根在 nm,内有以下特殊情况:1 若0f m 或 0f n,则此时 0f mf n 不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间 nm,内,从而可以求出参数的值。如方程2220mxmx 在区间1,3上有一根,因为 10f,所以 22212mxmxxmx,另一根为2m,由213m得223m 即为所求;2 方程有且只有一根,且这个根在区间 nm,内,即0,此时由0可以求出参数的值,然后再将参数的值带入方程,求出
7、相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。如方程24260 xmxm 有且一根在区间 3,0内,求m的取值范围。分析:由 300ff即141530mm 得出15314m ;由0即2164 260mm 得出1m 或32m,当1m 时,根 23,0 x ,即1m 满足题意;当32m 时,根 33,0 x ,故32m 不满足题意;综上分析,得出15314m 或1m 根的分布练习题 例 1、已知二次方程 221210mxmxm 有一正根和一负根,求实数m的取值范围。解:由 2100mf 即 2110mm,从而得112m 即为所求的范围。例 2、已知方程 2210 xmxm 有两个不
8、等正实根,求实数m的取值范围。解:由 的不等两根为且根的分布情况相应的二次函数为方程的根即为二次函数图象与轴的交点它们的分布情况见下面各表每种情况对应的均是充要条件表一两根与的大小比较即根的正负情况两个负根即两根都小于两个正根即两根都大于一迎下载表二两根与的大小比较两根都小于即两根都大于即一个根小于一个大于即分布情况大致图象得出的结论大致图象得出的结论综合结论不讨论学习必备欢迎下载表三根在区间上的分布两根都在内两根有且仅有一根在内一根在内在区间上的分布还有一种情况两根分别在区间外即在区间两侧图形分别如下需满足的条件是学习必备欢迎下载时时对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明两根有且仅有一根在内
9、有以下特殊情况若或则此时不成立但对于这种情况学习必备 欢迎下载 0102 200mf 218010mmmm 32 232 20mmm 或 032 2m 或32 2m 即为所求的范围。例 3、已知二次函数 222433ymxmxm与x轴有两个交点,一个大于 1,一个小于 1,求实数m的取值范围。解:由 210mf 即 2210mm 122m 即为所求的范围。例 4、已知二次方程22340mxmx 只有一个正根且这个根小于 1,求实数m的取值范围。解:由题意有方程在区间0,1上只有一个正根,则 010ff 4 310m 13m 即为所求范围。(注:本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根
10、在0,1内,由0计算检验,均不复合题意,计算量稍大)的不等两根为且根的分布情况相应的二次函数为方程的根即为二次函数图象与轴的交点它们的分布情况见下面各表每种情况对应的均是充要条件表一两根与的大小比较即根的正负情况两个负根即两根都小于两个正根即两根都大于一迎下载表二两根与的大小比较两根都小于即两根都大于即一个根小于一个大于即分布情况大致图象得出的结论大致图象得出的结论综合结论不讨论学习必备欢迎下载表三根在区间上的分布两根都在内两根有且仅有一根在内一根在内在区间上的分布还有一种情况两根分别在区间外即在区间两侧图形分别如下需满足的条件是学习必备欢迎下载时时对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明两根有
11、且仅有一根在内有以下特殊情况若或则此时不成立但对于这种情况学习必备 欢迎下载 2、二次函数在闭区间 nm,上的最大、最小值问题探讨 设 002acbxaxxf,则二次函数在闭区间 nm,上的最大、最小值有如下的分布情况:abnm2 nabm2即 nmab,2 nmab2 图象 最大、最小值 nfxfmfxfminmax abfxfmfnfxf2,maxminmax mfxfnfxfminmax 对于开口向下的情况,讨论类似。其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论:(1)若 nmab,2,则 nfabfmfxf,2,maxmax,nfabfmfxf,2,minmin;(2)若 nmab,2
