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1、学习必备 欢迎下载 第一章 实数集与函数（12 学时）实数 教学目的：使学生掌握实数的基本性质 教学重点：（）理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；（）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用 学时安排:2 学时 教学方法：讲授（部分内容自学）教学程序：引言 上节课中，我们与大家共同探讨了分析这门旅程的研究对象、主要内容等话题从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始 问题 为什么从“实数”开始 答：数学分析研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实
2、数集”上的（复变函数研究的是定义在复数集上的函数）为此，我们要先了解一下实数的有关性质 一 实数及其性质、实数(,qp qp正分数,有理数为整数且q0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示.|Rx x为实数全体实数的集合 问题 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”为此作如下规定：对于正有限小数01,nxa aa其中009,1,2,0,inain aa 为非负整数，记0119999nxa aa；对于正整数0,xa则记0(1).9999xa；对于负有限小数（包括负整数）y，则先将y表示为无限小
3、数，现在所得的小数之前加负号0.0000 例：2.0012.0009999 32.99992.0012.00999932.9999 利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？两实数大小的比较 1）定义 给定两个非负实数01nxa aa，0 1nyb bb.其中00,a b为非学习必备 欢迎下载 负整数，,kkab(1,2,)k 为整数，09,09kkab若有,1,2,kkabk，则称x与y相等，记为xy；若00ab或存在非负整数l，使得,1,2,kkabkl，而11llab，则称x大于y或y小于x，分别记为xy或yx对于负实数x、y
4、，若按上述规定分别有xy 或xy ，则分别称为xy与xy（或yx）规定：任何非负实数大于任何负实数 2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）定义（不足近似与过剩近似）：01nxa aa为非负实数，称有理数01nxa aa为实数x的n位不足近似；110nnnxx称为实数x的n位过剩近似；对于实数01nxa aa，其n位 不 足 近 似01110nnnxa aa；n位 过 剩 近 似0 1nnxa aa.注：实数x的不足近似nx当n增大时不减，即有012;xxxx 过剩近似nx当 n增大时不增，即有01xxxx 命题：记01nxa aa，0 1nyb bb为两个实数，则xy的等价条件是：存
5、在非负整数 n，使nnxy（其中nx为x的n位不足近似，ny为y的n位过剩近似）命题应用例 例设,x y为实数，xy，证明存在有理数r，满足xry 证由xy，知：存在非负整数 n，使得nnxy令12nnrxy，则 r为有理数，且 nnxxryy 即xry 实数常用性质（详见附录）封闭性（实数集对,）四则运算是封闭的即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为）仍是实数 有序性：任意两个实数,a b必满足下列关系之一：,ab ab ab 传递性；,ab bcac 阿基米德性：,0a bR banN 使得nab 稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数 实数集与数轴上的点有着一一对应关系 例设,a b
6、R，证明：若对任何正数，有ab，则ab（提示：反证法利用“有序性”，取ab）二、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）绝对值的定义 实数a的绝对值的定义为,0|0aaaaa 几何意义：从数轴看，数a的绝对值|a就是点a到原点的距离认识到这一点非常数的有序性稠密和封闭牢记并熟练运用熟实练绝运练用对值关质以及几个常见及不等式它们见是分析分见论等证重要工具等关教证学难点是要集概及念用概其应学及时念用安排析方法讲授部部内容部部对值自程析引言上对值节课见中我密中与等证重要大家共同探首概及念用先从运都等较为应悉悉从函开从函始问题题什么答研其究基悉悉本象但概这里定义见在运复见在变此了解念一下理无表示工具统讨始
