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1、第1章集合与常用逻辑术语 单元综合检测(难点)一、单选题1.已知命题：V6ZGN, 3/7GN,使得。人 则一为(A. 3tzeN, X/Z?史N,使得B.V力eN,使得4(8C. 36/eN, V/?gN,使得qW/?D. VtzeN , V/?gN,使得ab【答案】C【解析】【分析】由全称命题和特称命题的否定形式，可得解由全称命题和特称命题的否定形式，可得命题：V6/eN, 3/?gN,使得的否定-P 为:3tzeN, VZ7eN,使得故选：C2.已知命题：当相1,2时，关于x的方程2x +加=0没有实数解.下列说法正确的是()A. 是全称量词命题，且是假命题B. 是全称量词命题，且是真命
2、题C. 是存在量词命题，且是假命题D. 是存在量词命题，且是真命题【答案】A【解析】【分析】对加1,2的理解是加取遍区间1,2的所有实数，当m=1时方程有解，从而判断原命题为假命题.原命题的含义是“对于任意相1,2,方程2x +m=0都没有实数解，但当m=1时，方程有实数解x = l, 故命题是全称量词命题，且为假命题，故选：A3.设集合 = x|(x)(x3)=(),N = x(x4)(x1)=(),则下列说法一定正确的是()A.若 M N = 1,3,4,则 M N=0B.若M N =1,3,4,则 m n手0C.若McN = 0,则MuN有4个元素 故答案为：26.16 .我们将bQ称为
3、集合卜|。Wb的长度若集合M =卜|加 Wm + 2022, N = x一2023%鹿, 且“，N都是集合何。%2024的子集，则集合McN的“长度”的最小值为.【答案】2021【解析】【分析】对私的取值进行分类讨论，结合“长度”的定义求得集合McN的“长度”的最小值.由题意得，加的“长度”为2022, N的“长度”为2023,要使McN的“长度”最小，则，N分别在卜|0%2024的两端.当m=0, = 2024 时、得加=乂0入42022, N = xx2024 9则 McN =卜| 1 x2022,此时集合McN的“长度”为2022-1 = 2021；当m=2, = 2023时，M =x2
4、x2024 9N = x|0Kx2023,则 McN =卜|2x 2023,此时集合McN的“长度”为2023 - 2 = 2021.故McN的“长度的最小值为2021.故答案为：2021四、解答题17 .已知全集为 R,集合 A = x2xS-2x.求AU3;(2)求。(AcB)；(3)若。=|4xq + 4,且人口C,求。的取值范围.【答案】3为22.(2)九次6.。|10.【解析】【分析】(1)解出集合以 即可求出AU&(2)先求A B,再求(AcB)；(3)先求出4C = xx 4或，根据AcaC,列不等式，求出。的范围.(1)3 = x| 3x-7 2 8-2x = x| x2 3.
5、所以 Ad3 = %2xK6ux|x3=x|xN2.因为A = x|2Wx6, 8 = x|x2 3,所以 AcB = x2x6cx|xZ3 = x3x6,所以 4(Ac3)= x%3或 x6.(3)因为C = x|一4xa + 4,所以4(7 = |工。+4.因为A = x|26 或 a + 4v2,解得：。10或。一2.即Q的取值范围。1。10.Y 418 .已知集合人=%|-0,集合3 = x|q 2%4, (A)uB = x|-3x7 ； (2)。6.【解析】(1)当。=3时，得出集合3,解分式不等式即可得集合A,再根据补集和并集的运算，从而可求出(金RUB；.( 2 为+ 1；当5W
6、0时，( 勺 或 。彳 ，从而可求出实 2 + 14数。的取值范围.解：(1)由题可知，当。=3时，则3 = |1%7,A = xx-4x + 3。 = 工%-3或工4,则。A = x3x4,所以&A)uB = x|-3xW4ux|lx47 = x|-32 + 1,解得：a-3；当时,q-22i + 1 fa 22a + l2a + l-3或 ja 24解得：-3。6；综上所得：。6.【点睛】结论点睛：(1)若，是q的必要不充分条件，则夕对应集合是，对应集合的真子集；(2)是q的充分不必要条件，则对应集合是q对应集合的真子集；(3)是q的充分必要条件，则。对应集合与q对应集合相等；(4)是q的
