《2023年人教A版高中数学选择性必修第三册 教学设计 第8章 成对数据的统计分析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年人教A版高中数学选择性必修第三册 教学设计 第8章 成对数据的统计分析.pdf（68页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、8.1成 对 数 据 的 相 关 关 系 教 材 分 析 本 节 课 选 自 2019人 教 A 版 高 中 数 学 选 择 性 必 修 第 三 册，第 七 章 随 机 变 量 及 其 分 布 列，本 节 课 主 本 节 课 主 要 学 习 成 对 数 据 的 相 关 关 系 本 章 主 要 学 习 统 计 方 面 知 识，在 之 前 学 生 已 经 对 统 计 相 关 的 知 识 做 了 大 概 的 了 解，本 节 学 生 要 继 续 探 讨 的 是 变 量 之 间 的 相 关 关 系，变 量 之 间 有 两 类 关 系；函 数 关 系 和 相 关 关 系，它 们 的 联 系 与 区 别；并
2、 了 解 线 性 相 关 及 相 关 系 数，为 了 解 线 性 回 归 的 基 本 思 想 和 方 法 以 及 求 回 归 直 线 的 方 程 和 相 关 性 检 验 做 准 备。教 学 目 标 与 核 心 素 养 课 程 目 标 学 科 素 养 A.理 解 两 个 变 量 的 相 关 关 系 的 概 念；1.数 学 抽 象：相 关 关 系 B.会 作 散 点 图，并 利 用 散 点 图 判 断 两 个 变 2.逻 辑 推 理：相 关 系 数 公 式 推 导 量 之 间 是 否 具 有 相 关 关 系；3.数 学 运 算：求 相 关 系 数 D.会 根 据 相 关 系 数 判 断 两 个 变
3、 量 的 相 关 程 度.4.数 学 建 模：模 型 化 思 想 重 点 难 点 重 点：相 关 关 系 的 概 念 及 利 用 散 点 图 判 断 两 个 变 量 之 间 是 否 具 有 相 关 关 系 难 点：根 据 相 关 系 数 判 断 两 个 变 量 的 相 关 程 度 课 前 准 备 多 媒 体 教 学 过 程1.下 列 关 系 是 相 关 关 系 的 是.（填 序 号）曲 线 上 的 点 与 该 点 的 坐 标 之 间 的 关 系：教 学 过 程 教 学 设 计 意 图 核 心 素 养 目 标 苹 果 的 产 量 与 气 候 之 间 的 关 系；森 林 中 同 一 种 树 木，其
4、 断 面 直 径 与 高 度 之 间 的 关 系；学 生 与 其 学 号 之 间 的 关 系.解 析：利 用 相 关 关 系 的 概 念 进 行 判 断.中 两 个 变 量 之 间 的 关 系 是 一 种 确 定 性 关 系,而 中 的 两 个 变 量 之 间 的 关 系 是 不 确 定 的，所 以 它 们 具 有 相 关 关 系.探 究 1:在 对 人 体 的 脂 肪 的 含 量 和 年 龄 之 间 关 系 的 研 究 中，科 研 人 员 获 得 了 一 些 年 龄 和 脂 肪 含 量 的 简 单 随 机 样 本 数 据，如 表 所 示，表 中 每 个 编 号 下 的 年 龄 和 脂 肪 含
5、 量 数 据 都 是 对 同 一 个 体 的 观 测 结 果，它 们 构 成 了 成 对 数 据。根 据 以 上 数 据，你 能 推 新 人 体 的 脂 肪 含 量 与 年 龄 之 间 存 在 怎 样 的 关 系 吗？成 对 样 本 数 据 都 可 用 直 角 坐 标 系 中 的 点 表 示 出 来，由 这 些 点 组 成 了 统 计 图.我 们 我 们 把 这 样 的 统 计 图 叫 做 散 点 图 05050505O14332211由 散 点 图 可 以 发 现，这 些 散 点 大 致 落 在 一 条 从 左 下 角 到 右 上 角 的 直 线 附 近，表 明 随 年 龄 值 的 增 加，
