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1、压水堆核电站反应堆稳态物理基础知识3.1 中子循环和四因子公式3.1.1 中子循环3.1.2 四因子公式和临界条件3.2 单速中子的扩散3.2.1 概述3.2.2 斐克定律303.2.3 中子泄漏的计算313.2.4 中子扩散方程323.2.5 扩散方程的边界条件333.2.6 点源产生的单速中子扩散343.2.7 热中子扩散长度343.3 中子的慢化353.3.1 慢化的物理机制353.3.2 弹性碰撞理论363.3.3 平均对数能降403.3.4 中子年龄的统计意义423.3.5 徙动面积433.3.6 慢化剂的性质433.4 均匀裸堆443.4.1 一群扩散方程443.4.2 平板裸堆4
2、53.4.3 有限高圆柱形均匀裸堆463.4.4 一群临界方程与临界条件473.4.5 中子通量密度分布不均匀系数503.4.6 中子通量密度分布的展平503.4.7 二群扩散方程和二群临界方程523.5 有反射层的均匀堆543.5.1 反射层性质543.5.2 反射层节省543.5.3 反射层对中子通量分布的影响55复习题 中子在反应堆内的行为特征严格来说是服从输运方程所描述的规律。但严格求解输运方程是很困难的，在某些情况下甚至是不必要的。本章在求解输运方程时，采用简单的扩散近似来描述稳态时中子通量密度在反应堆内的空间分布。 中子在反应堆的行径可以分成快中子的慢化和热中子的扩散。本章将分别讨
3、论其物理特征。 在均匀裸堆的一群临界计算中，分别给出了平板裸堆，有限高圆柱均匀裸堆的临界方程和中子通量密度的空间分布。并给出了多群计算的方法。 对有反射层的反应堆，对反射层的作用作了研究，介绍了反射层对中子通量密度分布的影响。3.1 中子循环和四因子公式3.1.1 中子循环当燃料核受中子轰击发生裂变时，同时放出次级中子。若次级中子再能引起燃料核的裂变，又同时放出次级中子，只要这个过程延续着，反应堆就不断地释放出能量。通常把这一连串的裂变反应称为原子核链式裂变反应。链式裂变反应的示意图见图3.11。裂变反应过程中，一个中子使一个铀核发生裂变后又会产生23个次级中子。因此，裂变反应发生后，可以不再
4、依靠外界补充中子，核燃料就能继续自持地裂变下去。这样的核反应称为自持链式裂变反应。 对于热中子反应堆，核燃料是235U，引起235U 核裂变的主要是热中子。由于核燃料235U 的富集度较低，所以反应堆中存在大量的238U。 设反应堆中有一个快中子。当快中子能量大于1.1兆电子伏时，能引起235U 核和238U核的快中子裂变，主要是238U核的快裂变。使得一个中子增加到倍。称为快中子增殖系数，它是这样定义的： (3.1-1)的值主要取决于燃料的性质。对于天然铀，约为1.03。 快中子在慢化过程中，有一部分快中子泄漏到堆外去。假设快中子不泄漏几率为PF，则泄漏出去的快中子为(1PF)，而留在堆内的
5、快中子则为PF。中子在慢化过程中，当中子能量为238U的共振能时，238U能强烈地吸收中子。设p为一个中子经过共振能区而不被吸收的几率，即逃脱共振几率。那么一个快中子慢化到热中子时就有PFp个。热中子在扩散过程中，仍有一部分中子泄漏到堆外去。假设热中子不泄漏几率为PT，则泄漏出去的热中子为PFp(1PT)个，而留在堆内的热中子为PFpPT。由于堆内存在着燃料，慢化剂和结构材料等，它们都能吸收中子，燃料吸收的中子只占被吸收中子数的一部分。设f为热中子利用系数，则被燃料吸收的中子数为PFpPTf。f是这样定义的： (3.1-2) 反应堆中，令a5，a8和aM分别表示235U、238U和慢化剂等堆内
