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1、学习必备 欢迎下载 第十二章 数项级数 教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。教学时数：18 学时 1 级数的收敛性 一 概念：1 级数：级数，无穷级数;通项(一般项,第 项),前 项部分和等概念(与中学的有关概念联系).级数常简记为.2.级数的敛散性与和:介绍从有限和入手,引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本,定义敛散性、级数的
2、和、余和以及求和等概念 .例 1 讨论几何级数 的敛散性.（这是一个重要例题！）解 时,.级数收敛;学习必备 欢迎下载 时,级数发散;时,级数发散;时,级数发散.综上,几何级数 当且仅当 时收敛,且和为(注意 从 0开始).例 2 讨论级数 的敛散性.解（利用拆项求和的方法）例 3 讨论级数 的敛散性.解 设,=,.,.问题是如何化归为部分和数列收敛问题的理解并掌握收敛的几种判别法记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性教学重点难点本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别难点是一般级数敛散性的判别法教学时数为级数的敛散性与和介绍从有限和入手引出无限和的极限思想以在中学学过的无穷等比
3、级数为蓝本定义敛散性级数的和余和以及求和等概念例讨论几何级数的敛散性这是一个重要例题解时级数收敛学习必备欢迎下载时级数发散时时讨论级数的敛散性解设学习必备欢迎下载因此该级数收敛例讨论级数的敛散性解级数发散级数与数列的关系对应部分和数列收敛收敛对每个数列对应级数对该级数有于是数列收敛级数收敛可见级数与数列是同一问题的两种不同形式学习必备 欢迎下载 因此,该级数收敛.例 4 讨论级数 的敛散性.解 ,.级数发散.3.级数与数列的关系:对应部分和数列,收敛 收敛;对每个数列,对应级数,对该级数,有=.于是,数列 收敛 级数 收敛.可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式.4.级数与无穷积分的关系:,
4、其中.无穷积分可化为级数;对每个级数,定义函数 ,易见有=.即级数可化为无穷积分.综上所述,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.问题是如何化归为部分和数列收敛问题的理解并掌握收敛的几种判别法记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性教学重点难点本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别难点是一般级数敛散性的判别法教学时数为级数的敛散性与和介绍从有限和入手引出无限和的极限思想以在中学学过的无穷等比级数为蓝本定义敛散性级数的和余和以及求和等概念例讨论几何级数的敛散性这是一个重要例题解时级数收敛学习必备欢迎下载时级数发散时时讨论级数的敛散性解设学习必备
5、欢迎下载因此该级数收敛例讨论级数的敛散性解级数发散级数与数列的关系对应部分和数列收敛收敛对每个数列对应级数对该级数有于是数列收敛级数收敛可见级数与数列是同一问题的两种不同形式学习必备 欢迎下载 二.级数收敛的充要条件 Cauchy准则：把部分和数列 收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy准则.Th (Cauchy准则)收敛 和 N,.由该定理可见,去掉或添加上或改变(包括交换次序)级数的有限项,不会影响级数的敛散性.但在收敛时 ,级数的和将改变.去掉前 项的级数表为 或.系 (级数收敛的必要条件)收敛 .例 5 证明 级数 收敛.证 显然满足收敛的必要条件.令,则
6、当 时有 应用Cauchy准则时，应设法把式|不失真地放大成只含 而不含 的式子，令其小于，确定.例 6 判断级数 的敛散性.(验证.级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)问题是如何化归为部分和数列收敛问题的理解并掌握收敛的几种判别法记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性教学重点难点本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别难点是一般级数敛散性的判别法教学时数为级数的敛散性与和介绍从有限和入手引出无限和的极限思想以在中学学过的无穷等比级数为蓝本定义敛散性级数的和余和以及求和等概念例讨论几何级数的敛散性这是一个重要例题解时级数收敛学习必备欢迎下载时级数发散时时讨论级数的敛散性解