7、既不充分又不必要条件，q对的集合与对应集合互不包含.19 .已知：命题1：关于1的方程如2+2工+ 1 = 0最多有一个实数根，记满足条件的加的取值范围构成集合4命题2： |2m-l|3,记此不等式的解集为R命题3： a:2x4:3m-lx).【解析】【分析】(1)根据二次方程根的分布、解绝对值不等式、充分条件，即可得到答案；(2)分三类情况，即可得到结果.命题1：当m=0时 2x+l = 0, X = -1,满足题意, 当相。0时，A = 4-4m0 ,即机综上,A = L”)U。；2 ： 12m 11 3 , 3 v 2 m13, lv m 2,3 = (-1,2)；命题3： 万是的充分条
8、件，即。是用的充分条件，/. x 2xv4 o |x|3m-1 x-zn| ,.J3m-1 4.,4, -4,即 C = (-oc,-4；(2)若命题1为真，命题2和命题3为假，则相 2,+x),若命题2为真，命题1和命题3为假，则2 1,0)1(0,1),若命题3为真，命题1和命题2为假，则/%(yo,-4,综上，加的取值范围(f，t j(i，)y，i)2,y).20 .已知集合 A = x|24x7；(2) 6/ ； (3) -； (4) a-.【解析】【分析】（I）由山小8,总有必（%成立，则儿皿列出不等式，继而得出答案;（2）由VmeB, 3y2eC,使得成立，则打侬 ，列出不等式，继
9、而得出答案;（3）由小小8, Vj；2eC,使得X成立，则必 列出不等式，继而得出答案;（4）由小小8,使得以%成立，则%必 列出不等式，继而得出答案;2。+ 3 4+3。2。+ 3 W -4+3(7 (1)设乂=办 + 3, %=2x + 3a,其中一2Wx42,由题设可得Ymax 丁2min即Ymax 3-4,故解得。27.由题设可得为naxHmax，故-la + 3 1=以 + 3, %=2x + 3q,其中一2x2,由题设可得 Nimin - Hmm 即 Mmin 3 -4 ,故一2a + 3 4-4+3或 2a + 3 4-4+3。, 7解得不（4）由题设可得 Ymin W）2max
10、，故2。+ 3 4+3。或 2。+ 3 4+3q,解得 qN1.21 .设集合 M =卜，=/一2, m, h e z|.（1）证明：属于的两个整数，其积也属于M；（2）判断32、33、34是否属于加，并说明理由；（3）写出“偶数2Z（ZZ）属于的一个充要条件并证明.【答案】（1）见解析；（2） 32eM, 33eM, 34eM理由见解析；（3） k为偶数,证明见解析.【解析】【分析】（1）设J M,则对他进行化简，观察其是否满足集合M的条件，进行判断即可；（2）用反证法进 行判断即可；（3）证明充要条件时既要证充分性，又要证必要性.（1）设集合=t t = nr-n m, wz1中的元素4
11、=根：一，t2 = m；后，所以/ 2? / 22 2 22 22 22 2单2 =(肛乂一州 % / +巧 巧=(m12m22 +雇心2)一(犯2%2 +&2g2)=(仍回 +)2 -(肛七 十小网)一，因为出neZ ,所以町也+九匹，S2+4根2Z,所以有J t2l M ,则他iM,所以属于A/的两个整数, 其积也属于(2)因为32 = 6222,所以32eM；假设33eM,则33 = 4一2 =(加+硕加一)，因为仅neZ ,所以相+与有相同奇偶性，因为33为 奇数，所以加+与机-一个为奇数一个为偶数，则m十九与m-有相同奇偶性相矛盾，所以不成立，所以 33 纪 M ；假设346M,同上
12、可得34 =疗一/=(加+)(2-)，因为帆neZ ,所以相+与根-有相同奇偶性，因为34为偶数，所以根+ 与?-均为偶数，所以(机+乂加-)应为4的倍数，而34不是4的倍数，所以假 设不成立，所以34史M.(3) “偶数22(% Z)属于的一个充要条件是k为偶数.充分性：因为左为偶数，设Z = 2q(Z),所以2左=4，而(q + 1)2(Q l =4q,所以2攵= (q + 1一(q I)?满足集合加=*=疗-后m, wz,所以偶数2MAcZ)属于M；必要性：因为偶数2左(左wZ)属于加，所以22=加-=(m+)(m-)，因为帆neZ ,所以相+与加- 有相同奇偶性，因为乂(后GZ)为偶数
