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1、SHUXUEPUTONG GAOZHONG JIAOKESHU数学第一册必 修普 通 高 中 教 科 书必 修第一册普通高中教科书数学B版定价：元绿 色 印 刷 产 品 未命名-3 119-8-9 下午3:47第五章 抛体运动1普通高中教科书数学第一册必 修北京人民教育出版社 课程教材研究所中 学 数 学 教 材 实 验 研 究 组编著B版2高中物理必修第二册主 编：高存明副 主 编：王殿军 朱志勇 龙正武本册主编：张 鹤 李建才其他编者：韩小利 邵文武 吴中才 张晓东 李劲松 米大毅普通高中教科书 数学（B 版）必修 第一册人民教育出版社 课程教材研究所中 学 数 学 教 材 实 验 研 究
2、 组 编著出网版（北京市海淀区中关村南大街 17 号院 1 号楼 邮编：100081）址 http:/版权所有未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分违者必究如发现内容质量问题，请登录中小学教材意见反馈平台：如发现印、装质量问题，影响阅读，请与 联系调换。电话：-书 书 书前言?人们喜欢音乐，是因为它拥有优美和谐的旋律；人们喜欢美术，是因为它描绘了人和自然的美；人们喜欢数学，是因为它用空间形式和数量关系刻画了自然界和人类社会的内在规律，用简洁、优美的公式与定理揭示了世界的本质，用严谨的语言和逻辑梳理了人们的思维我国著名数学家华罗庚先生曾经指出：数学是一切科学的得力助手和工具；任何一
3、门科学缺少了数学这一工具便不能确切地刻画出客观事物变化的状态，更不能从已知数据推出未知的数据来，因而就减少了科学预见的可能性，或者减弱了科学预见的准确度事实上，任何一项现代科学技术的出现与发展，背后都一定有数学知识的支撑互联网的普及、共享经济的繁荣、网络支付的便利、物联网的兴起、人工智能的发展、大数据的应用，离开了数学知识都是不可能的！并且，现代生活中，类似“逻辑”“函数”“命题”“线性增长”“指数增长”“概率”“相关性”等数学术语，在政府文件、新闻报道中比比皆是正如普通高中数学课程标准（年版）（以下简称“课程标准”）所指出的：数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不
4、可替代的作用数学素养是现代社会每一个人应该具备的基本素养高中生学习必需的数学知识，能为自身的可持续发展和终身学习奠定基础为了帮助广大高中生更好地学习相关数学知识，我们按照课程标准的要求编写了这套高中数学教材在编写过程中，我们着重做了以下几项工作?教材在选取内容的背景素材时，力图从学生熟悉的情境出发，着力体现时代特征，并为学生的成长提供支撑例如，以下内容在本套教材中都有所体现：利用数学知识破解魔术的“秘密”，用生活中的例子说明学习逻辑知识以及理性思考的重要性，从数学角度理解报刊上有关人工智能、新兴媒体等报道中出现的“线性增长”“爆炸式增长”等名词教材中还提到了“网络搜索”“人工智能”“自主招生”
5、“环境保护”“大数据”“按揭贷款”“电子商务”“创业创新”等我们相信，这些能引起大家的共鸣此外，教材中多处出现了借助现代信息技术学习数学知识的内容，包括怎样借助数学软件解方程、不等式，怎样借助信息技术呈现统计结果、展示模拟过程，等等在体现时代特征的同时，我们也特别注重对中华优秀传统文化的展示例如，教材中精选了多道我国古代数学名题，启发大家从数学角度去理解“失败乃成功之母”“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”等语句的含义，呈现了与二十四节气、古典诗词等有关的调查数据，介绍了九章算术在代数上的成就以及我国古代的统计工作，等等?在教材编写过程中，编者认真学习和讨论了当前教育学、心理学等学科的先进理念，并通过改
6、变教材呈现方式来加以体现，力图真正做到“以学习者为中心”前言例如，教材每一章都引用了一段名人名言，旨在为大家的数学学习提供参考和指引；通过“情境与问题”栏目，展示相关数学知识在现实生活等情境中的应用；利用“尝试与发现”栏目，鼓励大家大胆尝试，并在此基础上进行猜想、归纳与总结；通过填空的方式，培养大家学习数学的信心；选择与内容紧密联系的专题，设置拓展阅读，以拓宽大家的知识面，了解数学应用的广泛性；等等?数学学习必须循序渐进是一种共识基础不扎实是很多人学不好数学的重要原因，本套教材在编写时特别考虑了这一点事实上，教材一方面按照课程标准的要求，讲解和复习了高中数学必备的集合、等式、不等式等内容；另一
