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1、高考数学三角函数与解三角形试题总汇高三数学章末综合测试题三角函数、解三角形一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1已知角的终边过点P(8m，6sin30)，且cos，则m的值为()AB.CD.解析：|OP|，且cos， m0，且，m. 答案：B2已知扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A1 B4 C1或4 D2或4解析：设扇形的圆心角为 rad，半径为R， 则解得1，或4. 答案：C3已知函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则该函数图像()A关于直线x对称 B关于点(，0)对称C关于点(，0)对称 D关于直线x对称解析：T，2. 新 课 标 第
2、一 网当x时，f(x)；当x时，f(x)0，图像关于(，0)中心对称. 答案：B4要得到函数ycos2x的图像，只需将函数ycos的图像()A向右平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向左平移个单位解析：由cos2xcoscos知，只需将函数ycos的图像向左平移个单位. 答案：D5若2asin2cos2，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析：sin2cos22sin，又2，12sin， 即12a，0a. 答案：A6函数y3sin(x0，)的单调递增区间是()A. B.C. D.解析：y3sin，由2k2x2k，kZ，得 kxk，kZ. 又x0，k0.此时x. 答案：B7
3、已知tan，tan()，那么tan(2)的值是()A B. C. D.解析：tan(2)tan(). 答案：B8定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为，且当x时，f(x)sinx，则f的值为()A B. C D.解析：ffffsin. 答案：D9已知coscos，则sin4cos4的值等于()A. B. C. D.解析：由已知，得sincos，即sin，cos2. sin2212。则sin4cos412sin2cos21sin221. 答案：C10已知、为锐角，且sin，sin，则()A B.或 C. D.解析：、为锐角，且sin，sin，cos，cos，且(
4、0，)，cos()coscossinsin， . 答案：D11在ABC中，cos2(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则ABC的形状为()A等边三角形 B直角三角形C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形解析：cos2，2cos211，cosB，c2a2b2， 故ABC为直角三角形答案：B12在沿海某次台风自然灾害中，台风中心最大风力达到10级以上，大风降雨给沿海地区带为严重的灾害，不少大树被大风折断，某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45角，树干也倾斜为与地面成75角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是()A.米 B10米 C.米 D20米解析：设折断点与树
5、干底部的距离为x米则，x(米). 答案：A 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13若是函数f(x)sin2xacos2x(aR，且为常数)的零点，则f(x)的最小正周期是_解析：由题意，得fsinacos20，1a0，a2. f(x)sin2x2cos2xsin2xcos2x1sin1， f(x)的最小正周期为.答案：14在ABC中，tanAtanBtanAtanB.sinAcosB， 则ABC的形状为_解析：tanAtanB(tanAtanB1)，tan(AB)， tanC，又C(0，)，C.sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，cosAsinB，sinAc
6、osBcosAsinB，sin(AB)0，AB.ABC为正三角形答案：正三角形15若将函数ytan(0)的图像向右平移个单位后，与函数ytan的图像重合，则的最小值为_解析： 由已知，得tantantan，得k (kZ)，6k(kZ)0，当k0时，的最小值为.答案：16给出下列命题：半径为2，圆心角的弧度数为的扇形面积为；若、为锐角，tan()，tan，则2；若A、B是ABC的两个内角，且sinAsinB，则BCAC；若a、b、c分别是ABC的三个内角A、B、C的对边，且a2b2c20，则ABC是钝角三角形其中真命题的序号是_解析：中，S扇形R2221，不正确中，由已知可得tan(2)tan(
7、)1，又、为锐角，tan()0，0.又由tan1，得0， 02，2.正确中，由sinAsinB(2R为ABC的外接圆半径)BCAC.正确中，由a2b2c20知，cosC0，C为钝角，ABC为钝角三角形正确答案：三、解答题：本大题共6小题，共70分17(10分)已知sin，tan，且、.(1)求的值； (2)求sincos的值解析：(1)sin， cos.tan，tan()1. 又0，.(2)由(1)知，sincossincossincos 2cossin2.18(12分)已知、为锐角，向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，c.(1)若ab，ac，求角2的值；(2)若abc，求tan的
8、值解析：(1)ab(cos，sin)(cos，sin)coscossinsincos().ac(cos，sin)来X k b 1 . c o mcossin.又0，0，.由得，由得.、为锐角，.从而2.(2)由abc，可得22，得cossin.2sincos.又2sincos，3tan28tan30.又为锐角，tan0，tan.19(12分)已知函数f(x)Asin(x)一个周期的图像如图所示(1)求函数f(x)的表达式；(2)若f()f，且为ABC的一个内角，求sincos的值解析：(1)由图知，函数的最大值为1，则A1，函数f(x)的周期为T4.而T，则2. w w w .x k b 1.