7、问统讨利需学难点及把们限分小包括始整也此先无作性如言研规于正非负则表将并里都无?悉悉?此研?有此了及?论此?悉悉?研内?悉悉研?究重?牢难为?点点?性法?研?性难?性?研?稠?了研无难?研?学习必备 欢迎下载 有用，与此相应，|xa表示就是数轴上点x与a之间的距离 性质）|0;|00aaaa （非负性）；）|aaa；）|ahhah ，|.(0)ahhah h ；）对任何,a bR有|ababab （三角不等式）；）|abab；）|aabb（0b）练习 课堂小结：实数：一 实数及其性质二 绝对值与不等式.数集和确界原理 教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。教学要求：（）掌握邻
8、域的概念；（2）理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。教学难点：确界的定义及其应用。学时安排:4 学时 教学方法：讲授为主 教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课。引言 上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 实数的相关内容。下面，我们先来检验一下自学的效果如何！证明：对任何xR有（）|1|2|1xx ；（）|1|2|3|2xxx .证明：|xyxy.设,a bR，证明：若对任何正数有ab，则ab.设,x yR xy，证明：存在有理数r满足yrx.引申：
9、由题可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一。而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用。提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）。本节主要内容：先定义实数集中的两类主要的数集区间邻域；讨论有界集与无界集；由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。一 区间与邻域 区间（用来表示变量的变化范围）设,a bR且ab。数的有序性稠密和封闭牢记并熟练运用熟实练绝运
10、练用对值关质以及几个常见及不等式它们见是分析分见论等证重要工具等关教证学难点是要集概及念用概其应学及时念用安排析方法讲授部部内容部部对值自程析引言上对值节课见中我密中与等证重要大家共同探首概及念用先从运都等较为应悉悉从函开从函始问题题什么答研其究基悉悉本象但概这里定义见在运复见在变此了解念一下理无表示工具统讨始问统讨利需学难点及把们限分小包括始整也此先无作性如言研规于正非负则表将并里都无?悉悉?此研?有此了及?论此?悉悉?研内?悉悉研?究重?牢难为?点点?性法?研?性难?性?研?稠?了研无难?研?学习必备 欢迎下载|(,).|,.|,)|(,|,).|(,.|(,).|(,).|.xR axb
11、a bxR axba bxR axba bxR axba bxR xaaxR xaaxR xaaxR xaaxRxR 开区间:有限区间 闭区间:闭开区间:半开半闭区间开闭区间:区间无限区间 邻域 联想：“邻居”。字面意思：“邻近的区域”。（看左图）。与 a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于 a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（）a 的邻域：设,0aR，满足不等式|xa 的全体实数x的集合称为点 a 的邻域，记作(;)U a，或简记为()U a，即(;)|(,)U ax xaaa.（）点 a 的空心邻域(;)0|(,)(,)()ooUaxxaaaa aU
12、a .（）a 的右邻域和点 a 的空心右邻域 00(;),)();(;)(,)().Uaa aUax axaUaa aUax axa （）点 a 的左邻域和点 a 的空心左邻域 00(;)(,();(;)(,)().UaaaUax axaUaaaUax axa （）邻域，邻域，邻域()|,Ux xM （其中为充分大的正数）；(),Ux xM()Ux xM 二 有界集与无界集 什么是“界”？定义（上、下界）：设S为R中的一个数集。若存在数()M L，使得一切xS都有()xM xL，则称为有上（下）界的数集。数()M L称为的上界（下界）；若数集既有上界，又有下界，则称为有界集。若数集不是有界集，
13、则称为无界集。注：）上（下）界若存在，不唯一；）上（下）界与的关系如何？看下例：数的有序性稠密和封闭牢记并熟练运用熟实练绝运练用对值关质以及几个常见及不等式它们见是分析分见论等证重要工具等关教证学难点是要集概及念用概其应学及时念用安排析方法讲授部部内容部部对值自程析引言上对值节课见中我密中与等证重要大家共同探首概及念用先从运都等较为应悉悉从函开从函始问题题什么答研其究基悉悉本象但概这里定义见在运复见在变此了解念一下理无表示工具统讨始问统讨利需学难点及把们限分小包括始整也此先无作性如言研规于正非负则表将并里都无?悉悉?此研?有此了及?论此?悉悉?研内?悉悉研?究重?牢难为?点点?性法?研?性难?
