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1、整系数多项式的因式分解问题摘要：多项式理论是高等代数与解析几何的重要内容，是进一步学习代数学及其他数学分支 的必要基础。多项式理论是整个高等代数与解析几何课程中一个相对独立而自成体系的部分，它 不以高等代数与解析几何的其他章节的内容为基础，但却为高等代数与解析几何的其他部分供应 理论依据。本文主要争论整系数多项式的基本概念与性质，多项式的根及其值，和在有理数域上 的因式分解问题。关键词：多项式；因式分解；Eisenstein推断法；多项式的根;有理数域。引言：在Q上争论多项式的因式分解问题，我们已经论证了在有理数域Q上和在整数环Z 上其可约性是全都的，即在整数环Z上若fM= g(x)/z(x)
2、( 1 )当然可以看成有理数域Q上的多项式分解结果。反过来，(1)式中/为整系数多项式，而 g(X)、g)是有理数域Q上的多项式那么通过g(%)、(%)的系数处理可以使其成为整系数多项式 (办似工),满意/(X)=/因此在Q上争论因式分解问题往往给出的只是整数环Z上的多项式。 Eisenstein推断法的争论此处介绍推断整系数多项式可约性的如下方法：尸（1） +应（D + &2 及（i）= 0 尸（D +十 &4 氏（1）= oP（l） + 屋0（1） + / R =Q这是关于尸、Q、&D的齐次线性方程组，其系数行列式1 11 6T2，= （/，）W 01/1Zj3/从而只有零解，即尸=2（1
3、） =r=0 ,所以*一”尸（%），%一 Q（%），%一 R（%）例7.设/是整系数多项式，试证：假如f和/都是奇数，那么/（幻不能有整数根。证明：若a是/（X）的一个整数根，有f（x） = （x-a）f（x）/力是整系数多项式，于是/（0）=期（0）/=（1。）力由于4与1-a中有一个是偶数，所以/和/不行能都是奇数。例8.设/(xXr+b+CX + d是整系数多项式，假如M + Cd是奇数，则/()在有理数域上不 行约。证明：假如“无)在有理数域上可约，则在整数环上可约，于是存在整数应，使f(x)= (x+ p)(x2 +qx+ r) = x3 +Z?%2 +cx + d彳导至Ip c =
4、 b pq + 厂=cpr clK_由切 + cd为奇数推出b + c和d均为奇数，又由b + c = p + q + pq + r = p + r + (l + p)q为奇数推出(1 + P)为奇数，从而1+P为奇数，由此又得为偶数，冲突!故人幻在有理数域 上不行约。定理2.2设“%)是一个2+1次整系数多项式，若/(在2 +1个以上的整数值上取值1或 -1 ,则在有理数域上不行约。证明：若“幻可约，则存在整系数多项式且，以使/(x) = g(x)h(x)由于X）在2+1个整数点上取值1或一1 ,不妨设“3，/3），JQQ的值均为1或1 , 也即/（火）=g（）/z（4.）=1 , ，= 1
5、,2,，2 + 1因而g（q）、饵4）的值均为1或一 1 ,也就是说多项式g（%）+ l或晨%）一1总有一个存在多于n的 不同整数根，这与基本定理冲突，所以“处在有理数域上不行约。则在有理数域上不行约。其中是两两互不相同的整数。例 9.设/。)= /一46,+ 7_127试问在有理数域上“幻是否可约?解： 由于8=丁一必/+工，用综合除法易知g= g = 0 ,于是 g（x） = （x-l）（x-3）（x-42）= g(x) 1 = (1)。一 3)(12) 1依据上述定理处在有理数域上不行约。参考文献口高等代数与解析几何（下册）易忠主编清华高校出版社2高等代数典型问题争论蒋忠樟著高等教育出版
6、社3高等代数定理问题方法胡适耕刘先忠编著科学出版社定理L1 设y（x） =+ 4._XT h-aix + aa是一个整系数多项式，若是能够找到一个素数Po使1）最高次项系数册不能被P整除；2 ）其余各项的系数都能被p整除；3）常数项a。不能整除，那么多项式外处在有理数域不行约。这一方法叫做Eisenstein推断法。在推断一些多项式可约性及诸如无理数推断有其直接作用。例1.存在有理数域上的任意次不行约多项式。事实上，下列整系数多项式f（x） = xn -2不论其n取任意正整数，都存在素数p=2满意Eisenstein推断法的条件。例 2.证 明 后 是 无 理 数 。2)上述（2 ）中取n=2
7、 ,若痣是有理数，则x2-2在Q上可约，与Eisenstein推断结果冲突。由此，我们可以推断以下数均为无理数V2,a/3,V5,V7,-V2,V3,V5,V7,-V2, V3 , V5 , V7-a/2 x 3 , V2 x 5 , V2 x 7 a/2 x 3 x 5 ,x 3 x 7 ,2x3, 2x5, 一2x7, .2x3x5, .2x3x7. 一般地，廊H (其中02,为互不相同的素数)均为无理数。事实上f(X)= Xn-pP2,p1由Eisenstein推断法可知不行约,若屈”言为无理数，则多项式可约，冲突。Eisenstein判别法为我们推断一个多项式是否不行约供应一种手段，但
