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1、核心考点05多项式的因式分解目录考点一：因式分解的意义考点二：公因式考点三：因式分解-提公因式法考点四：因式分解-运用公式法考点五：提公因式法与公式法的综合运用考点六：因式分解-分组分解法考点七：因式分解-十字相乘法等考点八：因式分解的应用但考点考向一.因式分解的意义1、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两 个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式.例如：3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.二.公因式1、定义：
2、多项式2Q+加b+根。中，各项都含有一个公共的因式相，因式机叫做这个多项式各项的公因式.2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：定系数，即确定各项系数的最大公约数；定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次累.三.因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式 乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而17.(2022春高新区月考)【教材呈
3、现】以下是华师大版教材第50页16题：已知M是含字母x的单项式，要使多项式4f+M+l是某个多项式的平方，求【自主解答】解：根据两个数和或差的平方公式，分两种情况：当M为含字母x的一次单项式时，原式可以表示为关于x的二项式的平方，4/+M+l= (2x) 2+m+12= (2x1) 2,.M= + 2 X 2x 1 = 4x；当M为含字母x的四次单项式时，原式可以表示为关于%22的二项式的平方， V4x2+M+1=M+2X2x2H + 12= (2x2+I) 2,综上述，M为4x或-4x或4/.【解后反思】上述解答过程得到等式：4/4x+l= (2x+l) 2；4x4+4%2+1 = (2/+
4、1) 2观察等式左边多项式的系数发现：(4) 2=4X4X1.结合多项式的因式分解又如：16/+24x+9= (4x+3) 2；9x2 - 12x+4= (3x- 2) 2,发现这两个多项式的系数规律：242=4X 16X9, (- 12) 2=4X9X4.一般地：若关于x的二次三项式公+。(、b、c是常数)是某个含x的二项式的平方，则其系数。、b、 。一定存在某种关系.(1)请你写出系数。、b、。之间存在的这种关系式：户=4碇；【解决问题】(2)若多项式9y+4加上一个含字母y的单项式N,就能表示为一个含y的二项式的平方，请直接写出所 有满足条件的单项式N；(3)若关于x的多项式/-2 (m
5、 - 3) x+ (m2-i-3/n)是一个含x的多项式的平方，求实数相的值.【分析】(1)读懂题意，认真梳理系数的规律，按规律写出关系式；(2)利用(1)的式子，解决问题；(3)利用(1)得到的关系式列等式，求出机的值.【解答】解： 系数。、b、c之间存在的这种关系式为:庐=4；故答案为：b2=4ac；(2)设单项式N的系数为江.9+4加上单项式N是一个含y的二项式的平方，.-.=4X9X4,：.b=12,满足条件的单项式N为：12y；(3) .关于x的多项式/ - 2 (m - 3) x+ (m2+3/n)是一个含x的多项式的平方，：.-2(m- 3) f=4XlX (m2+3m),解得:
6、m=l.答：实数相的值为1.【点评】本题考查了数字规律的探究性问题，解题的关键是掌握完全平方公式，认真读懂题意，能从数字 的变化中发现规律，利用规律解决问题.18. (2022春旺B江区期中)阅读并解决问题.对于形如f+2qx+q2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+q)2的形式.但对于二次三项式7+2以-3a2,就不能直接运用公式了.此时，我们可以在二次三项式f+2办-32中先加上一项使它与/+2公的和成为一个完全平方式，再减去。2,整个式子的值不变，于是有:x+lax - 3/= (7+2办+。2)- 3。2= (x+Q)2 -(2。)2= (x+3a) (x - a).像这样，
7、先添-适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.(1)利用“配方法”分解因式：。2一6+8.(2)若 +。=5, ab=6,求：。2+Z/2；q4+4的值.(3)已知x是实数，试比较，-以+5与-，+4x-4的大小，说明理由.【分析】(1)加1再减1,可以组成完全平方式；(2)加2岫再减2仍可以组成完全平方式；在得基础上，加2/房再减2/廿，可以组成完全平方式;(3)把所给的代数式进行配方，然后比较即可.【解答】解：(1) / - 6+8, a2 -6。+9 - 1,=(。-3) 2- 1, =(6Z - 3 - 1 )(CL 3+1 )，=(-2)