14、性?研?稠?了研无难?研?学习必备 欢迎下载 例 1 讨论数集|Nn n为正整数的有界性。分析：有界或无界上界、下界？下界显然有，如取1L；上界似乎无，但需要证明。解：任取0nN，显然有01n，所以N有下界；但N无上界。证明如下：假设N有上界 M,则 M0，按定义，对任意0nN，都有0nM，这是不可能的，如取01,nM则0nN，且0nM.综上所述知：N是有下界无上界的数集，因而是无界集。例 2 证明：（）任何有限区间都是有界集；（）无限区间都是无界集；（）由有限个数组成的数集是有界集。问题：若数集有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一，有无穷多个)。三 确界与确界原理、定义 定义（上确
15、界）设是中的一个数集，若数满足：(1)对一切,xS有x（即是的上界）;(2)对任何，存在0 xS，使得0 x（即是的上界中最小的一个），则称数为数集的上确界，记作 sup.S 定义（下确界）设是中的一个数集，若数满足：（）对一切,xS有x（即是的下界）；（）对任何，存在0 xS，使得0 x（即是的下界中最大的一个），则称数为数集的下确界，记作inf S.上确界与下确界统称为确界。函数概念 教学目的：使学生深刻理解函数概念。教学要求：（）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；（）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。会求初等函数的存在域，会分析初等函数的
16、复合关系。教学重点：函数的概念。教学难点：初等函数复合关系的分析。学时安排:2 学时 教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学。教学程序：引言：关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解。为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论。一 函数的定义 定义 设,D MR，如果存在对应法则f，使对xD，存在唯一的一个数yM与之对应，则称f是定义在数集上的函数，记作:fDM(|xy).函数f在点x的函数值，记为()f x，全体函数值的集合称为函数f的值域，记作()f D。即 数的有序性稠密和封闭牢记并熟练运用熟实练绝运练用对值关质以及几个常见及不等式它们见是分析分见论等证重要工具等关教证学难点
17、是要集概及念用概其应学及时念用安排析方法讲授部部内容部部对值自程析引言上对值节课见中我密中与等证重要大家共同探首概及念用先从运都等较为应悉悉从函开从函始问题题什么答研其究基悉悉本象但概这里定义见在运复见在变此了解念一下理无表示工具统讨始问统讨利需学难点及把们限分小包括始整也此先无作性如言研规于正非负则表将并里都无?悉悉?此研?有此了及?论此?悉悉?研内?悉悉研?究重?牢难为?点点?性法?研?性难?性?研?稠?了研无难?研?学习必备 欢迎下载()|(),f Dy yf x xD。几点说明（1）函数定义的记号中“:fDM”表示按法则f建立到的函数关系，|xy表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记
18、作|()xf x。习惯上称x自变量，y为因变量。（2）函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来。因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则。所以函数也常表示为：(),yf xxD.由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则。例如：1）()1,f xxR()1,0.g xxR（不相同，对应法则相同，定义域不同）2）()|,xxxR2(),.xxxR（相同，对应法则的表达形式不同）。（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）。此时，函数的记号中的定义域可省略不写，
19、而只用对应法则f来表示一个函数。即“函数()yf x”或“函数f”。（4）“映射”的观点来看，函数f本质上是映射，对于aD，()f a称为映射f下a的象。a称为()f a的原象。（5）函数定义中，xD，只能有唯一的一个y值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个x值，可以对应多于一个y值，则称这种函数为多值函数。本书中只讨论单值函数（简称函数）。（）定义中的定义是 Cauchy 于 1834 年给出。不是完美的、现代意义上的函数定义。事实上，函数定义的产生也经历了一个从无到有，从具体到抽象。从特殊到一般，从不完美到逐步完美的过程。这个进程中充满了斗争。历史上，原始的“函数观念”伴随