7、方面，在呈现新知识时，教材注重从已有知识出发，在回顾的基础上通过实际例子逐步引入，尽力展现新旧知识的联系，以达到温故知新的效果例如，教材在复习了变量以及初中函数概念的基础上介绍了函数中的对应关系，在回顾了整数指数幂、二次根式后引入了分数指数幂，等等正因为如此，即使是初中数学基础比较薄弱的同学，使用本套教材也能顺利地进行学习，并最终达到理想的效果这在本套教材试教过程中已得到印证?数学知识具有客观性，但数学知识的理解有多种方式与途径揭示内容本质，培养大家对数学内容的直观理解，是我们编写本套教材时特别注意的方面之一首先，教材内容的安排突出主线，强调“通性通法”例如，多次强调了配方法的使用，自始至终贯
8、彻函数的研究应从特殊到一般、从性质到图象，等等其次，尽量自然地引入新内容或新方法例如，通过实例说明学习中位数、百分位数的必要性，通过对比说明用样本估计总体的合理性，等等最后，注重培养大家的数学学科核心素养课程标准提出的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，在教材中都得到了落实仅以数学抽象为例，教材处处强调了自然语言与符号语言之间的相互转化等总的来说，“引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”并不容易为此，我们在编写教材时做了很多新的尝试，力图给大家提供一套有时代特色、易教易学的数学教材，以帮助大家学习本书是这套教材必修部分的第一册，呈现了
9、集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数的内容这些内容是高中数学乃至高等数学的基础，希望大家重视通过本书的目录与每章的“本章导语”，可以大致了解本书的全貌，这里不再重复由于编写时间有限等原因，书中难免会有疏漏之处，敬请大家多提宝贵意见，以使教材日臻完善编者 年月目录?集合 集合及其表示方法 集合的基本关系 集合的基本运算 常用逻辑用语 命题与量词 全称量词命题与存在量词命题的否定 充分条件、必要条件 本章小结?等式 等式的性质与方程的解集 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 方程组的解集 不等式 不等式及其性质 不等式的解集 一元二次不等式的解法 均值不等式及其应用 本章小结 目录?函数的概念
10、与性质 函数及其表示方法 函数的单调性 函数的奇偶性 函数与方程、不等式之间的关系 函数的应用（一）数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点 本章小结 櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷?罗素悖论与第三次数学危机 数学中的猜想 自主招生中的充分条件与必要条件 九章算术中的代数成就简介 函数定义的演变过程简介 物理中的变化率 付出与收获的关系 二分法在搜索中的应用 你见过下面这个魔术吗？先从图中六张不同的扑克牌中选出一张，不要告诉任何人你选的是什么，自己记住即可图闭上眼睛，用十秒左右的时间回忆刚才选中的那张牌的花色和点数然后睁开眼睛，看！你所
11、选择的那张牌在图中已经消失了！怎么样？神奇吗？图想知道其中的“秘密”吗？学完集合的有关知识后，你就能清楚地看出其中的“门道”了！事实上，集合是刻画一类事物的语言与工具，是一种重要的数学语言利用集合可以简洁、准确地描述数学中的对象与关系常用逻辑用语也是数学语言的重要组成部分，是逻辑思维的基本语言，是数学表达与交流的工具而且，逻辑知识已经是我们日常生活中不可或缺的知识了 年月日人民日报刊登的培养理性思维需要学点逻辑一文中谈道：“只有学逻辑、懂逻辑，才能既自觉地遵循逻辑，又自觉地识别并避免逻辑错误，使自己的思维更加理性”由此可见学习逻辑知识的重要性 集合?1.1.1K在生活与学习中，为了方便，我们经
12、常要对事物进行分类例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的（如图 所示），作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类你能说出数学中其他分类实例吗？试着分析为什么要进行分类图 在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（有时简称为集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素集合通常用英文大写字母犃，犅，犆，表示，集合的元素通常用英文小写字母犪，犫，犮，表示如果犪是集合犃的元素，就记作犪犃，读作“犪属于犃”；如果犪不是集合犃的元素，就记作犪犃，读作“犪不属于犃”A(你能举出几个用集合表
