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1、必 修数学第三册必 修普 通 高 中 教 科 书普通高中教科书数学B版第三册SHUXUEPUTONG GAOZHONG JIAOKESHU绿 色 印 刷 产 品 定价：元未命名-2 119-8-9 下午3:46普通高中教科书数学第三册必 修北京人民教育出版社 课程教材研究所中 学 数 学 教 材 实 验 研 究 组编著B版02高中物理必修第一册普通高中教科书 数学（B 版）必修 第三册人民教育出版社 课程教材研究所中 学 数 学 教 材 实 验 研 究 组 编著出网版（北京市海淀区中关村南大街 17 号院 1 号楼 邮编：100081）址 http:/版权所有未经许可不得采用任何方式擅自复制或
2、使用本产品任何部分违者必究如发现内容质量问题，请登录中小学教材意见反馈平台：如发现印、装质量问题，影响阅读，请与 联系调换。电话：-主 编：高存明副 主 编：王殿军 朱志勇 龙正武本册主编：闻 岩 黄 铎其他编者：王光明 王旭刚 李 梁 杨凤文 高雪松 曹春雷书 书 书前言?人们喜欢音乐，是因为它拥有优美和谐的旋律；人们喜欢美术，是因为它描绘了人和自然的美；人们喜欢数学，是因为它用空间形式和数量关系刻画了自然界和人类社会的内在规律，用简洁、优美的公式与定理揭示了世界的本质，用严谨的语言和逻辑梳理了人们的思维我国著名数学家华罗庚先生曾经指出：数学是一切科学的得力助手和工具；任何一门科学缺少了数学
3、这一工具便不能确切地刻画出客观事物变化的状态，更不能从已知数据推出未知的数据来，因而就减少了科学预见的可能性，或者减弱了科学预见的准确度事实上，任何一项现代科学技术的出现与发展，背后都一定有数学知识的支撑互联网的普及、共享经济的繁荣、网络支付的便利、物联网的兴起、人工智能的发展、大数据的应用，离开了数学知识都是不可能的！并且，现代生活中，类似“逻辑”“函数”“命题”“线性增长”“指数增长”“概率”“相关性”等数学术语，在政府文件、新闻报道中比比皆是正如普通高中数学课程标准（年版）（以下简称“课程标准”）所指出的：数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用数学
4、素养是现代社会每一个人应该具备的基本素养高中生学习必需的数学知识，能为自身的可持续发展和终身学习奠定基础为了帮助广大高中生更好地学习相关数学知识，我们按照课程标准的要求编写了这套高中数学教材在编写过程中，我们着重做了以下几项工作?教材在选取内容的背景素材时，力图从学生熟悉的情境出发，着力体现时代特征，并为学生的成长提供支撑例如，以下内容在本套教材中都有所体现：利用数学知识破解魔术的“秘密”，用生活中的例子说明学习逻辑知识以及理性思考的重要性，从数学角度理解报刊上有关人工智能、新兴媒体等报道中出现的“线性增长”“爆炸式增长”等名词教材中还提到了“网络搜索”“人工智能”“自主招生”“环境保护”“大
5、数据”“按揭贷款”“电子商务”“创业创新”等我们相信，这些能引起大家的共鸣此外，教材中多处出现了借助现代信息技术学习数学知识的内容，包括怎样借助数学软件解方程、不等式，怎样借助信息技术呈现统计结果、展示模拟过程，等等在体现时代特征的同时，我们也特别注重对中华优秀传统文化的展示例如，教材中精选了多道我国古代数学名题，启发大家从数学角度去理解“失败乃成功之母”“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”等语句的含义，呈现了与二十四节气、古典诗词等有关的调查数据，介绍了九章算术在代数上的成就以及我国古代的统计工作，等等?在教材编写过程中，编者认真学习和讨论了当前教育学、心理学等学科的先进理念，并通过改变教材呈现方式来
6、加以体现，力图真正做到“以学习者为中心”前言例如，教材每一章都引用了一段名人名言，旨在为大家的数学学习提供参考和指引；通过“情境与问题”栏目，展示相关数学知识在现实生活等情境中的应用；利用“尝试与发现”栏目，鼓励大家大胆尝试，并在此基础上进行猜想、归纳与总结；通过填空的方式，培养大家学习数学的信心；选择与内容紧密联系的专题，设置拓展阅读，以拓宽大家的知识面，了解数学应用的广泛性；等等?数学学习必须循序渐进是一种共识基础不扎实是很多人学不好数学的重要原因，本套教材在编写时特别考虑了这一点事实上，教材一方面按照课程标准的要求，讲解和复习了高中数学必备的集合、等式、不等式等内容；另一方面，在呈现新知