6、其它物质的热中子吸收截面，则式(3.12)可写成 (3.1-3)235U吸引热中子后，一部分中子使235U 产生裂变反应，而另一部分中子只被235U 俘获而不引起裂变。令为热中子裂变因子，它的定义为燃料每吸收一个热中子所产生的裂变中子数： (3.1-4)显然，式(3.14)可以表示为 (3.15)式中，n5为235U每裂变一次放出的次级中子平均数。 a5,f5分别为235U 的宏观吸收截面和宏观裂变截面。 a8为238U的宏观吸收截面。这就是由一个快中子开始，经过慢化，扩散，引起235U的裂变放出PFpPTf个快中子的中子循环的物理图象。图3.12表示了这种物理过程。epPFPTfh快中子eP
7、Fe个快中子 一个快中子快中子泄漏8U裂变裂变epPFPTf燃料吸收epPFPT热中子泄漏ePFp个热中子共振吸收 图3.1-2 热堆内中子循环3.1.2 四因子公式和临界条件 当热中子反应堆内材料组分、几何结构、尺寸大小完全确定以后，中子循环内的各种参数(,p, PF，PT，f)都已确定了。为描述堆内裂变中子增殖、衰减情况，可引入反应堆的有效增殖系数keff，它的定义为 (3.1-6)根据定义，式(3.16)可以写成 keffpfP (3.17)式中PPFPT，表示中子在慢化、扩散过程中不泄漏几率。 对于无限大反应堆，显然中子不泄漏几率P1。这时的增殖系数称为无限介质的增殖系数k kpf (
8、3.18)式(3.18)称为四因子公式。它是由费米(E.Fermi)首先得到的，用来研究热中子反应堆的公式。 在四因子公式中，和主要由燃料性质所决定，但p和f却可以在一定程度上变化。为了保证核裂变链的延续，应该使p和f都尽可能地大。实际上这两个因素是互相制约的，如果使燃料和慢化剂的比例增加，f将增大，而p将减小。反之正好相反。在实际应用上，必须找出一种能使乘积pf为最大的成分和布置，以使链式反应得以维持。 从式(3.1-6)可以看出： 如反应堆的增殖系数等于1，则意味着每代中子循环的中子数都一样，即任意相邻两代的中子数都相等。称为反应堆临界。 如反应堆的增殖系数小于1，说明中子循环中任一代的中
9、子都比上一代少。显然，链式反应链不能延续，我们称次临界。 如反应堆的增殖系数大于1，说明随着裂变链的进行，任一代的中子数都多于前一代的中子数，我们称超临界。 从中子数守恒的观点来看，反应堆的有效增殖系数keff又可以定义为 (3.1-9) 从式(3.1-9)又可以看出： 如反应堆的增殖系数等于1，则中子的产生与消失处于动态平衡。因而，反应堆有比较稳定的中子通量密度。该系统处于临界状态。 如反应堆的增殖系数小于1，说明中子的消失率大于产生率。因而，系统中的中子将越来越少，该系统处于次临界状态。 如反应堆的增殖系数大于1，说明随着裂变链的进行，中子的消失率小于产生率。因而，系统中的中子将越来越多，
10、该系统处于超临界状态。我们可以由热中子裂变因子来求燃料的富集度c。 在238U热中子截面中，f=0，故ag，式(3.15)用微观截面来表示可以写成 (3.1-10)式中N5，N8分别为235U，238U的核子数，而g5是235U 的辐射俘获截面。在天然铀中，N8/N599.3/0.7，由表2.52中的截面值，算得天然铀的热中子裂变因子1.3左右。3.2 单速中子的扩散 3.2.1 概述 由于中子与原子核的多次碰撞，使得中子在反应堆内以杂乱无章的折线进行运动。这种运动的结果，使原来在堆内某一位置具有某一能量和某一运动方向的中子，稍晚些时间将在堆内另一位置，以另一能量和另一运动方向出现。这时，我们
11、说中子从第一种能量和位置输运到了第二种能量和位置，研究这种现象的理论叫输运理论。 利用输运方程可以直接表述中子的空间、能量和时间分布。该方程有时也称为玻耳兹曼方程，因为它与L玻耳兹曼(约于1870年)在气体动力学理论中导出的方程十分相似。输运方程基于中子守恒或中子平衡原理。 因为在很宽的能量和运动方向范围内运动的许多中子经散射碰撞后都可能产生以给定的能量运动在某一规定方向上的中子，所以散射项必须对所有的初始能量和运动方向进行积分。因此输运方程是一个积分微分方程。 要精确求解输运方程是很困难的，实际应用上采用了种种近似方法，并借助于各种计算程序得到数值解。对输运理论采用的最简单的近似之一是扩散理