8、(a -4)；(2) c+b2,=(+b) 2- 2ab,= 52-2X6,13；6Z4+Z?4=(/+房)2 - 2db 2=132- 2X62= 169-2X36= 169 - 72= 97；(3) ，x2-4x+5,=-4x+4+l,=(x- 2) 2+110-/+4x - 4,=-(x2 - 4x+4),=- (x-2) 20 /.x2 - 4x+5 - /+4x - 4.(若用作差法”相应给分)【点评】本题考查十字相乘法分解因式，三道题都是围绕配方法作答，配方法是数学习题里经常出现的方 法，应熟练掌握，(1)实质上是十字相乘法分解因式.八.因式分解的应用(共5小题)19. (2022
9、春沐阳县月考)已知长方形的周长为12,面积为8,若长方形长为a,宽为b.则a2b+ab2=48. 【分析】根据长方形的周长为12,面积为8可得2 (a+b) =12, ab=8,将M人+房因式分解为(a+匕), 代入即可求得.【解答】解：:长方形的周长为12,面积为8可得：2 (a+b)=12, ab=8,/. a+b=6, ab=8,/.cb+aab (a+b) =6X8=48,故答案为：48.【点评】本题以长方形的周长和面积为背景考查了因式分解的应用，解题的关键是将岫2因式分解为 ab (“+/?).20. (2022春兴化市月考)若+匕=3, ab= -1,则代数式 3+2缜外加 的值为
10、-9.【分析】先对整式进行因式分解，再根据条件求其值即可.【解答解:油)+20，+加=ab （+/?） 2, q+Z?=3, cib=- 1,/.ab （+/?） 2= - 1 X32= - 9.故答案为：-9.【点评】本题考查了因式分解的应用，先用提公因式法再用公式法对式子进行因式分解是解本题的关键， 综合性较强，难度适中.21. （2022春吴江区期中）小刚同学动手剪了如图所示的正方形与长方形纸片若干张.（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图）.根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是（。+所2=屋+2而+川；（2）如果要拼成一个长为（a+
11、2b）,宽为（Q+b）的大长方形，则需要2号卡片 2张,3号卡片 3张;（3）当他拼成如图所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式q2+3必+2户 分解因式，其结果是 （a+2b） （+b）；（4）小刚又选取了 2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为 6aSb.【分析】（1）利用图的面积可得出这个乘法公式是（。+人）2 = 2+2岫+.；（2）由如图可得要拼成一个长为（a+2b）,宽为（+匕）的大长方形，即可得出答案；（3）由图可知矩形面积为（+2b）（+A）,利用面积得出/+3/7+2/?2= （+2/?）（+。）；（4）先分解
12、因式，再根据边长求周长即可.【解答】解：（1）这个乘法公式是（a+匕）2=?+2疝+序,故答案为：（a+）2=a2+2ab+b2；（2）由如图可得要拼成一个长为（+2。），宽为（+。）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3 张，故答案为：2, 3；（3）由图可知矩形面积为（a+2b）（a+b）,所以2+3出?+2廿=（+2Z?） （a+b）,故答案为:（+2b） （a+b）；（4）长方形的面积为2d+3庐+7工= 心（+3b）,周长为:2 （2+。）+ （+3。） = 6+8。，故答案为：6+8/7.【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是能运用图形的面积计算的不同方法得到多项式
13、的 因式分解.22.（2022春太仓市校级月考）如图，有足够多的边长为，的小正方形（A类），长为仄 宽为。的长方形（3类）及边长为b的大正方形（C类）.发现利用图中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某 些等式，比如图可以解释为（。+2。）（a+b）=/+34。+2层（1）取图中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2+。）（+2匕），画出图形， 并根据图形回答：（2a+b） （a+2b） = 2/+5帅+2廿;（2）若取其中的若干个（三种材料都要取到）拼成一个长方形，使其面积为2+5必+6房.你画的图中需。类卡片6张;可将多项式。2+5出?+6/?2分解因式为（。+2。