7、识时，教材注重从已有知识出发，在回顾的基础上通过实际例子逐步引入，尽力展现新旧知识的联系，以达到温故知新的效果例如，教材在复习了变量以及初中函数概念的基础上介绍了函数中的对应关系，在回顾了整数指数幂、二次根式等后引入了分数指数幂，等等正因为如此，即使是初中数学基础比较薄弱的同学，使用本套教材也能顺利地进行学习，并最终达到理想的效果这在本套教材试教过程中已得到印证?数学知识具有客观性，但数学知识的理解有多种方式与途径揭示内容本质，培养大家对数学内容的直观理解，是我们编写本套教材时特别注意的方面之一首先，教材内容的安排突出主线，强调“通性通法”例如，多次强调了配方法的使用，自始至终贯彻函数的研究应
8、从特殊到一般、从性质到图象，等等其次，尽量自然地引入新内容或新方法例如，通过实例说明学习中位数、百分位数的必要性，通过对比说明用样本估计总体的合理性，等等最后，注重培养大家的数学学科核心素养课程标准提出的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，在教材中都得到了落实仅以数学抽象为例，教材处处强调了自然语言与符号语言之间的相互转化等总的来说，“引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”并不容易为此，我们在编写教材时做了很多新的尝试，力图给大家提供一套有时代特色、易教易学的数学教材，以帮助大家学习本书是这套教材必修部分的第三册，呈现了三角函数、向量
9、的数量积与三角恒等变换的内容通过本书的目录与每章的“本章导语”，可以大致了解本书的全貌，这里不再重复由于编写时间有限等原因，书中难免会有疏漏之处，敬请大家多提宝贵意见，以使教材日臻完善编者 年月目录?任意角的概念与弧度制 角的推广 弧度制及其与角度制的换算 任意角的三角函数 三角函数的定义 单位圆与三角函数线 同角三角函数的基本关系式 诱导公式 三角函数的性质与图象 正弦函数的性质与图象 正弦型函数的性质与图象 余弦函数的性质与图象 正切函数的性质与图象 已知三角函数值求角 数学建模活动：周期现象的描述 本章小结 目录?向量的数量积 向量数量积的概念 向量数量积的运算律 向量数量积的坐标运算
10、三角恒等变换 两角和与差的余弦 两角和与差的正弦、正切 倍角公式 三角恒等变换的应用 本章小结 櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷?更多三角函数及关系式 向量的数量积与三角形的面积 正弦型函数与信号处理 我们已经知道，利用前面学过的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等，可以描述多种类型的运动或变化规律不过，对于周期性运动或变化来说，虽然我们很熟悉，而且也知道怎样进行简单描述，但是，系统刻画周期性运动或变化的知识，我们还没有完整地学习过AB图例如，被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建造、桥轮合一的摩天轮，直径为 ，
11、如图所示如果“天津之眼”每 转动一周，而且假设是匀速转动，摩天轮的半径犃犅在狋 内转过的角为狔度，则狔 狋 狋如果设摩天轮圆周上的点犅离地面的高度为犺，那么犺与狋之间的函数关系怎样表示呢？这需要借助本章我们即将学习的三角函数知识才能完成需要说明的是，我们根据摩天轮提出来的问题并不是“没事找事”，类似的问题在工程中有着重要的应用例如，人们经常要将直线运动与圆周运动进行相互转化图的发动机示意图中，活塞的直线运动就要转化为圆周运动才能方便利用EOCBFA图图类似的情况可以用图来示意，其中犃犅是直杆，端点犅固定在圆犗的圆周上，当端点犃沿线段犈犉运动时，犗犅绕点犗旋转此时犅犆的变化规律与端点犃的运动规律
12、有关本章我们首先对角的概念进行推广，然后介绍任意角的正弦、余弦和正切，最后学习三角函数的性质，并初步了解怎样用三角函数描述周期性运动或变化 任意角的概念与弧度制?7.1.1+120bOBA图 在小学和初中，我们把有公共端点的两条射线组成的图形称为角，这个公共端点称为角的顶点，这两条射线称为角的边同时我们还知道，角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形例如，图 所示的大小为 的角，用以前的观点来看，既可以认为是犗犃旋转到犗犅所形成的，也可以认为是犗犅旋转到犗犃所形成的我们以前所学过的角，大小一般不会超过一个周角（）的大小图 如图 所示，当摩天轮在持续不断地转动时，（
13、）摩天轮所转过的角度大小是否会超过？（）如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如果不同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗？从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广吗？显然，上述情境中，只要时间足够长，摩天轮所转过的角的大小会超过 而且，甲、乙两人所观察到的摩天轮旋转方向相反：如果其中一人观察到的是逆时针旋转，则另一人观察到的是顺时针旋转由于相反意义的量可以用正负数表示，因此不难想到这种不同可以用正负号来区分 第七章三角函数由此就可以将角的概念进行推广：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边射线的旋转有两个
