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1、单元质检八立体几何(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.42.下列命题中,错误的是()A.三角形的两条边平行于一个平面,则第三边也平行于这个平面B.平面平面,a,过内的一点B有唯一的一条直线b,使baC.,所成的交线为a,b,c,d,则abcdD.一条直线与两个平面所成的角相等,则这两个平面平行3.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,则球O的半径为()A
2、.B.2C.D.3导学号372705874.已知l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()A.若l1l2,l2l3,则l1l3B.若l1l2,l2l3,则l1l3C.若l1l2l3,则l1,l2,l3共面D.若l1,l2,l3共点,则l1,l2,l3共面5.一个正方体的表面展开图如图所示,点A,B,C均为棱的中点,D是顶点,则在正方体中,异面直线AB和CD所成的角的余弦值为()A.B.C.D.6.在空间四边形ABCD中,平面ABD平面BCD,且DA平面ABC,则ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共1
3、4分)7.已知矩形ABCD的边AB=a,BC=3,PA平面ABCD,若BC边上有且只有一点M,使PMDM,则a的值为.8.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PCBD,则平行四边形ABCD的形状一定是.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知ACBC,BC=CC1.设AB1的中点为D,B1CBC1=E.求证:(1)DE平面AA1C1C;(2)BC1AB1.10.(15分)三棱锥A-BCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交棱BD,DC,CA于点F, G,H.(1)证明:四边形EFGH是矩形;(2)求
4、直线AB与平面EFGH所成的角的正弦值.导学号3727058811.(15分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3,点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PEFG;(2)求二面角P-AD-C的正切值;(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.导学号37270589参考答案单元质检八立体几何(A)1.B解析 由三视图可得原石材为如图所示的直三棱柱A1B1C1-ABC,且AB=8,BC=6,BB1=12.若要得到半径最大的球,则此球与平面A1B1BA,BCC1B1,ACC1A1都相切,
5、故此时球的半径与ABC内切圆半径相等,故半径r=2.故选B.2.D解析 A正确,三角形可以确定一个平面,若三角形两边平行于一个平面,则它所在的平面与这个平面平行,故第三边平行于这个平面;B正确,平面与平面平行,则平面中的直线a必平行于平面,平面内的一点与这条线可以确定一个平面,这个平面与平面交于一条直线,过该点在平面内只有这条直线与a平行;C正确,利用同一平面内不相交的两条直线一定平行判断即可确定C是正确的;D错误,一条直线与两个平面所成的角相等,这两个平面可能是相交平面,故应选D.3.C解析 由计算可得O为B1C与BC1的交点.设BC的中点为M,连接OM,AM,则可知OM平面ABC,连接AO
6、,则AO的长为球半径,可知OM=6,AM=,在RtAOM中,由勾股定理得半径OA=.4.B解析 从正方体同一个顶点出发的三条棱两两垂直,可知选项A错;因为l1l2,所以l1与l2所成的角是90.又因为l2l3,所以l1与l3所成的角是90.所以l1l3,故选项B对;三棱柱中的三条侧棱平行,但不共面,故选项C错;三棱锥的三条侧棱共点,但不共面,故选项D错.故选B.5.C解析 如图所示,可知EGF为AB和CD所成的角,F为正方体棱的中点.设正方体棱长为1,则EF=GF=,EG=.故cosEGF=.6.B解析 如图,作AEBD,交BD于E.平面ABD平面BCD,AE平面BCD,BC平面BCD,AEB
7、C.而DA平面ABC,BC平面ABC,DABC.又AEAD=A,BC平面ABD.而AB平面ABD,BCAB,即ABC为直角三角形.故选B.7.1.5解析 因为PA平面ABCD,所以PADM.若BC边上有且只有一点M,使PMMD,则DM平面PAM,即DMAM,故以AD为直径的圆和BC相切即可.因为AD=BC=3,所以圆的半径为1.5,要使线段BC和半径为1.5的圆相切,则AB=1.5,即a=1.5.8.菱形解析 因为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.又PCBD,且PC平面PAC,PA平面PAC,PCPA=P,所以BD平面PAC.又AC平面PAC,所以BDAC.又四边形ABCD是平
8、行四边形,所以四边形ABCD是菱形.9.证明 (1)由题意知,E为B1C的中点,又D为AB1的中点,因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C,AC平面AA1C1C,所以DE平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC,所以ACCC1.又因为ACBC,CC1平面BCC1B1,BC平面BCC1B1,BCCC1=C,所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1,所以BC1AC.因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1B1C.因为AC,B1C平面B1AC,ACB1C=C,所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1
9、AC,所以BC1AB1.10.(1)证明 由该三棱锥的三视图可知,BDDC,BDAD,ADDC,BD=DC=2,AD=1.由题设,BC平面EFGH,平面EFGH平面BDC=FG,平面EFGH平面ABC=EH,BCFG,BCEH,FGEH.同理EFAD,HGAD,EFHG.四边形EFGH是平行四边形.又ADDC,ADBD,AD平面BDC,ADBC,EFFG,四边形EFGH是矩形.(2)解 如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,0,1).设平面EFGH的法向量n=(x,y,z