13、达的、与数学有关的例子吗？指出例子中集合的元素是什么是否可以借助袋子、抽屉等来直观地理解集合？第一章集合与常用逻辑用语例如：（）如果犃是由所有小于 的自然数组成的集合，则犃，犃；（）如果犅是由方程狓的所有解组成的集合，则犅，犅，犅；（）如果犆是平面上与定点犗的距离等于定长狉（狉）的点组成的集合，则对于以犗为圆心、狉为半径的圆犗上的每个点犘来说，都有犘犆现在我们来考虑方程狓狓的所有解组成的集合，由于该方程无解，因此这个集合不含有任何元素一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作由空集的定义可得，根据集合的概念可知，集合的元素具有以下特点：（）确定性：集合的元素必须是确定的因此，不能确定的对象
14、不能组成集合，即给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素，应该可以明确地判断出来（）互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的因此，集合中的任意两个元素必须都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素例如，由英语单词 （成功）中的所有英文字母组成的集合，包含的元素只有个，即，（）无序性：集合中的元素可以任意排列A(（）你所在的班级中，身高不低于 的同学能组成一个集合吗？（）你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗？为什么？（）不等式狓的所有解能组成一个集合吗？尝试与发现中，（）（）的答案都是“能”，但（）的答案是“不能”，因为“高个子同学”不满足确定性给定两
15、个集合犃和犅，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作犃犅集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集空集可以看成包含个元素的集合，所以空集是有限集.+K有一些数的集合经常要用到，为了方便起见，人们用约定俗成的符号来 集合 表示它们（）所有非负整数组成的集合，称为自然数集，记作犖值得注意的是，犖，即是自然数集犖中的一个元素容易看出，如果犪犖，犫犖，则一定有犪犫犖且犪 犫犖，但犪犫犖和犪犫犖都不一定成立例如，犖，犖，但犖且犖在自然数集犖中，去掉元素之后的集合，称为正整数集，记作犖或犖（）所有整数组成的集合，称为整数集，记作犣与自
16、然数集犖不同的是，如果犪犣，犫犣，则一定有犪犫犣，但犪犫犣不一定成立（请读者自己举例说明）（）所有有理数组成的集合，称为有理数集，记作犙我们知道，凡是能够表示成分数（即两个整数的商）的数称为有理数因此，如果犪犙，犫犙且犫，则犪犫犙例如，犙，犙，且犙（）所有实数组成的集合，称为实数集，记作犚显然，如果犪犚，犫犚，则犪犫犚，犪犫犚，犪 犫犚，当犫时，还有犪犫犚如不特别声明，本书中所有字母表示的数均指实数利用集合的符号，可以简化有关描述，比如：“是整数”可以表示为“犣”；“不是有理数”可以表示为“犙”；“如果狀是自然数，那么狀也是自然数”可以表示为“如果狀犖，那么狀犖”前面提到的集合都是用自然语言描
17、述的，但在数学中，我们经常要使用符号来表示集合（）无限循环小数 獉可以表示成分数吗？（）任何一个无限循环小数都是犙中的元素，这种说法正确吗？第一章集合与常用逻辑用语把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法例如，由两个元素，组成的集合可用列举法表示为，；又如，的所有正因数，组成的集合可用列举法表示为，；再如，中国古典长篇小说四大名著组成的集合可以表示为 红楼梦，三国演义，水浒传，西游记 用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序例如，与，表示同一个集合但是，如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不至于发生误解的情况下，可
18、按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示例如，不大于 的自然数组成的集合，可表示为，无限集有时也可用列举法表示例如，自然数集犖可表示为，狀，值得注意的是，只含一个元素的集合犪也是一个集合，要将这个集合与它的元素犪加以区别，事实上，犪犪EA(以下集合用列举法表示方便吗？如果不方便，你觉得可以怎样表示？（）满足狓的所有数组成的集合犃；（）所有有理数组成的集合犙显然，用列举法表示上述集合并不方便但因为集合犃中的元素狓都具有性质“狓是大于的数”，而不属于集合犃的元素都不具有这个性质，所以可以把集合犃表示为狓狓是大于的数或狓狓，即犃狓狓是大于的数或犃狓狓类似地，犙中的每一个元素都具有性质“是两