12、论近似。 所谓扩散近似是假定反应堆内中子在介质核上的碰撞散射是杂乱无章且各向同性的，从而满足分子扩散的斐克(Fick)定律。 中子散射各向同性，即是沿各个方向散射出来的中子数相等。因此从数学上看，扩散近似就是假定中子密度n与中子运动方向无关。3.2.2 斐克定律 一定的条件下，中子通量密度和中子流之间有一个简单的关系。其形式上与描述液体和气体的扩散现象的斐克定律是一样的。我们假设： (1) 中子具有相同的能量； (2) 无限均匀介质； (3) 弱吸收介质，即介质的吸收截面很小； (4) 在实验室坐标系中散射是各向同性的； (5) 介质中没有中子源； (6) 中子通量密度是随位置缓慢变化的函数。
13、反应堆介质中，中子密度不超过1011中子/厘米3，因此，中子在介质中的扩散主要是中子和介质核的碰撞结果，中子之间的互相碰撞可以忽略。从定性上来说，中子密度大的地方，中子与介质核碰撞的次数就多，而每次碰撞以后，中子总是要改变运动方向。因此，中子总是从密度高的地方向密度低的地方扩散。 如图3.21所示，计算中子流密度的那一点将取作坐标系的原点。为了确定中子流密度矢量，必须计算它的三个分量和。中子流密度是一个矢量，它可以表示为： 根据研究，中子流密度与中子通量密度梯度之间遵守斐克(Fick)定律所描述的关系。 中子流密度与中子通量密度之间服从下面的关系： (3.2-1)式(3.21)称为斐克定律，它
14、表示中子流密度正比于负的中子通量密度梯度。其比例常数称作扩散系数，并用符号D表示。 则斐克定律也可表示成 =-DgradF (3.2-2)3.2.3 中子泄漏的计算 中子泄漏根据中子流密度来计算。z方向的中子流密度定义为单位时间内在z方向穿过单位面积的净中子数。在直角坐标系中，考虑一个坐标点为x，y，z的立方体体积元dv，其边长分别为dx，dy,dz。见图3.22。考虑dxdy的两个面，它们平行于x-y平面，而与z方向垂直。每秒进入底面的中子数为Jzdxdy，穿出顶面的中子数为Jzdzdxdy，其中Jz，Jz+dx分别为相应面上的中子流密度。因此，通过平行于x-y平面的两个表面逸出该体积元的中
15、子净消失率为 因为，单位体积通过z方向的中子消失率为。 同理，可对x和y方向的中子消失率进行类似的处理。因而可得到单位体积内中子的泄漏率为 (3.23)其中为中子流密度矢量，数值上等于单位时间内穿过流动方向垂直的单位面积的净中子数，符号是散度算符的矢量标记。3.2.4 中子扩散方程 我们来研究介质内与单速中子和核存在相互作用的一个体积元。我们假定，中子具有单一相同的速度，中子与介质核发生作用不能改变中子的速度，中子可以被吸收，也可以从体积元内泄漏出去。如果体积元内存在中子源，则会从源放出附加的中子。因此，中子密度n随时间的变化率必须等于该体积元内的中子产生率减去该体积元内中子的吸收率和泄漏率。
16、 中子的产生率由源项S表示，它是指单位时间单位体积内发出的中子数。 中子的吸收率等于a。 因而单速中子守恒方程可以表示为 S-a-泄漏率 (3.2-4) 将式(3.23)代入式(3.24)的单速中子守恒方程，可以得到 (3.2-5)其中座标(r,t)表示有关量在系统内(矢量)点r处在时刻t的取值。 斐克定律给出了中子通量密度和中子流之间的关系。利用中子守恒方程，可以推导出只包含中子通量密度的方程。式(3.25)可以写成 (3.2-6)式中，为了书写简便，所有的自变量都被略去。当我们考虑的是均匀介质时，上式左边第三项可表示为 其中，是拉普拉斯算符。同时，由于假定所有中子都具有相同的能量，所以中子
