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1、学习必备 欢迎下载 第十三章 函数列与函数项级数 教学目的：1.使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数；2.掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。教学重点难点：本章的重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛的概念、判别及应用。教学时数：20 学时 1 一致收敛性 一 函数列及极限函数：对定义在区间 I 上的函数列，介绍概念：收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念.逐点收敛(或称为“点态收敛”)的“”定义.例 1 对定义在 内的等比函数列,用“”定义验证其收敛域为,且 例 2.用“”定义验证在 内.例 3 考查以下函数列的收敛域与
2、极限函数:.学习必备 欢迎下载.设 为区间 上的全体有理数所成数列.令,.,.有,.（注意.）二.函数列的一致收敛性:问题:若在数集 D 上,.试问:通项 的解析性质是否必遗传给极限函数?答案是否定的.上述例 1、例 3 说明连续性未能遗传,而例 3 说明可积性未能遗传.例 3说明虽然可积性得到遗传,但.掌握如何利用函数列或函数项级数来研究被它表示的函数的性质教学重点难点本章的重点是函数列一致收敛的概念性质难点是一致收敛的概念判别及应用教学时数学时一致收敛性一函数列及极限函数对定义在区间上的函数列介绍概 函数列用定义验证其收敛域为且例用定义验证在内例考查以下函数列的收敛域与极限函数学习必备欢迎
3、下载设为区间上的全体有理数所成数列令有注意二函数列的一致收敛性问题若在数集上试问通项的解析性质是否必遗传给极限函 迎下载用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段特别是表达非初等函数的一种手段对这种函数就是其表达式于是由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要那末在什么条件下通项函数的解析性质能遗学习必备 欢迎下载 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段.特别是表达非初等函数的一种手段.对这种函数,就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要.那末,在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢?一个充分条件就是所谓“一致收敛”.一致
4、收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果.定义(一致收敛)一致收敛的几何意义.Th1(一致收敛的 Cauchy 准则)函数列 在数集 D 上一致收敛,.(介绍另一种形式.)证(利用式)易见逐点收敛.设,有.令,对 D 成立,即,，D.推论 1 在 D 上,，.推论 2 设在数集 D 上,.若存在数列 D,使,则函数列 在数集 D 上非一致收敛.应用系 2 判断函数列 在数集 D 上非一致收敛时,常选 为函数 掌握如何利用函数列或函数项级数来研究被它表示的函数的性质教学重点难点本章的重点是函数列一致收敛的概念性质难点是一致收敛的概念判别及应用教学时数学时一致收敛性一函数列及极限函数对定义在区
5、间上的函数列介绍概 函数列用定义验证其收敛域为且例用定义验证在内例考查以下函数列的收敛域与极限函数学习必备欢迎下载设为区间上的全体有理数所成数列令有注意二函数列的一致收敛性问题若在数集上试问通项的解析性质是否必遗传给极限函 迎下载用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段特别是表达非初等函数的一种手段对这种函数就是其表达式于是由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要那末在什么条件下通项函数的解析性质能遗学习必备 欢迎下载 在数集 D 上的最值点.验证函数一致收敛性:例 4.证明函数列 在 R 内一致收敛.例 5.证明在 R 内,但不一致收敛.证 显然有,在点 处取得极大值,