13、，所以根+与机-均为偶数，所以(根+)(m-)应为4的倍数，2k 必为4的倍数，即%必为2的倍数，所以人为偶数.【点睛】本题主要考查集合与元素之间的关系以及充要条件，解题的关键是会用反证法证明，以及会证明充要条件.22.设集合 A 为非空数集，定义 A+=x|x = a + b,以、beA, A- =xx=a-b,。、beA.若A = -1, 1,写出集合a+、a-(2)若人=再，4，4，/，为9工3工4，且A-=A，求证：%+%=工2+当；若Aqx|族/2021, XN且A+/T=0,求集合A元素个数的最大值.【答案】A+=-2,0,2, 4 =0,2； (2)证明见解析;(3)1348.【
14、解析】【分析】根据新定义，直接得出集合、A;根据两集合相等即可得出“、与、Z的关系；(3)通过假设 A 集合加，m + 1, m + 2, 4042 (m2021, mN),求出相应的A+、/T,根据A+ A一 =0列出不等式即可求出结果.由题意知，A = -1,1,得 T =2,0,2, 4 =0,2；由于集合4 = 玉，%3，%，为%2尤3%4，且/T=A，所以集合A一中有且仅有4个元素，即同-=0，9 -X，刍-芭，4-剩下的元素满足一玉=%3 - 2 =%4 一%3，即X +工4 =工2 +工3 ；设4 = ,4, , %满足题意，其中以,贝lj 2q 4 + ? q + / , 4
15、+ 4 生 + ak % + % v ak-+ 2ak，所以,+上2%-1, ax-ax a2-a a3-a ak -a,所以 4 2%,因为AF因=0,由容斥原理，4-| =+同之31,A+1 4最小的元素为0,最大的元素为2即，所以 由2%+1,所以女142% +1 4043供 e N*),解得 1348,实际上当4 = 674,675, ,2021时满足题意，证明如下：设4 = m，m + L m+ 2, ,2021 (m e N),贝lj A+ =2根,2根+ l,22 + 2, ,4042 , 4一 二 0,1,2,2021 加,2依题意，有2021-mv2z,即愣673鼻，所以根的
16、最小值为674,于是当根= 674时，集合A中的元素最多，即A=674,675，2021时满足题意.综上所述，集合A中元素的个数的最大值为1348.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题, 有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解对于此题中的新概念，对阅读 理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难 题，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.D.若M N/0,则M N = 1,3,4【答案】D【解析】【分析】首先解方程得到：M = 3间或M = 3
17、 , N = 1,4，针对a分类讨论M c N,M u N即可.(1)当 q = 3时，M = 3, M( N = 0,M JN=1,3,4)；(2)当a = l 时，M=1,3, M N = l,M N=1,3,4；(3)当 =4时，M = 3,4, M N = 4,M N=1,3,4；(4)当 qw 1,3,4时，M , M N = 0,M N = L3,4,a；综上可知A, B, C,不正确，。正确故选：D4.如图，三个圆的内部区域分别代表集合A, B, C,全集为/,则图中阴影部分的区域表示()A. AnBnCC. AnBn(C)B. 4cCc(0B)D. BnCn(A)【答案】B【解
18、析】【分析】 找到每一个选项对应的区域即得解.解：如图所不,A. AcBcC对应的是区域1；B. AcCc/)对应的是区域2；C. AcBc()对应的是区域3；D. BcCc(A)对应的是区域4.故选：B5.设/为全集，S2、S3是/的三个非空子集且S|US2dS3 = /.则下面论断正确的是()A. n(S2 uS3) = 0B.鸟 口期512 c 凡)C.腿c c?/S3 =0D. & 4那2D/S3)【答案】C【解析】【分析】画出关于S=/且含7个不同区域的韦恩图，根据韦恩图结合集合的交并补运算确定各选项中对应 集合所包含的区域，并判断包含关系.将S| uS? US3 = /分为7个部分