17、通量密度为 则方程(3.26)变成 (3.2-7)这个方程称为中子扩散方程，它在反应堆理论中有占有很重要的位置。 拉普拉斯算符的形式与所给问题的坐标系有关。在反应堆计算中通常只需考虑三种坐标系，即直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。感兴趣的读者可以参考有关高等数学资料。 首先我们研究稳态问题，即通量不随时间t变化，即,则式(3.27)变为 (3.28)这个方程称为稳态中子扩散方程，而数学工作者称它为标量亥姆霍兹方程。 3.2.5 扩散方程的边界条件 由于稳态扩散方程是微分方程，所以它具有无限多个解。换句话说，有无限多个函数满足这个方程。可是对应于每个实际的物理问题，只能有一个函数正确地表示中子通量
18、。为了辨别出这个合适的函数，除了满足微分方程的要求以外，对方程的解还必须引入某些限制。这些限制由具体的物理问题决定，并称为边界条件。边界条件与微分方程一起，唯一地确定每一问题的解。 所谓边界，就是物理性质突然变化的地方。稳态扩散方程的边界条件概括起来有下列几点: (1)在扩散方程适用的区域内，扩散方程的解必须是非负的实数，且处处有界； (2)在具有不同扩散性质的两种介质的交界面处，两种介质内的中子通量相等，垂直于交界面方向上的净中子流密度相等。 (3)外边界处，即在介质与真空交界面上，在物理边界以外的外推边界上，通量为零，见图3.23。外推长度d值和中子与介质的碰撞散射性质有关，为 (3.29
19、)按照更精确的输运理论，则为 (3.210) 图3.2-3 中子通量密度在平面界面处的外推 值得注意的是，外推长度d处通量为零，只是x0处物理边界条件的另一种表示方式，只用来决定介质内部(x0)的通量，而不涉及任何介质外部(x0)的实际通量。 扩散介质中单速中子的扩散长度是这样定义的： (3.311) 它的量纲为长度单位3.2.6 点源产生的单速中子扩散 设在非倍增无限大均匀介质内有一个点中子源，每秒产生S个单速中子，各向同性地向周围介质扩散。让我们来求解介质内的中子通量分布。 取球坐标来解点源的扩散是最方便的，假定中子源位于球坐标原点，采用球坐标系中的拉普拉氏算符的表达式，可以得到点源扩散方
20、程的解为： (3.2-12) 设J是以源为中心，半径为r的球表面上的中子流密度，则每秒穿过整个球面的中子总数为4r2J，该数的极限值应等于源的强度S，即等于点源每秒向所有方向发射中子的总数。可以解得常数A1为： 则中子通量密度分布的最后表达式为 (3.2-13) 例题3.21假想的单速中子源向周围的“无限大”石墨块发射106中子/秒。试确定离源0.27,0.54和1.08米远处的中子通量密度。(假设石墨的L54厘米，D0.94厘米)。 解： 根据式(3.212)我们有 3.2.7 热中子扩散长度扩散长度是核反应堆物理中一个极其重要的参数。为了进一步地说明扩散长度的物理意义，我们讨论热中子从产生
21、地点到被吸收地点穿行距离的均方值。考虑在无限介质内每秒放出S个中子的点源。一个中子在0点产生，之后相继沿1，2而运动，最终在P点被吸收(图3.24)。相邻两次碰撞之间的直线距离i是中子的散射自由程。这是一个有统计涨落的量，其平均值s称为散射平均自由程，即s1/s。图3.2-4 单速中子在介质中的径迹 这是无限介质中点源扩散的问题，其中子通量密度分布已由式(3.213)给出，即距源r处的中子通量密度分布为 我们写出在位于r和rdr之间的球壳内，每秒被吸收的中子数dN。球壳的为。 根据计算，中子直线飞行距离平方的平均值为 因而我们可以得到下面的结果 (3.2-14)换句话说，扩散长度的平方值是直线