14、相反的方向：顺时针方向和逆时针方向习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角称为正角；按照顺时针方向旋转而成的角称为负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，称为零角这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转的绝对量可以是任意的因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、零角也就是说，角的大小是任意的由此，我们把角的概念推广到了任意角作图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量如图 （）（）表示的两个转角中，射线犗犃绕端点犗旋转到犗犅时，旋转的绝对量都超过了一个周角的大小，按照图中箭头所指的
15、旋转方向和弧线所表示的周数，可知 ，OBAOBA?图 A(角的概念推广之后，利用转角给出 与 的几何意义利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义例如，对于 来说，如图 （）所示，射线犗犃逆时针方向旋转到犗犅所形成的角为 ，犗犅逆时针方向旋转到犗犆所形成的角为 ，则犗犃逆时针方向旋转到犗犆所形成的角为 60b90b150bOBAC60b90b?30bOBAC图 均指绕端点犗旋转，下同 任意角的概念与弧度制 类似地，如图 （）所示，射线犗犃逆时针方向旋转到犗犅所形成的角为 ，犗犅顺时针方向旋转到犗犆所形成的角为 ，则犗犃逆时针方向旋转到犗犆所形成的角为 AK为了方便起见，通常将角放在平面直角坐
16、标系中来讨论，并约定：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在狓轴的正半轴上这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限例如，图 （）中的 ，角都是第一象限角；图 （）中的 角是第象限角，角是第三象限角，角是第象限角，角不是象限角，其终边在狔轴的负半轴上45b315b405bOxy126b60b210bOxy90b图 A(图 （）中三个角的终边相同那么，终边相同的角有没有一个共同的表示方法呢？一般地，角犽 （犽犣）与角的终边相同，这只需把犽 看成逆时针或者顺时针方向旋转若干周即可任意两个终边相同的角，它们的差一定是 的整数倍因此，所有与终边相同的
17、角组成一个集合，这个集合可记为犛犽 ，犽犣即集合犛的每一个元素的终边都与的终边相同，犽时对应元素为 第七章三角函数90b90bOxy180bADCB图 如图 所示，已知角的终边为射线犗犃，分别作出角 ，的终边 由角的定义可知，把角的终边犗犃逆时针方向旋转 可得角 的终边犗犅，把角的终边犗犃顺时针方向旋转 可得角 的终边犗犆，把角的终边犗犃逆时针方向旋转可得角 的终边犗犇，如图 所示分别写出与下列各角终边相同的角的集合犛，并把犛中满足不等式 的元素写出来（）；（）（）犛 犽 ，犽犣解不等式 犽 ，得犽，所以犽可取，或因此犛中满足 的元素是 （），（）犛 犽 ，犽犣解不等式 犽 ，得 犽 ，所以犽
18、可取因此犛中满足 的元素是 ，写出终边在第一象限内的角的集合 因为大于 且小于 的角的终边一定在第一象限，而且如果一个角的终边在第一象限，那么这个角的终边一定与大于 且小于 的某个角的终边相同，因此终边在第一象限内的角的集合为犽 犽 ，犽犣写出终边在狓轴上的角的集合 在 内，终边在狓轴上的角有两个，即 和 ，与这两个角终边相同的角组成的集合依次为本书中，在表示角的范围时，我们约定 的角指的是 任意角的概念与弧度制 犛犽 ，犽犣，犛 犽 ，犽犣为简便起见，我们把集合犛和犛的表示方法改为犛犽 ，犽犣，犛（犽），犽犣，因为犿犿犽，犽犣犿犿犽，犽犣犣，所以犛犛犛犿 ，犿犣，即集合犛是终边在狓轴上的角的