19、(各部分可能为空或非空)，如下图示：所以 S =S2= AJBJCJF . 53 = AuCoDuG ,则 6/S=Cu /uG, dzS9 = Dj EjG , 3 = Bu Ed F ,所以邑 dS3 = Au3uCu。尸 uG,故 0SC(S2DS3)= buG, A 错误；版c凡=E,故知2 c /邑三5,B错误；耦c】S2czs3=0, C正确；腿$ = BdDdEdFdG,显然3与腿2 ,邑没有包含关系，D错误.故选：C6,设a, 6 cgR,贝广a历=0是/+44+04=0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件D.充要条件【答案】B【解析】【分析
20、】根据充分性和必要性的判断方法来判断即可.当abc = 0时，若。= 1/ =。=。，不能推出/+)4+c =0 ,不满足充分性；当/+)4+/=0 ,则a = b = c = 0,有而c、= 0,满足必要性；所以历=0”是+4 =o的必要不充分条件.故选：B7.设全集。=卜|国4且4，S = 2,1,3,若PjU ,(aP)S,则这样的集合P共有()A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个【答案】D【解析】【分析】先求出全集U,再求出集合S的子集即为gp,再进行补集运算可得集合P,进而可得正确选项.u =卜| W v 4且 X Z = -3,-2,-1,0,1,2,3,S = -2,1,3的
21、子集有 0, -2, 1, 3, -2,1, -2,3, 1,3, -2,1,3,S = 2,1,3的子集有8个，（QjP）qS,所以均尸有8个,因为瘩（uP）= P，所以存在一个熊尸即有一个相应的P，所以尸=3,2,1,0,1,2,3, -3-1,0,1,2,3, -3,-2-1,0,2,3, -3,-2,-1,0,1,2,3,1,023, -3-1,04,2, -3-2-1,0,2, 3,1,0,2有8个，故选：D.8.已知集合A中有10个元素，3中有6个元素，全集U有18个元素，AcBwO .设集合（您4）c（uB）中有X个元素，则X的取值范围是（）A. x3（x8,xNB, x2xW8
22、,xeNC. x|8 x12,xe N|D. |a：|10x15,xe Nj【答案】A【解析】【分析】分析可得A B至少有1个元素，至多有6个元素，由（桐）c（uB）=%（AuB）,由补集的定义即可求解.集合A中有10个元素，3中有6个元素，因为AcBw0,AQ8至少有1个元素，至多有6个元素，所以A 5至多有15个元素，至少有10个 元素，集合（桐）c（胆）= %（Au3）有x个元素，则3WxW8且x为正整数.即x的取值范围是x3x0”是“尢+丁0”的充要条件C.命题“6 R,f+ 1 = 0的否定是“ Vx e R,丁 + 1 W 0，D.若的必要不充分条件是“m-2vxQ,但x+y =
23、-30,不是充要条件，B错；命题天 R,/+ 1 =。的否定是：Vx e x2+1 0 , C正确；m-21“Ixv3”的必要不充分条件是“m-2%m+2，贝IJ两个等号不同时取得.解得1金三3. D根+223正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，解题要求掌握的知识点较多，需要对四个选项一一判断.但求解 时根据充分必要条件的定义，命题的否定的定义判断，对有些错误的命题可以举例说明其不正确.10 .已知是的充分条件而不是必要条件，q是厂的充分条件，$是的必要条件，q是$的必要条件.现有 下列命题：是g的充要条件；是q的充分条件而不是必要条件；是q的必要条件而不是充分条件;