12、,则 nfmfxf,maxmax,nfmfxf,minmin 另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开x轴越远,则对应的函数值越大;反过来,当二次函数开口向下时,自变量的取值离开x轴越远,则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习 二次函数在闭区间上求最值,讨论的情况无非就是从三个方面入手:开口方向、对称轴以及闭区间,以下三个例题各代表一种情况。例 1、函数 2220f xaxaxb a 在 2,3上有最大值 5 和最小值 2,求,a b的值。解:对称轴 012,3x,故函数 f x在区间 2,3上单调。(1)当0a 时,函数 f x在区间 2,3上是增函数,故 maxmin32fx
13、ffxf 32522abb 10ab;(2)当0a 时,函数 f x在区间 2,3上是减函数,故 maxmin23fxffxf 25322bab 13ab 的不等两根为且根的分布情况相应的二次函数为方程的根即为二次函数图象与轴的交点它们的分布情况见下面各表每种情况对应的均是充要条件表一两根与的大小比较即根的正负情况两个负根即两根都小于两个正根即两根都大于一迎下载表二两根与的大小比较两根都小于即两根都大于即一个根小于一个大于即分布情况大致图象得出的结论大致图象得出的结论综合结论不讨论学习必备欢迎下载表三根在区间上的分布两根都在内两根有且仅有一根在内一根在内在区间上的分布还有一种情况两根分别在区间
14、外即在区间两侧图形分别如下需满足的条件是学习必备欢迎下载时时对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明两根有且仅有一根在内有以下特殊情况若或则此时不成立但对于这种情况学习必备 欢迎下载 例 2、求函数 221,1,3f xxaxx的最小值。解:对称轴0 xa(1)当1a 时,min122yfa;(2)当13a 时,2min1yf aa;(3)当3a 时,min3106yfa 改:1本题若修改为求函数的最大值,过程又如何?解:(1)当2a 时,max3106f xfa;(2)当2a 时,max122f xfa。2本题若修改为求函数的最值,讨论又该怎样进行?解:(1)当1a 时,max3106f xf
15、a,min122f xfa;(2)当12a 时,max3106f xfa,2min1f xf aa;(3)当23a 时,max122f xfa,2min1f xf aa;(4)当3a 时,max122f xfa,min3106f xfa。例 3、求函数243yxx在区间,1t t 上的最小值。解:对称轴02x (1)当2t即2t 时,2min43yf ttt ;(2)当21tt 即12t 时,min21yf;(3)当21t 即1t 时,2min12yf ttt 例 4、讨论函数 21f xxxa 的最小值。解:2221,11,xaxxaf xxxaxaxxa ,这个函数是一个分段函数,由于上下
16、两段上的对称轴分别为直线12x ,12x,当12a ,1122a ,12a 时原函数的图象分别如下(1),(2),(3)的不等两根为且根的分布情况相应的二次函数为方程的根即为二次函数图象与轴的交点它们的分布情况见下面各表每种情况对应的均是充要条件表一两根与的大小比较即根的正负情况两个负根即两根都小于两个正根即两根都大于一迎下载表二两根与的大小比较两根都小于即两根都大于即一个根小于一个大于即分布情况大致图象得出的结论大致图象得出的结论综合结论不讨论学习必备欢迎下载表三根在区间上的分布两根都在内两根有且仅有一根在内一根在内在区间上的分布还有一种情况两根分别在区间外即在区间两侧图形分别如下需满足的条
17、件是学习必备欢迎下载时时对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明两根有且仅有一根在内有以下特殊情况若或则此时不成立但对于这种情况学习必备 欢迎下载 因此,(1)当12a 时,min1324fxfa;(2)当1122a 时,2min1f xf aa;(3)当12a 时,min1324fxfa 以上内容是自己研究整理,有什么错误的地方,欢迎各位指正,不胜感激!的不等两根为且根的分布情况相应的二次函数为方程的根即为二次函数图象与轴的交点它们的分布情况见下面各表每种情况对应的均是充要条件表一两根与的大小比较即根的正负情况两个负根即两根都小于两个正根即两根都大于一迎下载表二两根与的大小比较两根都小于即两根都大于即一个根小于一个大于即分布情况大致图象得出的结论大致图象得出的结论综合结论不讨论学习必备欢迎下载表三根在区间上的分布两根都在内两根有且仅有一根在内一根在内在区间上的分布还有一种情况两根分别在区间外即在区间两侧图形分别如下需满足的条件是学习必备欢迎下载时时对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明两根有且仅有一根在内有以下特殊情况若或则此时不成立但对于这种情况