14、）式+3/7）；（3）如图，大正方形的边长为如 小正方形的边长为心 若用x, y表示四个相同的长方形的两边长（%222观察图形并判断下列关系式：xy丹氏+尸加/+=W2+y2二-H其中正确的是.n22【分析】（1）根据题意画出图形，根据图形写出因式；（2）根据题意画出图形，根据图形写出因式；（3）根据图形写出-y, m,之间的关系，再根据完全平方公式进行推理.【解答】解：（1）图形如下：（2+b） （a+2b） =2/+5。/7+2层，故答案为：2/+5+2庐；（2）如图：故答案为：6；（+2。）（+3案;（3）由题意得：x+y=m9 x - y=n, m2=4xy+n2,+2xy+y2=m2
15、, x2 - 2xy+y2=2，22J-得：xy=m ri ,422+得：/+：/= m】i2故正确的是：.【点评】本题考查了因式分解的应用和多项式乘多项式，数形结合思想是解题的关键.23. （2022春东台市月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和 谐数”，如4 = 2?-（A 12=42- 22, 20=62- 42,因此，4, 12, 20这三个数都是“和谐数”.（1） 44和2022这两个数是“和谐数”吗？为什么?(2)设两个连续偶数为2Z+2和2% (其中攵取非负整数)，由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？(3)求不超过2022的
16、所有“和谐数”之和.【分析】(1)读懂题意，利用“和谐数”的定义验证即可；(2)利用“和谐数”的定义，验证；(3)先根据(2)得到的“和谐数”的一般表达式，确定符合题意的最小和最大“和谐数”，根据一般表达 式可以发现“和谐数”是等差数列，求和即可.【解答】解：(1)设两个连续的偶数为小+2,(。+2) 2- /=44,(。+2 - a) (+2+。)=44,4 (+1) =44,解得：4=10,即这两个连续偶数为10, 12,44是“和谐数”；(。+2) 2 c/ = 2022,(+2 - 4) (a+2+a) = 2022,4 (q+1)=2022,解得：4=504.5 (不符合题意),20
17、22不是“和谐数”;(2) 2k+2和22 (其中左取非负整数)构成的“和谐数”为：(2Z+2) 2 - )2= (22+2-2。) (2Z+2+2k)=2 (4Z+2) =4 (2Z+1),V4 (2H1)是4的倍数，工这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数；(3)由(2)得到“和谐数”为4 (2K1)(其中攵取非负整数)，不超过2022的最大“和谐数”是2020,此时4 (2R1) =2020,攵=252,最小“和谐数”是4,此时4 (2Z+1) =4, k=0,“和谐数”可以表示：8Z+4,当k=0, 1, 2, 3.252,所有“和谐数”为：4, 12, 20, 28, 36, 44
18、, 52, .2020,所有“和谐数”的和为：14+2020 ) X 出=1012X253=256036.2【点评】本题考查了因式分解的应用和新定义，解题的关键是读懂题意，掌握新定义，利用自定义解决问题.一、单选题1. (2023春江苏七年级专题练习)下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是()A. x(x-2) = x2 -2xB. (x + l)2 =12+2x + l(2、C. x 4 = (x+2)(x2)D. x + 2 = x 1 hI x)【答案】C【详解】根据因式分解的定义(把一个多项式化成几个最简整式的乘积的形式，这种多项式的变形叫做因 式分解)逐项判断即可得.【解答】解：A
19、、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；2D、等式右边中的一不是整式，不是因式分解，故此选项不符合题意.x故选：C.【点睛】本题考查了因式分解的意义；严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键.2. (2022春.江苏扬州.七年级校考期中)下列各式中能用完全平方公式法分解因式的是()A. 4a:2 +4x+4 B. 一%2+4% + 4C. a:4 -4jc2 +4 D. -x2 -4【答案】c【分析】根据完全平方公式逐项判断即可得.【详解】A、4
20、x2+4x + 4 = 4(Y+x+1),其中f+/不满足完全平方公式，此项不符题意；B、3+4工+4 = -12-以-4),其中V4x-4不满足完全平方公式，此项不符题意;C、x4-4x2 + 4 = (x2 -2)2 = + V2)2 (x- V2)2,此项符合题意；D、-V4不满足完全平方公式，此项不符题意；故选：C.【点睛】本题考查了利用完全平方公式法分解因式，熟记完全平方公式是解题关键.3. (2023春七年级单元测试)下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A. a2+ (-Z?)2B. 5m2 20m C. -x2 - y2D. -x2 +9【答案】D【分析】能够运用平方差公式