19、集合例的结果也可从直观上来理解：零角的终边在狓轴上，零角的终边旋转 ，（），终边仍会落在狓轴上于是，可以直接写出终边在狓轴上的角的集合为犽 ，犽犣#?求下列各式的值，并作图说明运算的几何意义（）（）；（）；（）?在平面直角坐标系中作下列各角的终边（）；（）?在 内，找出与下列各角终边相同的角，并说明它们所在的象限（）；（）；（）?分别写出与下列各角终边相同的角的集合犛，并把犛中满足不等式 的元素写出来（）；（）；（）?判断以下说法是否正确（均指在平面直角坐标系中，始边在狓轴正半轴上）（）第一象限角一定是锐角；（）终边相同的角一定相等；（）小于 的角一定是锐角；（）钝角的终边在第二象限?分别写出
20、终边在狔轴正半轴、狔轴负半轴和狔轴上的角的集合?分别写出终边在直线狔狓上和终边在直线狔狓上的角的集合?在平面直角坐标系中，集合犛犽 ，犽犣中的元素所表示的角的终边在哪些位置？?分别写出终边在第二、第三、第四象限的角的集合?今天是星期一，那么从明天算起，第犽（犽犖）天是星期几？第 天是星期几？如果是第二象限角，则是第几象限角？第七章三角函数二四 ，或7.1.2在日常生活以及各学科中，一个量可用不同的标准来度量，从而也就有了不同的单位以及单位之间的换算例如，长度既可以用米、厘米来度量，也可以用尺、寸来度量；面积可以用平方米来度量，也可以用亩来度量类似地，角除了使用角度来度量外，还可以使用本小节我们
21、要学习的弧度来度量使用角度来度量角时，是把圆周等分成 份，其中每一份所对应的圆心角为度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制角度制还规定度等于 分，分等于 秒，即 ，使用角度来度量角，其关键是“等分”考虑到面积、体积等都可以通过线的长度来刻画，那么，能否用“测量长度”来代替“等分”，从而引进另外一种度量角的制度呢？图 如图 是一种折叠扇折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由此你能想到度量角的其他办法吗？将折叠扇抽象为如图 （）所示的图形，可以看出，弧犃犅与弧犃 犅 都与角对应，但 时，它们的弧长犃犅与犃 犅 始终不
22、相等，其原因在于犗犃犗犃 任意角的概念与弧度制 OBAAB llPOBAAB 图 一般地，如果角是由射线犗犘绕它的端点旋转形成的，如图 （）所示，则在旋转的过程中，射线上的任意一点（端点除外）必然形成一条圆弧，不同的点所形成的圆弧长度不同，但这些圆弧都对应同一个角可以猜想，这些弧的长与弧所在圆的半径的比值是一个常数，即犃犅犗犃犃 犅 犗犃 定值事实上，设狀，弧犃犅的长为犾，半径犗犃狉，则犾狀 狉，因此犾狉狀 这个等式右端不包含半径，这表示弧长比半径的值不依赖于半径，而只与的大小有关我们称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数因此，OBArr图 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为弧度的角，记作
23、 如图 所示，因为犃犅的长等于半径狉，所以犃犅所对的圆心角犃犗犅就是弧度的角如前所述，这样规定出来的弧度的角大小是完全确定的，这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制由弧度制的定义可知，在半径为狉的圆中，若弧长为犾的弧所对的圆心角为 ，则犾狉由此也可得到犾，即弧长等于其所对应的圆心角的弧度数与半径的积今后我们在用弧度制表示角时，“弧度”二字或 可以略去不写，而只写这个角对应的弧度数例如，表示是 的角；表示 的角的正弦弧度制与角度制的区别是什么？请查阅资料，思考一下引入弧度制的意义是什么 第七章三角函数+0A(（）按照定义，一个周角对应的弧度数应是多少？（）一般地，弧度制与角度制之间怎样进行换算
24、？因为半径为狉的圆周长为 狉，所以周角的弧度数是 狉狉，于是 ，因此 由此容易得到弧度制与角度制的换算公式：设一个角的角度数为狀，弧度数为，则狀 由此不难知道，角就是 角，它的终边在狓轴的正半轴上；角就是 角，它的终边在狔轴的正半轴上；角就是 角，它的终边在狓轴的负半轴上；角就是 角，它的终边在狔轴的负半轴上OxyABC634图 把 ，化成弧度（用表示），并在平面直角坐标系中作出它们的终边 设 角的弧度数为，则 ，所以，即 ，对应的角的终边为图 中的射线犗犃类似地，有 ，它们的终边分别为 中的射线犗犅，犗犆因为 ，所以例说明，的角比 小把 化成角度数 设 狀，则狀 ，因此狀 ，即 任意角的概念
25、与弧度制 利用弧度制推导扇形的面积公式犛犾 狉其中犾是扇形的弧长，狉是扇形的半径 设扇形的圆心角为 ，则扇形的面积为犛 狉 狉又因为犾 狉，所以犛犾 狉*E=+0科学计算器中，一般都内置有角度制与弧度制互相换算的功能，但是操作步骤等与计算器的型号有关，这里不再详述很多计算机软件中，默认度量角度的单位是弧度例如，如果在 的某个单元格中输入“（）”，得到的不是 的值，如图 所示图 图 在 中，从“选项”菜单中单击“高级”之后，可以设定角的单位，如图 所示?填表（弧度数用含的代数式表示），并在平面直角坐标系中作出角的终边度 弧度?把下列各角度化为弧度（用含的代数式表示）（）；（）；（）；（）；（）；