22、飞行距离均方值的1/6，所谓直线飞行距离是指中子产生点到被吸收点的直线距离。扩散长度L的大小将影响反应堆的热中子泄漏，若L越大，则平均说来中子在介质中扩散漂移得越远，因而热中子泄漏到反应堆外的几率也就越大。L2也称扩散面积。3.3 中子的慢化3.3.1 慢化的物理机制 反应堆堆芯中产生的裂变中子，都是快中子。其平均能量约为2兆电子伏。这些中子在引起下次裂变(以维持链式反应)以前，由于与系统中的原子核进行连续的弹性和非弹性碰撞的结果，其能量通常降低了几个数量级。例如，在热中子反应堆内几乎所有的裂变中子在引起进一步裂变之前，都已慢化到热能。而在快中子堆内，中子与燃料相互作用并引起裂变以前，只慢化到
23、100千电子伏左右。 中子慢化主要是通过中子和系统的原子核的弹性和非弹性碰撞。碰撞后，中子因把自己动能的一部分交给了系统的原子核而减速，运动方向也发生变化。在由轻核构成的系统中，因为轻核的非弹性碰撞阈能太高，中子的慢化几乎完全是由弹性碰撞的结果。例如PWR反应堆，其慢化剂是轻水，因而PWR中的快中子慢化完全是由于快中子与轻水中的H原子核发生的弹性散射。在弹性散射中，快中子将自己的动能传递给慢化剂H原子核，而本身被慢化成热中子。如果有大量的中等核或重核存在时，那么由这些核引起的非弹性碰撞可能对中子的慢化有重要的作用，必须予以考虑。3.3.2 弹性碰撞理论 压水堆中中子的减速主要是快中子与慢化剂核
24、(水)的弹性碰撞的结果。这种碰撞可以把中子和散射核当作完全弹性球体，用经典力学的方法来处理。应用动量和能量守恒原理，就可以推导出中子与核碰撞前后的能量和散射角之间的关系。然后引入一个经验的散射定律，就能够得到许多有用的结果。 在讨论中子与原子核弹性碰撞的问题时，可以用两种方便的参考系。这就是实验室(L)系和质心(C)系。前者假定靶核是静止的，而后者把中子核系统的质量中心当作是静止的。在L系里，基本上是用一个外界观察者的观点来看问题的，而在C系里，则用一个随中子和核所组成系统的质量中心运动的观察者的观点来进行研究。对于理论处理，后一个参考系比较简单些，虽然实验测量是在前一个参考系中进行的。 图3
25、.31出示了两个系统内碰撞前后条件。假设在L系里，具有一个单位原子质量数的中子以速度向着一个质量数为A的静止核运动。因此中子相对于靶核的速度是，而且，因为它的质量是1，它的动量也是。由于靶核是静止的，这也就代表L系内的总动量。参加碰撞质点的总质量是1，因此L系中质量中心的速度即相对于静止核的速度是 (3.3-1) 在C系中假定质量中心是静止的，因此，靶核必须以(3.31)式所决定的速度接近质量中心。因为在碰撞前中子与核的相对速度是，故中子接近质量中心的速度一定是-。因此，用(3.31)式中的值，可得出在C系里中子碰撞前的速度是 (3.3-2) 由此可以看出，在C系里，中子和散射核似乎分别以和的
26、速度相互接近着。因此，质量为1的中子沿着它运动方向的动量是，而质量为A的核的动量也是，但沿着相反方向。这样，在碰撞前对于质量中心的总动量是零，而根据动量守恒原理，在碰撞后总动量也必为零。 在碰撞以后，C系里的中子沿着与原方向成角的方向离开质心，这就是C系中的散射角。这时反冲核必须沿相反方向运动，因为质心永远在两个粒子的连线上。如果是C系里碰撞后的中子速度，而是核的速度，那末总动量为零的条件可以表示成 (3.3-3) 上面已经看到，在C系里，中子和核的碰撞前的速度分别由(3.32)式和(3.31)式给出。因此，能量守恒条件可以写成 (3.3-4)等式左边表示碰撞前的总动能，而右边是碰撞后的总动能