10、),EFAD,FGBC,n=0,n=0,得令x=1,得n=(1,1,0),sin =|cos|=,即直线AB与平面EFGH所成的角的正弦值为.11.解法一 (1)证明:PD=PC,且点E为CD边的中点,PEDC.又平面PDC平面ABCD,且平面PDC平面ABCD=CD,PE平面PDC,PE平面ABCD.又FG平面ABCD,PEFG.(2)四边形ABCD是矩形,ADDC.又平面PDC平面ABCD,且平面PDC平面ABCD=CD,AD平面ABCD,AD平面PDC.PD平面PDC,ADPD.PDC即为二面角P-AD-C的平面角.在RtPDE中,PD=4,DE=AB=3,PE=,tanPDC=,即二面
11、角P-AD-C的正切值为.(3)如图所示,连接AC,AF=2FB,CG=2GB,即=2,ACFG,PAC即为直线PA与直线FG所成的角或其补角.在PAC中,PA=5,AC=3.由余弦定理可得cosPAC=,直线PA与直线FG所成角的余弦值为.解法二 (1)见解法一.(2)取AB的中点M,连EM,可知EM,EC,EP两两垂直,故以E为原点,EM,EC,EP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.可得A(3,-3,0),D(0,-3,0),P(0,0,),C(0,3,0),即=(-3,0,0),=(0,-3,-),设平面PAD的法向量为n=(x,y,z),则可得令y=,可得一个法向
12、量n=(0,-3),又平面ADC的一个法向量为=(0,0,),所以二面角P-AD-C的余弦值为|cos|=.所以二面角P-AD-C的正切值为.(3)由(2)中建立的空间直角坐标系可得=(3,-3,-),F(3,1,0),G(2,3,0),则=(-1,2,0),故cos=.所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为. 单元质检八立体几何(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,则该三棱锥的侧视图可能为()2.如图,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC,E为BC的中
13、点,则等于()A.3B.2C.1D.03.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AEEB=AFFD=14.又H,G分别为BC,CD的中点,则()A.BD平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形B.EF平面BCD,且四边形EFGH是梯形C.HG平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形D.EH平面ADC,且四边形EFGH是梯形4.如图,已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为3,BAD=60,长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动,另一个端点N在底面ABCD上运动,则MN的中点P的轨迹(曲面)与共顶点D的三个面所围成的几何体的体积为()A.B.C.D.导学号3
14、72705905.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则()A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2S3C.S3=S1且S3S2D.S3=S2且S3S1导学号372705916.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长都为2,E,F,G分别为AB,AA1,A1C1的中点,则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()A.B.C.D.导学号37270592二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.在菱形ABCD中,AB=2,BCD=6
15、0,现将其沿对角线BD折成直二面角A-BD-C(如图),则异面直线AB与CD所成的角的余弦值为.8.已知球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面,ABC是边长为2的正三角形,平面SAB平面ABC,则三棱锥S-ABC的体积的最大值为.导学号37270593三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.10.(15分)(2016北京,理17)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面
16、ABCD,PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=.(1)求证:PD平面PAB;(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM平面PCD?若存在,求的值;若不存在,说明理由.导学号3727059411.(15分)如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB平面BEC,BEEC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.(1)求证:GF平面ADE;(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.导学号37270595参考答案单元质检八立体几何(B)1.B解析 由正视图和俯视图还原几何体如图所示,由正视图和俯视
17、图对应线段可得AB=BD=AD=2,当BC平面ABD时,BC=2,ABD的边AB上的高为,只有B选项符合,当BC不垂直平面ABD时,没有符合条件的选项,故选B.2.D解析 =()()=0.3.B解析 如图,由题意,得EFBD,且EF=BD.HGBD,且HG=BD,故EFHG,且EFHG.因此,四边形EFGH是梯形.又EF平面BCD,而EH与平面ADC不平行,故选B.4.A解析 MN=2,则DP=1,则点P的轨迹为以D为球心,半径r=1的球面的一部分,则球的体积为V=r3=.BAD=60,ADC=120,120为360的,只取半球的,则V=.5.D解析 根据题目条件,在空间直角坐标系Oxyz中作
18、出该三棱锥D-ABC,如图,显然S1=SABC=22=2,S2=S3=2.故选D.6.A解析 建立如图所示的空间直角坐标系Exyz.则E(0,0,0),F(-1,0,1),B1(1,0,2),A1(-1,0,2),C1(0,2),G.=(-2,0,-1),=(-1,0,1),设平面GEF的一个法向量为n=(x,y,z),由得令x=1,则n=(1,-,1).设B1F与平面GEF所成角为,则sin =|cos|=.7.解析 如图,取BD的中点O,连接AO,CO,建立如图所示的空间直角坐标系,AB=2,BCD=60,A(0,0,),B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,0),=(1,0,-)