6、.由系 2,不一致收敛.例 6.证明在 内,.证 易见 而 在 内成立.由系 1,例 7 对定义在区间 上的函数列 证明:,但在 上不一致收敛.P38 39 例 3,参图 13-4.掌握如何利用函数列或函数项级数来研究被它表示的函数的性质教学重点难点本章的重点是函数列一致收敛的概念性质难点是一致收敛的概念判别及应用教学时数学时一致收敛性一函数列及极限函数对定义在区间上的函数列介绍概 函数列用定义验证其收敛域为且例用定义验证在内例考查以下函数列的收敛域与极限函数学习必备欢迎下载设为区间上的全体有理数所成数列令有注意二函数列的一致收敛性问题若在数集上试问通项的解析性质是否必遗传给极限函 迎下载用函
7、数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段特别是表达非初等函数的一种手段对这种函数就是其表达式于是由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要那末在什么条件下通项函数的解析性质能遗学习必备 欢迎下载 证 时,只要,就有.因此,在 上有.,.于是,在 上有.但由于,因此,该函数列在 上不一致收敛.例 8.考查函数列 在下列区间上的一致收敛性:;.三.函数项级数及其一致收敛性:1 函数项级数及其和函数：，,前 项部分和函数列，收敛点，收敛域,和函数,余项.例 9 定义在 内的函数项级数(称为几何级数)的部分和函数列为,收敛域为.2.一致收敛性:定义一致收敛性.掌握如何利用函数列或函数项
8、级数来研究被它表示的函数的性质教学重点难点本章的重点是函数列一致收敛的概念性质难点是一致收敛的概念判别及应用教学时数学时一致收敛性一函数列及极限函数对定义在区间上的函数列介绍概 函数列用定义验证其收敛域为且例用定义验证在内例考查以下函数列的收敛域与极限函数学习必备欢迎下载设为区间上的全体有理数所成数列令有注意二函数列的一致收敛性问题若在数集上试问通项的解析性质是否必遗传给极限函 迎下载用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段特别是表达非初等函数的一种手段对这种函数就是其表达式于是由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要那末在什么条件下通项函数的解析性质能遗学习必备 欢迎下
9、载 Th2(Cauchy 准则)级数 在区间 D 上一致收敛,对 D 成立.推论 级数 在区间 D 上一致收敛,.Th3 级数 在区间 D 上一致收敛,.例 10 证明级数 在 R 内一致收敛.证 令=,则 时 对 R 成立.例 11 几何级数 在区间 上一致收敛；但在 内非一致收敛.证 在区间 上,有,.一致收敛;掌握如何利用函数列或函数项级数来研究被它表示的函数的性质教学重点难点本章的重点是函数列一致收敛的概念性质难点是一致收敛的概念判别及应用教学时数学时一致收敛性一函数列及极限函数对定义在区间上的函数列介绍概 函数列用定义验证其收敛域为且例用定义验证在内例考查以下函数列的收敛域与极限函数
10、学习必备欢迎下载设为区间上的全体有理数所成数列令有注意二函数列的一致收敛性问题若在数集上试问通项的解析性质是否必遗传给极限函 迎下载用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段特别是表达非初等函数的一种手段对这种函数就是其表达式于是由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要那末在什么条件下通项函数的解析性质能遗学习必备 欢迎下载 而在区间 内,取,有,.非一致收敛.(亦可由通项 在区间 内非一致收敛于零,非一致收敛.)几何级数 虽然在区间 内非一致收敛,但在包含于 内的任何闭区间上却一致收敛.我们称这种情况为“闭一致收敛”.因此,我们说几何级数 在区间 内闭一致收敛.四.函数项
11、级数一致收敛判别法:1.M-判别法:Th 4(Weierstrass 判别法)设级数 定义在区间 D 上,是收敛的正项级数.若当 充分大时,对 D 有|,则 在 D 上一致收敛.证 然后用 Cauchy 准则.掌握如何利用函数列或函数项级数来研究被它表示的函数的性质教学重点难点本章的重点是函数列一致收敛的概念性质难点是一致收敛的概念判别及应用教学时数学时一致收敛性一函数列及极限函数对定义在区间上的函数列介绍概 函数列用定义验证其收敛域为且例用定义验证在内例考查以下函数列的收敛域与极限函数学习必备欢迎下载设为区间上的全体有理数所成数列令有注意二函数列的一致收敛性问题若在数集上试问通项的解析性质是