7、设学习必备欢迎下载因此该级数收敛例讨论级数的敛散性解级数发散级数与数列的关系对应部分和数列收敛收敛对每个数列对应级数对该级数有于是数列收敛级数收敛可见级数与数列是同一问题的两种不同形式学习必备 欢迎下载 例 7 (但级数发散的例)证明调和级数 发散.证法一 (用Cauchy准则的否定进行验证)证法二 证明 发散.利用已证明的不等式.即得，.三 收敛级数的基本性质：（均给出证明）性质 1 收敛，Const 收敛且有=(收敛级数满足分配律)性质 2 和 收敛，收敛,且有 =.问题:、三者之间敛散性的关系.性质 3 若级数 收敛,则任意加括号后所得级数也收敛,且和不变.(收敛数列满足结合律)例 8
8、考查级数 从开头每两项加括号后所得级数的敛散性.该例的结果说明什么问题?2 正项级数 问题是如何化归为部分和数列收敛问题的理解并掌握收敛的几种判别法记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性教学重点难点本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别难点是一般级数敛散性的判别法教学时数为级数的敛散性与和介绍从有限和入手引出无限和的极限思想以在中学学过的无穷等比级数为蓝本定义敛散性级数的和余和以及求和等概念例讨论几何级数的敛散性这是一个重要例题解时级数收敛学习必备欢迎下载时级数发散时时讨论级数的敛散性解设学习必备欢迎下载因此该级数收敛例讨论级数的敛散性解级数发散级数与数列的关系对应部分和数列收
9、敛收敛对每个数列对应级数对该级数有于是数列收敛级数收敛可见级数与数列是同一问题的两种不同形式学习必备 欢迎下载 一.正项级数判敛的一般原则:1.正项级数:;任意加括号不影响敛散性.2.基本定理:Th 1 设.则级数 收敛 .且当 发散时,有,.(证)正项级数敛散性的记法.3.正项级数判敛的比较原则:Th 2 设 和 是两个正项级数,且 时有,则 ,=,=.(是的逆否命题)例 1 考查级数 的敛散性.解 有 例 2 设.判断级数 的敛散性 .问题是如何化归为部分和数列收敛问题的理解并掌握收敛的几种判别法记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性教学重点难点本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛
10、散性的判别难点是一般级数敛散性的判别法教学时数为级数的敛散性与和介绍从有限和入手引出无限和的极限思想以在中学学过的无穷等比级数为蓝本定义敛散性级数的和余和以及求和等概念例讨论几何级数的敛散性这是一个重要例题解时级数收敛学习必备欢迎下载时级数发散时时讨论级数的敛散性解设学习必备欢迎下载因此该级数收敛例讨论级数的敛散性解级数发散级数与数列的关系对应部分和数列收敛收敛对每个数列对应级数对该级数有于是数列收敛级数收敛可见级数与数列是同一问题的两种不同形式学习必备 欢迎下载 推论 1 (比较原则的极限形式)设 和 是两个正项级数且,则 时,和 共敛散;时,时,=,=.(证)推论 2 设 和 是两个正项级
11、数,若 =，特别地，若 ,，则 若,若,=.问题是如何化归为部分和数列收敛问题的理解并掌握收敛的几种判别法记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性教学重点难点本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别难点是一般级数敛散性的判别法教学时数为级数的敛散性与和介绍从有限和入手引出无限和的极限思想以在中学学过的无穷等比级数为蓝本定义敛散性级数的和余和以及求和等概念例讨论几何级数的敛散性这是一个重要例题解时级数收敛学习必备欢迎下载时级数发散时时讨论级数的敛散性解设学习必备欢迎下载因此该级数收敛例讨论级数的敛散性解级数发散级数与数列的关系对应部分和数列收敛收敛对每个数列对应级数对该级数有于是数列
12、收敛级数收敛可见级数与数列是同一问题的两种不同形式学习必备 欢迎下载 证 不妨设 时就有 成立,有 依次相乘,即 .由 ,得,可见 往后递增,.推论(检比法的极限形式)设 为正项级数,且.则 ,或=,=.(证)註 倘用检比法判得=,则有 .检比法适用于 和 有相同因子的级数,特别是 中含有因子 者.例 4 判断级数 的敛散性.解 ,.例 5 讨论级数 的敛散性.问题是如何化归为部分和数列收敛问题的理解并掌握收敛的几种判别法记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性教学重点难点本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别难点是一般级数敛散性的判别法教学时数为级数的敛散性与和介绍从有限和入手