21、分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.【详解】解：A. /+(与2=+从不能使用平方差公式分解因式，不符合题意；B. 5-20根不能使用平方差公式分解因式，不符合题意；C. -/-y2 = _(f + y2)不能使用平方差公式分解因式，不符合题意；D. -+9=9-d=(3 + x)(3-%)能使用平方差公式分解因式，符合题意；故选：D.【点睛】本题主要考查了平方差公式分解因式，关键是正确把握平方差公式的特点：a2-b2=(a + b)(a-b).4. (2023春江苏七年级专题练习)多项式4y2与犬+4；9 +4y2的公因式是()A. xyB. x + 4c. x
22、-2yD. x + 2y【答案】D【分析】先对多项式-4/与f+4盯+ 49进行因式分解，再根据公因式的定义解决此题.【详解】解：4/=(x + 2y)(x-2y),x2+ 4xy+ 4y之=(九 + 2y)2 ,A x2 -4y2与d+4xy +4y2 的公因式为x + 2y ；故选：D.【点睛】本题主要考查因式分解以及公因式的定义，熟练掌握运用公式法进行因式分解以及公因式的定义 是解决本题的关键.5.(2023春江苏七年级专题练习)将下列多项式因式分解，结果中不含因式。+ 2)的是()A. 2x2+ 4xB. 3d12C.寸+x 6D. (x-2)2+8(x-2) + 16【答案】C【分析
23、】将四个选项的式子分别进行因式分解，即可作出判断.【详解】A、2x?+4尤=2x(x + 2),故该选项不符合题意;B、3x2 -12 = 3(x2 -4) = 3(x + 2)(x- 2),故该选项不符合题意；C、M+x_6 =(x 2)(x + 3),故该选项符合题意；D、(x-2)2+8(x-2) + 16 = (x-2 + 4=(x + 2，故该选项不符合题意.故选：C.【点睛】本题考查了因式分解，涉及提公因式法、公式法、十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解决 本题的关键.6. (2023春七年级单元测试)对于两个整式,A = a? + ab,B =62 + ab ,有下面四个结论:
24、(1)当a = 2,b = 3 时，A 的值为 10； (2)当 A = 7 + m,B = 9 m时，则。+ = 4； (3)当4 =。0 时，则。+ 人=1； (4)当A 45 = 8/+必时，贝IJ。=一2/?或a = 6 ；以上结论正确的有().A. 1个B2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】将。=21=3代入代数式即可判断(1)计算A+B = S + b)2,又A + 3 = 16根据平方根的定义即可判(2),利用因式分解即可判断(3) (4).详解解：A = a1+ ab,B = b2+ ab(1)当。= 2,Z? = 3时，A = /+q/? = 2?+2x3 = 10,故
25、(1)正确；(2)二 A + 8 = q? += (。+ 人)2又当 A = 7 + 2,3 = 9-2时，4 + 3 = 16. + /? = 4,故(2)不正确(3) V A = a2 + = (+/?),当入=。时，则a+Z? = l；故(3)正确(4) ,? A-4B = a2 -ab-4b2-4ab = a2-3ab-4b2当 A 4B = 8必时，贝(J a2 - 3ab - 4b2 = 8b2 + ab。2一4小12/=0即(q + )(q-6b) =。/. a 2b a = 6b ,故(4)正确；故选：C.【点睛】本题考查了代数式求值，因式分解的应用，整式的加减，正确的计算是解
26、题的关键.二、填空题7 .(2023春江苏七年级专题练习)利用因式分解简便运算：52.82-47.22 =.【答案】560【分析】利用平方差法进行因式分解，再进行计算；【详解】原式=(52.8+47.2)x(52.847.2)= 100x5.6= 560.故答案为：560.【点睛】本题考查利用公式法因式分解进行简便运算.熟练掌握公式法因式分解是解题的关键.8 . (2023春七年级单元测试)分解因式：2/一4-6=.【答案】2(-3)(a + l)【分析】先提取公因式，再根据十字相乘法进行因式分解即可.【详解】解:2a2 _4 6二2(。-3)( + 1)；故答案为：2(a3)(“ + 1)；
