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1、数学第三册普 通 高 中 教 科 书A版选择性必修SHUXUEPUTONG GAOZHONG JIAOKESHU第三册普通高中教科书数学选择性必修定价：00.00 元绿 色 印 刷 产 品 绿 色 印 刷 产 品 高中数学教材A版选择性必修第三册封面修订.indd 1高中数学教材A版选择性必修第三册封面修订.indd 12022/3/29 10:192022/3/29 10:19普通高中教科书数学第三册选择性必修北京人民教育出版社 课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著A版02高中物理必修第一册普通高中教科书 数学 选择性必修 第三册人民教育出版社 课程教材研究所中学数学课程教材研究开
2、发中心 编著出版（北京市海淀区中关村南大街 17 号院 1 号楼 邮编：100081）网址 http:/版权所有未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分违者必究如发现内容质量问题，请登录中小学教材意见反馈平台：如发现印、装质量问题，影响阅读，请与 联系调换。电话：-主 编：章建跃 李增沪副 主 编：李 勇 李海东 李龙才本册主编：程海奎 陈雪梅编写人员：王 嵘 白 涛 李 勇 张唯一 张淑梅 金克勤 章建跃 程海奎责任编辑：张唯一美术编辑：王俊宏封面设计：版面设计：插图绘制：本书根据普通高中数学课程标准（年版）编写，包括“计数原理”“随机变量及其分布”“成对数据的统计分析”三章内容
3、计数问题在日常生活、生产实践中大量存在，也是数学研究的重要问题之一在“计数原理”一章中，同学们将学习分类加法计数原理和分步乘法计数原理，体会这两个原理在解决计数问题中的基础性作用；运用两个基本计数原理探索排列、组合、二项式定理等问题，推导相关的公式；在运用它们解决一些简单的计数问题和实际问题的过程中，理解排列、组合、二项式定理与两个计数原理的关系，体会数学抽象、化繁为简等基本思想概率论是研究随机现象数量规律的科学在“随机变量及其分布”一章中，同学们将结合具体实例，在学习条件概率的过程中，理解随机事件独立性与条件概率之间的关系，掌握用乘法公式、全概率公式计算复杂事件概率的方法；通过具体实例体会用
4、随机变量刻画随机现象的好处，从中感悟随机变量与随机事件的关系；通过二项分布、超几何分布、正态分布的学习，理解随机变量及其分布在本章的学习过程中，同学们可以体会到用随机变量的概率分布描述随机现象规律的思想，进一步加深对随机现象的认识，提高用概率的方法解决问题的能力在必修课程中，同学们已经学习了获取样本数据，从样本数据中提取信息，用样本估计总体的分布及数字特征的一些统计方法在“成对数据的统计分析”一章中，同学们将结合典型案例，研究如何利用成对样本数据分析两个随机变量之间关系的问题从中可以了解到，两个随机变量的相关性可以通过成对样本数据进行分析；通过构建一元线性回归模型，可以研究变量之间的随机关系并
5、进行预测；利用列联表可以检验两个分类变量的独立性等在本章的学习过程中，同学们可以进一步体会统计思想在解决实际问题中的作用祝愿同学们通过本册书的学习，不但学到更多的数学知识，而且在数学能力、数学核心素养等方面都有较大的提高，并培养起更高的数学学习兴趣，形成对数学的更加全面的认识第六章计数原理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少 排列与组合 探究与发现组合数的两个性质 二项式定理 小结 复习参考题 数学探究杨辉三角的性质与应用 第七章随机变量及其分布 条件概率与全概率公式 阅读与思考贝叶斯公式与人工智能 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的数字特征 二项分布与超几何
6、分布 探究与发现二项分布的性质 正态分布 信息技术应用概率分布图及概率计算 小结 复习参考题 第八章成对数据的统计分析 成对数据的统计相关性 一元线性回归模型及其应用 阅读与思考回归与相关 列联表与独立性检验 小结 复习参考题 数学建模建立统计模型进行预测 部分中英文词汇索引 书 书 书第六章计数原理汽车号牌的序号一般是从 个英文字母、个阿拉伯数字中选出若干个，并按适当顺序排列而成随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车号牌序号需要扩容那么，交通管理部门应如何确定序号的组成方法，才能满足民众的需求呢？这就需要“数（狊 犺）出”某种汽车号牌序号的组成方案下所有可能的序号数，这就是计数
7、日常生活、生产中类似的问题大量存在例如，幼儿会通过一个一个地数的方法，统计自己拥有玩具的数量；学校要举行班际篮球比赛，在确定赛制后，体育组的老师需要知道共需要举行多少场比赛；用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排列表示不同的信号，需要知道共可以组成多少种不同的信号如果问题中数量很少，一个一个地数也不失为一种计数的好方法但如果问题中数量很多，我们还一个一个地去数吗？在小学我们学了加法和乘法，这是将若干个“小”的数结合成“较大”的数最基本的方法这两种方法经过推广就成了本章将要学习的分类加法计数原理和分步乘法计数原理这两个原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，利用两个计数原理还可以得到两