12、否必遗传给极限函 迎下载用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段特别是表达非初等函数的一种手段对这种函数就是其表达式于是由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要那末在什么条件下通项函数的解析性质能遗学习必备 欢迎下载 亦称此判别法为优级数判别法.称满足该定理条件的正项级数 是级数 的一个 优级数.于是 Th 4 可以叙述为:若级数 在区间 D 上存在优级数,则级数 在区间 D 上一致收敛.应用时,常可试取.但应注意,级数 在区间 D 上不存在优级数,级数 在区间 D 上非一致收敛.注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在.例 12 判断函数项级数
13、和 在 R 内的一致收敛性.例 13 设 是区间 上的单调函数.试证明:若级数 与 都绝对收敛,则级数 在区间 上绝对并一致收敛.简证,留为作业.2.Abel 判别法:Th 5 设 级数 在区间 上收敛;对每个,数列 单调;函数列 在 上一致有界,即,使对 和,有.则级数 在区间 上一致收敛.(1P43)2.Dirichlet 判别法:掌握如何利用函数列或函数项级数来研究被它表示的函数的性质教学重点难点本章的重点是函数列一致收敛的概念性质难点是一致收敛的概念判别及应用教学时数学时一致收敛性一函数列及极限函数对定义在区间上的函数列介绍概 函数列用定义验证其收敛域为且例用定义验证在内例考查以下函数
14、列的收敛域与极限函数学习必备欢迎下载设为区间上的全体有理数所成数列令有注意二函数列的一致收敛性问题若在数集上试问通项的解析性质是否必遗传给极限函 迎下载用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段特别是表达非初等函数的一种手段对这种函数就是其表达式于是由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要那末在什么条件下通项函数的解析性质能遗学习必备 欢迎下载 Th 6 设 级数 的部分和函数列 在区间 上一致有界;对于每一个,数列 单调;在区间 上函数列 一致收敛于零.则级数 在区间 上一致收敛.例 14 判断函数项级数 在区间 上的一致收敛性.解 记.则有 级数 收敛;对每个,；对 和
15、 成立.由 Abel 判别法,在区间 上一致收敛.例 15 设数列 单调收敛于零.试证明:级数 在区间 上一致收敛.证 在 上有.可见级数 的部分和函数列在区间 上一致有界.取,.就有级数 的部分和函数列在区间 上一致有界,而函数列 对每一个 单调且一掌握如何利用函数列或函数项级数来研究被它表示的函数的性质教学重点难点本章的重点是函数列一致收敛的概念性质难点是一致收敛的概念判别及应用教学时数学时一致收敛性一函数列及极限函数对定义在区间上的函数列介绍概 函数列用定义验证其收敛域为且例用定义验证在内例考查以下函数列的收敛域与极限函数学习必备欢迎下载设为区间上的全体有理数所成数列令有注意二函数列的一
16、致收敛性问题若在数集上试问通项的解析性质是否必遗传给极限函 迎下载用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段特别是表达非初等函数的一种手段对这种函数就是其表达式于是由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要那末在什么条件下通项函数的解析性质能遗学习必备 欢迎下载 致收敛于零.由 Dirichlet 判别法,级数 在区间 上一致收 敛.其实,在数列 单调收敛于零的条件下,级数 在不包含 的任何区间上都一致收敛.习 题 课 例 1 设,.且,.若对每个自然数 有|对 成立,则函数列 在 上一致收敛于函数.例 2 证明函数列 在区间 上非一致收敛.例 3,.讨论函数列 的一致收敛性
17、.解 0,.|0|.可求得.函数列 在区间 上非一致收敛.例 4 设函数 在区间 上连续.定义.试证明函数列 在区间 上一致收敛于零.掌握如何利用函数列或函数项级数来研究被它表示的函数的性质教学重点难点本章的重点是函数列一致收敛的概念性质难点是一致收敛的概念判别及应用教学时数学时一致收敛性一函数列及极限函数对定义在区间上的函数列介绍概 函数列用定义验证其收敛域为且例用定义验证在内例考查以下函数列的收敛域与极限函数学习必备欢迎下载设为区间上的全体有理数所成数列令有注意二函数列的一致收敛性问题若在数集上试问通项的解析性质是否必遗传给极限函 迎下载用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段特别是
