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1、学习好资料 欢迎下载 高等代数 北大三版 第一章 多项式 教学目的：1了解多项式的概念，多项式的运算及运算律。2会求多项式的最大公因式及各数域上的因式分解。3了解多项式与对称多项式的概念。教学重点与难点：1整除理论。2有理数域上的因式分解。1 数域 代数性质：关于数的加减乘除等运算性质 引入：关于数的范围的讨论 定义：设 P 是一些复数组成的集合，其中包括 0 和 1，如果 P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为 0）仍是 P 中的数，那么称 P 为一个数域。另一说法：如果包含 0 和 1 的一个数集 P，对于加减乘除（除数不为 0）运算都是封闭的，那么称 P 为一个数域。例：1Q R C
2、 Z W 2Z （前 3 个是，后 3 个不是）2R*C+0C （均不是）3,|21QbabaP)2(Q 是 证明封闭|22NnnP 不是 4,|,.31010NmnZaPjnmnnbibbbaaa 是 重要结论：最小数域为有理数域（任何数域包含有理数域）2一元多项式 一 一元多项式的概念 定义：设n是一非负整数，x是一个符号（文字），形式表达式：01111.axaxaxannnn 其中Pniai).0(。称为系数在数域 P 中的一元多项式。（数域 P 上的一元多项式）记)(xf01111.axaxaxannnniniixa 0 学习好资料 欢迎下载 )(xg01111.bxbxbxbmmmm
3、jmjjxb 0 其中 iniixa 0称为)(xf的i次项 ia为i次项系数。0na，则nnxa为)(xf的首项 na为首项系数，n为)(xf的次数。记nxf)(。所有系数均为0 的多项式称为零多项式，记0 （唯一不定次数）)(xf)(xg除去系数为0 的项外，同次项系数均相等。（注意0多项式与0 次多项式的区别）二多项式的加、减、乘运算及运算律 设)(xf01111.axaxaxannnniniixa 0 )(xg01111.bxbxbxbmmmmjmjjxb 0 补充系数为 0 的项，使)(xf与)(xg具有相同多的项数后 iniiixbaxgxf0)()()(),m a x()(gfg
4、f )(xf)(xgsnmssijjixba0)()(fgf g f，g均不为0 多项式 算律：1加法交换律 fggf 2法结合律 )()(hgfhgf 3乘法交换律 fggf 4乘法结合律 )()(ghfhfg 5乘法对加法的分配率 )(hgffhfg 6乘法消去律 fhfg 且0f，则hg（0fhfg 0)(hgf 0f 则0 hg hg）式的最大公因式及各数域上的因式分解了解多项式与对称多项式的概念教学重点与难点整除理论有理数域上的因式分解数域代数性质关于数的加减乘除等运算性质引入关于数的范围的讨论定义设是一些复数组成的集合其中包括和如除数不为运算都是封闭的那么称为一个数域例前个是后个不
5、是均不是是证明封闭不是是重要结论最小数域为有理数域任何数域包含有理数域一元多项式一一元多项式的概念定义设是一非负整数是一个符号文字形式表达式其中项式数系数为的次数记所有系数均为的多项式称为零多项式记唯一不定次数除去系数为的项外同次项系数均相等注意多项式与次多项式的区别二多项式的加减乘运算及运算律设补充系数为的项使与具有相同多的项数后均不为多项式算律加学习好资料 欢迎下载 三一元多项式环的概念 所有系数在数域 P 中的一元多项式的全体，记xP P 为系数域 常用数学归纳法：关于自然数的命题 当初始值时，命题成立 假设小于或等于1n时，命题成立，往证n时，命题成立 反证法：假设结论成立 按照正确分
6、析，综合方法，退出与已知或事实矛盾的结果 结论成立 3整除的概念 一带余除法 引例 13)(23xxxxf 123)(2xxxg123)(2xxxg 9292697914237342373123239731232113123xxxxxxxxxxxxxx 于是)()()()(929269731xxgxxf 商式 余式 带余除法定理：对于xP中任意两个多项式)(xf与)(xg，其中0)(xg，一定有xP中的)(xq，)(xr存在，使)()()()(xrxgxqxf成立。其中)()(xgxr或者)(xr0，并且)(xq与)(xr是唯一确定的。证明：（讲解思路与方法，学生阅读）)()()()(xrxg