8、类特殊计数问题的计数公式 排列数公式和组合数公式，应用公式就可以方便地解决一些计数问题作为计数原理与计数公式的一个应用，我们还将学习在数学上有广泛应用的二项式定理第六章计数原理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？因为英文字母共有 个，阿拉伯数字共有 个，所以总共可以编出 种不同的号码你能说一说这个问题的特征吗
9、？首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同这两类号码数相加就得到号码的总数你能举一些生活中类似的例子吗？上述计数过程的基本环节是：（）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；（）分别计算各类号码的个数；（）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数?两类不同方案中的方法互不相同一般地，有如下分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案?，在第类方案中有犿种不同的方法，在第类方案中有狀种不同的方法，那么完成这件事共有第六章计数
10、原理犖犿狀种不同的方法例在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表 表 大学大学生物学数学化学会计学医学经济学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？分析：要完成的事情是“选一个专业”因为这名同学在，两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件解：这名同学可以选择，两所大学中的一所在大学中有种专业选择方法，在大学中有种专业选择方法因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为犖如果完成一件事有三类不同方案，在第类方
11、案中有犿种不同的方法，在第类方案中有犿种不同的方法，在第类方案中有犿种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事有狀类不同方案，在每一类方案中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？用前个大写英文字母和这个阿拉伯数字，以，的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”，但与前一问题的要求不同在前一问题中，用 个英文字母中的任意一个或 个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个第六章计数原理座位号码但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数
12、字这样两个步骤用图 所示的方法可以列出所有可能的号码图 是解决计数问题常用的“树状图”你能用树状图列出所有可能的号码吗？123456789AA1A2A3A4A5A6A7A8A9图 也可以这样思考：由于前个英文字母中的任意一个都能与个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有 种不同的号码你能说一说这个问题的特征吗？上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的?无论第步采用哪
13、种方法，与之对应的第步都有相同的方法数一般地，有如下分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤?，做第步有犿种不同的方法，做第步有狀种不同的方法，那么完成这件事共有犖犿狀种不同的方法例某班有男生 名、女生 名，从中任选男生和女生各名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：要完成的一件事是“选男生和女生各名”，可以分两个步骤：第步，选男生；第步，选女生第六章计数原理解：任选男生和女生各名，可以分两个步骤完成：第步，从 名男生中选出名，有 种不同选法；第步，从 名女生中选出名，有 种不同选法根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为犖 如果完成一件事需要三个步骤，做第步有犿种不同的方法，做第步