26、（）把扇形的面积公式与三角形的面积公式进行对比，你能得到什么启发？第七章三角函数#0 =0 radbb30=rad240=radb210=radb180=radb150=radb120=radb90=rad2b60=radb330=radb300=radb270=rad32b（第题）?把下列各弧度化为角度（）；（）；（）；（）；（）；（）?时间经过，时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？?已知圆的半径为，分别求 ，的圆心角所对的弧长?在下图中填入适当的值?分别写出下列各角所在象限（）；（）；（）?已知半径为 的圆上的一条弧长为 ，求此弧所对圆心角的弧度数与角度数?把下列各角化为 的角加上犽（
27、犽犣）的形式，并指出它们所在的象限（）；（）；（）；（）?一条弦的长度等于半径，这条弦所对的圆心角是多少弧度？?在半径为的扇形中，圆心角为 ，求扇形的面积?使用计算器或计算机软件，把下列各角度化为弧度，把弧度化为角度（精确到 ）（），；（），?写出由一个角的弧度数计算这个角的角度数的算法，并使用软件去实践 狉 任意角的概念与弧度制?在平面直角坐标系中，角，的终边分别经过点犘（，），犘（，），犘（，），犘（，），则，分别是第几象限角？?角 和 分别是第几象限角？分别写出与它们终边相同的角的集合（第题）?把下列各角度化为弧度，并写成 的角加上犽（犽犣）的形式（）；（）；（）?航海罗盘将圆周 等分，
28、如图所示，把其中每一份所对圆心角的大小分别用角度和弧度表示出来?要在半径犗犃 的圆形板上，沿半径犗犃，犗犅截取一块扇形板，使弧犃犅的长为 ，则截取的圆心角犃犗犅的度数是多少（精确到）？#?已知 的圆心角所对的弧长为，则这个圆的半径是多少？?当时钟显示时、时和时的时候，把时针作为角的始边，写出分针与时针所成角的大小?某飞轮直径为，每分钟按照逆时针方向旋转 圈，求（）飞轮每分钟转过的弧度数；（）飞轮圆周上的一点每秒钟经过的弧长?用弧度制分别写出第一、二、三、四象限角的集合?在平面直角坐标系中，集合犛犽，犽犣的元素所表示的角的终边在哪些位置？第七章三角函数?7.2.1+A(初中的时候我们学过，在一个
29、直角三角形中，如果锐角的对边为犪，邻边为犫，斜边为犮，则有 犪犮，犫犮，当是一个锐角时，上述正弦、余弦与正切，能否通过终边上的点的坐标来定义呢？这种定义的方式能否推广到任意角？当是锐角时，它的终边在第一象限内如图 所示，在终边上任取一个不同于坐标原点的点犘（狓，狔），作犘犕垂直犗狓于点犕，记狉狓狔槡，则犗犕犘是一个直角三角形，且犗犕狓，犘犕狔，犗犘狉，由此可知 犘犕犗犘狔狉，犗犕犗犘狓狉，犘犕犗犕狔狓OxyP(xy)MOxyP(xy),4E图 图 可以看出，任意角的正弦、余弦与正切可以用类似的方式定义如图 所示，对于任意角来说，设犘（狓，狔）是终边上异于原点的任意一 任意角的三角函数 点，狉狓
30、狔槡，则由三角形相似的知识可知狔狉与狓狉跟犘在终边上的位置无关，只与角终边的位置有关一般地，称狔狉为角的正弦，记作 ；称狓狉为角的余弦，记作 因此 狔狉，狓狉当角的终边不在狔轴上时，同样可知狔狓与点犘在终边上的位置无关，此时称狔狓为角的正切，记作 ，即 狔狓由上可知，对于每一个角，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应；当（犽犣）时，有唯一的正切与之对应角的正弦、余弦与正切，都称为的三角函数已知角的终边经过点犘（，），求 ，和 设狓，狔，则狉狓狔槡（）槡槡 于是 狔狉槡 槡 ，狓狉槡 槡 ，求下列各角的正弦、余弦和正切（）；（）；（）（）角的终边在狓轴正半轴上，在狓轴的正半轴上取点（，），所以狉 槡
31、，因此 ，（）角的终边在狓轴负半轴上，在狓轴的负半轴上取点（，），所以狉（）槡，因此 ，（）角 的终边在狔轴负半轴上，在狔轴的负半轴上取点（，），所以狉（）槡，因此 第七章三角函数 ，不存在OxyMP 56图 求 的正弦、余弦和正切 如图 所示，在 的终边上取点犘，使得犗犘作犘犕犗狓，则在 犗犕犘中，犘犗犕 因此犕犘，犗犕槡，从而可知犘的坐标为（槡，），因此 ，AK+0A(从定义与实例都可以看出，任意角的正弦、余弦与正切，都既有可能是正数，也有可能是负数，还可能为它们的符号与什么有关？试总结出任意角的正弦、余弦与正切符号的规律如果犘（狓，狔）是终边上异于原点的任意一点，狉狓狔槡，则 狔狉，由狉
