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1、第4讲 定积分与微积分的基本定理 知 识 梳理 1、定积分概念定积分定义：如果函数在区间上连续，用分点，将区间等分成几个小区间，在每一个小区间上任取一点，作和，当时，上述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即，这里、分别叫做积分的下限与上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.2、定积分性质（1）；（2）（3）3、微积分基本定理一般地，如果是在上有定义的连续函数，是在上可微，并且，则，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式，为了方便，常常把，记作，即.4、常见求定积分的公式（1）（2）（C为常数）（3）（4）（5）（6）（7） 重
2、难 点 突 破 1.重点：定积分的计算和简单应用。2.难点：利用定积分求平面区域围成的面积3.重难点：掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积. （1）弄清定积分与导数之间的关系问题1.一物体按规律做直线运动，式中为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比（比例常数为），试求物体由运动到时，阻力所做的功.解析：要求变力所做的功，必须先求出变力对位称的变化函数，这里的变力即媒质阻力，然后根据定积分可求阻力所做之功.解因为物体的速度所以媒质阻力当时，当时，阻力所做功（2）掌握定积分在求曲边梯形面积的方法.问题2. 求由抛物线与直线及所围成图形的面积.y解析：
3、作出及的图形如右：6解方程组 得x解方程组 得62O所求图形的面积 热 点 考 点 题 型 探 析考点1: 定积分的计算题型1.计算常见函数的定积分例1. 求下列定积分（1）（2）（3）【解题思路】根据微积分基本定理，只须由求导公式找出导数为，的函数就可，这就要求基本求导公式非常熟悉.解：（1） （2） （3）【名师指引】简单的定积分计算只需熟记公式即可.题型2:换元法求定积分例2.计算:【解题思路】：我们要直接求的原函数比较困难，但我们可以将先变式化为，再求积分，利用上述公式就较容易求得结果，方法简便易行.解析： 【名师指引】较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元
4、变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分.题型3:计算分段函数定积分例3. 求【解题思路】：首先是通过绝对值表示的分段函数，同时又是函数复合函数与的运算式，所以我们在计算时必须先把积分区间分段，再换元积分或奏变量完成.解析： 【名师指引】若被积函数含绝对值，往往化成分段函数分段积分，注意本题中，这实际是一种奏变量的思想，复合函数的积分通常可以奏变量完成，也可以换元完成.题型4:定积分的逆运算例4. 已知求函数的最小值.【解题思路】：这里函数、都是以积分形式给出的，我们可以先用牛顿莱布尼兹公式求出与，再用导数求法求出的最小值.解析： 当时，最小=1 当时，最小=1【名师指引】这是一道把积分上限函
5、数、二次函数最值，参数混合在一起综合题，重点是要分清各变量关系. 积分、导数、函数单调些，最值、解析式交汇出题是近几年高考命题热点，把它们之间的相互关系弄清是我们解此类问题的关键。【新题导练】.1(广东省揭阳二中2009届高三上学期期中考试)计算： 解析:82. .设 则=（ ）A.B.C.D.不存在解析选C考点2: 定积分的应用题型1.求平面区域的面积例1 求在上，由轴及正弦曲线围成的图形的面积.【解题思路】：因为在上，其图象在轴上方；在上，其图象在轴下方，此时定积分为图形面积的相反数，应加绝对值才表示面积.y解析：作出在上的图象如右0x 与轴交于0、，所2求积【名师指引】利用定积分求平面图
6、形的面积的步骤如下：第一步：画出图形，确定图形范围第二步：解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限第三步：确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置第四步：计算定积分，求出平面图形面积题型2.物理方面的应用例2. 汽车每小时54公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度3米/秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？【解题思路】汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们可以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式.解析：由题意，千米/时米/秒，令得153t=0，t=5，即5秒时，汽车停车.所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为公里答
7、：汽车走了0.0373公里.【名师指引】tvaboV=v(t)若作变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为，由定积分的物理意义可知，作变速运动物体在时间内的路程s是曲边梯形（阴影部分）的面积，即路程；如果时，则路程. 抢 分 频 道 基础巩固训练1. （2007年广东北江中学高三第二次月考）= 2. (2008学年广东北江中学高三高三年级第一次统测试题) 3. = 4. 已知,当= 时, .恒成立5. 求曲线，及所围成的平面图形的面积.思路分析：图形由两部分构成，第一部分在区间上，及围成，第一部分在上由与围成，所以所求面积应为两部分面积之和.y=x2y=2xy解：作出，及的图如右B(2,4)解
8、方程组 得 A(1,1)y=x21xo解方程组 得 所求面积 答：此平面图形的面积为综合拔高训练6. 设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且f（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（2）若直线x=t（0t1把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f（x）=2ax+b，又已知f（x）=2x+2a=1，b=2.f（x）=x2+2x+c又方程f（x）=0有两个相等实根，判别式=44c=0，即c=1.故f（x）=x2+2x+1.（2）依题意，有所求面
9、积=.（3）依题意，有，t3+t2t+=t3t2+t，2t36t2+6t1=0，2（t1）3=1，于是t=1.7. 抛物线y=ax2bx在第一象限内与直线xy=4相切此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S求使S达到最大值的a、b值，并求Smax解 依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=b/a，所以(1)又直线xy=4与抛物线y=ax2bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得ax2(b1)x4=0，其判别式必须为0，即(b1)216a=0于是代入（1）式得：，；令S(b)=0；在b0时得唯一驻点b=3，且当0b3时，S(b)0；当b3时，S(b)0故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=1，b=3时，S取得最大值，且8. 设直线与抛物线所围成的图形面积为S,它们与直线围成的面积为T, 若U=S+T达到最小值,求值;并求此时平面图形绕轴一周所得旋转体的体积.y=axy=x21a1ay=x2y=ax图2图1故函数无最小值。当时，显然无最小值。