27、【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式：对于形如炉 + px + q的二次三项式，若能找到两数小乩使，力=4且 + /? = p,刃口么 x2+ px+q = x2 +(a+Z?)x+QZ7 = (x+Q)(x+b).9 .(2023春江苏七年级专题练习)利用因式分解计算：11x1022-11x982的结果是.【答案】8800【分析】先提出11,再根据平方差公式计算即可.【详解】原式二11 x(1022 982)=11 x (102 + 98) x (102 - 98)=11 x 200 x 4=8800.故答案为：8800.【点睛】本题主要考查了应用因式分解计算，掌握平方公式是解题的关键.即片
28、一二5+加一3.且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的.（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数.提出“-”号时，多项式的各项都要变号.3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶.4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是 提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；提完
29、公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同.四.因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.平方差公式：/ -必=（a+b） （.a - b）；完全平方公式：a2 + 2ah+h2=（。）2；2、概括整合：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形 式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍.3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止.五.提公因式法与公式法的综合运用提公因式法与公式法的综合运用.六.因
30、式分解-分组分解法1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式, 二是分组后能应用公式.2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法.例如：=x （q+匕）+y （+。）=（a+Z?） （x+y）2xy - x2+l - y210. (2017春,江苏无锡七年级统考期中)因式分解： W-16= .【答案】4(m+2)(m-2)【分析】先提公因式4,然后根据平方差公式进行因式分解即可求解.【详解】解:4m2 -16 = 4(m2 -4)=4(m+2)(m-2),故答案为：4(/n+2)(m-2).【点睛】本题考查了因式分解，
31、掌握因式分解的方法是解题的关键.11. (2023春江苏七年级专题练习)分解因式：2一4 + 4 =； a2-3a-10=.【答案(_2 + 力(_2_价(_5)(a + 2)【详解】根据平方差公式、完全平方公式、十字相乘法可以对题目中的式子进行因式分解.【解答】解：a2 -b1 -4 + 4=(2-2 + b)(a-2-b)；cr 3q10 = (a 5)( + 2).故答案为：(q-2 + )(q-2-Z?) , (6Z 5)(6z + 2).【点睛】本题考查因式分解，解答本题的关键是会用公式法和十字相乘法对式子进行因式分解.12. (2023春七年级单元测试)分解因式：(f+9)2-36
32、f=.【答案】(1+3)2(%-3)2【分析】先利用平方差公式变形，再利用完全平方公式分解.【详解】解:原式=(f+9)2-(6x)2,=(尤？ + 9 + 6x)(x2 +9-6x),= (x + 3)2(x-3)2,故答案为：(x + 3)2(x 3)2.【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键.13. (2023春江苏七年级专题练习)两名同学将同一个二次三项式因式分解，甲因看错了一次项系数而分 解成(x+l)(x+9)；乙因看错了常数项而分解成(x-2乂x-4),则多项式为,因式分解后的正确结果 应该是.【答案】 f_6x + 9；(x-3)2.【分析
33、】根据题意可将(x+l)(x+9)与(x-2)(x-4)分别展开后即可求出原多项式.【详解】解：由题意可知：(x+1)(x+9)= /+10x+9,(x2)(x4)= jC 6x+8 ,，原多项式为：x2-6x + 9,/. x2 -6x + 9 = (x-3/.故答案为：x2-6x+9, (x-3)2.【点睛】本题考查的是因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型14. (2023春江苏七年级专题练习)分解因式：于一28丁+27 =.【答案】(x - l)(x2+ x + l)(x - 3)(x2 +3x4-9)【分析】利用整体思想及十字相乘法与立方差公式求解.【详解】解：原