8、它并非是多项式不行 约的必要条，事实上可以用Eisenstein推断法推断其不行约的多项式并不是许多，经行适当争论 可以进一步发挥Eisenstein推断法的作用。关于变换的问题例3.设p为一素数，多项式/(x) = xpx + xp2 +- + X + 1叫做分圆多项式，试证明A在有理数域上不行约。直接用Eisenstein推断法难以找到一个素数，而令 = 丁 + 1 ,那么/(x) = /(y + i) = g(y) = (y + i)pT +(y + 1尸 +. +(,+ i)+ 由于(x- l)/(x) = xp - 即yg(y) = (y +1) - 1 = y +。V + + c广
9、、于是得到g(y) = yp-l+cipyp-2+- + ciI D 1由于A _ pCp 1) Cp A： H- 1)p _klkp/是一个整数，均能被p整除，事实上，上式右端分子能被!整除，” ，与p互素，因大! I （p 1）（p k + 1）所以，是p的倍数。这样，多项式（3 ）可以找到一个素数p , p不能整除（3 ）的最高次项 的系数，可以整除（3 ）的其余系数，但常数项。廿=P不能被/整除，从而（3 ）在有理数域上 不行约,那么人幻在有理数域上也不行约，由于假如在凶中存在力（幻、人使/（%） = /（九）力（龙）/那么依据这个例子我们考虑以下两个问题：1）”幻在有理数域上的可约性
10、与冢月=f（y+h）或者以）=f（ay+b）在有理数域上的可约性是 否全都？2 ）当/无法用Eisenstein推断法推断其可约性时是否肯定可以通过某种变换后可以使用 Eisenstein推断法进行推断？我们先来看如下问题。定理1.2在有理数域上多项式八幻与g（y）= /（肛+为可约性相同。证明 设“均在有理数域上不行约，但展工)在有理数域上可约，且设g(x) = /(QX + 力=gi(x)g2(x)其中5gz(x)a(g(x) , / = 1,21 b入 x = y令 61，则f(y)= 8(y-) = g1(-y-g2 ( y -)a a a a a a/说明/(在有理数域上可约，冲突。
11、反过来，g=八町+)在有理数域上不行约，但/(幻可约，目设/(X)= f(X)八(X)其中力(%) v 5/(x) , z = 1,2 那么f(ay+b) = f (ay+b)f2 (ay+b)/即s(y) = fi(y)f2(y)I与g(x)不行约冲突。这个定理给我们实行变换后使用Eisenstein推断法供应了理论保障，一些不能直接使用Eisenstein推断法的多项式可采纳适当的变换。例4.证明/ +1在有理数域上不行约。证明：令=尸1,则x4+ 1 = (y + l)4+1 =)?4 + 4y3+6,2 +4y + 2取p=2 ,用Eisenstein推断法即知g(y) =+4y3 +
12、6y2 +4y + 2不行约，从而d+1也不行约。二多项式的根及其值与因式分解采用根争论多项式的因式分解在复数范围内是很常见的。例5.争论/T的因式分解。解：在复数范围内，- -1的n个根是2k兀.2k兀k =cos+攵r L，儿Inxn -1 =所以口在实数域上，当n为奇数时，-T只有一个实根4 = 1 ,因此只有一个一次因式xT,其余的均为二次不行约因式，由相互共辗的非实根力及n ； (0 j -).一 2 确定22 7in (pj(x) = (x-8jXx-en_j) = x -2xcos+ 1 (0 J )nz-1所以0 r2 j 7V1、2a： COSF 1)n& _|当n为偶数时，
13、xT有两个实根：和%一因此只有两个一次因式xT和x+1 ,其余的均为二次不行约因式，由相互共辗的非实根力及92 j tvn(p：(x) = x 2xcosFl, / = 1,2,，1n 2廿 .2 j九1 = (x l)(x+ 2a: cos所以再有理数范围内的分解式依据的不同要详细分析，但有定理2.1.一心”一1的充要条件是刈证明 充分性设小，是一个d次单位原根，即J，/，,产是一一1的全部根由于 =1 ,所以，=1 ,于是（）=（=1、=1, s = 0,l,2,.d l说明/T的根全是、T的根，故xd-lxn-必要性由于-TIKT ,设是/1的一个原根i-因此（）|/-1 ,从而（一）H ,说明,2.2/=(Q y = el7F.2n/r ,=cos卜 i sin= 1dd系数多项式，满意 ，即1是Pa）、o（、Ra）的公因式。即刈，证毕。例 6.设尸(x)、Q(x)、A(x)、S(x)是整P(%5 ) + xQ(X5) + X2R(X5) =(X4 + %3 + X2 + % + l)S(x)解：设是x T的原根，则%.1,/是d+Y+y+x+i的四个根，将%r标带入本题所设 的等式得