14、有犿种不同的方法，做第步有犿种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事需要狀个步骤，做每一步都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？例书架的第层放有本不同的计算机书，第层放有本不同的文艺书，第层放有本不同的体育书（）从书架上任取本书，有多少种不同取法？（）从书架的第层、第层、第层各取本书，有多少种不同取法？分析：（）要完成的一件事是“从书架上取本书”，可以分从第层、第层和第层中取三类方案；（）要完成的一件事是“从书架的第层、第层、第层各取本书”，可以分三个步骤完成解：（）从书架上任取本书，有三类方案：第类方案是从第层取本计算机书，有种方法；第类方案是从第层取本文艺书，有
15、种方法；第类方案是从第层取本体育书，有种方法根据分类加法计数原理，不同取法的种数为犖（）从书架的第层、第层、第层各取本书，可以分三个步骤完成：第步，从第层取本计算机书，有种方法；第步，从第层取本文艺书，有种方法；第步，从第层取本体育书，有种方法根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为犖 填空题（）一项工作可以用种方法完成，有人只会用第种方法完成，另有人只会用第种方法完成，从中选出人来完成这项工作，不同选法的种数是；（）从村去村的道路有条，从村去村的道路有条，则从村经村去村，不同路线的条数是 在例中，若数学也是大学的强项专业，则大学有个专业可以选择，大学有个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到
16、这名同学可能的专业选择种数为 这种算法有什么问题？第六章计数原理 书架上层放有本不同的数学书，下层放有本不同的语文书（）从书架上任取本书，有多少种不同的取法？（）从书架上任取数学书和语文书各本，有多少种不同的取法？现有高一年级的学生名，高二年级的学生名，高三年级的学生名（）从三个年级的学生中任选人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？（）从三个年级的学生中各选人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？例要从甲、乙、丙幅不同的画中选出幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？图 分析：要完成的一件事是“从幅画中选出幅，并分别挂在左、右两边墙上”，可以分步完成解：从幅画中选出幅
17、分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第步，从幅画中选幅挂在左边墙上，有种选法；第步，从剩下的幅画中选幅挂在右边墙上，有种选法根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数为犖这种挂法如图 所示分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事例给程序模块命名，需要用个字符，其中首字符要求用字母或，后两个字符要求用数字，最多可以给多少个程序模块命名？分析：要完成的一件事
18、是“给一个程序模块命名”，可以分三个步骤完成：第步，选首字符；第步，选中间字符；第步，选最后一个字符而首字符又可以分为两类解：由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为你还能给出不同的解法吗？后两个字符从中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为由分步乘法计数原理，不同名称的个数是 ，即最多可以给 个程序模块命名第六章计数原理例电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态因此计算机内部就采用了每一位只有或两种数字的记数法，即二进制为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，
19、每个字节由个二进制位构成（）个字节（位）最多可以表示多少个不同的字符？（）计算机汉字国标码包含了 个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？分析：（）要完成的一件事是“确定个字节各二进制位上的数字”由于每个字节有个二进制位，每一位上的数字都有，两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解；（）只要计算出多少个字节所能表示的不同字符不少于 个即可解：（）用图 表示个字节，每一格代表一位图 个字节共有位，每位上有种选择根据分步乘法计数原理，个字节最多可以表示不同字符的个数是 （）由（）知，个字节所能表示的不同字符不够 个，我们考虑个