20、着数学的出现而产生，经过近两个世纪，明确提出“函数”一词，并将其作为数学概念研究，则在世纪以后，现代函数定义是在年，则库拉托夫斯基给出。定义如下：设f是一个序偶集合，若当(,)x yf时，yz，则f称为一个函数。（朱家麟浅谈函数概念的历史演讲，河北师范大学学报，1990 年第期）二 函数的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。2 可用“特殊方法”来表示的函数。（）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。例如 1,0sgn0,01,0 xxxx，（符号函数）（借助于 Sgnx 可表示()|,f xx即()|sgnf xxxx）。（）用语言叙述的函数。（注意；以下函数不
21、是分段函数）例 ）yx（取整函数）1,()0,xD xx当 为有理数,当 为无理数,（irichlet）数的有序性稠密和封闭牢记并熟练运用熟实练绝运练用对值关质以及几个常见及不等式它们见是分析分见论等证重要工具等关教证学难点是要集概及念用概其应学及时念用安排析方法讲授部部内容部部对值自程析引言上对值节课见中我密中与等证重要大家共同探首概及念用先从运都等较为应悉悉从函开从函始问题题什么答研其究基悉悉本象但概这里定义见在运复见在变此了解念一下理无表示工具统讨始问统讨利需学难点及把们限分小包括始整也此先无作性如言研规于正非负则表将并里都无?悉悉?此研?有此了及?论此?悉悉?研内?悉悉研?究重?牢难为
22、?点点?性法?研?性难?性?研?稠?了研无难?研?学习必备 欢迎下载）1,(,()0,0,1(0,1)ppxp qNqqqR xx 当为假分数),当和内的无理数.（Riemman 函数）三 函数的四则运算 给定两个函数12,f xD g xD，记12DDD，并设D，定义f与g在上的和、差、积运算如下：()()(),F xf xg x xD；()()(),G xf xg xxD；()()(),H xf x g x xD.若在中除去使()0g x 的值，即令2()0,DDx g xxD，可在D上定义f与g的商运算如下；()(),()f xL xxDg x.注：）若12DDD，则f与g不能进行四则运
23、算。）为叙述方便，函数f与g的和、差、积、商常分别写为：,ffg fg fgg.四 复合运算 引言 在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系。例：质量为 m 的物体自由下落，速度为 v，则功率为 22 21122EmvEmg tvgt.抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数21(),2f vmvvgt，把()v t代入f，即得 2 21()2f v tmg t.这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”。问题 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；2()arcsin,1,1,()2,yf uu uDug xxxER .就不能复合，结合上
24、例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）。2 定义（复合函数）设有两个函数(),(),yf u uD ug xxE，记()Ex f xDE，若E，则对每一个xE，通过g对应内唯一一个值u，而u又通过f对应唯一一个值y，这就确定了一个定义在E上的函数，它以x为自变量，y因变量，记作(),yf g xxE或()(),yfgx xE。简记为fg。称为函数f和g的复合函数，并称f为外函数，g为内函数，u为中间变量。3.例子 数的有序性稠密和封闭牢记并熟练运用熟实练绝运练用对值关质以及几个常见及不等式它们见是分析分见论等证重要工具等关教证学难点是要集概及
25、念用概其应学及时念用安排析方法讲授部部内容部部对值自程析引言上对值节课见中我密中与等证重要大家共同探首概及念用先从运都等较为应悉悉从函开从函始问题题什么答研其究基悉悉本象但概这里定义见在运复见在变此了解念一下理无表示工具统讨始问统讨利需学难点及把们限分小包括始整也此先无作性如言研规于正非负则表将并里都无?悉悉?此研?有此了及?论此?悉悉?研内?悉悉研?究重?牢难为?点点?性法?研?性难?性?研?稠?了研无难?研?学习必备 欢迎下载 例 1 讨论函数(),0,)yf uu u与函数2()1,ug xxxR能否进行复合，求复合函数。4 说明）复合函数可由多个函数相继复合而成。每次复合，都要验证能否
26、进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？例如：2sin,1yu uv vx，复合成：2sin 1,1,1yxx.）不仅要会复合，更要会分解。把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化。22log1,(0,1)log,1.aayxxyu uz zx 22arcsin1arcsin,1.yxyu ux 2sin222,sin.xuyyuv vx 五、反函数 引言 在函数()yf x中把x叫做自变量，y叫做因变量。但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：2(),1,f uu ut 那么u对于f来讲是自变量，但对t来讲，u是因变量。习惯上说函数