24、是r的必要条件而不是充分条件；则正确命题序号是（）A.B.C.D. 【答案】ABD【解51【分析】根据题设有但分P,即知否定命题的推出关系，判断各项的正误.由题意，但今，故正确，错误；所以，根据等价关系知：且M分广，故正确.故选：ABD11 .我们知道，如果集合AqS,那么S的子集A的补集为&A = x|xS且xeA,类似地，对于集合A,台我们把集合A且次金用，叫作集合A和区的差集，记作A 5,例如：A = 1,2,3,4,5, 3 = 4,5,6,7,8,则有AB = 1,2,3, B-A = 6,7,8,下列解答正确的是（）A.已知 A = 4,5,6,7,9, 3 = 3,5,6,8,9
25、,则 3A = 3,7,8B.已知 A = xx3, B = x|-2x4,则 A-B = xxC.如果A 3 = 0,那么AqBD.已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则A-B =【答案】BCD【解析】【分析】由题意可知A-8即先求A , 3的交集，然后求其以A为全集的补集，结合差集定义依次判断各个选项即可.由题意可知，A-3即先求A, 3的交集，然后求其以A为全集的补集.对于A：根据差集的定义可知：若4 = 4,5,6,7,9, 5 = 3,5,6,8,9,则3A = 3,8,故选项A不正确；对于 B： 4 =或x3, B = x|-2x4,则 240 5 = 工|一2工一1或3%4
26、,故A B = x|x2或x24,故选项B正确；对于C：如果A 3 = 0,则A B = A,故故选项C正确；对于D：因为4-3 =疫（4门3）= 41；3,故选项D正确.故选：BCD12 .当一个非空数集G满足“如果SeG,则a + b,a-反必wG,且力wO时,” G”时,我们称G就是一个数域, b以下关于数域的说法:。是任何数域的元素;若数域G有非零元素，则2019 e G;集合B.D.C.P = x|x = 2Z,%Z是一个数域;有理数集是一个数域;任何一个有限数域的元素个数必为奇数.其中正 确的选项有 A.【答案】AD【解析】【分析】利用已知条件中数域的定义判断各命题的真假，题目给出
27、了对两个实数的四种运算，要满足对四种运算的 封闭，只有一一验证.当时，由数域的定义可知，若 a,bsG,则有eG,即 OeG,故是真命题；当。= 时，由数域的定义可知，若 a,bsG,则有即 leG, b若leG,则l + l = 2eG,则2+l = 36G, l则1 + 2018 = 2019eG,故是真命题;当。=21=4时，f = = 故是假命题；h2若4力。，则。+ 。一,。/?。，且人。0时，;。，故是真命题； b OeG,当bwG且8wOB寸，则一bsG,因此只要这个数不为。就一定成对出现，所以有限数域的元素个数必为奇数，所以是真命题.故选：AD.【点睛】本题考查学生对新定义题型
28、的理解和把握能力，理解数域的定义是解决该题的关键，题目着重考查学生的 构造性思维，一定要读懂题目再入手，没有一个条件是多余的，是难题.三、填空题13 . A = -1,3, B = 2加-1,加+5,已知“xwA”是的充分不必要条件，则实数团的取值范围是【答案】24加工0【解析】【分析】由已知，集合A是集合B的真子集，以此列不等式组，即可求解加的取值范围 由已知，集合A是集合5的真子集，即加需满足不等式组323且等号不同时成立用早得一2140故答案为：-2m3,因的否定是假命题，则是真命题，于是得25因2x2+5x + a = 0即方程212+5工+ = 0有实木艮，则 = 25-8qN。，解
29、得qV丁，O25又夕是真命题，则。三，O25因此，由是真命题，q也是真命题，可得一，O所以实数a的取值范围是R故答案为：在今15 .已知 7 是方程入2 + 外 + 9 = 0(249。)的解集，A=1, 3, 5, 7, 9), 8 二1, 4, 7, 10且 TcA=0,TcB = T,则P + 4=.【答案】26【解析】【分析】根据集合A8之间的关系，确定一元二次方程的解集，即可由根与系数关系求得P + /对方程Y + px + q = 0(p2440),显然有两个根，故可得集合了中有两个元素；因为TcB = T,故可得T中的两个元素一定在集合区中；又因为TcA=0,故可得7中的所有元素都不在A中；综上可得：7中的元素一定是4和10,由根与系数的关系可得：14 = -p,40 = %则P + 9 = 26.