20、字节能够表示多少个字符前个字节有 种不同的表示方法，后个字节也有 种表示方法根据分步乘法计数原理，个字节可以表示不同字符的个数是 这已经大于汉字国标码包含的汉字个数 因此要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用个字节表示 某电话局管辖范围内的电话号码由位数字组成，其中前位的数字是不变的，后位数字都是中的一个数字，这个电话局不同的电话号码最多有多少个？从名同学中选出正、副组长各名，有多少种不同的选法？从，中任选一个数作被减数，再从，中任选一个数作减数，然后写成一个减法算式，共可得到多少个不同的算式？在，中，被除余的数共有多少个？由数字，可以组成多少个三位数（各位上的数字可以重复）？第六章计数原理例
21、计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试程序员需要知道到底有多少条执行路径（程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据一般地，一个程序模块由许多子模块组成图 是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径？另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？A图 分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第步是从开始执行到点；第步是从点执行到结束而第步可由子模块、子模块、子模块中任何一个来完成；第步可由子模块、子模块中任何一个来完成因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理解：由分类加法计数原理，子
22、模块、子模块、子模块中的子路径条数共为 ；子模块、子模块中的子路径条数共为 又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为 在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块这样，他可以先分别单独测试个模块，以考察每个子模块的工作是否正常总共需要的测试次数为 再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第步中的各个子模块和第步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为第六章计数原理你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗？如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常这样，测
23、试整个模块的次数就变为 显然，与 的差距是非常大的例通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图 所示对于省和自治区，发牌机关通常是指其地级市的公共交通管理部门，并用英文字母依次编码例如，河北省石家庄市、唐山市的发牌机关代号分别为，直辖市的发牌机关代号可备案后依次自行使用 图 其中，序号的编码规则为：（）由 个阿拉伯数字和除，之外的 个英文字母组成；（）最多只能有个英文字母如果某地级市发牌机关采用位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？分析：由号牌编号的组成可
24、知，序号的个数决定了这个发牌机关所能发放的最多号牌数按序号编码规则可知，每个序号中的数字、字母都是可重复的，并且可将序号分为三类：没有字母，有个字母，有个字母以字母所在位置为分类标准，可将有个字母的序号分为五个子类，将有个字母的序号分为十个子类解：由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数根据序号编码规则，位序号可以分为三类：没有字母，有个字母，有个字母（）当没有字母时，序号的每一位都是数字确定一个序号可以分个步骤，每一步都可以从 个数字中选个，各有 种选法根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为 （）当有个字母时，这个字母可以分别在序号的第位、第位、第位、第位或第位，这
25、类序号可以分为五个子类当第位是字母时，分个步骤确定一个序号中的字母和数字：第步，从 个字第六章计数原理母中选个放在第位，有 种选法；第步都是从 个数字中选个放在相应的位置，各有 种选法根据分步乘法计数原理，号牌张数为 同样，其余四个子类号牌也各有 张根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为 （）当有个字母时，根据这个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第位和第位，第位和第位，第位和第位，第位和第位，第位和第位，第位和第位，第位和第位，第位和第位，第位和第位，第位和第位当第位和第位是字母时，分个步骤确定一个序号中的字母和数字：第，步都是从 个字母中选个分别放在第位、第位，各有 种选法