18、表达非初等函数的一种手段对这种函数就是其表达式于是由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要那末在什么条件下通项函数的解析性质能遗学习必备 欢迎下载 证法一 由 有界.设在区间 上|.|;|;|.注意到对,.0,.证法二.有界.设在区间 上|.把函数 在点 展开成具 Lagrange 型余项的 阶 Taylor 公式,注意到,就有,掌握如何利用函数列或函数项级数来研究被它表示的函数的性质教学重点难点本章的重点是函数列一致收敛的概念性质难点是一致收敛的概念判别及应用教学时数学时一致收敛性一函数列及极限函数对定义在区间上的函数列介绍概 函数列用定义验证其收敛域为且例用定义验证在内例考
19、查以下函数列的收敛域与极限函数学习必备欢迎下载设为区间上的全体有理数所成数列令有注意二函数列的一致收敛性问题若在数集上试问通项的解析性质是否必遗传给极限函 迎下载用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段特别是表达非初等函数的一种手段对这种函数就是其表达式于是由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要那末在什么条件下通项函数的解析性质能遗学习必备 欢迎下载,.所以,0,.例 5 设.且,.令,.试证明:若对 和,有,则函数列 在区间 上一致收敛.证 对 取,使 时,有.于是对任何自然数 和,有.由 Cauchy 收敛准则,函数列 在区间 上一致收敛.例 6 设在数集 上函数列
20、 一致收敛于函数.若每个 在数集 上有界,则函数列 在数集 上一致有界.证(先证函数 在数集 上有界)设在 上有|.对,由函数列 在数集 上一致收敛,当 时,对,有|,掌握如何利用函数列或函数项级数来研究被它表示的函数的性质教学重点难点本章的重点是函数列一致收敛的概念性质难点是一致收敛的概念判别及应用教学时数学时一致收敛性一函数列及极限函数对定义在区间上的函数列介绍概 函数列用定义验证其收敛域为且例用定义验证在内例考查以下函数列的收敛域与极限函数学习必备欢迎下载设为区间上的全体有理数所成数列令有注意二函数列的一致收敛性问题若在数集上试问通项的解析性质是否必遗传给极限函 迎下载用函数列的极限表示
21、函数是函数表达的一种重要手段特别是表达非初等函数的一种手段对这种函数就是其表达式于是由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要那末在什么条件下通项函数的解析性质能遗学习必备 欢迎下载|.即函数 在数集 上有界.(次证函数列 在数集 上一致有界)时,对,有|,|.取 易见对 和 有|.即函数列 在数集 上一致有界.例 7 设 为定义在区间 上的函数列,且对每个,函数 在点 右连续,但数列 发散.试证明:对),函数列 在区间 内都不一致收敛.证 反设,使 在区间 内一致收敛.则对,有 对 成立.为 Cauchy列,即 收敛.与已知条件矛盾.2 一致收敛函数列和函数项级数的性质 一.一
22、致收敛函数列极限函数的解析性质:1.连续性:掌握如何利用函数列或函数项级数来研究被它表示的函数的性质教学重点难点本章的重点是函数列一致收敛的概念性质难点是一致收敛的概念判别及应用教学时数学时一致收敛性一函数列及极限函数对定义在区间上的函数列介绍概 函数列用定义验证其收敛域为且例用定义验证在内例考查以下函数列的收敛域与极限函数学习必备欢迎下载设为区间上的全体有理数所成数列令有注意二函数列的一致收敛性问题若在数集上试问通项的解析性质是否必遗传给极限函 迎下载用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段特别是表达非初等函数的一种手段对这种函数就是其表达式于是由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性
23、质就显得十分重要那末在什么条件下通项函数的解析性质能遗学习必备 欢迎下载 Th 1 设在 上,且对,函数 在 上连续,在 上连续.证(要证:对,在点 连续.即证:对,当|时,.).估计上式右端三项.由一致收敛,第一、三两项可以任意小;而由函数 在点 连续,第二项 也可以任意小.推论 设在 上.若 在 上间断，则函数列 在 上一致收敛和所有 在 上连续不能同时成立.註 Th1 表明:对于各项都连续且一致收敛的函数列,有.即极限次序可换.2.可积性:Th 2 若在区间 上函数列 一致收敛,且每个 在 上连续.则有.证 设在 上,由 Th1,函数 在区间 上连续,因此可积.我们要证.注意到 掌握如何