9、c o m又x时，y0，sin0.而，则.函数f(x)的表达式为f(x)sin.(2)由f()f，得sinsin，化简，得sin2.(sincos)21sin2.由于0，则022，但sin20，则02，即为锐角，从而sincos0，因此sincos.20(12分)在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC3acosBccosB.(1)求cosB的值(2)若2，b2，求a和c.解析：(1)ABC中，bcosC3acosBccosB，由正弦定理，得sinBcosC3sinAcosBsinCcosB，sinBcosCsinCcosB3sinAcosB，sin(BC)sinA3si
10、nAcosB.sinA0，cosB.(2)accosBac2，ac6.b28a2c22accosBa2c24，a2c212，a22acc20，即(ac)20，ac.21(12分)已知ABC是半径为R的圆的内接三角形，且2R(sin2Asin2C)(ab)sinB.(1)求角C；(2)试求ABC面积S的最大值解析：(1)由2R(sin2Asin2C)(ab)sinB，两边同乘以2R，得(2RsinA)2(2RsinC)2(ab)2RsinB，w w w .x k b 1.c o m根据正弦定理，得a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，a2c2(ab)b，即a2b2c2ab.再由余弦定理
11、，得cosC，又0C，C.(2)C，AB.SabsinC(2RsinA)(2RsinB)R2sinAsinBR2sinAsinR2sinR2，当2A，即A时，S有最大值R2.22(12分)如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数yAsinx(A0，0)，x0,4的图像，且图像的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定MNP120.(1)求A，的值和M，P两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？解析：方法一：(1)依题意，故NP+MNsinsin(60)sin(60)060，
12、当30时，折线段赛道MNP最长即将PMN设计为30时，折线段赛道MNP最长方法二：(1)同方法一；(2)在MNP中，MNP120，MP5，由余弦定理，得MN2NP22MNNPcosMNPMP2，即MN2NP2MNNP25.故(MNNP)225MNNP2，从而(MNNP)225，即MNNP，当且仅当MNNP时等号成立即设计为MNNP时，折线段赛道MNP最长专题升级训练 三角函数的图象与性质(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.已知函数f(x)=sin(xR),下面结论错误的是()A.函数f(x)的最小正周期为2B.函数f(x)在区间上是增函数w w
13、 w .x k b 1.c o mC.函数f(x)的图象关于直线x=0对称D.函数f(x)是奇函数2.(2013山东青岛模拟,6)若当x=时,函数f(x)=Asin(x+)(A0)取得最小值,则函数y=f是()A.奇函数且图象关于点对称B.偶函数且图象关于点(,0)对称C.奇函数且图象关于直线x=对称D.偶函数且图象关于点对称3.已知角的终边过点P(x,-3),且cos=,则sin的值为()A.-B.C.-或-1D.-4.要得到函数y=sin 2x的图象,只需将函数y=sin的图象()A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度5.函数f(x)=As
14、in(x+)的部分图象如图所示,则,的值分别为()A.2,0B.2,C.2,-D.2,6.已知函数f(x)=cos x+x,x,sin x0=,x0,那么下面命题中真命题的序号是()f(x)的最大值为f(x0)f(x)的最小值为f(x0)f(x)在上是增函数f(x)在上是增函数A.B.C.D.二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)7.函数y=sinx(0)的图象向左平移个单位后如图所示,则的值是.8.设函数f(x)=2sin,若对任意xR,都有f(x1)f(x)f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为.9.已知函数f(x)=sin(x0)的图象与x轴的交点从左到右依次为(x1,0
15、),(x2,0),(x3,0),则数列xn的前4项和为.三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10.(本小题满分15分)已知函数y=cos2x+asin x-a2+2a+5有最大值2,试求实数a的值.11.(本小题满分15分)(2013北京海淀模拟,15)已知函数f(x)=2-(sin x-cos x)2.w w w .x k b 1.c o m(1)求f的值和f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.12.(本小题满分16分)已知定义在区间上的函数y=f(x)的图象关于直线x=-对称,当x时,函数f(x)=Asin(x+