7、xqxf中)(xq是商式，)(xr是余式。二整除 定义：如果存在)(xh，使)()()(xhxgxf成立。那么称)(xg整除)(xf，记做)(|)(xfxg。)(xg)(xf表示)(xg不能整除)(xf )(xg整除)(xf时 )(xg称为因式，)(xf为倍式 0)(xg时，)()(|)(xgxfxg除)(xf的余式)(xr0 式的最大公因式及各数域上的因式分解了解多项式与对称多项式的概念教学重点与难点整除理论有理数域上的因式分解数域代数性质关于数的加减乘除等运算性质引入关于数的范围的讨论定义设是一些复数组成的集合其中包括和如除数不为运算都是封闭的那么称为一个数域例前个是后个不是均不是是证明封
8、闭不是是重要结论最小数域为有理数域任何数域包含有理数域一元多项式一一元多项式的概念定义设是一非负整数是一个符号文字形式表达式其中项式数系数为的次数记所有系数均为的多项式称为零多项式记唯一不定次数除去系数为的项外同次项系数均相等注意多项式与次多项式的区别二多项式的加减乘运算及运算律设补充系数为的项使与具有相同多的项数后均不为多项式算律加学习好资料 欢迎下载 00|有意义且 0 只能整除 0 多项式。零次多项式只能被零次多项式整除。)()(x|fxf 0)(|xf )(|xfa（0a）性质：1 gf|，fg|gcf c为非零常数 2 gf|，hg|hf|3 igf|，ri,2,1)(|2211rr
9、guguguf，其中iu是任意多项式。分别证明之。（1 详，2 3 略）结论：f与cf具有相同的因式与倍式，讨论时可互相替代。两个多项式的整除关系不引文为系数域的扩大而改变。作业：P442（2）3 4（2）4最大公因式 一最大公因式 公因式：)(|)(xfx，)(|)(xgx 则称)(x是)(xf，)(xg的一个公因式 定义：对于)(xf，)(xg 若)(xd满足：)(xd是)(xf，)(xg的公因式 )(xh是)(xf，)(xg的公因式，有)(|)(xdxh，则称)(xd是)(xf，)(xg的一个最大公因式。引理：)()()()(xrxgxqxf，那么)(xf，)(xg和)(xg，)(xr有
10、相同的公因式。存在性：0gf 0d 0f，0g gd 0f，0g时定理：对于f，g，一定存在d，且d可表示成f，g的一个组合，即vgufd 证：11rgqf f，g与g，1r有相同的公因式 221rqrg g，1r与1r，2r有相同的公因式 1r332rqr 1r，2r与2r，3r有相同的公因式 式的最大公因式及各数域上的因式分解了解多项式与对称多项式的概念教学重点与难点整除理论有理数域上的因式分解数域代数性质关于数的加减乘除等运算性质引入关于数的范围的讨论定义设是一些复数组成的集合其中包括和如除数不为运算都是封闭的那么称为一个数域例前个是后个不是均不是是证明封闭不是是重要结论最小数域为有理数
11、域任何数域包含有理数域一元多项式一一元多项式的概念定义设是一非负整数是一个符号文字形式表达式其中项式数系数为的次数记所有系数均为的多项式称为零多项式记唯一不定次数除去系数为的项外同次项系数均相等注意多项式与次多项式的区别二多项式的加减乘运算及运算律设补充系数为的项使与具有相同多的项数后均不为多项式算律加学习好资料 欢迎下载 2srsssrqr 1 1sr1ssqr 又因srrrg21，故有限次必可整除，即01sr，于是sr是f，g的最大公因式。又由sr2srssqr1 回推至最后即得vgufd得证。唯一性：若)(xd是)(xf，)(xg的公因式，则cd也是。c为任意非零常数。令取首项系数是 1
12、 的最大公因式，则唯一。记做),(gfd 求法：辗转相除法。练习：3442)(234xxxxxf，3452)(23xxxxg 3)(),(xxgxf 12)(234xxxxxf，1)(23xxxxg 1)(),(xxgxf 例 343)(234xxxxxf，32103)(23xxxxg，求)(),()(xgxfxd且表成vgufd形式 解：3xd gxxfxd)()1(5225153 二互素 定义：若1),(gf 则称f，g是互素的。定理：1),(gf存在u，v使得1 vguf 结论：1 ghf|且1),(gfhf|2 gf|1，gf|2且gffff|1)|(2121 三最大公因式与互素概念的