27、。由式(3.33)和式(3.34)可以解出和 把这些结果与式(3.31)和式(3.32)相比较，可以看出，在C系里，中子与核碰撞后的速度与它们碰撞前的速度完全相等。因此，一个位于碰撞粒子质量中心的观察者，在碰撞前会看到中子和核沿相反方向、以反比于它们质量的速度向他接近，而在碰撞后粒子就好象沿着相反方向(通常不同于原方向)离开他而运动，它们各自的速度不变。为了决定中子在碰撞时的动能损失，必须把C系中得到的结果变回L系。要进行这种变换，需要利用两系统恒以速度(即L系中的质心速度)作相对运动的关系。因此，在L系内中子碰撞后的速度，可以由C系内中子碰撞后速度矢量加上L系内质心运动矢量得到。象图3.32
28、所表示的那样。由图3.32中所看到的两矢量夹角是，这就是C系中的散射角。 设是L系内中子碰撞后的速度，则由余弦定律， 代入式(3.31)、(3.32)得出的和值，结果得 (3.3-5) 在散射前中子的动能E1是，而散射后动能E2是。因此，由式(3.35)可以得到碰撞后中子能量与碰撞前能量的比率为 (3.3-6)这一结果可以用另一种对某些目的更为有用的形式来表示。这时，如果将定义为： (3.3-7)则式(3.36)变成 (3.3-8) 比率E2/E1的最大值，即最小的能量损失，它发生在0，即掠射碰撞。这时cos1，而式(3.38)就变成 或 (3.3-9) 比率E2/E1的最小值，也就是可能最大
29、的能量交换，发生在，即迎头碰撞时，cos-，而式(3.38)变为 或 (3.3-10)因此，可以看到，在一次弹性碰撞里中子能量可能减少到最低值是aE1，这里E1是碰撞前的能量。在一次碰撞中最大能量损失的分数为 (3.3-11)这时，在一次碰撞中可能的实际最大能量损失是E1(1-)。 因为，由式(3.37)，数值与靶核的质量数A有关然，在一次碰撞里，中子能量损失也将取决于这个质量数。因此，看一下如何随靶核的质量数而变化是很有意义的。对氢说，A1，因此，0。这样，中子在与氢核碰撞一次时，有可能失去全部动能。这自然是由于中子与氢核(质子)质量基本相等的缘故。对于碳，A12，0.716。因此，中子在与
30、碳核碰撞时，可能最大损失能量的分数为1-0.7160.284。 展开成级数，求值的式(3.37)可以写成 (3.3-12)当A50时，又可以改写成下面形式，而不会产生严重误差： (3.3-13)此时，每一碰撞的最大能量损失是 (3.3-14)因此，当A增加时，每一碰撞损失的能量越小。若A100，在一次碰撞中，中子可能损失的能量大约为4%。若A200，则大约为2%。 下面我们来研究经验散射定律。 实验表明，当能量小于几兆电子伏时，质心系中的中子散射是球对称的，即各向同性的。这就是作为以后整个讨论中一个基本假设的经验散射定律。 假设散射是球对称的，那末一个中子被散射到立体角d(相当于C系中散射角和
31、d间的角锥元)内的几率是 (3.3-15) 一个原来能量为E1的中子，在散射后可能具有能量在E2和E2dE2范围内的几率是 (3.3-16)由式(3.36)给出E2与的关系 因此 (3.3-17) 于是，在散射后，中子能量落在某一个特定间隔中的几率与最后能量无关。实际上等于E除以E1(1-)。后一个因数正是每一碰撞的可能最大能量减小数。由于中子在碰撞中失去能量，因此dE(或E)是负数，而几率p(E2)dE2实际上就象所预期的那样是正数。如果由E1到E1全部范围内对碰撞后中子分布几率p(E2)积分，则 (3.3-18) 虽然在C系内的散射是球对称的，但是在L系内却不然，除非散射核的质量比中子质量
32、大得多。在后一种情况下，系统的质量中心实际上就位于核上，因而L系就变成了C系。换一个方式也可以得到同样的结论。由图3.32可看出 (3.3-19)这里是L系里的散射角。此外，由式(3.35) 因此 (3.3-20)对于一个重的散射核，A1，由式(3.320)得coscos。换句话说，这时L系的散射角等于C系的散射角。所以，如果较重核的散射在C系内是球对称的话，那末在L系内也是一样。 一般说来，如果在C系内的散射是各向同性，则L系内的平均散射角余弦由下式给出 (3.3-21)其中d是立体角元。d2sind代入式(3.320)可得 (3.3-22)因此，如同前面已指出的，随散射核质量的增加而下降。