32、可知，的正负与终边上点的纵坐标的符号相同，所以，当且仅当的终边在第一、二象限，或狔轴正半轴上时，；当且仅当的终边在第三、四象限，或狔轴负半轴上时，用类似方法可以得到：当且仅当的终边在第一、四象限，或狓轴正半轴上时，；当且仅当的终边在第二、三象限，或狓轴负半轴上时，当且仅当的终边在第一、三象限时，；当且仅当的终边在第二、四象限时，以上结果可用图 直观表示Oxy?Oxy?Oxy?cos?sin?tan?图 任意角的三角函数 确定下列各值的符号（）；（）（）；（）（）；（）（）因为 是第三象限角，所以 （）因为是第四象限角，所以 （）（）由 （），可知 是第一象限角，所以 （）（）由 ，可知 是第三
33、象限角，所以 设 且 ，确定是第几象限角 因为 ，所以的终边在第三、四象限，或狔轴负半轴上；又因为 ，所以的终边在第一、三象限因此满足 且 的是第三象限角?分别根据下列条件，求各角的正弦、余弦和正切（）已知角的终边经过点犘，槡（）；（）已知角的终边经过点犙槡，槡（）；（）已知角的终边经过点犕（，）?求角的正弦和余弦?填写下表角 的弧度数?确定下列各值的符号（）；（）；（）（）；第七章三角函数#（）（）；（）（）；（）?填空（）如果 ，且 ，则是第象限角；（）如果 ，且 ，则是第象限角；（）如果 ，且 ，则是第象限角；（）如果 ，且 ，则是第象限角?已知 ，槡，求的终边与以原点为圆心、为半径的圆
34、的交点坐标?设是三角形的一个内角，在 ，中，哪些有可能是负值？?根据下列条件，确定是第几象限角（）与 异号；（）与 同号；（）与 异号；（）与 同号?已知犘（狓，）在角的终边上，而且 狓，求狓和 的值?已知角的终边在直线狔狓上，求 ，的值犪犫犽狔狓 槡 槡 7.2.2 33A(我们已经知道，如果犘（狓，狔）是终边上异于原点的任意一点，狉狓狔槡，则 狔狉，狓狉如果选取的犘点坐标满足狓狔，则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？由此你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗？任意角的三角函数 不难看出，如果狓狔，则 狔，因为狓狔可以化为（狓）（狔）槡，因此犘（狓，狔）到原点（，）的距离为一般地，在平面直
35、角坐标系中，坐标满足狓狔的点组成的集合称为单位圆因此，如果角的终边与单位圆的交点为犘，则犘的坐标为（，）这就是说，角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标OxyP,4E,4EMSN图 如图 所示，如果过角终边与单位圆的交点犘作狓轴的垂线，垂足为犕，则犗犕 可以直观地表示 ：犗犕 的方向与狓轴的正方向相同时，表示 是正数，且 犗犕；犗犕 的方向与狓轴的正方向相反时，表示 是负数，且 犗犕 习惯上，称犗犕 为角的余弦线类似地，图 中的犕犘 可以直观地表示 ，因此称犕犘 为角的正弦线利用角的正弦线和余弦线，可以直观地看出角的正弦和余弦的信息例如图 中，角的余弦线是犗犖，正弦线是犖犛，
36、由此可看出 ，而且还可以看出 类似地，可知 3A(我们已经知道，如果的终边不在狔轴上，且犘（狓，狔）是终边上异于原点的任意一点，则 狔狓你能仿照前面的方法给出正切的一个直观表示吗？可以看出，如果取坐标满足狓的点犘，则 狔因为狓在平面直角坐标系中表示的是垂直于狓轴且过犃（，）的直线犾，所以如果角 第七章三角函数OxyT,4E,4EAS1图 的终边与直线犾的交点为犘（，狔），则 如图 所示，设角的终边与直线狓交于点犜，则犃犜 可以直观地表示 ，因此犃犜 称为角的正切线不难看出，当角的终边在第二、三象限或狓轴的负半轴上时，终边与直线狓没有交点，但终边的反向延长线与狓有交点，而且交点的纵坐标也正好是角
37、的正切值因此图 中角的正切线为犃犛，而且从图中可以看出 ，这就是说，角的正切等于角终边或其反向延长线与直线狓的交点的纵坐标正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线作出 和的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出它们的正弦、余弦和正切OxyPMSNTAR 56 4图 如图 所示，在平面直角坐标系中作出单位圆以及直线狓，单位圆与狓轴交于点犃（，）作 的终边与单位圆的交点犘，过犘作狓轴的垂线，垂足为犕；延长线段犘犗，交直线狓于犜，则 的正弦线为犕犘，余弦线为犗犕，正切线为犃犜 类似可得到的正弦线为犖犚，余弦线为犗犖，正切线为犃犛 在图 中，根据直角三角形的知识可知，犕犘，犗犕槡，犃犜槡，犗犖犖犚