19、个整数的商”，而不属于 集合 犙的元素都不具有这个性质，因此可以把犙表示为犙狓狓是两个整数的商或犙狓狓犿狀，犿犣，狀犣，狀上述表示集合的方法中，大括号内竖线的左边是元素的形式，竖线的右边是只有这个集合中的元素才满足的性质一般地，如果属于集合犃的任意一个元素狓都具有性质狆（狓），而不属于集合犃的元素都不具有这个性质，则性质狆（狓）称为集合犃的一个特征性质此时，集合犃可以用它的特征性质狆（狓）表示为狓狆（狓）这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法例如，“一组对边平行且相等的四边形”是平行四边形的一个特征性质，因此所有平行四边形组成的集合可以表示为狓狓是一组对边平行且相等的四边形又如，
20、所有能被整除的整数组成的集合，可以用描述法表示为狓狓狀，狀犣类似地，所有被除余的自然数组成的集合可以表示为狓狓狀，狀犖，不过这一集合通常也表示为狓犖狓狀，狀犣这就是说，集合狓狆（狓）中所有在另一个集合犐中的元素组成的集合，可以表示为狓犐狆（狓）用适当的方法表示下列集合：（）方程狓（狓）的所有解组成的集合犃；（）平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合犅A(判断犃与犅是有限集还是无限集，由此思考该选用哪种表示方法（）因为和是方程狓（狓）的解，而且这个方程只有两个解，所以犃，（）因为集合犅的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此犅（狓，狔）狓，狔 第一章集合与常用逻辑用语K=.习惯上，如果犪犫
21、，则集合狓犪狓犫可简写为犪，犫，并称为闭区间例如，集合狓狓可简写为闭区间，类似地，如果犪犫：集合狓犪狓犫可简写为（犪，犫），并称为开区间；集合狓犪狓犫可简写为犪，犫），集合狓犪狓犫可简写为（犪，犫，并都称为半开半闭区间上述区间中，犪，犫分别称为区间的左、右端点，犫犪称为区间的长度区间可以用数轴形象地表示例如，区间，）可用图 表示，注意图中处的点是实心点，而处的点是空心点O121233x图 如果用“”表示“正无穷大”，用“”表示“负无穷大”，则：实数集犚可表示为区间（，）；集合狓狓犪可表示为区间犪，）；集合狓狓犪可表示为区间；集合狓狓犪可表示为区间；集合狓狓犪可表示为区间 类似地，上述区间也可用
22、数轴来形象地表示例如，区间，）可以用图 表示x7图 用区间表示不等式狓狓的所有解组成的集合犃 由狓狓可知狓，所以犃，（）集合#?用符号“”或“”填空：（）犖；（）槡 犙；（）犣；（）犚；（）犖；（）槡 犙?下列的集合中，哪些是有限集？哪些是无限集？（）使得式子狓槡 有意义的所有实数组成的集合；（）使得式子槡狓有意义的所有自然数组成的集合；（）方程狓的所有实数解组成的集合?用列举法表示下列集合：（）我国古代四大发明组成的集合；（）大于且小于 的所有素数组成的集合；（）狓狓?用描述法表示下列集合：（）小于 的正偶数组成的集合；（）所有矩形组成的集合?用区间表示下列集合：（）狓狓；（）狓狓；（）狓狓
23、；（）狓狓；（）狓狓；（）狓狓?用符号“”或“”填空：（）；（）狓狓；（）（，）（狓，狔）狓狔；（）狓狓狀，狀犣?用适当的方法表示下列集合：（）英语单词 （数学）中的所有英文字母组成的集合；（）方程狓狔的所有解组成的集合；（）绝对值小于的所有实数组成的集合?设区间犃（，犅，），是否有实数狓，使得狓犃且狓犅？举例说明?已知集合犃狓，狓，且犃，求狓的值 （犪，）（，犪（，犪）第一章集合与常用逻辑用语1.1.2K如果一个班级中，所有同学组成的集合记为犛，而所有女同学组成的集合记为犉，你觉得集合犛和犉之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？给定集合犃，犅，容易看出，集合犃的任意一个元素
24、都是集合犅的元素一般地，如果集合犃的任意一个元素都是集合犅的元素，那么集合犃称为集合犅的子集，记作犃犅（或犅犃），读作“犃包含于犅”（或“犅包含犃”）对应地，如果犃不是犅的子集，则记作犃犅（或犅犃），读作“犃不包含于犅”（或“犅不包含犃”）上述情境与问题中的两个集合，满足犉犛A(（）根据子集的定义判断，如果犃，那么犃犃吗？（）你认为可以规定空集是任意一个集合的子集吗？为什么？不难看出，依据子集的定义，任意集合犃都是它自身的子集，即犃犃因为空集不包含任何元素，所以我们规定：空集是任意一个集合犃的子集，即犃,K前面的情境与问题中的两个集合满足犉犛，但是，只要班级中有男同学，那么犛中就有元素不属于犉