26、；第步都是从 个数字中选个放在相应的位置，各有 种选法根据分步乘法计数原理，号牌张数为 同样，其余九个子类号牌也各有 张于是，这类号牌张数一共为 综合（）（）（），根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：（）要完成的“一件事”是什么；（）需要分类还是需要分步分类要做到“不重不漏”分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，才能完成任务分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数乘法运算是特定条件下
27、加法运算的简化，分步乘法计数原理和分类加法计数原理也有这种类似的关系吗？第六章计数原理 乘积（犪犪犪）（犫犫犫）（犮犮犮犮犮）展开后共有多少项？在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的有多少个？某商场有个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，那么共有多少种不同的进出商场的方式？任意画一条直线，在直线上任取狀个分点（）从这狀个分点中任取个点形成一条线段，可得到多少条线段？（）从这狀个分点中任取个点形成两条有向线段，可得到多少条有向线段？习题 一个商店销售某种型号的电视机，其中本地的产品有种，外地的产品有种要买台这种型号的电视机，有多少种不同的选法？如图，从甲地到乙地有条
28、路，从乙地到丁地有条路；从甲地到丙地有条路，从丙地到丁地有条路从甲地到丁地共有多少条不同的路线？（第题）AB（第题）如图，要让电路从犃处到犅处只有一条支路接通，可有多少条不同的路径？用，中的任意一个数作分子，中任意一个数作分母，可构成多少个不同的分数？可构成多少个不同的真分数？一个口袋内装有个小球，另一个口袋内装有个小球，所有这些小球的颜色互不相同从两个袋子中分别取个球，共有多少种不同的取法？（）在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在犃，内取值的不同点共有多少个？（）在平面直角坐标系内，斜率在集合犅，内取值，狔轴上的截距在集合犆，内取值的不同直线共有多少条？第六章计数原理 一种密码锁有个拨号盘
29、，每个拨号盘上有共 个数字现最后一个拨号盘出现了故障，只能在这个数字中拨号，这个拨号盘可组成多少个四位数字号码？（）名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是还是？（）个班分别从个景点中选择一处游览，不同选法的种数是还是？（）从件不同的礼物中选出件送给位同学，每人一件，有多少种不同的送法？（）有个编了号的抽屉，要放进本不同的书，不同的放法有多少种？（一个抽屉可放多本书）口袋中装有个白球和 个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出个球（）恰好是白球、红球各一个的取法有多少种？（）恰好是两个白球的取法有多少种？（）至少有一个白球的取法有多少种？（）
30、两球的颜色相同的取法有多少种？在国庆长假期间，要从人中选若干人在天假期值班（每天只需人值班），不出现同一人连续值班天，有多少种可能的安排方法？有多少个不同的正因数？子集的个数有多少问题狀元集合犃犪，犪，犪狀的子集有多少个？为了解决这个问题，一个可行的思路是先研究一下某些具体集合，如犛犪，犪，犪的子集个数，从中获得启发，然后对一般的情况进行研究虽然列举法较“笨”，但它是计数的基本方法请你列举一下元集合犪，犪，犪，犪、元集合犪，犪，犪，犪，犪的子集由于犛中的元素只有个，因此可以用列举法列出它的所有子集：，犪，犪，犪，犪，犪，犪，犪，犪，犪，犛可见，一个含有个元素的集合共有个子集如果一个集合所含元素
31、较少，可以用列举法确定其子集的个数但如果集合中的元素较多，用这种方法确定子集个数就不太方便了另外，第六章计数原理从上述描述中较难发现集合犛中所含元素的个数与其子集个数之间的关系为了发现规律，需要采取另外的方法一个自然的想法是，应当设法用两个计数原理显然，元素犪犻（犻，）与各子集的关系只有两种：犪犻属于子集或犪犻不属于子集这样，我们可以考虑用考察犛中的每一个元素属不属于某个子集的方法来得到一个子集因为犛中有个元素，所以要得到集合犛的一个子集犛，可以分三个步骤：第步，考察元素犪是否在犛中，有种可能（犪犛，犪犛）；第步，考察元素犪是否在犛中，有种可能（犪犛，犪犛）；第步，考察元素犪是否在犛中，有种可
32、能（犪犛，犪犛）由此，你是否对把空集及原集合自身作为子集的规定有进一步的理解？只要完成上述三个步骤，那么集合犛中元素就完全确定了根据分步乘法计数原理，对于由个元素组成的集合，子集的个数为从上述过程，可以看到集合犛中所含元素的个数与其子集个数之间的关系：是中的指数，而是的运算结果一般地，我们有：狀元集合犃犪，犪，犪狀的不同子集有狀个证明：要得到集合犃的一个子集犛，可以分狀个步骤：第步，考察元素犪是否在犛中，有种可能（犪犛，犪犛）；第步，考察元素犪是否在犛中，有种可能（犪犛，犪犛）；第犽步，考察元素犪犽是否在犛中，有种可能（犪犽犛，犪犽犛）；第狀步，考察元素犪狀是否在犛中，有种可能（犪狀犛，犪狀犛