13、推广（学生阅读）作业：P455（1）（3）6（3）11 12*不一定但但1),(,1),(),(,),(21212121fffffdffdfffrr 充补综合除法 对)(xf，)(xg是一次式0 xx时，求)(xq，)(xr。例 32)(24xxxf，2)(xxg 1142218442302012，所以11)422()(23gxxxxf 式的最大公因式及各数域上的因式分解了解多项式与对称多项式的概念教学重点与难点整除理论有理数域上的因式分解数域代数性质关于数的加减乘除等运算性质引入关于数的范围的讨论定义设是一些复数组成的集合其中包括和如除数不为运算都是封闭的那么称为一个数域例前个是后个不是均不
14、是是证明封闭不是是重要结论最小数域为有理数域任何数域包含有理数域一元多项式一一元多项式的概念定义设是一非负整数是一个符号文字形式表达式其中项式数系数为的次数记所有系数均为的多项式称为零多项式记唯一不定次数除去系数为的项外同次项系数均相等注意多项式与次多项式的区别二多项式的加减乘运算及运算律设补充系数为的项使与具有相同多的项数后均不为多项式算律加学习好资料 欢迎下载 表示)(xf为（0 xx）的幂形式。即202010)()(xxcxxcc 812226121222410412208211422128442302012，1124228112422)8(112422)6(1124)104(23423
15、22gggggggggggxggxxf 5因式分解定理 一不可约多项式 定义：数域P上次数1的多项式)(xp，如果它不能表示成数域P上的两个次数比)(xp低的多项式的乘积，那么)(xp称为P上的不可约多项式。一次多项式总是不可约的 不可约多项式依赖于数域P 例12x在R上不可约，在C上可约 不可约多项式的因式)(xCpC 不 可 约 多 项 式)(xp与 任 意 多 项 式)(xf的 关 系)(|)(),()(),(1)(),(xfxpxcpxpxfxpxf即 性质定理：)(xp为不可约多项式，)(xf，)(xg，若)(|)()()(|)(xfxpxgxfxp或)(|)(xgxp 推广：)(|
16、)()()()(|)(21xfxpxfxfxfxpir，即)(xp整除其中一个。二因式分解及唯一性定理 数域P上每一个次数1的多项式)(xf都可以唯一地分解成P上一些不可约多项式的乘积。唯一性解释)()()()()()()(2121xqxqxqxpxpxpxftr，则tr。调整顺序后，)()(xcqxpii 证明：（数学归纳法）理论上给出分解可行，但无一般分解方法 引入标准分解式：)()()()(2121xpxpxcpxfsrsrr。式的最大公因式及各数域上的因式分解了解多项式与对称多项式的概念教学重点与难点整除理论有理数域上的因式分解数域代数性质关于数的加减乘除等运算性质引入关于数的范围的讨
17、论定义设是一些复数组成的集合其中包括和如除数不为运算都是封闭的那么称为一个数域例前个是后个不是均不是是证明封闭不是是重要结论最小数域为有理数域任何数域包含有理数域一元多项式一一元多项式的概念定义设是一非负整数是一个符号文字形式表达式其中项式数系数为的次数记所有系数均为的多项式称为零多项式记唯一不定次数除去系数为的项外同次项系数均相等注意多项式与次多项式的区别二多项式的加减乘运算及运算律设补充系数为的项使与具有相同多的项数后均不为多项式算律加学习好资料 欢迎下载 的不可约多项式为首项为的首项系数为1)()(xpxfci )(xf，)(xg的标准分解式存在，可求。则)(),()(xgxfxd可写出
18、。6重因式 一重因式定义：不可约多项式)(xp称为多项式)(xf的k重因式，如果)(|)(xfxpk，而)(1xpk)(xf 说明：0k，)(xp不是)(xf的因式 1k，)(xp是)(xf的单因式 1k，)(xp是)(xf的重因式 若)()()()(2121xpxpxcpxfsrsrr，讨论其重因式类型 二重因式的判定 准备：)(xf的微商：12211)1()(anxzaxnanxaxfnnnn。基 本 公 式：)(gfgf，)(cfcf，)(fggffg，)()()(1xfxmfxfmm 例 7653)(23xxxxf，6109)(2xxxf)(xf的高阶微商：f的微商 f，f)(kf，一
