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1、第1章集合与常用逻辑术语 单元综合检测（重点）一、单选题1 .对与任意集合4下列各式00,A A =（3）AU0 = A,NgR,正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据集合中元素与集合的关系，集合与集合的关系及交并运算可判断.易知00,A A = A,Au0 = A,正确N eR,不正确，应该是NqR故选：C.2 .已知全集。=区，集合A = 1,2,3,4,5, B = xQx4,则图中阴影部分表示的集合为（）A. 1,2,3,4B. 1,2,3C. 4,5D. 5【答案】C【解析】【分析】根据韦恩图中阴影部分所表示的含义，由集合的补集和交集定义可得.
2、集合 A = 1,2,3,4,5, B = x|0x4,图中阴影部分表示 AplQ/,又 23 = x|x24,或 x0,所以 AI 6B = 4,5.故选：C3 .已知集合人=-B = xeN|x3,那么集合A 3等于(1)若，=与，求出集合A, B,即可求AC&3)；(2)若讨论集合即可得到结论.解：A = x|+2x-15 = 0 = -5,3,当 a = L 贝ij B = x| 以一1 = 0 = 5,则 AcB) = _5,3；解：当8 = 0时，a = 0,此时满足当BW0时，B = -,此时若满足B = a则，=-5或，=3,解得或工，a a53综上c=H，H19.已知集合尸=
3、3。+13芯2。+1, Q=x-2x5.(1)若=3,求P)cQ；(2)若“xP”是充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】(D&I-2x4Q)qV2【解析】【分析】(1)将，=3代入求出集合P, Q,再由补集及交集的意义即可计算得解.(2)由给定条件可得尸Q,再根据集合包含关系列式计算作答.因。=3,则尸=1空烂7,则有常P = x|x7,又。=42二烂5,所以 P)cQ = x|2Wx4.匕产是匕。充分不必要条件，于是得。 Q,当 4+12。+1,即0 时，P = 0,又 Qw。，即 0 Q,满足 P 2,贝 iJq0,a +1 2a +1或 -22q + 105解.得0q2或04q2
4、,即0qK2,a +1 K 2。+1当PW0时，则有a + 1222。+1 5综上得：a o成立是假命题（1）求实数机的取值集合A；（2）若4：-4根-。4是力的必要不充分条件，求实数。的取值范围.【答案】（1） A = m-4m0”成立是真命题，然后根据根=0或777 0A = + 4m。求解即可;（2）本题可根据题意得出集合A是集合5 = 同。-4。+ 4的真子集，然后列出不等式求解即可.（1）因为命题P：BxgR,不等式/nr?一g-1 20成立是假命题，所以命题P：的否定-X/x R,不等式nvc2 mx 0 成立是真命题，fm 0所以2 = 0或9,解得m=0或TvmvO ,A =
5、m +4m0集合 A = 1m|-4 m 0；（2）因为-4/%-a4,即 q 4cma + 4,所以 4：。-4根。+ 4,因为q: a-4加vq +4是集合a的必要不充分条件，所以令集合3 = 根|-4根0 解得Tv。* 所以实数。的取值范围是（。.21.已知 acH,命题 p:X/xl,2, ax2命题 9：大氏，+2 区一2) = 0若是真命题，求。的最大值;(2)若v夕为真命题，夕为假命题，求Q的取值范围.【答案】1(2) (-2,1)1, +8)【解析】【分析】(1)由P是真命题，列不等式，即可求得；(2)先求出p、为真命题时。的范围，再由复合命题的真假分类讨论，即可求解.若P是真
6、命题，只需因为y = f在上单增，所以所以即。的最大值为1.若q是真命题，即为关于x的方程丁 +2以-(a-2)= 0有实根，只需 = 4片+4(。一2)2。，解得：qNI或。02.若P是真命题，解得：al.因为4为真命题，人为假命题，所以p、夕一真一假.a当p假真，则有：所以。1.a 1 或 1或-1 a 0,左x|a-l3或x-1当q = -1时，B = -2xi, /l = x|-lx3所以 A)nB = Ul-lxl均等价于3cA当5 = 0时，。一1之加+3,解得当时，有a 1 v 2。+ 3q 123ci 1 2。+ 3 或匕+ 3W1解得心4或Tvq2 综上，实数的取值范围或。枢