33、）只要完成上述狀个步骤，那么集合犛中元素就完全确定了根据分步乘法计数原理，对于由狀个元素组成的集合，子集的个数为烐烏烑狀个狀你还能用另外的方法证明上述结论吗？第六章计数原理 排列与组合在上节例的解答中我们看到，用分步乘法计数原理解决问题时，因做了一些重复性工作而显得烦琐能否对这类计数问题给出一种简捷的方法呢？为此，先来分析两个具体的问题?问题从甲、乙、丙名同学中选出名参加一项活动，其中名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？此时，要完成的一件事是“选出名同学参加活动，名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动”，可以分两个步骤：图 第步，确定参加上午活动的同学，从人中
34、任选人，有种选法；第步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的人中去选，有种选法根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为这种不同的选法如图 所示如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为：问题中的“顺序”是什么？从个不同的元素犪，犫，犮中任意取出个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是犪 犫，犪 犮，犫 犪，犫 犮，犮 犪，犮 犫，不同的排列方法种数为问题从，这个数字中，每次取出个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？显然，从个数字中，每次取出个，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，就得到一个三位数因此
35、有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数可以分三个步 第六章计数原理骤来解决这个问题：第步，确定百位上的数字，从，这个数字中任取个，有种方法；第步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的个数字中去取，有种方法；第步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的个数字中去取，有种方法根据分步乘法计数原理，从，这个不同的数字中，每次取出个数字，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排法种数为 因而共可得到 个不同的三位数，如图 所示342 4233 41 413 2 4141223 13 122341341241231234图 由此可写出
36、所有的三位数：，同样，问题可以归结为：从个不同的元素犪，犫，犮，犱中任意取出个，并按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？问题中的“顺序”是什么？所有不同的排列是犪 犫 犮，犪 犫 犱，犪 犮 犫，犪 犮 犱，犪 犱 犫，犪 犱 犮，犫 犪 犮，犫 犪 犱，犫 犮 犪，犫 犮 犱，犫 犱 犪，犫 犱 犮，犮 犪 犫，犮 犪 犱，犮 犫 犪，犮 犫 犱，犮 犱 犪，犮 犱 犫，犱 犪 犫，犱 犪 犮，犱 犫 犪，犱 犫 犮，犱 犮 犪，犱 犮 犫不同的排列方法种数为 上述问题，的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？问题和问题都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序
37、排成一列的方法数 第六章计数原理一般地，从狀个不同元素中取出犿（犿狀）个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从狀个不同元素中取出犿个元素的一个排列（）根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同例如，在问题中，“甲乙”与“甲丙”的元素不完全相同，它们是不同的排列；“甲乙”与“乙甲”虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列又如，在问题中，与 的元素不完全相同，它们是不同的排列；与 虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列例某省中学生足球赛预选赛每组有支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛场，那么每组共进行