19、个n次多项式的微商是1n次多项式，n阶微商是一个常数，1n阶微商等于 0。定理：若不可约多项式)(xp是)(xf的k重因式)1(k，则)(xp是)(xf的1k重因式 证：)(xp是)(xf的k重因式 )()()(xgxpxfk，而)(xp)(xg，)()()()()()(1xgxpxgxpxkpxfkk)()()()()(1xgxpxgxkpxpk )(|)(1xfxpk，又)(xp)()(xgxp，从而)(xpk)(xf，故)(xp是)(xf的1k重因式。式的最大公因式及各数域上的因式分解了解多项式与对称多项式的概念教学重点与难点整除理论有理数域上的因式分解数域代数性质关于数的加减乘除等运算
20、性质引入关于数的范围的讨论定义设是一些复数组成的集合其中包括和如除数不为运算都是封闭的那么称为一个数域例前个是后个不是均不是是证明封闭不是是重要结论最小数域为有理数域任何数域包含有理数域一元多项式一一元多项式的概念定义设是一非负整数是一个符号文字形式表达式其中项式数系数为的次数记所有系数均为的多项式称为零多项式记唯一不定次数除去系数为的项外同次项系数均相等注意多项式与次多项式的区别二多项式的加减乘运算及运算律设补充系数为的项使与具有相同多的项数后均不为多项式算律加学习好资料 欢迎下载 推论 1：)(xp是)(xf的k重因式，则)(xp是)(xf，)(xf，)()1(xfk的因式，但)(xp不是
21、)(xfk的因式 推论 2：)(xp是)(xf的重因式)(xp是)(xf，)(xf的公因式 推论 3：)(xf没有重因式1)(),(xfxf 判定：求)(),(xfxf （辗转相除法）去掉)(xf的重数，)()()()(),()(21xpxpxcpxfxfxfs，得到与)(xf具有相同不可约因式的但无重数的多项式。7多项式函数 将0111)(axaxaxaxfnnnn看成函数，称为P上的多项式函数。x，0111)(aaaafnnnn，有)()()(1xhxgxf，)()()(1hgf，)()()(2xhxgxf，)()()(2hgf 定理（余数定理）：用x去除)(xf，余式为常数r，则)(fr
22、（综合除法）根：0)(f，称为)(xf的根（零点）结论：是)(xf的根)(|)(xfx 重根：)(x是)(xf的k重因式。称为)(xf的k重根，1k时单根，1k时k重根。定理：xP中n次多项式（0n）在数域P中的根不可能多余n个（重根按重数计算）多项式函数与多项式的统一性：（不同多项式定义的函数不同）定理：若)(xf，)(xg的次数都不超过n，且对1n个不同的数1，2，1n有相同的值，)()(iigf，1,2,1ni，则)()(xgxf。1946P 例：求多项式qpxx3有重根的条件 解 qpxxxf3)(，pxxf23)(，求1)(),(xfxf，且 式的最大公因式及各数域上的因式分解了解多
23、项式与对称多项式的概念教学重点与难点整除理论有理数域上的因式分解数域代数性质关于数的加减乘除等运算性质引入关于数的范围的讨论定义设是一些复数组成的集合其中包括和如除数不为运算都是封闭的那么称为一个数域例前个是后个不是均不是是证明封闭不是是重要结论最小数域为有理数域任何数域包含有理数域一元多项式一一元多项式的概念定义设是一非负整数是一个符号文字形式表达式其中项式数系数为的次数记所有系数均为的多项式称为零多项式记唯一不定次数除去系数为的项外同次项系数均相等注意多项式与次多项式的区别二多项式的加减乘运算及运算律设补充系数为的项使与具有相同多的项数后均不为多项式算律加学习好资料 欢迎下载 222224