7、GZ(1)判断8, 9, 10是否属于集合4(2)已知集合3 = x|x = 2k+ l,2iZ,证明：“xeA”的充分条件是“工5”；但“xeB”不是“A”的必要条件；(3)写出所有满足集合A的偶数.【答案】(1) 8eA, 9e4, 10eA；(2)证明见解析；(3)所有满足集合A的偶数为4Z,Z Z .【解析】【分析】(1)由8 = 3? 仔,9 = 5?-4?即可证 8,9e A,若10 =疗一 2 =(| 一| + |)(| 川一可1),而10 = 1x10 = 2x5,列方程组判断是否存在整数解，即可判断10是否属于A.（2）由2% + 1 =（左+ 1）-公，结合集合A的描述知2
8、Z + lcA,由（1） 8eA,而8e3,即可证结论；（3）由集合A的描述：-2 =（2 + ）（加一），讨论加，同奇或同偶、一奇一偶，即可确定（利+冏）（利-）的奇偶性，进而写出所有满足集合A的偶数.（1） 8 = 32-12 , 9 = 5242, 8e4 9e A,假设 10 =疗一2, m,neZ ,则（|刈 + |）（|刈T|） = 10,且|加| + |川|2|-|川。，.-.10 = 1x10 = 2x5,则同+同一HH或O11 11 - - 川H=5。，显然均无整数解,=2综上，有：8eA, 9eA, WA；（2）集合3 = x|x = 2% + l,kZ,贝U恒有2攵+ l
9、=（Z + l一左2,2左+ lwA,即一切奇数都属于A,又8eA,而8任3A”的充分条件是“3”；但“w8”不是“XA”的必要条件;（3 ）集合 A = x| X = 2, W z ,2 =（根+ ）（加一）成立，当相，同奇或同偶时，根+ ，根均为偶数，（加+ ）（2-）为4的倍数；当2, 一奇，一偶时，加+,根-均为奇数，（根+）（加一）为奇数，综上，所有满足集合A的偶数为4太左Z.【点睛】关键点点睛：根据集合的性质，应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨论，判断元素与集合的关系, 证明条件间的充分、必要关系，确定满足条件的数集.A. -1,3)B. 0,1,2C. -1,0,1,2D.
10、 -1,0,1,2,3【答案】c【解析】【分析】用列举法表示出集合3,进而可得人B.因为3 = N|%v3 二 0J2,又A = -L0J2,所以A=3 = -故选：C.4 .下列命题为真命题的是()A.命题“若%y,则3”的逆命题B.命题“若尤1,则的否命题C.命题“若x = l,则+3% 4 = 0的否命题D.命题“若Y 21,则的逆否命题【答案】A【解析】【分析】根据四种命题的关系写出相应命题再判断真假.也可利用逆否命题同真假的性质判断.Il f y, y 0命题“若%几 则工及1的逆命题是若y ,则%几 由于3= 八，因此为真命题；-y,yl,则fi的否命题是若xKl,贝鼠21；命题“
11、若x = l ,贝I d +3x - 4 = 0的否命题是若xwl ,则犬+3工4,是假命题，如工=时，f+3x-4 = 0, 命题“若Y21 ,则x1 ”本身是假命题，如x = -2时，Yzi,但工1,其逆否命题也是假命题.故选：A.5 .已知p,夕为两个命题，贝广v4为真命题”是为真命题，的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分、必要条件的定义可得答案.“pvq是真命题、则是真命题q是假命题，或者是假命题q真命题，或者夕国都是真命题，p叔为真命题则都是真命题，所以是假命题”是人4为真命题”的必要不充分条件.故选：B.6
12、 .已知命题p：2x + m0,若。是9的一个充分不必要条件，则小的取值范围是（）A. 2,+8）B. （2, +00）C. （一8,2）D. （一8,2【答案】A【解析】【分析】先化简命题P，心 再根据是4的一个充分不必要条件，由，夕求解.因为命题p.x3或xvl,又是q的一个充分不必要条件，所以-1, 2解得机22,所以加的取值范围是2+8）,故选：A7 .已知：* R , mx1+ 2 0 ,若夕4为假命题，则实数m的取值范围是（）B.m 1JC. inm -21 D. -1 m 1J【答案】A【解析】先分别求出命题应为真命题时，参数用的范围，再由夕为假命题，得出都是假命题，求出其对应
13、的参数相的取值范围，它们的交集就是答案.由Z77LX2+20, /. 77? 0, * A = 4m2 40 ,解得：-lmm2”的充要条件是，c，C.命题“对任意xeR,有/NO”的否定是“存在xeR,有丁之0”D.bl是必1的充分条件【答案】ABC【解析】【分析】选项A当QV。时不成立可判断；选项B当人=0时不充分可判断；选项C否定是“存在XR,有工20，可判 断；选项D由不等式性质可判断.对于A,当Z?24qc0时，若0, or?+ + 0之0不一定成立，a错误；对于B,当m2时可以推出。，但是。不一定可以推出4 仍2 ,比如，b = 0,所以“加 加，的必要不充分条件是B错误；对于C,