25、一般地，如果集合犃是集合犅的子集，并且犅中至少有一个元素不属符号“”与符号“”表达的含义相同吗？集合 于犃，那么集合犃称为集合犅的真子集，记作犃犅（或犅犃），读作“犃真包含于犅”（或“犅真包含犃”）BA图 例如，分析集合犃，犅，之间的关系，可知犃是犅的子集（即犃犅），而犅且犃，因此犃是犅的真子集，即犃犅如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图例如，犃是犅的真子集，可用图 表示根据子集、真子集的定义可知：（）对于集合犃，犅，犆，如果犃犅，犅犆，则犃犆；（）对于集合犃，犅，犆，如果犃犅，犅犆，则犃犆写出集合犃，的所有子集和
26、真子集 如何才能一个不漏地写出这个集合的所有子集呢？注意到集合犃含有个元素，因此它的子集含有的元素个数为，可依下列步骤来完成此题：（）写出元素个数为的子集，即；（）写出元素个数为的子集，即，；（）写出元素个数为的子集，即；（）写出元素个数为的子集，即 集合犃的所有子集是，在上述子集中，除去集合犃本身，即，剩下的都是犃的真子集已知区间犃（，和犅（，犪），且犅犃，求实数犪的取值范围 因为集合犅的元素都是集合犃的元素，所以可用数轴表示它们的关系，如图 所示a2x图 从而可知犪如果要作出维恩图来理解子集与真子集的这些性质，该如何作？第一章集合与常用逻辑用语KA罗素悖论与第三次数学危机某村的理发师宣布了
27、这样一个原则：他为且只为村里所有不给自己刮胡子的人刮胡子那么，这个理发师是否应该为自己刮胡子呢？如果理发师不为自己刮胡子，那么他是不给自己刮胡子的人，所以按照他的原则，他必须为自己刮胡子；反之，如果他为自己刮胡子，因为他只为不给自己刮胡子的人刮胡子，所以他不应该为自己刮胡子看完上面这段话后是不是觉得有些困惑？这是数学上有名的“理发师困境”，是著名数学家罗素于 世纪初提出的“罗素悖论”的简化版本罗素悖论与集合论知识有关事实上，我们所学习的集合，也能以集合作为元素例如，若记集合犃，的所有子集组成的新集合为犅，则犅，犅中的元素都是集合（犅一般称为类）以集合作为元素在直观上是容易理解的：如果把一个集合
28、理解为一个袋子，元素理解为袋子里的东西，则以集合为元素的集合，就相当于袋子里的东西还是袋子这也可以用电脑中的文件夹来理解，文件夹中可以是文件，也可以是文件夹，如图所示,C6C(B-罗素认为，任何一个集合都可以考虑它是否属于自身的问题，有些集合属于它自身，有些集合不属于它自身随后，罗素构造了集合犛：由所有不是自身元素的集合组成的集合问题是：犛是否属于犛？继续往下分析就会出现类似上述“理发师困境”的两难局面罗素悖论提出时，集合论的知识已经成为数学的基础这一悖论的出现引发了人们对数学基础的质疑，从而导致了“第三次数学危机”但是数学家们通过对集合论进行公理化成功地解决了这一危机，为了避免出现罗素悖论，
29、公理中规定集合不能以它自身为元素这跟我们的日常经验一致：一个袋子不能把自己装起来，一个文件夹也不能包括它自己感兴趣的同学，请自行查阅有关书籍和网络，了解悖论和第三次数学危机的更多内容吧！K+,0K+2已知犛狓（狓）（狓），犜，这两个集合的元素有什么关系？犛犜吗？犜犛吗？你能由此总结出集合的相等与子集的关系吗？集合 上述问题中，组成犛的元素与组成犜的元素完全相同，即犛犜；另外，由子集的定义可知犛犜且犜犛一般地，由集合相等以及子集的定义可知：（）如果犃犅且犅犃，则犃犅；（）如果犃犅，则犃犅且犅犃写出下列每对集合之间的关系：（）犃，犅，；（）犆狓狓，犇狓狓；（）犈（，），犉（，；（）犌狓狓是对角线相
30、等且互相平分的四边形，犎狓狓是有一个内角为直角的平行四边形 因为集合之间的关系是通过元素来定义的，所以只要针对集合中的元素进行分析即可（）因为犅的每个元素都属于犃，而犃且犅，所以犅犃（）不难看出，犆和犇包含的元素都是和，所以犆犇（）在数轴上表示出区间犈和犉，如图 所示O121233x图 由图可知犉犈（）如果狓犌，则狓是对角线相等且互相平分的四边形，所以狓是矩形，从而可知狓是有一个内角为直角的平行四边形，所以狓犎，因此犌犎反之，如果狓犎，则狓是有一个内角为直角的平行四边形，所以狓是矩形，从而可知狓是对角线相等且互相平分的四边形，所以狓犌，因此犎犌综上可知，犌犎由上可以看出，当犃是犅的子集时，要么
31、犃是犅的真子集，要么犃与犅相等 第一章集合与常用逻辑用语填写下表，回答后面的问题：集合元素个数所有子集子集个数犪犪，犫犪，犫，犮犪，犫，犮，犱（）你能找出“元素个数”与“子集个数”之间关系的规律吗？（）如果一个集合的元素个数为狀，你能用狀表示出这个集合的子集个数吗？#?用“”“”“”“”或“”填空：（）；（）犪，犫，犮犪，犮；（），；（）?用“”或“”填空：（）犣犖；（）犣犙；（）犙犖；（）犚犙?用“”“”或“”填空：（），（，）；（），）（，；（），），）；（）（，）狓狓?写出集合，的所有子集?用列举法表示集合犃狓狓犿，犿犖和犅狓狓犿，犿犖，并说明它们之间的关系?已知集合犃满足犃，用列举法写