33、3.3.3 平均对数能降 在研究中子慢化时有一个很有用的量，就是每次碰撞中子能量的自然对数的减小的平均值，或者叫做每一碰撞的平均对数能降。这是所有碰撞的lnE1-lnE2平均值，即ln(E1E2)的平均值。这里E1是碰撞前的中子能量，E2是碰撞后的能量。如果这个量用符号表示，那末 (3.3-23) (3.3-24)若A12，可以得到一个很好的近似： (3.3-25)甚至当A2时，式(3.325)的误差也只是3.3%。 可以注意到，假如在质心系内散射是球对称的话，的值与中子的初始能量无关。这一事实使成为一个有用的数量。附带指出，由于ln(E1/E2)的平均值只取决于散射核，而不取决于初始能量，因
34、而分数E1/E2的平均值也必然如此。换句话说，在和一定的散射核相碰撞时，中子损失的能量平均起来总是它碰撞前能量的一定分数，这一分数随着散射核质量数的增加而减小。 表3.31给出许多元素的值，特别是那些低质量的元素。在某一介质中，一个具有能量(例如)2兆电子伏的裂变中子慢化到热能值0.025电子伏所需要的平均碰撞次数，可以由这一介质的去除ln(2106/0.025)，即热中子化的平均碰撞次数(由2兆电子伏到0.025电子伏): 由此得出的结果也列于表3.31中。 表3.31 核的散射性质元 素质量数热中子化碰撞数氢11.00018氘20.72525氦40.42543锂70.26867铍90.20
35、986碳120.158114氧160.120150铀-2382380.008382172 为了许多目的，比较方便的办法是将中子能量E用一个无量纲对数值U(叫“勒”或对数能降)表示出来，它定义为 （3.3-26）这里E0是由裂变产生的中子初始能量。对于由源刚发出的中子本身说，它的勒等于零，而勒的数值在中子慢化时不断增大。 如果U1是相应于散射碰撞前中子能量E1的勒，U2是相应于碰撞后的勒，则勒的变化为 因为是ln(E1/E2)的平均值。显然也可以当作是中子每一碰撞的勒的平均变化。对于球对称的散射，这数值与中子能量无关。因此，不管中子的能量如何，平均起来，每个中子要增加某一定量的勒，必须通过同样次
36、数的碰撞。这一事实表明了利用勒作为变数的一个优点。 按照方程(3.326)可以得到 E=E0e-U图3.33表示了E与U关系。如果每隔距离画一系列的垂直线，则其高度代表相继碰撞时中子的平均能量。因此可以看到，在前几次碰撞时，中子损失的平均能量较后几次大。3.3.4中子年龄的统计意义中子慢化过程有一个连续慢化模型，或者沿用其创始人的姓氏，称为费米模型。在费米模型中，假定在C系内散射为各向同性，因此平均对数能量缩减与中子能量无关。这一量也就是每次碰撞的平均勒增量；因此在碰撞了n次后中子的勒将增加n单位。在近似模型中假定，每次碰撞中每一中子刚好获得单位的勒增量；换言之，将每个中子的行为都看作大量中子
37、的平均行为。若情况确乎如此，则在慢化区内可能的勒值只是那些由散射碰撞次数所决定的离散值n，其中n0，1，2，3，等。然而近似模型中作了如下基本假定：勒是碰撞数的连续函数，对于所有的整数值n它都正好等于所需的值n(图3.34)。正是模型的这一特性使得易于对其进行数学处理，而且获得连续慢化模型这一名称。对于质量数较大(或大)的物质中的慢化，费米模型是一种相当良好的近似；但当慢化剂质量数小时，例如对于象水那样的含氢物质，这一模型就不再有效了。由统计理论可以证明，当中子被值小的重核所散射时，散射后能量(或勒)的分散性相对较小。这时假定每个中子的行为象平均行为将不会引入严重的误差。此外，由于很小，图3.34中阶梯的高度减小而数量增多；因而用一条连续曲线来代表这