19、,=(-1,-,0),cos =-.异面直线AB与CD所成的角的余弦值为.8.解析 记球O的半径为R,由ABC是边长为2的正三角形,且O,A,B,C四点共面,易求R=.作SDAB于D,连接OD,OS,易知SD平面ABC,注意到SD=,因此要使SD最大,则需OD最小,而OD的最小值为,因此高SD的最大值是=1.又三棱锥S-ABC的体积为SABCSD=22SD=SD,所以三棱锥S-ABC的体积的最大值是1=.9.(1)证明 如图,连接BD交AC于点O,连接EO.因为平面ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EOPB.因为EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)
20、解 因为PA平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz,则P(0,0,1),D(0,0),E.设B(m,0,0)(m0),则C(m,0),=(m,0).设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,则可取n1=.又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量,由题设|cos|=,即,解得m=.因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为.三棱锥E-ACD的体积V=.10.(1)证明 因为平面PAD平面ABCD,ABAD,所以AB平面PAD.所以ABPD.又因为PAPD,所以PD平面PAB.(
21、2)解 取AD的中点O,连接PO,CO.因为PA=PD,所以POAD.又因为PO平面PAD,平面PAD平面ABCD,所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD,所以POCO.因为AC=CD,所以COAD.如图,建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2, 0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则令z=2,则x=1,y=-2.所以n=(1,-2,2).又=(1,1,-1),所以cos=-.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.(3)解 设M是棱PA上一点,则存在0,1使得=.因此点M(0,1-,),=(
22、-1,-,).因为BM平面PCD,所以BM平面PCD当且仅当n=0,即(-1,-,)(1,-2,2)=0.解得=.所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD,此时.11.(1)证法一 如图,取AE的中点H,连接HG,HD,又G是BE的中点,所以GHAB,且GH=AB.又F是CD的中点,所以DF=CD.由四边形ABCD是矩形,得ABCD,AB=CD,所以GHDF,且GH=DF,从而四边形HGFD是平行四边形,所以GFDH.又DH平面ADE,GF平面ADE,所以GF平面ADE.证法二 如图,取AB中点M,连接MG,MF.又G是BE的中点,可知GMAE.又AE平面ADE,GM平面ADE,所以GM平面A
23、DE.在矩形ABCD中,由M,F分别是AB,CD的中点,得MFAD.又AD平面ADE,MF平面ADE,所以MF平面ADE.又因为GMMF=M,GM平面GMF,MF平面GMF,所以平面GMF平面ADE.因为GF平面GMF.所以GF平面ADE.(2)解 如图,在平面BEC内,过B点作BQEC.因为BECE,所以BQBE.又因为AB平面BEC,所以ABBE,ABBQ.以B为原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1).因为AB平面BEC,所以=(0,0,2)为平面BEC的法向量.设n=(x,y,z)为平面AE
24、F的法向量.又=(2,0,-2),=(2,2,-1),由取z=2,得n=(2,-1,2).从而cos=.所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.考点规范练38空间几何体的结构及其三视图和直观图基础巩固1.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是()A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱2.将长方体截去一个四棱锥后,得到的几何体的直观图如图所示,则该几何体的俯视图为()3.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.6B.4C.6D.44.图(1)某几何体的正视图和侧视图均为如图(1)所示的图形,则在图(2)的四
25、个图中可以作为该几何体的俯视图的是()图(2)A.B.C.D.5.某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是()A.90 cm2B.129 cm2C.132 cm2D.138 cm26.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图的是()7.如图,三棱锥V-ABC的底面为正三角形,侧面VAC与底面垂直且VA=VC,已知其正视图的面积为,则其侧视图的面积为.8.利用斜二测画法得到的以下结论,正确的是.(写出所有正确结论的序号)三角形的直观图是三角形;平行四边形的直观图是平行四边形;正方形的直观图是正方形;圆的直观图是椭圆;菱形的直观图是菱形.9.给出下列命
26、题:在正方体上任意选择4个不共面的顶点,它们可能是正四面体的4个顶点;底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱.其中正确命题的序号是.10.(2016四川,理13)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是.能力提升11.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.B.C.D.12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()A.6B.9C.12D.1813.(2016河北衡水中学高三四调)
27、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.B.1+C.D.1+14.(2016云南师大附中高考适应性月考(四)已知正三棱柱的侧面展开图是相邻边长分别为3和6的矩形,则该正三棱柱的体积是.15.如图,E,F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的面ADD1A1,面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是.(填序号)高考预测16.某三棱锥的正视图如图所示,则下列图,所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是()A.B.C.D.参考答案考点规范练38空间几何体的结构及其三视图和直观图1.A解析 因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形,而圆柱的正视图是圆或矩形.2