38、槡，犃犛，所以 ，；槡，任意角的三角函数 将图 （）所示的摩天轮抽象成图 （）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为狓轴，建立平面直角坐标系设犗到地面的高犗犜为犾，点犘为转轮边缘上任意一点，转轮半径犗犘为狉记以犗犘为终边的角为 ，点犘离地面的高度为犺，试用犾，狉与表示犺OxyPMT图 过点犘作狓轴的垂线，垂足为犕，则：当的终边在第一、二象限或狔轴正半轴上时，犕犘狉 ，此时犺犗犜犕犘犾狉 ；当的终边在第三、四象限或狔轴负半轴上时，因为 ，所以犕犘狉 ，此时犺犗犜犕犘犾狉 ；当的终边在狓轴上时，此时犺犗犜犾狉 所以，不管的终边在何处，都有犺如果一个角大小为狓 且狓，那么狓，狓，狓都
39、是实数请你给出狓的一个具体值，比较这个实数的大小然后想一想，你得到的大小关系是否对区间，（）上的任意狓都成立?分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线（）；（）第七章三角函数#?利用三角函数线写出 ，和 的值?已知，利用正弦线比较 和 的大小?已知，利用正弦线和余弦线比较 和 的大小?以为单位长度作单位圆，分别作出 ，角的正弦线、余弦线和正切线，量出它们的长度，写出这些角的正弦、余弦和正切的近似值，再使用科学计算器求这些角的正弦、余弦和正切，并进行比较?分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线，并利用它们求出各角的正弦、余弦和正切（）；（）?利用正弦线指出 的最大值，并指出为何值时 取得最大值
40、?设是第一象限角，作的正弦线、余弦线和正切线，由图证明下列各等式（）；（）如果是第二、三、四象限角，以上等式仍然成立吗？狓 狔 槡 槡 犾狉 7.2.3A(同一个角的正弦、余弦、正切之间有什么关系？我们已经知道，如果犘（狓，狔）是终边上不同于坐标原点的点，记狉狓狔槡，则 狔狉，狓狉，狔狓 任意角的三角函数 由此可看出 ，这两个关系式也可以从三角函数线得到，一般被称为同角三角函数的基本关系式已知 ，且是第二象限角，求角的余弦和正切 由 ，得 ，所以 因为是第二象限角，所以 槡，已知 槡，且是第二象限角，求角的正弦和余弦 我们把 和 看成两个未知数，这样只要列出关于 和 的两个独立的关系式，通过解
41、关于这两个未知数的联立方程组，就可以求出 和 由题意和同角三角函数的基本关系式，有 ，槡 烅烄烆由得 槡 ，代入整理得 ，所以 因为是第二象限角，所以 ，代入式得 槡 （槡）槡（）槡 已知 槡，求 的值 由题意和同角三角函数的基本关系式，有 槡，烅烄烆消去 ，得 槡 ，解得 第七章三角函数 槡 或 槡 当 槡 时，可得 ，此时 ；当 槡 时，可得 ，此时 化简 原式 （）求证：（）；（）；（）A(怎样证明一个恒等式？你能给出上面这些恒等式的证明过程吗？（）原式左边（）（）（）右边，因此 （）原式右边 （）左边，因此 （）（方法一）因为 （）（）（），所以 （方法二）由题知 ，因而 ，即 从而
42、任意角的三角函数 原式左边 （）（）（）（）（）右边，因此 从例可以看出：证明一个三角恒等式，可以从它的任意一边开始，推出它等于另一边；也可以用作差法，证明等式两边之差等于零；还可以先证得另一个等式成立，并由此推出需要证明的等式成立KA更多三角函数及关系式除了正弦、余弦与正切之外，在工程、机械等学科中，还经常要用到角的更多三角函数事实上，如果犘（狓，狔）是终边上不同于坐标原点的任意一点，记狉狓狔槡，则狉，此时（）称狉狓为的正割，记作 ，即 狉狓；（）称狉狔为的余割，记作 ，即 狉狔；（）称狓狔为的余切，记作 ，即 狓狔由上述定义可知，当的终边在狔轴上时，没有意义；当的终边在狓轴上时，没有意义同
43、样地，我们可以借助向量得到正割线、余割线、余切线等三角函数线，请感兴趣的读者自己探讨正割、余割、余切也称为角的三角函数，从上述定义可以看出，在各三角函数都有意义的前提下，它们实际上分别是余弦、正弦和正切的倒数，即 ，另外，由于 ，因此 类似地，还能得到 习惯上，人们经常借助如下页图所示的六边形图形来记忆三角函数的基本关系式以及上述三角函数关系式：图中六边形的每一条红色对角线上的两个元素之积为，即 ，第七章三角函数 sincostan1cotseccsc每一个倒立的绿色正三角形中，上方两个顶点元素的平方和等于下方顶点元素的平方，即 等你能从图中发现更多的关系吗？尝试一下吧！#?求解下列各题（）已
44、知 ，且为第一象限角，求 ，；（）已知 ，且为第三象限角，求 ，；（）已知 ，且为第四象限角，求 ，；（）已知 ，且为第二象限角，求 ，?化简（）；（）（）（）?求证：（）；（）?化简（）（）；（）?已知 ，求 的值?已知 ，求 和?已知 ，求下列各式的值（）；（）；（）；（）任意角的三角函数?已知 ，求 和?化简（）；（）（）?求证：（）槡 槡 槡 7.2.4在初中，我们已经知道一些锐角的三角函数值及它们之间的一些关系，例如，槡，槡 这里我们将研究任意角的三角函数值之间的一些特殊关系如果已知 犿，你能用犿表示出 ，（），吗？你还能用犿表示出更多角的三角函数值吗？情境中的问题，与本小节所要学习