34、式= (d)228d + 27,= (x3-1)(x3-27),= (x-l)x2 +x+lj(x-3)x2 +3x + 9).故答案为：(一1)12 +x+1)(x-3)(%2 +3x + 9).【点睛】本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握十字相乘与立方差公式.15. (2023春江苏七年级专题练习)已知多项式/+如+能分解为(V +川+ 9)12 +2x-3),则P=q=.【答案】一2;7.【分析】把(x2 + px+4(Y+2x-3)展开，找到所有x3和的项的系数，令它们的系数分别为0,列式求解 即可.【详解】解：(x2 + px + 4(f+2x3)=x4 +mx+n 展开式乘积中不含
35、V、一项，解得: =-2q=7故答案为：-2, 7.【点睛】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓 住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可.三、解答题16. （2023春七年级单元测试）分解因式：f_4孙 1 + 4），【答案】（x-2y + l）（x-2y-1）【分析】根据完全平方公式、平方差公式分解因式即可.【详解】解：x2 -4xy-l + 4/二（x-2y + l）（x-2y-l）.【点睛】本题考查了分解因式，熟练掌握乘法公式分解因式是解题的关键.17. （2023春七年级单元测试）因式分解：x2-4x + 4-y2【答案】
36、（x-2+y）（x-2-y）【分析】根据完全平方公式、平方差公式分解因式即可.【详解】解：原式=（x-2）2-y2=（x_2 + y）（x-2 江【点睛】本题主要查了分解因式，解题关键是运用相关公式计算.18. （2023春七年级单元测试）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图1 可以用来解释/+2M + =g + b）2.现有足够多的正方形卡片1号、2号，长方形卡片3号，如图3根据图2完成因式分解：2/+2必=;现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张，在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，求 这个大正方形的边长；图1中的两个正方形的面积之和为号，两个长方
37、形的面积之和为S2, 5与邑有何大小关系？请说明理由.【答案】（+）（2）a + 2bHNS?，见解析【分析】（1）根据图形的面积的两种表示方法，得出结果即可；（2）根据所拼成的大正方形的面积为。2+4 + 4/=（ +2b，得出边长即可;(3) m S-S2=a2-b2- 2ah = -Z?)2 0,即可得出 SgS2.【详解】(1)解：根据图2完成因式分解：2/+2 = 2a(a+b).故答案为：2a(a+b).(2)解：由1号卡片1张、2号卡片4张、3号卡片4张拼出的大正方形，如图所示：贝IJ有 / + 4人 + 4/ = (q+ 2b丫，这个大正方形的边长为。+ 2氏(3)解:5. 5
38、2；理由如下：根据题意,得加=/+，s2=2ab9则 E S=/ + Z?2 2ab = (q，V(6z-/?)20,S,-S2 0,BP 5, 52.【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式2ab + =(a + b)2.19. (2023春江苏七年级专题练习)阅读与思考：利用多项式的乘法法则可推导得出：(%+)(工+ 4)= ?+比+ 0；+4 = /+( + 9)工+仆因式分解与整式乘法是方向相反的变形，利用这种关系 可得：d+(p + /x+pq = (x+p)(x+G.利用这个式子可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式， 例如：将式子f+3% +
39、2分解因式.分析：这个式子的常数项2 = 1x2, 一次项系数3 = 1 + 2.这是一个 Y +(p + q)x+ pq型的式子，/. x2 +3x+2 = 12 +(l + 2)x+lx2, /. x2+3x+2 = (x+D(x+2).填空：式子M+7X+10的常数项10 =x一, 一次项系数7=+,分解因式f + 7x +10 =若V + px + 8可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值是.【答案】2, 5, 2, 5, (x+2)(x+5)；6或9.【分析】(1)利用题中给出的例子即可得出10 = 2x5, 7 = 2 + 5,即2 + 7x+10 = (x+2)(x+5卜(