38、多少场比赛？分析：每组任意支队之间进行的场比赛，可以看作是从该组支队中选取支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列解：可以先从这支队中选支为主队，然后从剩下的支队中选支为客队按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为 例（）一张餐桌上有盘不同的菜，甲、乙、丙名同学每人从中各取盘菜，共有多少种不同的取法？（）学校食堂的一个窗口共卖种菜，甲、乙、丙名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？分析：名同学每人从盘不同的菜中取盘菜，可看作是从这盘菜中任取盘，放在个位置（给名同学）的一个排列；而名同学每人从食堂窗口的种菜中选种，每人都有种选法，不能看成一个排列解：（）可以先从这盘菜中取盘给同学甲，然后从剩
39、下的盘菜中取盘给同学乙，最后从剩下的盘菜中取盘给同学丙按分步乘法计数原理，不同的取法种数为（）可以先让同学甲从种菜中选种，有种选法；再让同学乙从种菜中选种，也有种选法；最后让同学丙从种菜中选种，同样有种选法按分步乘法计数原理，不同的选法种数为 写出：（）用这个自然数组成的没有重复数字的全部两位数；（）从犪，犫，犮，犱中取出个字母的所有排列 第六章计数原理 一位老师要给个班轮流做讲座，每个班讲场，有多少种轮流次序？学校乒乓团体比赛采用场胜制（场单打），每支球队派名运动员参赛，前场比赛每名运动员各出场次，其中第，位出场的运动员在后场比赛中还将各出场次（）从名运动员中选名参加比赛，前场比赛有几种出场
40、情况？（）甲、乙、丙名运动员参加比赛，写出所有可能的出场情况?符号犿狀中的是英文 （排列）的第一个字母前面给出了排列的定义，下面探究计算排列个数的公式我们把从狀个不同元素中取出犿（犿狀）个元素的所有不同排列的个数，叫做从狀个不同元素中取出犿个元素的排列数，用符号犿狀表示例如，前面问题是求从个不同元素中取出个元素的排列数，表示为已经算得问题是求从个不同元素中取出个元素的排列数，表示为已经算得 从狀个不同元素中取出犿个元素的排列数犿狀（犿狀）是多少？可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数狀根据前面的求解经验，可以这样考虑：(n-1)n 图 假定有排好顺序的两个空位，如图 所示，从狀个不同元素中取出
41、个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到因此，所有不同填法的种数就是排列数狀现在来计算有多少种填法完成“填空”这件事可以分为两个步骤完成：第步，填第个位置的元素，可以从这狀个不同元素中任选个，有狀种选法；第步，填第个位置的元素，可以从剩下的（狀）个元素中任选个，有（狀）种选法根据分步乘法计数原理，个空位的填法种数为狀狀（狀）第六章计数原理同理，求排列数狀可以按依次填个空位来考虑，有狀狀（狀）（狀）一般地，求排列数犿狀可以按依次填犿个空位来考虑：假定有排好顺序的犿个空位，如图 所示，从狀个不同元素中取出犿个元素去填空，一个空位填上一个元
42、素，每一种填法就对应一个排列因此，所有不同填法的种数就是排列数犿狀(n-2)(n-1)n(n-m+1)m图 填空可以分为犿个步骤完成：第步，从狀个不同元素中任选个填在第位，有狀种选法；第步，从剩下的（狀）个元素中任选个填在第位，有（狀）种选法；第步，从剩下的（狀）个元素中任选个填在第位，有（狀）种选法；第犿步，从剩下的狀（犿）个元素中任选个填在第犿位，有（狀犿）种选法根据分步乘法计数原理，犿个空位的填法种数为你能说一下排列数公式的特点吗？狀（狀）（狀）（狀犿）这样，我们就得到公式犿狀狀（狀）（狀）（狀犿）这里，犿，狀犖，并且犿狀这个公式叫做排列数公式根据排列数公式，我们就能方便地计算出从狀个不
43、同元素中取出犿（犿狀）个元素的所有排列的个数例如，特别地，我们把狀个不同的元素全部取出的一个排列，叫做狀个元素的一个全排列这时，排列数公式中犿狀，即有狀狀狀（狀）（狀）也就是说，将狀个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数到狀的连乘积正整数到狀的连乘积，叫做狀的阶乘，用狀！表示于是，狀个元素的全排列数公式可以写成狀狀狀！另外，我们规定，！第六章计数原理例计算：（）；（）；（）；（）解：根据排列数公式，可得（）；（）；（）！；（）！由例可以看到，！；！，即！观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？事实上，犿狀狀（狀）（狀）（狀犿）狀（狀）（狀）（狀犿）（狀犿）（狀犿）狀狀狀犿狀犿狀！（狀犿）！
44、因此，排列数公式还可以写成犿狀狀！（狀犿）！例用这 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在这 个数字中，因为不能在百位上，而其他个数字可以在任意数位上，因此是一个特殊的元素一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题A92A91图 解法：如图 所示，由于三位数的百位上的数字不能是，所以可以分两步完成：第步，确定百位上的数字，可以从这个数字中取出个，有种取法；第步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的个数字中取出个，有种取法根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为 第六章计数原理解法：如图 所示，符合条件的三位数可以分成三类：第类，每一位数字都不是的三位数，可以从这个数字中取出