16、)的图象如图所示. (1)求函数y=f(x)在上的表达式;(2)求方程f(x)=的解.#1.D解析:f(x)=sin=-cos x,A,B,C均正确,故错误的是D.2.C解析:由已知可知+=2k-,kZ,即=2k-,kZ,又y=f=Asin=-Asin x,y=f是奇函数且关于x=对称,故选C.3.C解析:角的终边过点P(x,-3),cos=,解得x=0或x2=7,sin=-或-1.4.B解析:y=sin=sin 2x-,故要得到函数y=sin 2x的图象,只需将函数y=sin的图象向左平移个单位长度.5.D解析:由图象得T=,则T=,=2.当2x+=+2k,kZ时,函数取最大值,由2+=+2
17、k,kZ得=+2k.又|0,解得sin x.又因为x,所以-x,此时函数单调递增,由f(x)=-sin x,又因为x,所以x,此时函数单调递减,所以正确,选A.7.2解析:由题中图象可知T=,T=,=2.8.2解析:若对任意xR,都有f(x1)f(x)f(x2)成立,则f(x1)f(x)min且f(x2)f(x)max,当且仅当f(x1)=f(x)min,f(x2)=f(x)max,|x1-x2|的最小值为f(x)=2sin的半个周期,即|x1-x2|min=2.9.26解析:令f(x)=sin=0,则x+=k,x=3k-1(kN*),x1+x2+x3+x4=3(1+2+3+4)-4=26.1
18、0.解:y=-sin2x+asin x-a2+2a+6,令sin x=t,t-1,1.y=-t2+at-a2+2a+6,对称轴为t=,当-1,即a-2时,-1,1是函数y的递减区间,ymax=-a2+a+5=2,得a2-a-3=0,a=,与a1,即a2时,-1,1是函数y的递增区间,ymax=-a2+3a+5=2,得a2-3a-3=0,a=,而a2,即a=;当-11,即-2a2时,ymax=-a2+2a+6=2,得3a2-8a-16=0,a=4,或-,而-2a2,即a=-;a=-.11.解:(1)因为f(x)=2-(sin x-cos x)2=2-(3sin2x+cos2x-2sin xcos
19、 x)=2-(1+2sin2x-sin 2x)=1-2sin2x+sin 2x=cos 2x+sin 2x=2sin,所以f=2sin=2sin,所以f(x)的最小正周期为T=.(2)当x时,2x,所以当x=-时,函数取得最小值f=-1,当x=时,函数取得最大值f=2.12.解:(1)当x时,A=1,T=2,=1.且f(x)=sin(x+)过点,则+=+2k,kZ,X kB1.cOM=+2k,kZ.-,=.f(x)=sin.当-x-时,-x-,f=sin,而函数y=f(x)的图象关于直线x=-对称,则f(x)=f,x_k_b_1即f(x)=sin=-sin x,-x-.f(x)=(2)当-x时
20、,x+,由f(x)=sin,得x+,x=-.当-x-时,由f(x)=-sin x=,sin x=-,得x=-或-.x kb 1x=-或-或-.新课 标第 一 网 专题升级训练 三角变换、平面向量与解三角形(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.已知=-,则cos+sin等于()A.-B.C.D.-2.在ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,c=8,B=60,则sin A的值是()A.B.C.D.3.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a,b的夹角为120,且|b|=2|a|,则向量a与c的夹角为()A.60B.90
21、C.120D.1504.在ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b2+c2-a2=bc,则sin(B+C)=()A.-B.C.-D.5.已知sin(+)=,sin(-)=,则等于()A.2B.3C.4D.66.若0,-0,sin+cos=.则=-.10.解:(1)f(x)=2sin(-x)+2sin=2sin x-2cos x=4sin,令t=x-,则y=4sin t.x0,t,由三角函数的图象知f(x)-2,4.(2)x0为函数y=f(x)的一个零点,f(x0)=4sin=2sin x0-2cos x0=0,tan x0=.=2-.11.解:(1)由cos 2A-3cos(B+
22、C)=1,得2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得cos A=或cos A=-2(舍去).因为0A,所以A=.x k b 1 . c o m(2)由S=bcsin A=bcbc=5,得bc=20.又b=5,知c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,故a=.又由正弦定理得sin Bsin C=sin Asin A=sin2A=.12.解:(1)mn,2sin(A+C)cos 2B,2sin Bcos B=cos 2B,sin 2B=cos 2B,易知cos 2B0,tan 2B=.0B,则02B,2B=.B=.(2)b2=a2+c2-ac,a2+c2=1+ac.a2+c22ac,1+ac2ac.ac=2+,当且仅当a=c取等号.S=acsin B=ac,即ABC面积的最大值为.