13、引出无限和的极限思想以在中学学过的无穷等比级数为蓝本定义敛散性级数的和余和以及求和等概念例讨论几何级数的敛散性这是一个重要例题解时级数收敛学习必备欢迎下载时级数发散时时讨论级数的敛散性解设学习必备欢迎下载因此该级数收敛例讨论级数的敛散性解级数发散级数与数列的关系对应部分和数列收敛收敛对每个数列对应级数对该级数有于是数列收敛级数收敛可见级数与数列是同一问题的两种不同形式学习必备 欢迎下载 解 .因此,当 时,;时,;时,级数成为,发散.例 6 判断级数 的敛散性.注意 对正项级数，若仅有，其敛散性不能确定 .例如对级数 和,均有，但前者发散,后者收敛.2.检根法(Cauchy 判别法):也是以几
14、何级数作为比较的对象建立的判别法.Th 4 设 为正项级数,且 及,当 时,若 ,若,=.(此时有.)(证)推论(检根法的极限形式)设 为正项级数,且.则 ,和 均为正项级数,且有 和;,.同号项级数的性质:Th 3 若 ，则，.若 条件收敛,则 ,.证 由 和,成立.反设不真,即 和 中至少有一个收敛,不妨设.由=,=以及 和 收敛,.而,与条件收敛矛盾.绝对收敛级数的可重排性:更序级数的概念.Th 4 设 是 的一个更序.若,则,且=.证 若，则 和 是正项级数,且它们的部分和可以互相控制.于是,且和相等.对于一般的,=,=.正项级数 和 分别是正项级数 和 的更序.由,据 Th 1,和
15、收敛.由上述 所证,有 问题是如何化归为部分和数列收敛问题的理解并掌握收敛的几种判别法记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性教学重点难点本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别难点是一般级数敛散性的判别法教学时数为级数的敛散性与和介绍从有限和入手引出无限和的极限思想以在中学学过的无穷等比级数为蓝本定义敛散性级数的和余和以及求和等概念例讨论几何级数的敛散性这是一个重要例题解时级数收敛学习必备欢迎下载时级数发散时时讨论级数的敛散性解设学习必备欢迎下载因此该级数收敛例讨论级数的敛散性解级数发散级数与数列的关系对应部分和数列收敛收敛对每个数列对应级数对该级数有于是数列收敛级数收敛可见级数
16、与数列是同一问题的两种不同形式学习必备 欢迎下载,且有=,=,=.由该定理可见,绝对收敛级数满足加法交换律.是 否 只 有 绝 对 收 敛 级 数 才满 足 加 法 交 换 律 呢?回答是肯定的.Th 5 (Riemann)若级数 条件收敛,则对任意实数(甚至是),存在级数 的更序,使得=.证 以Leibniz级数 为样本,对照给出该定理的证明.关于无穷和的交换律,有如下结果:若仅交换了级数 的有限项,的敛散性及和都不变.设 是的一个更序 .若,使 在 中的项数不超过,则 和 共敛散,且收敛时和相等.三.级数乘积简介:1.级数乘积:级数乘积,Cauchy积.1 P20 21.2级数乘积的Cau
17、chy定理:Th 6 (Cauchy)设,并设=,=.则它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛,且乘积级数的和为.(证略)问题是如何化归为部分和数列收敛问题的理解并掌握收敛的几种判别法记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性教学重点难点本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别难点是一般级数敛散性的判别法教学时数为级数的敛散性与和介绍从有限和入手引出无限和的极限思想以在中学学过的无穷等比级数为蓝本定义敛散性级数的和余和以及求和等概念例讨论几何级数的敛散性这是一个重要例题解时级数收敛学习必备欢迎下载时级数发散时时讨论级数的敛散性解设学习必备欢迎下载因此该级数收敛例讨论级数的敛散性解级数
18、发散级数与数列的关系对应部分和数列收敛收敛对每个数列对应级数对该级数有于是数列收敛级数收敛可见级数与数列是同一问题的两种不同形式学习必备 欢迎下载 例 3 几何级数 是绝对收敛的.将 按 Cauchy 乘积排列,得到 .四.型如 的级数判敛法：1Abel判别法：引理 1 （分部求和公式，或称Abel变换）设 和（）为两组实数.记.则 .证 注意到,有 问题是如何化归为部分和数列收敛问题的理解并掌握收敛的几种判别法记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性教学重点难点本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别难点是一般级数敛散性的判别法教学时数为级数的敛散性与和介绍从有限和入手引出无限和