28、.C解析 长方体的侧面与底面垂直,所以俯视图是C.3.C解析 如图,设辅助正方体的棱长为4,三视图对应的多面体为三棱锥A-BCD,最长的棱为AD=6,选C.4.A解析 由正视图和侧视图知,该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体,故正确.5.D解析 由题干中的三视图可得原几何体如图所示.故该几何体的表面积S=246+234+36+33+34+35+234=138(cm2).故选D.6.D解析 易知该三棱锥的底面是直角边分别为1和2的直角三角形,结合A,B,C,D选项知,D选项中侧视图、俯视图方向错误,故选D.7解析 设三棱锥V-ABC的底面边长为a,侧面VAC边AC上的高为h,则ah=,其侧
29、视图是由底面三角形ABC边AC上的高与侧面三角形VAC边AC上的高组成的直角三角形,其面积为ah=8.解析 正确;由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知正确;但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直,故错误;正确;原图形中相等的线段在直观图中不一定相等,故错误.9.解析 正确,正四面体是每个面都是等边三角形的四面体,如正方体ABCD-A1B1C1D1中的四面体ACB1D1;错误,反例如图所示,底面ABC为等边三角形,可令AB=VB=VC=BC=AC,则VBC为等边三角形,VAB和VCA均为等腰三角形,但不能判定其为正三棱锥;错误,必须是相邻的两个侧面.10解析 由三棱锥的正视图知,三棱锥的
30、高为1,底面边长分别为2,2,2,所以底面三角形的高为=1,所以,三棱锥的体积为V=211=11.D解析 由题意知该正方体截去了一个三棱锥,如图所示,设正方体棱长为a,则V正方体=a3,V截去部分=a3,故截去部分体积与剩余部分体积的比为a3a3=15.12.B解析 由三视图可推知,几何体的直观图如图所示,可知AB=6,CD=3,PC=3,CD垂直平分AB,且PC平面ACB,故所求几何体的体积为3=9.13.B解析 根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥,与三棱柱的组合体,四分之一圆锥的底面半径为1,高为1,故体积为1=,三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形,高为1,故体积为121=
31、1,故组合体的体积V=1+14或3解析 若正三棱柱的高为6时,底面边长为1,V=116=;若正三棱柱的高为3时,底面边长为2,V=223=315.解析 由正投影的定义,四边形BFD1E在面AA1D1D与面BB1C1C上的正投影是图;其在面ABB1A1与面DCC1D1上的正投影是图;其在面ABCD与面A1B1C1D1上的正投影也是,故错误.16.D解析 的模型分别如图(1)、图(2)、图(3)、图(4)所示,故选D.图(1)图(2)图(3)图(4)考点规范练39空间几何体的表面积与体积基础巩固1.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示
32、.若该几何体的表面积为16+20,则r=()A.1B.2C.4D.82.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()A.1+B.1+2C.2+D.23.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为()A.B.1C.D.4.(2016山东,理5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为()A.B.C.D.1+5.已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()A.B.4C.2D.导学号372703486.九章算术是我国古代内
33、容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛7.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是.8.某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为.9.(2016邯郸一模)已知三棱锥P-ABC内接于球O,PA=PB=PC=2,当三棱锥P-ABC的三个侧面
34、的面积之和最大时,球O的表面积为.导学号3727034910.在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是.11.已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20 cm和30 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.12.一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为1的平行四边形,侧视图是一个长为、宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何
35、体的表面积S.能力提升13.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且ADE,BCF均为正三角形,EFAB,EF=2,则该多面体的体积为()A.B.C.D.导学号3727035014.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.+B.+C.+ 2D.+215.(2016浙江,理11)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是 cm2,体积是 cm3.16.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形
36、.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.高考预测17.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,ASC=BSC=30,则棱锥S-ABC的体积为()A.3B.2C.D.1导学号37270351参考答案考点规范练39空间几何体的表面积与体积1.B解析 由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.S表=2r2r+2r2+r2r+4r2=5r2+4r2=16+20,解得r=2.2.