14、 “对任意XR,有犬20”的否定是“存在XR,有f0，C错误；对于D.由bV则“口1”成立,但由不能推出。1, bl,例如：取。=4力=1，满足1 ,但不满足1, bl,2所以人1是必 1的充分条件，故Q正确.故选：ABC11.已知集合P,。是全集U的两个非空子集，如果PcQ =。且PuQwQ,那么下列说法中正确的有( )A. VgP,有B. 3gP,使得入七。C. VgQ,有xePD. 3eC,使得【答案】BC【解析】【分析】根据PcQ =。且PuQwQ确定正确选项.由于RQ是全集U的非空子集，。=。且夕。，。，所以。是尸的真子集，所以三。，使得xe。、Vg2,有即BC选项正确.故选：BC1
15、2.设集合S, T中至少有两个元素，且S, T满足：任意x, yS,若#y,则x+yT；对任意x, yT.若 小,则x-yS,下列说法正确的是()A.若S有2个元素，则SUT只有3个元素B.若S有2个元素，则SUT可以有4个元素C.存在3个元素的集合S,且满足SU T有5个元素D.不存在3个元素的集合S【答案】AD【解析】【分析】根据条件可知S中的元素成对出现，分别讨论S中是否有。进行判断T的元素情况，得出结论.解：由条件可知集合S中的元素必成对出现，他们互为相反数，若S有2个元素，不妨设S=，-(加)，由条件可知集合7中必含有元素0,若丁的另一个元素为。(或，显然符合条件，若T的另一个元素不
16、是。或- m不妨设为c(ca),则由条件可知-。也是S的元素，与S只有2个元素矛盾，：.SUT=a, -a, 0,故 A 正确，B 错误；若S有3个元素，则0必然是S的元素，设5=，0, -,则由条件可知SU7,再由条件可知-2czes,与S有3个元素矛盾，故不存在3个元素的集合S,满足条件，故C错误，D正确.故选：AD.三、填空题13 .命题“ Vx 0,2,/ 一依 +1 o，的否定是.【答案】3xoeLO,2,xj-o+l。，是全称量词命题,其否定是“3x0 W 0,2,X； -5 +1 。故答案为:切0,2芯-5+1 014 .已知关于x的方程(1-a)/+( + 2)x-4 =。，则
17、该方程有两个正根的充要条件是 【答案】la10【解析】【分析】根据方程有两个正根的充要条件是列出不等式组求解即可.关于 X 的方程（1 。）+（4 + 2）% 4 = 0,即（q 1）x2_（q + 2）x + 4 = 0,。一1 w 0（ + 2）/、1/、则该方程有两个正根的充要条件是-，且上=-（。+ 2）216e1）20,-0、a 1解得：12 或。210,因此该方程有两个正根的充要条件是：1。2或210.故答案为：la2或qNIO,15 .已知p： FxoR, xo2xo+aVO”为真命题，则实数。的取值范围是.【答案】（一0；I 4J【解析】【分析】根据p： FxoR,项）2xo+
18、VO为真命题，由QC-f+x/ER有解求解.解:因为p： WxoR,刈2xo+aVO”为真命题,所以Q-x2+x,xR有解，（1 A211令，二一工2+工=- X 十一, 则I 2； 44所以Q :，4故答案为：（-【4J16 .对于两个正整数2, ，定义某种运算。”如下，当机，都为正偶数或正奇数时，2。 = 2+；当 2,中一个为正偶数，另一个为正奇数时，2。几=如2,则在此定义下，集合M= （p, ?） |pO=10, p e N,中元素的个数是.【答案】13【解析】【分析】根据定义可求从而可求其含有的元素的个数.当2, 都为正偶数或正奇数时，机。=根+；当相，中一个为正偶数，另一个为正奇
19、数时，2。 = 帆，集合 M= (p, q) pQq=109 p e N, eN*(9, 1),= (1, 9) , (2, 8) , (3, 7) , (4, 6) , (5, 5) , (6, 4) , (7, 3) , (8, 2)(1, 10) , (2, 5) , (5, 2) , (10, 1) ,共13个元素，故答案为：13四、解答题17 .用描述法表示下列集合：(1)所有被3整除的整数组成的集合；(2)集合1, 3, 5, 7, 9)；(3)方程？+工+1=0的所有实数解组成的集合；(4)抛物线y=N+3x6上所有点组成的集合；【答案】答案见解析【解析】【分析】根据描述法的表示方法和集合中元素的特点，对每一小题进行描述表示即可.(1) m=3 鼠 kZ.(2) x|x=2+l, 0n4且N.(3) x|x2+x+1 =0, xR.(4) (x, y)|y=N+3x6.18 .设全集为Z , A = x|/ +2x 15 = 0, B = xax- = Q.(1)若 = !，求Ac(&3)；若3三4,求实数。的取值组成的集合C.【答案】5,3(2)卜法，。【解析】【分析】