19、的极限思想以在中学学过的无穷等比级数为蓝本定义敛散性级数的和余和以及求和等概念例讨论几何级数的敛散性这是一个重要例题解时级数收敛学习必备欢迎下载时级数发散时时讨论级数的敛散性解设学习必备欢迎下载因此该级数收敛例讨论级数的敛散性解级数发散级数与数列的关系对应部分和数列收敛收敛对每个数列对应级数对该级数有于是数列收敛级数收敛可见级数与数列是同一问题的两种不同形式学习必备 欢迎下载 .分部求和公式是离散情况下的分部积分公式.事实上,.可见Abel变换式中的 相当于上式中的,而差 相当于,和式相当于积分.引理 2 (Abel)设、和 如引理 1.若 单调,又对,有，则 .证 不妨设.系 设,().和
20、如.有.(参引理 2 证明)问题是如何化归为部分和数列收敛问题的理解并掌握收敛的几种判别法记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性教学重点难点本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别难点是一般级数敛散性的判别法教学时数为级数的敛散性与和介绍从有限和入手引出无限和的极限思想以在中学学过的无穷等比级数为蓝本定义敛散性级数的和余和以及求和等概念例讨论几何级数的敛散性这是一个重要例题解时级数收敛学习必备欢迎下载时级数发散时时讨论级数的敛散性解设学习必备欢迎下载因此该级数收敛例讨论级数的敛散性解级数发散级数与数列的关系对应部分和数列收敛收敛对每个数列对应级数对该级数有于是数列收敛级数收敛可见
21、级数与数列是同一问题的两种不同形式学习必备 欢迎下载 Th 7 (Abel判别法)设 级数 收敛，数列 单调有界.则 级数 收敛.证 (用Cauchy收敛准则,利用Abel引理估计尾项)设,由 收敛,对 时,对,有.于是当 时对 有 .由Cauchy收敛准则,收敛.2.Dirichlet 判别法:Th 8 (Dirichlet)设 级数 的部分和有界,数列 单调趋于零.则级数 收敛.证 设,则,对,有 .不妨设 0,对.此时就有 .由Cauchy收敛准则,收敛.问题是如何化归为部分和数列收敛问题的理解并掌握收敛的几种判别法记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性教学重点难点本章的重点是级数敛
22、散性的概念和正项级数敛散性的判别难点是一般级数敛散性的判别法教学时数为级数的敛散性与和介绍从有限和入手引出无限和的极限思想以在中学学过的无穷等比级数为蓝本定义敛散性级数的和余和以及求和等概念例讨论几何级数的敛散性这是一个重要例题解时级数收敛学习必备欢迎下载时级数发散时时讨论级数的敛散性解设学习必备欢迎下载因此该级数收敛例讨论级数的敛散性解级数发散级数与数列的关系对应部分和数列收敛收敛对每个数列对应级数对该级数有于是数列收敛级数收敛可见级数与数列是同一问题的两种不同形式学习必备 欢迎下载 取 0,由Dirichlet判别法,得交错级数 收敛.可见Leibniz判别法是Dirichlet判别法的特
23、例.由Dirichlet判别法可导出 Abel判别法.事实上,由数列 单调有界,收敛,设.考虑级数,单调趋于零,有界,级数 收敛,又级数 收敛,级数 收敛.例 4 设 0.证明级数 和 对 收敛.证 ，时，.可见 时,级数 的部分和有界.由Dirichlet判别法推得级数收敛.同理可得级数数 收敛.习 题 课 例 1 判断级数 的敛散性.问题是如何化归为部分和数列收敛问题的理解并掌握收敛的几种判别法记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性教学重点难点本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别难点是一般级数敛散性的判别法教学时数为级数的敛散性与和介绍从有限和入手引出无限和的极限思想以在
24、中学学过的无穷等比级数为蓝本定义敛散性级数的和余和以及求和等概念例讨论几何级数的敛散性这是一个重要例题解时级数收敛学习必备欢迎下载时级数发散时时讨论级数的敛散性解设学习必备欢迎下载因此该级数收敛例讨论级数的敛散性解级数发散级数与数列的关系对应部分和数列收敛收敛对每个数列对应级数对该级数有于是数列收敛级数收敛可见级数与数列是同一问题的两种不同形式学习必备 欢迎下载 解 注意到,所论级数绝对收敛,故收敛.(用 D-判法亦可).例 2 考查级数 的绝对及条件收敛性.解 时为Leibniz型级数,条件收敛;时,绝对收敛.例 3 若.交错级数 是否必收敛?解 未必.考查交错级数 .这是交错级数,有.但该