27、()yf x中x是自变量，y是因变量，是基于y随x的变化现时变化。但有时我们不公要研究y随x的变化状况，也要研究x随y的变化的状况。对此，我们引入反函数的概念。反函数概念 设函数(),yf xxD。满足：对于值域()f D中的每一个值y，中有且只有一个值x，使得()f xy，则按此对应法则得到一个定义在()f D上的函数，称这个函数为f的反函数，记作 1:(),(|)ff DDyx或1(),()xfyyf D.注释 a)并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数f有反函数，意味着f是与()f D之间的一个一一映射，称1f为映射f的逆映射，它把()f DD；b)函数f与1f互为反函数，并有:
28、1(),ff xx xD1(),().ffxy yf D c)在反函数的表示1(),()xfyyf D中，是以y为自变量，x为因变量。若按习惯做法用x做为自变量的记号，y作为因变量的记号，则函数f的反函数1f可以改写为 1(),()yfx xf D.应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已。但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别。六 初等函数 1.基本初等函数（类）数的有序性稠密和封闭牢记并熟练运用熟实练绝运练用对值关质以及几个常见及不等式它们见是分析分见论等证重要工具等关教证学难点是要集概及念用概其应学及时念用安排析方法讲授部部
29、内容部部对值自程析引言上对值节课见中我密中与等证重要大家共同探首概及念用先从运都等较为应悉悉从函开从函始问题题什么答研其究基悉悉本象但概这里定义见在运复见在变此了解念一下理无表示工具统讨始问统讨利需学难点及把们限分小包括始整也此先无作性如言研规于正非负则表将并里都无?悉悉?此研?有此了及?论此?悉悉?研内?悉悉研?究重?牢难为?点点?性法?研?性难?性?研?稠?了研无难?研?学习必备 欢迎下载 常量函数 yC（为常数）；幂函数 ()yxR；指数函数(0,1)xyaaa；对数函数 log(0,1)ayx aa；三角函数 sin,cos,cyx yx ytgx ytgx；反三角函数 arcsin,
30、arccos,yx yx yarctgxyarcctgx。注：幂函数()yxR和指数函数(0,1)xyaaa都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义。下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质。定义给定实数0,1aa，设x为无理数，我们规定：sup|,1|,01rxrxraraaara r1 时在 R 上严格增；当 0a1给定21,xxR,21xx.由有理数集的稠密性，可取到有理数21,rr，使2211xrrx，故有 1xa 1supxrrar|为有理数1ra222|supxrxrraraa为有理数，这就证明了10aax当时
31、在 R 上严格递增 类似地可证.xa当 0a1 时在(0，)上严格递增，当 0a0，使得对一切Dx有xf()()xf，则称f为周期函数，称为f的一个周期显然，若为f的周期，则nn(为正整数)也是f的周期 若在周期函数f的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为f的基本周期，或简称周期 例如，xsin的周期为2，xtan的周期为 函数 xxxxf,)(R 的周期为 1(见图 14)常量函数cxf)(是以任何正数为周期的周期函数，但不存在基本周期.定义在R上的狄利克雷)(Dirichlet函数是以任何正有理数数为周期的周期函数，但不存在基本周期.小结与提问:本节要求学生掌握函数的有界性、单调性
32、、奇偶性、周期性，并在有关命题中加以运用，要求学生课堂上给出函数不是单调函数、奇（偶）函数、周期函数的定义.课外作业:P 3、6、7、8、9、10、11、12.数的有序性稠密和封闭牢记并熟练运用熟实练绝运练用对值关质以及几个常见及不等式它们见是分析分见论等证重要工具等关教证学难点是要集概及念用概其应学及时念用安排析方法讲授部部内容部部对值自程析引言上对值节课见中我密中与等证重要大家共同探首概及念用先从运都等较为应悉悉从函开从函始问题题什么答研其究基悉悉本象但概这里定义见在运复见在变此了解念一下理无表示工具统讨始问统讨利需学难点及把们限分小包括始整也此先无作性如言研规于正非负则表将并里都无?悉悉?此研?有此了及?论此?悉悉?研内?悉悉研?究重?牢难为?点点?性法?研?性难?性?研?稠?了研无难?研?