24、27427293229339231324272933pqpqpqppqppqpqppxqxpxxxxxxqpxxpxx，令022427pqp，即027423qp 8复系数与实系数多项式的因式分解 一C上 代数基本定理：每个次数1的复系数多项式在复数域中有一根。每个次数1的多项式，在复数域上必有一个一次因式。在C上不可约多项式只有一次的。复系数多项式因式分解定理：每个次数1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次多项式的乘积。标准分解式为：slsllnxxxaxf)()()()(2121 n次复系数多项式恰有n个复根。二R上 对)(xRxf，是复数且0)(f即为)(xf的一个复根，则_也是
25、)(xf的复根，0)(_f。_2_)()(xxxx是实系数不可约多项式。实系数多项式因式分解定理：每个实系数多项式（次数1）在实数域上都可以分解成（且唯一）一次因式与二次不可约因式的乘积。rskrrklsllnqxpxqxpxcxcxcxaxf)()()()()()(211221121 求根，求分解式仍旧没有具体方法。作业：P46-20 22 9有理系数多项式 问题：1 有理系数多项式的因式分解，可以分解为整系数多项式的因式分解问题，并解决有理根问题。2 有任意次数的不可约多项式问题。一本原多项式 如果非零的整系数多项式0111)(bxbxbxbxgnnnn的系数nb 1nb 1b 0b没有异
26、于1的公因子（互素），则)(xg为本原多项式。于是任意)(xQxf，)()(xrgxf r为有理数，)(xg为本原多项式（此种式的最大公因式及各数域上的因式分解了解多项式与对称多项式的概念教学重点与难点整除理论有理数域上的因式分解数域代数性质关于数的加减乘除等运算性质引入关于数的范围的讨论定义设是一些复数组成的集合其中包括和如除数不为运算都是封闭的那么称为一个数域例前个是后个不是均不是是证明封闭不是是重要结论最小数域为有理数域任何数域包含有理数域一元多项式一一元多项式的概念定义设是一非负整数是一个符号文字形式表达式其中项式数系数为的次数记所有系数均为的多项式称为零多项式记唯一不定次数除去系数为
27、的项外同次项系数均相等注意多项式与次多项式的区别二多项式的加减乘运算及运算律设补充系数为的项使与具有相同多的项数后均不为多项式算律加学习好资料 欢迎下载 表示只差符号，是相对唯一的）定理：（Gauss 引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式。（反证法）二因式分解 定理：如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积。结论：有理多项式的分解转化为整系数多项式的分解 推论：设)(xf，)(xg是整系数多项式且)(xg是本原的，如果)()()(xhxgxf，其中)(xh是有理系数多项式，则)(xh是整系数的。三求整系数多项式的全部有理根的方法。定理：)(xZxf，sr是)(x
28、f的一个有理根，且1),(ts，则nas|（首项）0|ar（常数项）（证明略）例 1 求 032234xxx的全部有理根。:1 2 :r1 3 )(xf的所有可能有理根为1 21 3 23，经综合除法验证，1x为有理根。例 2 证明15)(3xxxf在有理数域上不可约 （反证）设)(xf可约，则)(xf有 1 次因式。即有理根。而)(xf的有理根只有1。经验证1不是根。从而)(xf不可约。四存在任意次数的不可约多项式 定理（Eisenstein 判别法）：设0111)(axaxaxaxfnnnn是整系数多项式。如果有一个素数p，使得 pna 1|nap，2|nap，1|ap，0|ap 2p0a
29、 那么)(xf是有理数域上不可约的。（反证）2nx 61233234xxxx 均不可约.作业：P46-28 式的最大公因式及各数域上的因式分解了解多项式与对称多项式的概念教学重点与难点整除理论有理数域上的因式分解数域代数性质关于数的加减乘除等运算性质引入关于数的范围的讨论定义设是一些复数组成的集合其中包括和如除数不为运算都是封闭的那么称为一个数域例前个是后个不是均不是是证明封闭不是是重要结论最小数域为有理数域任何数域包含有理数域一元多项式一一元多项式的概念定义设是一非负整数是一个符号文字形式表达式其中项式数系数为的次数记所有系数均为的多项式称为零多项式记唯一不定次数除去系数为的项外同次项系数均相等注意多项式与次多项式的区别二多项式的加减乘运算及运算律设补充系数为的项使与具有相同多的项数后均不为多项式算律加