40、2)根据8 = 1x8、8 = (-l)x(-8)、8 = 2x4和8 = (-2)x(-4)分别求出对应的P值即可.【详解】(1)解：根据题意可得：10 = 2x5, 7 = 2 + 5,* x+7%+10 = (x+2)(x+5),故答案为：2, 5, 2, 5, (x+2)(x+5)；(2)解:当8 = 1x8时,则 =1 + 8 = 9；当8 = (1)x(8)时，则 p = (l) + (8)= 9；当8 = 2x4时，则 = 2 + 4 = 6；当8 = (2)x(T)时，贝ijp = (2)+(T)= -6；综上所示： =6或9；故答案为：6或9【点睛】本题考查的是因式分解的十字
41、相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律.20. (2023春七年级单元测试)对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分 解的等式.由图1中的大正方形的两种面积表示方法可得到因式分解的等式；先画出一个面积为2/+5必+ 2的几何图形，再根据图形的面积将代数式因式分解：24+5必+ 2 =；通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式.如图2是棱长为的正 方体，被如图所示的分割线分成8块.用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个因式分解的等式，这个等式是：；已知Q + b = 5, ab = 3,请利用上面的等式求/+)3.【答案】(1)/+
42、廿+24。=(4 +。)221. (2a + b)(a + 2b)(3) a3 + 3a2b + 3ab2 + Z?3 = (z + b)3 ；80【分析】(1)用两种方法表示同一个图形面积即可.(2)用两种方法表示同一个图形面积相等即可得解.用两种方法表示同一个立体图形体积即可.将+用0,仍表示即可.【详解】(1) (1) /+/72+2帅=( +。)2, 故答案为：2+/?2+2必=( +份2；(2)图形为：根据图得：2/ + 5必 + 2b2 = (2。+ b)(a + 2b),故答案为：(2，+ )(。+ 2)；(3)/+3。25 + 3/ +/?3=(。+ /?)3,故答案为：3+3
43、28 + 3/+/=( + 与3；+。= 5, ab = 3,(q +_|_ 3ab + 3ab/ + + 3ab(a+ b), 53=3+Z?3+3x3x5.解得：3+63=80.【点睛】本题考查了因式分解法应用，数形结合思想和整体代入思想是解题的关键.21. (2023春江苏七年级专题练习)阅读材料：利用公式法，可以将一些形如分2+区+ ”。0)的多项式变形为qG +m+的形式，我们把这样的变形方 法叫做多项式+法+ c(”0)的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如f+4x 5 = f+4x+ - 5 = (x+2)-9 = (x+2 + 3)(x + 2
44、3) = (x+3)(x1)根据以上材料，解 答下列问题.分解因式(利用公式法)：x2+2x-8;(2)求多项式/ +4x-3的最小值；(3)已知4, b, c是ABC的三边长，且满足a2+o2+c2+5o=6a + 8) + l(k,求ABC的周长.【答案】(-2)(%+4)；(2)多项式/ +4%-3的最小值是-7 ；22. ABC的周长为12【分析】(1)读懂题意，按题目给出的方法因式分解即可；(2)设多项式等于变成一个一元二次函数，写成一元二次函数的顶点式，可以得出多项式的最值；(3)把等式的项都移到一边，配方，正好出现非负数相加等于0,然后非负数等于0,求出各条边长，再 求周长即可.
45、【详解】(1)解：f+21一8= (x-2)(x+4)；y = d+ 4x + 4- 4 - 3,y = (x + 2_7,多项式/ +4x 3的最小值是7.(3) /+/=6q + 8/7 + 10c,即 a2+/ +。2 +50 6。-8b-10c = 0，2-6 + 9 + 一劝 + 16 + /-10。+ 25 = 0,(6z-3)2+(/?-4)2+(c-5)2=0, a = 3 , b = 4 , c = 5 ,，的周长为3+4+5 = 12.【点睛】本题考查因式分解的应用，做题关键是掌握因式分解.22. (2023春七年级单元测试)将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解 中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等.如“2+2”分