32、出所有可能的犃?已知，）犪，），求实数犪的取值范围?已知犃狓狓狀，狀犖，犅狓狓狀，狀犖分别列出这两个集合中最小的个元素，并证明犅犃，集合 1.1.3K学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求同时满足：（）中考的物理成绩不低于 分；（）中考的数学成绩不低于 分如果满足条件（）的同学组成的集合记为犘，满足条件（）的同学组成的集合记为犕，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合记为犛，那么这三个集合之间有什么联系呢？可以看出，集合犛中的元素既属于集合犘，又属于集合犕BA图 一般地，给定两个集合犃，犅，由既属于犃又属于犅的所有元素（即犃和犅的公共元素）组成的集合，称为犃与犅的交集，记作犃犅
33、，读作“犃交犅”两个集合的交集可用图 所示的阴影部分形象地表示因此，上述情境与问题中的集合满足犘犕犛例如，；在平面直角坐标系内，狓轴与狔轴相交于坐标原点，用集合语言可以表示为（狓，狔）狔（狓，狔）狓从定义可以看出，犃犅表示由集合犃，犅按照指定的法则构造出一个新集合，因此“交”可以看成集合之间的一种运算，通常称为交集运算交集运算具有以下性质，对于任意两个集合犃，犅，都有：（）犃犅犅犃；（）犃犃犃；（）犃犃；（）如果犃犅，则犃犅犃，反之也成立如果集合犃，犅没有公共元素，那么它们的交集是什么？第一章集合与常用逻辑用语求下列每对集合的交集：（）犃，犅，；（）犆，犇，；（）犈（，犉，）（）因为犃和犅的公
34、共元素只有，所以犃犅（）因为犆和犇没有公共元素，所以犆犇（）在数轴上表示出区间犈和犉，如图 所示O121233x图 由图可知犈犉（，）已知犃狓狓是菱形，犅狓狓是矩形，求犃犅 犃犅狓狓是菱形狓狓是矩形狓狓是正方形我们经常使用的“且”可以借助集合的交集来理解例如，平面直角坐标系中的点（狓，狔）在第一象限的条件是：横坐标大于且纵坐标大于，用集合的语言可以表示为（狓，狔）狓（狓，狔）狔（狓，狔）狓，狔，也就是说，为了保证点（狓，狔）在第一象限，条件横坐标大于与纵坐标大于要同时成立本章导语中那个魔术的“秘密”你知道了吗？图中所有扑克牌组成的集合和图中所有扑克牌组成的集合的交集是什么？K某班班主任准备召开
35、一个意见征求会，要求所有上一次考试中语文成绩低于 分或英语成绩低于 分的同学参加如果记语文成绩低于 分的所有同学组成的集合为犕，英语成绩低于 分的所有同学组成的集合为犖，需要去参加意见征求会的同学组成的集合为犘，那么这三个集合之间有什么联系呢？集合 可以看出，集合犘中的元素，要么属于集合犕，要么属于集合犖一般地，给定两个集合犃，犅，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为犃与犅的并集，记作犃犅，读作“犃并犅”两个集合的并集可用图 （）或（）所示的阴影部分形象地表示由犃，犅构造出犃犅，通常称为并集运算ABAB图 因此，上述情境与问题中的集合满足犕犖犘例如，注意，同时属于犃和犅的元素，在犃犅中只出现
36、一次A(类比交集运算的性质，探索得出并集运算的性质，对于任意两个集合犃，犅，都有：（）犃犅；（）犃犃；（）犃犃；（）如果犃犅，则犃犅，反之也成立已知区间犃（，），犅，求犃犅，犃犅 在数轴上表示出犃和犅，如图 所示O121233x图 由图可知犃犅，犃犅我们经常使用的“或”可以借助集合的并集来理解例如，狓的含义是狓或狓，这可以用集合语言表示为 第一章集合与常用逻辑用语狓狓狓狓或狓狓狓狓狓，也就是说，为了保证狓，条件狓与狓只要有一个成立即可（）设有限集犕所含元素的个数用 （犕）表示，并规定 （）已知犃狓狓是外语兴趣小组的成员，犅狓狓是数学兴趣小组的成员，且 （犃），（犅），（犃犅），你能求出 （犃犅
37、）吗？（）设犃，犅为两个有限集，讨论 （犃），（犅），（犃犅），（犃犅）之间的关系=K如果学校里所有同学组成的集合记为犛，所有男同学组成的集合记为犕，所有女同学组成的集合记为犉，那么：（）这三个集合之间有什么联系？（）如果狓犛且狓犕，你能得到什么结论？可以看出，集合犕和集合犉都是集合犛的子集，而且如果狓犛且狓犕，则一定有狓犉在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用犝表示如果集合犃是全集犝的一个子集，则由犝中不属于犃的所有元素组成的集合，称为犃在犝中的补集，记作瓓犝犃，读作“犃在犝中的补集”由全集犝及其子集犃得到瓓犝犃，通常称