45、的诱导公式有关+ke2(kZ)+K+2A(对于任意一个角来说，与犽（犽犣）的终边有什么关系？由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？第七章三角函数我们知道，一个角的三角函数值由它终边上的点决定，由此可知，终边相同的角，同名三角函数值相等（“同名”指同是正弦、余弦或正切，下同）不难看出，与犽（犽犣）的终边相同，所以当犽为整数时，有 （犽），（犽），（犽）利用上述公式，我们可以把绝对值大于 的任意角的三角函数值问题转化为 角的同名三角函数值问题例如，（）求下列各值（）；（）；（）（）（）（）（）（）（）+D/OxyA +BC图 如图 所示，假设角的终边是犗犃，射线犗犅和犗犆关于犗犃对称，犃
46、犗犅，那么射线犗犅是角的终边，射线犗犆是角的终边由此我们可知，角的终边和角的终边关于角的终边所在的直线对称一般地，角的终边和角的终边关于角的终边所在的直线对称例如，和的终边关于角（）的终边所在的直线（即狓轴）对称；和的终边关于角（）的终边所在的直线（即狔轴）对称；和的终边关于角（）的终边所在的直线（即直线狔狓）对称 任意角的三角函数 +K+2A(对于任意一个角来说，与的终边有什么关系？由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？OxyP,4E,4EMPTAS图 如图 所示，设和的终边与单位圆分别交于犘和犘，则犘（，），犘（），（）又由和的终边关于角的终边（即狓轴的正半轴）所在的直线对称可知
47、，犘和犘 关于狓轴对称，因此 （），（），（）这一结论也可从和的三角函数线之间的关系看出，请读者参考图 自己完成利用公式，我们可以用正角的三角函数值表示负角的三角函数值例如，（）求下列各值（）（）；（）（）；（）（）；（）（）（）（）（）（）槡（）（）槡（）（）（）槡 第七章三角函数+K+2A(对于任意一个角来说，与的终边有什么关系？由此你能得到它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？OxyP,4EMPTAS,4EN图 如图 所示，设和的终边与单位圆分别交于犘和犘，则犘（，），犘（），（）又由和的终边关于角的终边所在的直线对称可知，犘和犘 关于狔轴对称，因此 （），（），（）这一结论也可从和的三角
48、函数线之间的关系看出，请读者参考图 自己完成例如，（）另外，由公式，我们可证明 （），（），（）这是因为 （）（）（）其余两式的证明请读者自己完成求下列各值（）；（）；（）（）（）（）（）槡 任意角的三角函数 （）（）（）槡 求下列各值（）；（）（）；（）（）（）槡（）（）（）槡（）（）槡 化简 （）（）（）（）（）原式 （）（）（）（）（）（）（）（）+K+22A(图 在初中，我们已经知道两个锐角之和为 时正弦和余弦之间的关系如图 所示，因为与中，与一个角相邻的直角边是另一个角相对的直角边，所以 ，那么，这一关系式对任意角是否也成立呢？你能通过考察与的终边之间的关系来得出一般结论吗？OxyP
49、,4EMPN,4E2图 如图 所示，设和的终边与单位圆分别交于犘和犘，则犘（，），犘 （），（）（）第七章三角函数又由和的终边关于角的终边所在的直线对称可知，犘和犘 关于狔狓对称，因此 （），（）这一结论也可从和的三角函数线之间的关系看出，请读者参考图 自己完成K+2由公式，我们可证明 （），（）这是因为 （）（）（）另外一个式子可以用类似方法证明类似地，我们还可得到 （），（）（），（）的证明请读者自己完成公式都称为诱导公式利用诱导公式可以求三角函数式的值或化简三角函数式，诱导公式本身还反映了我们后面要学习的三角函数的性质 任意角的三角函数 希望同学们能够从角终边的对称性的角度理解并运用诱导
50、公式求下列各值（）；（）；（）（）（）（）槡（）（）（）（）（）（）槡 计算 （）的值 原式 （）（）（）化简 （）（）（）（）原式（）（）（）（）?求下列各值（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）?求下列各值（）（）；（）（）；（）（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）?将下列三角函数化为 角的三角函数（）；（）；（）；（）第七章三角函数#?将下列三角函数化为角的三角函数（）；（）?化简 （）（）（）（）（）?求下列各值（）；（）；（）；（）（）；（）（）；（）（）?证明：（）（）；（）（）?化简（）（）（）（）（）；（）（）（）（）（）（）；（）（）（）（）?计算下列各式的