37、C解析 由三视图可得该四面体的直观图如图所示,平面ABD平面BCD,ABD与BCD为全等的等腰直角三角形,AB=AD=BC=CD=取BD的中点O,连接AO,CO,则AOCO,AO=CO=1.由勾股定理得AC=,因此ABC与ACD为全等的正三角形,由三角形面积公式得SABC=SACD=,SABD=SBCD=1,所以四面体的表面积为2+3.C解析 由题意知,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为ABC所在圆面的直径,所以BAC=90,ABC的外接圆圆心N是BC的中点,同理A1B1C1的外心M是B1C1的中点.设正方形BCC1B1的边长为x,RtOMC1中,OM=,MC1=,OC1=R=1(R为球
38、的半径),所以=1,即x=,则AB=AC=1.所以侧面ABB1A1的面积S=1=4.C解析 由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为V1=,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积V2=11=,故选C.5.D解析 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半,所以半径r=1,所以V球=13=故选D.6.B解析 设底面圆半径为R,米堆高为h.米堆底部弧长为8尺,2R=8,R=体积V=R2h=5.3,V(立方尺).堆放的米约为22(斛).7.32解析 由三视图,可得棱长为4的正方体被平面AJGI截成两个几何体,且J,I分别为BF,DH的中点,如图,两个几何体的体积各占正方体的一半,则该几何体的
39、体积是43=32.8解析 由三视图可知,四棱柱高h为1,底面为等腰梯形,且底面面积S=(1+2)1=,故四棱柱的体积V=Sh=9.12解析 由题意三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大,三棱锥P-ABC的外接球就是它扩展为正方体的外接球,求出正方体的体对角线的长为2,所以球的直径是2,半径为,球的表面积为4()2=12.10解析 由题意,可得直三棱柱ABC-A1B1C1如图所示.其中AB=AC=AA1=BB1=CC1=A1B1=A1C1=1.M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,MN=,NP=1.SMNP=1=点A1到平面MNP
40、的距离为AM=,11.解 如图所示,三棱台ABC-A1B1C1中,O,O1分别为两底面中心,D,D1分别为BC和B1C1的中点,则DD1为棱台的斜高.由题意知A1B1=20,AB=30,则OD=5,O1D1=,由S侧=S上+S下,得3(20+30)DD1=(202+302),解得DD1=,在直角梯形O1ODD1中,O1O=4(cm),所以棱台的高为4 cm.12.解 (1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为1的正方形,高为,所以V=11(2)由三视图可知,该平行六面体中,A1D平面ABCD,CD平面BCC1B1,所以AA1=2,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形
41、.S=2(11+1+12)=6+213.A解析 如图,分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,容易求得EG=HF=,AG=GD=BH=HC=,所以SAGD=SBHC=1=所以V=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=2VE-ADG+VAGD-BHC=2+1=14.A解析 由三视图可知,该几何体是一个组合体,其左边是一个三棱锥,底面是等腰直角三角形(斜边长等于2),高为1,所以体积V1=211=;其右边是一个半圆柱,底面半径为1,高为2,所以体积V2=122=,所以该几何体的体积V=V1+V2=+.15.7232解析 由三视图,可知该几何体为两个相同长方体组合而成,其中每个长方体的长、宽、高分别为4 cm,2 cm,2 cm,所以其体积为2(224)=32(cm3).由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,所以其表面积为2(222+424)-2(22)=72(cm2).16.解 (1)交线围成的正方形EHG