38、为补集运算AUUA图 集合的补集也可用维恩图形象地表示，其中全集通常用矩形区域代表，如图 所示因此，上述情境与问题中的集合满足瓓犛犉犕，瓓犛犕犉例如，如果犝，犃，则 集合 瓓犝犃，注意，此时瓓犝犃仍是犝的一个子集，因此瓓犝（瓓犝犃）也是有意义的，此例中的瓓犝（瓓犝犃），犃事实上，给定全集犝及其任意一个子集犃，补集运算具有如下性质：（）犃（瓓犝犃）犝；（）犃（瓓犝犃）；（）瓓犝（瓓犝犃）犃已知犝狓犖狓，犃狓犝狓，犅狓犝狓，求瓓犝犃，瓓犝犅，（瓓犝犃）（瓓犝犅），瓓犝（犃犅）注意犝中的元素都是自然数，而且犃，犅都是犝的子集 不难看出犝，犃，犅，因此瓓犝犃，瓓犝犅，（瓓犝犃）（瓓犝犅），瓓犝（犃犅）
39、，已知犃（，），犅（，求瓓犚犃，瓓犚犅 在数轴上表示出犃和犅，如图 所示O121233x图 由图可知瓓犚犃，瓓犚犅 给定三个集合犃，犅，犆，式子（犃犅）犆的意义是什么？（犃犆）（犅犆）呢？作维恩图研究这两个式子之间的关系，并研究（犃犅）犆和（犃犆）（犅犆）之间的关系补集的性质是否可以借助维恩图来直观理解？第一章集合与常用逻辑用语#?已知犃犪，犫，犮，犱，犅犫，犱，犲，犳，求犃犅，犃犅?已知区间犃（，），犅（，），求犃犅，犃犅?若犃狓狓是选修羽毛球课程的同学，犅狓狓是选修乒乓球课程的同学，请分别说明犃犅，犃犅所表示的含义?设犝狓犖狓，犃，犅，求瓓犝犃，瓓犝犅?已知全集犝犚，犃，），求瓓犝犃，（瓓
40、犝犃）犝，犃（瓓犝犃）?对于任意两个集合犃，犅，关系式（犃犅）（犃犅）总成立吗？说明理由?已知集合犃犪，犫，犮（）写出所有满足条件犃犅犃的集合犅；（）满足条件犃犆犆的集合犆有多少个？?设全集犝犣，犃狓狓犽，犽犣，犅狓狓犽，犽犣，求瓓犝犃，瓓犝犅?设全集犝，犪，集合犃，犪，瓓犝犃，求实数犪的值?已知区间犃（，），犅（犪，）（）若犃犅（，），求实数犪的值；（）若犃犅（，），求实数犪的取值范围（，）犅犃犃犃犅，）（，（，（，）?设犃狓狓是犝中的奇数（）如果犝，列出犃中的所有元素；（）如果犝狓狓是小于 的正整数，列出犃中的所有元素；（）如果犝狓犣 狓 ，列出犃中的所有元素?写出集合狓狓狀，狀犖中最小的
41、个元素?判断下列表达式是否正确：（）（，；（）（，；集合 （）（，；（）（，；（）（，；（）（，?用“”“”“”或“”填空：（）狓狓是素数；（）；（）犙；（）狓狓?已知犃狓狓是平行四边形，犅狓狓是菱形，求犃犅，犃犅?设犃狓狓是小于 的素数，犅狓狓是小于 的正奇数，求犃犅，犃犅?已知犃，犅，犆，求：（）犃犅，犅犆，犃犆；（）犃犅，犅犆，犃犆?如果集合犃，犅分别满足下列等式，试写出犃与犅之间的关系：（）犃犅犃；（）犃犅犃?已知区间犃（，），犅，），求犃犅，犃犅 已知区间犃（，求瓓犚犃#?已知犃，犅，犆，求：（）犃犅犆；（）犃犅犆；（）（犃犅）犆；（）（犃犅）犆?已知全集犝犪，犫，犮，犱，犲，犃犪，
42、犫，犮，分别列出满足下列条件的所有可能的集合犅：（）犃犅犃；（）犃犅犅；（）瓓犝犅犃?已知全集犝，犃，犅，（）求瓓犝犃，瓓犝犅，（瓓犝犃）（瓓犝犅），（瓓犝犃）（瓓犝犅）；（）验证瓓犝（犃犅）（瓓犝犃）（瓓犝犅），瓓犝（犃犅）（瓓犝犃）（瓓犝犅）?已知犃，犅，犆犃，犆犅，写出符合条件的所有集合犆?已知犃狓狓，犅狓犖狓 ，求犃犅?已知犃，犅，狆（），且犅瓓犚犃，求实数狆的取值范围 第一章集合与常用逻辑用语?用集合语言分别表示下图中的阴影部分BUAUAB（第题）?如图所示是初中所学的不同类型四边形的知识结构图，你能用集合的语言来描述图中的关系吗？（第题）$?已知集合犃，犿，犅犿，且犃犅犃，求犿的值
43、?已知集合犘狓狓，犕犪，若犘犕犘，求犪的取值范围?已知犝（，），犃（，犪，犅（，），且（瓓犝犃）犅犝，求犪的取值范围?已知犕，犖为全集犝的非空真子集，且犕与犖不相等，若（瓓犝犕）犖，试判断集合犕和犖的关系，并求出犕犖 常用逻辑用语?1.2.1M“命题”这个词在新闻报道中经常可以见到例如：“从最直接的生态保护方式之一 植树造林，到多种更具创新性的环保活动的开展，如何建立起公众与自然沟通的桥梁，引发人们对于自然环境的关注和思考，成为时下的环保新命题”（年 月 日中国青年报）我们在数学中也经常接触到“命题”这两个字，你知道新闻报道中的“命题”与数学中的“命题”有什么区别吗？新闻报道中的“命题”往往是
44、“命制的题目”的简写，常常指的是待研究的问题或需要完成的任务等需要注意的是，一般来说，数学中的“命题”与新闻报道中的“命题”不一样我们在初中的时候就已经学习过数学中的命题，知道类似“对顶角相等”这样的可供真假判断的陈述语句就是命题，而且，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题数学中的命题，还经常借助符号和式子来表达例如，命题“的算术平方根是”可表示为“槡”值得注意的是，一个命题，要么是真命题，要么是假命题，不能同时既是真命题又是假命题，也不能模棱两可、无法判断是真命题还是假命题A(下列命题中，是真命题，是假命题：（）；第一章集合与常用逻辑用语（）所有无理数都大于零；（）平面内垂直于