45、个，有种取法；第类，个位上的数字是的三位数，可以从剩下的个数字中取出个放在百位和十位，有种取法；第类，十位上的数字是的三位数，可以从剩下的个数字中取出个放在百位和个位，有种取法A93A920A920图 根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为 解法：从这 个数字中选取个的排列数为，其中在百位上的排列数为，它们的差就是用这 个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为 对于例这类计数问题，从不同的角度就有不同的解题方法解法根据百位数字不能是的要求，按分步乘法计数原理完成从 个数中取出个数组成没有重复数字的三位数这件事；解法是以是否出现以及出现的位置为标准，按分类加法计数原理完成这件
46、事；解法是一种间接法，先求出从 个数中取出个数的排列数，然后减去其中百位是的排列数（不是三位数的个数），就得到没有重复数字的三位数的个数从上述问题的解答过程可以看到，引入排列的概念，归纳出排列数公式，我们就能便捷地求解“从狀个不同元素中取出犿（犿狀）个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题 先计算，然后用计算工具检验：（）；（）；（）；（）求证：（）犿狀狀犿狀；（）一个火车站有股岔道，如果每股道只能停放列火车，现要停放列不同的火车，共有多少种不同的停放方法？第六章计数原理?从甲、乙、丙名同学中选名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与 节的问题有什么联系与区别？在 节问题的种选法中，
47、存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”种不同顺序的选法，我们可以将它看成是先选出甲、乙名同学，然后再分配上午和下午而得到的同样，先选出甲、丙或乙、丙，再分配上午和下午也都各有种方法而从甲、乙、丙名同学中选名去参加一项活动，就只需考虑将选出的名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序于是，在 节问题的种选法中，将选出的名同学作为一组的选法就只有如下种情况：甲乙，甲丙，乙丙将具体背景舍去，上述问题可以概括为：从个不同元素中取出个元素作为一组，一共有多少个不同的组？这就是我们要研究的问题一般地，从狀个不同元素中取出犿（犿狀）个元素作为一组，叫做从狀个不同元素中取出犿个元素的一个组合（）你能说一说排列与
48、组合之间的联系与区别吗？从排列与组合的定义可以知道，两者都是从狀个不同元素中取出犿（犿狀）个元素，这是它们的共同点但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的例如，在上述探究问题中，“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，不同的排列这样，以“元素相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之间的对应关系，如图 所示图 第六章计数原理由此，节问题的个排列可以分成每组有个不同排列的个组，也就是上面探究问题的个组合校门口停放着辆共享自行车，下面的问题是排列问题，还是
49、组合问题？（）从中选辆，有多少种不同的方法？（）从中选辆给位同学，有多少种不同的方法？例平面内有犃，犅，犆，犇共个点（）以其中个点为端点的有向线段共有多少条？（）以其中个点为端点的线段共有多少条？分析：（）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题；（）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合问题解：（）一条有向线段的两个端点要分起点和终点，以平面内个点中的个为端点的有向线段的条数，就是从个不同元素中取出个元素的排列数，即有向线段条数为 这 条有向线段分别为犃犅，犅犃，犃犆，犆犃，犃犇，犇犃，犅犆，犆犅，犅犇，犇犅，犆犇，犇犆（）由于不考虑两个端点
50、的顺序，因此将（）中端点相同、方向不同的条有向线段作为一条线段，就是以平面内个点中的个点为端点的线段的条数，共有如下条：犃犅，犃犆，犃犇，犅犆，犅犇，犆犇利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例（）中排列和（）中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？甲、乙、丙、丁支足球队举行单循环赛（）列出所有各场比赛的双方；（）列出所有冠、亚军的可能情况 已知平面内犃，犅，犆，犇这个点中任何个点都不在一条直线上，写出以其中任意个点为顶点的所有三角形 第六章计数原理 现有，这个数（）从这个数中任取个相加，可以得到多少个不相等的和？（）从这个数中