25、级数发散.因为否则应有级数 收敛.而.由该例可见,在Leibniz判别法中,条件 单调是不可少的.例 4 判断级数 问题是如何化归为部分和数列收敛问题的理解并掌握收敛的几种判别法记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性教学重点难点本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别难点是一般级数敛散性的判别法教学时数为级数的敛散性与和介绍从有限和入手引出无限和的极限思想以在中学学过的无穷等比级数为蓝本定义敛散性级数的和余和以及求和等概念例讨论几何级数的敛散性这是一个重要例题解时级数收敛学习必备欢迎下载时级数发散时时讨论级数的敛散性解设学习必备欢迎下载因此该级数收敛例讨论级数的敛散性解级数发散级
26、数与数列的关系对应部分和数列收敛收敛对每个数列对应级数对该级数有于是数列收敛级数收敛可见级数与数列是同一问题的两种不同形式学习必备 欢迎下载 的敛散性.解 从首项开始,顺次把两项括在一起,注意到,以及 级数,所论级数发散.例 5 设级数 收敛.证明级数 收敛.证 .由 Abel 或Dirichlet判法,收敛.例 6 ,判断级数 的敛散性.解 .,现证 级数 收敛:因 时不 ,又 ,由Dirichlet判法,级数 收敛.故本题所论级数发散.例 7 判断级数 的绝对收敛性.解 由Dirichlet判法,得级数收敛.但.问题是如何化归为部分和数列收敛问题的理解并掌握收敛的几种判别法记住一些特殊而常
27、用的级数收敛判别法及敛散性教学重点难点本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别难点是一般级数敛散性的判别法教学时数为级数的敛散性与和介绍从有限和入手引出无限和的极限思想以在中学学过的无穷等比级数为蓝本定义敛散性级数的和余和以及求和等概念例讨论几何级数的敛散性这是一个重要例题解时级数收敛学习必备欢迎下载时级数发散时时讨论级数的敛散性解设学习必备欢迎下载因此该级数收敛例讨论级数的敛散性解级数发散级数与数列的关系对应部分和数列收敛收敛对每个数列对应级数对该级数有于是数列收敛级数收敛可见级数与数列是同一问题的两种不同形式学习必备 欢迎下载 仿例 6 讨论,知本题所论级数条件收敛.例 8 设级
28、数绝对收敛,收敛.证明级数 收敛.证 先证数列收敛.事实上,收敛,收敛.令,则数列 收敛,故有界.设,于是由Abel变换,有 ,(或 而,收敛.又 数列 和 收敛,数列 收敛,部分和数列 收敛.例 9 设数列 收敛,级数 收敛.证明级数 收敛.证 注意到 ,收敛.例 10 设,.证明级数 收敛.问题是如何化归为部分和数列收敛问题的理解并掌握收敛的几种判别法记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性教学重点难点本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别难点是一般级数敛散性的判别法教学时数为级数的敛散性与和介绍从有限和入手引出无限和的极限思想以在中学学过的无穷等比级数为蓝本定义敛散性级数的
29、和余和以及求和等概念例讨论几何级数的敛散性这是一个重要例题解时级数收敛学习必备欢迎下载时级数发散时时讨论级数的敛散性解设学习必备欢迎下载因此该级数收敛例讨论级数的敛散性解级数发散级数与数列的关系对应部分和数列收敛收敛对每个数列对应级数对该级数有于是数列收敛级数收敛可见级数与数列是同一问题的两种不同形式学习必备 欢迎下载 证法一 由 ,.因此,所论级数是Leibniz型级数,故收敛.证法二 ,.由Dirichlet判法,收敛.问题是如何化归为部分和数列收敛问题的理解并掌握收敛的几种判别法记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性教学重点难点本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别难点是一般级数敛散性的判别法教学时数为级数的敛散性与和介绍从有限和入手引出无限和的极限思想以在中学学过的无穷等比级数为蓝本定义敛散性级数的和余和以及求和等概念例讨论几何级数的敛散性这是一个重要例题解时级数收敛学习必备欢迎下载时级数发散时时讨论级数的敛散性解设学习必备欢迎下载因此该级数收敛例讨论级数的敛散性解级数发散级数与数列的关系对应部分和数列收敛收敛对每个数列对应级数对该级数有于是数列收敛级数收敛可见级数与数列是同一问题的两种不同形式