45、同一条直线的两条直线互相平行；（）一次函数狔狓的图象经过点（，）；（）设犪，犫，犮是任意实数，如果犪犫，则犪 犮犫 犮；（）犣犙为了方便叙述，命题可以用小写英文字母表示，如若记狆：犃（犃犅），则可知狆是一个真命题KA数学中的猜想通过小学和初中的学习，大家可能已经感受到，对于包括数学在内的很多学科来说，最重要的就是得到各种各样的有价值的命题这些命题通常都是以结论、定理、推论、性质等形式表述的值得注意的是，对于命题，我们要求的是“可供”真假判断，至于怎样才能判断一个命题的真假以及谁能判断，是命题概念里没有涉及的内容例如，语句“是的倍数”是可以判断真假的，所以它是一个命题要判断这个命题的真假，可以借
46、助现代信息技术（如计算器、计算机等），也可以直接利用有关数学知识（例如，因为是的倍数，所以凡是的倍数的数一定是偶数，但给定的数是奇数，所以原命题是假命题）总的来说，要判断一个命题的真假并不是一件容易的事，这也就是我们为什么要努力学习各种知识的原因之一实际上，数学界中，有一些命题至今还没有人能判断真假，比如“每一个不小于的偶数都是两个奇素数的和”，到目前为止数学家们还不能肯定它是一个真命题还是一个假命题通常，未能得到真假判断的命题称为猜想前面提到的这个命题是数学家哥德巴赫提出来的，所以称为哥德巴赫猜想在数学和其他学科的研究中，如果有人能解决一个大家都认为很难的猜想，那是一件非常了不起的事情，解决
47、猜想的人也会因此而享誉全球感兴趣的同学可以上网搜索“猜想”以了解更多的情况F在数学中，有很多命题都是针对特定集合而言的，例如：（）任意给定实数狓，狓；（）存在有理数狓，使得狓；（）每一个有理数都能写成分数的形式；常用逻辑用语 （）所有的自然数都大于或等于零；（）实数范围内，至少有一个狓使得狓槡有意义；（）方程狓在实数范围内有两个解；（）每一个直角三角形的三条边长都满足勾股定理不难看出，命题（）（）（）（）陈述的是指定集合中的所有元素都具有特定性质，命题（）（）（）陈述的是指定集合中的某些元素具有特定性质一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示含
48、有全称量词的命题，称为全称量词命题因此，全称量词命题就是形如“对集合犕中的所有元素狓，狉（狓）”的命题，可简记为狓犕，狉（狓）例如，“任意给定实数狓，狓”是一个全称量词命题，可简记为狓犚，狓“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“”表示含有存在量词的命题，称为存在量词命题因此，存在量词命题就是形如“存在集合犕中的元素狓，狊（狓）”的命题，可简记为狓犕，狊（狓）例如，“存在有理数狓，使得狓”是一个存在量词命题，可简记为如果记狆（狓）：狓，狇（狓）：狓是整数，则通过指定狓所在的集合和添加量词，就可以构成命题例如：狆：狓犣，狆（狓）；狇：狓犣，狇（狓）；狆
49、：狓犣，狆（狓）；狇：狓犣，狇（狓）A(（）上述个命题狆，狇，狆，狇中，真命题是；（）总结出判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法 第一章集合与常用逻辑用语事实上，要判定全称量词命题狓犕，狉（狓）是真命题，必须对限定集合犕中的每个元素狓，验证狉（狓）成立；但要判定其是假命题，却只需举出集合犕中的一个元素狓，使得狉（狓）不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）要判定存在量词命题狓犕，狊（狓）是真命题，只要在限定集合犕中，找到一个元素狓，使得狊（狓）成立即可（这就是通常所说的“举例说明”）；但要判定其是假命题，却需要说明集合犕中每一个狓，都使得狊（狓）不成立判断下列命题的真假：（）狓犚，狓
50、；（）狓犖，槡狓；（）狓犣，狓；（）狓犙，狓（）由于狓犚，都有狓，因而有狓因此命题“狓犚，狓”是命题（）由于犖，而且当狓时，槡 不成立因此命题“狓犖，槡狓”是命题（）由于犣，而且当狓时，有（）因此命题“狓犣，狓”是命题（）由于使狓成立的数只有槡 和槡，而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于因此命题“狓犙，狓”是命题值得注意的是，全称量词命题和存在量词命题，都可以包含多个变量，而且这样的情形前面我们已经接触过例如，以前学过的平方差公式犪犫（犪犫）（犪犫），因为这个公式对所有实数犪，犫都成立，所以可以改写为全称量词命题犪，犫犚，犪犫（犪犫）（犪犫）又如，对于函数狔狓来说，任意给定一