24、利用函数列或函数项级数来研究被它表示的函数的性质教学重点难点本章的重点是函数列一致收敛的概念性质难点是一致收敛的概念判别及应用教学时数学时一致收敛性一函数列及极限函数对定义在区间上的函数列介绍概 函数列用定义验证其收敛域为且例用定义验证在内例考查以下函数列的收敛域与极限函数学习必备欢迎下载设为区间上的全体有理数所成数列令有注意二函数列的一致收敛性问题若在数集上试问通项的解析性质是否必遗传给极限函 迎下载用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段特别是表达非初等函数的一种手段对这种函数就是其表达式于是由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要那末在什么条件下通项函数的解析性质能
25、遗学习必备 欢迎下载,可见只要 在 上成立.Th2 的条件可减弱为:用条件“在 上(R)可积”代替条件“在 上连续”.关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作.其中之一是:Th 设 是定义在区间 上的函数列.若 在 上收敛且一致可积,则其极限函数 在 上(R)可积,且有.3.可微性:Th 3 设函数列 定义在区间 上,在某个点 收敛.对,在 上连续可导,且由导函数构成的函数列 在 上一致收敛,则函数列 在区间 上收敛,且有.证 设，.,.对,注意到函数 连续和+,就有+（对第二项交换极限与积分次序）掌握如何利用函数列或函数项级数来研究被它表示的函数的性质教学重点难点本章的重点是函数列一致收敛
26、的概念性质难点是一致收敛的概念判别及应用教学时数学时一致收敛性一函数列及极限函数对定义在区间上的函数列介绍概 函数列用定义验证其收敛域为且例用定义验证在内例考查以下函数列的收敛域与极限函数学习必备欢迎下载设为区间上的全体有理数所成数列令有注意二函数列的一致收敛性问题若在数集上试问通项的解析性质是否必遗传给极限函 迎下载用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段特别是表达非初等函数的一种手段对这种函数就是其表达式于是由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要那末在什么条件下通项函数的解析性质能遗学习必备 欢迎下载+.估计|+|+|,可证得.即.亦即求导运算与极限运算次序可换.例
27、 1 P38 例 1(说明定理的条件是充分的,但不必要.)例 2 P39 例 2(说明定理的条件是充分的,但不必要.)Ex P42 9，11 P43 4.二.一致收敛函数项级数和函数的解析性质:把上述 Th1 3 表为函数项级数的语言，即得关于和函数解析性质的相应结果.例 3 P40 例 3 例 4 证明函数 在区间 内连续.证(先证 在区间 内闭一致收敛.)对，有，；又，在 一致收敛.掌握如何利用函数列或函数项级数来研究被它表示的函数的性质教学重点难点本章的重点是函数列一致收敛的概念性质难点是一致收敛的概念判别及应用教学时数学时一致收敛性一函数列及极限函数对定义在区间上的函数列介绍概 函数列
28、用定义验证其收敛域为且例用定义验证在内例考查以下函数列的收敛域与极限函数学习必备欢迎下载设为区间上的全体有理数所成数列令有注意二函数列的一致收敛性问题若在数集上试问通项的解析性质是否必遗传给极限函 迎下载用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段特别是表达非初等函数的一种手段对这种函数就是其表达式于是由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要那末在什么条件下通项函数的解析性质能遗学习必备 欢迎下载(次证对,在点 连续)对,由上段讨论,在区间 上一致收敛;又函数 连续,在区间 上连续,在点 连续.由点 的任意性,在区间 内连续.例 5,.计算积分.掌握如何利用函数列或函数项级数来研究被它表示的函数的性质教学重点难点本章的重点是函数列一致收敛的概念性质难点是一致收敛的概念判别及应用教学时数学时一致收敛性一函数列及极限函数对定义在区间上的函数列介绍概 函数列用定义验证其收敛域为且例用定义验证在内例考查以下函数列的收敛域与极限函数学习必备欢迎下载设为区间上的全体有理数所成数列令有注意二函数列的一致收敛性问题若在数集上试问通项的解析性质是否必遗传给极限函 迎下载用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段特别是表达非初等函数的一种手段对这种函数就是其表达式于是由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要那末在什么条件下通项函数的解析性质能遗