6、相 应 的 脂 肪 含 量 值 呈 现 增 高 的 趋 势.这 样，由 成 对 样 本 数 据 的 分 布 规 律，我 们 可 以 推 断 脂 肪 含 量 变 量 和 年 龄 变 量 之 间 存 在 着 相 关 关 系.变 量 相 关 关 系 的 分 类(1)正 相 关 和 负 相 关 如 果 从 整 体 上 看，当 一 个 变 量 的 值 增 加 时，另 一 个 变 量 的 相 应 值 也 呈 现 增 加 的 趋 势，我 们 就 称 这 两 个 变 量 正 相 关.当 一 个 变 量 的 值 增 加 时，另 一 个 变 量 的 相 应 值 也 呈 现 减 少 的 趋 势，称 这 两 个 变
7、量 负 相 关.正 相 关：根 据 样 本 数 据 所 作 得 散 点 图 中，若 点 散 布 在 从 左 下 角 到 右 上 角 的 区 域。对 于 两 个 变 量 的 这 种 相 关 关 系，我 们 称 之 为 正 相 关。负 相 关：根 据 样 本 数 据 所 作 得 散 点 图 中，若 点 散 布 在 从 左 上 角 到 右 下 角 的 区 域。对 于 两 个 变 量 的 这 种 相 关 关 系，我 们 称 之 为 负 相 关。线 性 相 关:散 点 图 是 描 述 成 对 数 据 之 间 关 系 的 一 种 直 观 方 法.一 般 地，如 果 两 个 变 量 的 取 值 呈 现 正
8、相 关 或 负 相 关，而 且 散 点 落 在 一 一 条 直 线 附 近，我 们 就 称 这 两 个 变 量 线 性 相 关；非 线 性 相 关:一 般 地，如 果 两 个 变 量 具 有 相 关 性，但 不 是 线 性 相 关，那 么 我 们 就 称 这 两 个 变 量 非 线 性 相 关 或 曲 线 相 关.y.121081 6 4 I 20 2 4 6 8 10 1214 x(2)y12io8.6,.4,:.2-00 2 4 6 8 10 1214 X(3)探 究 2.通 过 观 察 散 点 图 中 成 对 样 本 数 据 的 分 布 规 律，我 们 可 以 大 致 推 断 两 个 变
9、 量 是 否 存 在 相 关 关 系、是 正 相 关 还 是 负 相 关、是 线 性 相 关 还 是 非 线 性 相 关 等，散 点 图 虽 然 直 观，但 无 法 确 切 地 反 映 成 对 样 本 数 据 的 相 关 程 度，也 就 无 法 量 化 两 个 变 量 之 间 相 关 程 度 的 大 小.能 否 像 引 入 平 均 值、方 差 等 数 字 特 征 对 单 个 变 量 数 据 进 行 分 析 那 样，引 入 一 个 适 当 的“数 字 特 征，对 成 对 样 本 数 据 的 相 关 程 度 进 行 定 量 分 析 呢？对 于 变 量 x和 变 量 y,设 经 过 随 机 抽 样
10、得 到 的 成 对 数 据 为(x,y),(x,y),1 1 2 2 n n其 椁=句+.+-+,=方+力+为 n n将 数 据 以 值 力 为 零 点 进 行 平 移,得 到 平 移 后 的 成 对 数 据 为:(巧-工 力-分&-*必-办*一 心 一 刃 绘 制 散 点 图 为 05050505O14332211平 移这 时 的 散 点 大 多 数 分 布 在 第 一 象 限、第 三 象 限，大 多 数 散 点 的 横、纵 坐 标 同 号，显 然，这 样 的 规 律 是 由 人 体 脂 肪 含 量 与 年 龄 正 相 关 所 决 定 的。探 究 3：根 据 上 述 分 析，你 能 利 用
11、正 相 关 变 量 和 负 相 关 变 量 的 成 对 样 本 数 据 平 移 后 星 现 的 规 律,构 造 一 个 度 量 成 对 样 本 数 据 是 正 相 关 还 是 负 相 关 的 数 字 特 征 吗？根 据 散 点 图 特 征，初 步 构 造 统 计 量.利 用 散 点（看 一 6 色-分（1=1.2 的 横 纵 坐 标 是 否 同 号，可 以 构 造 一 个 量 L=：（占（M切+（切+行）（北 一 般 情 形 下】0表 明 成 对 样 本 数 据 正 相 关;L 0表 明 成 对 样 本 数 据 负 相 关.xy xy问 题 1：L 的 大 小 一 定 能 度 量 出 成 对
12、样 本 数 据 的 相 关 程 度 吗？.x y我 们 发 现，乙 的 大 小 与 数 据 的 度 量 单 位 有 关，所 以 不 能 直 接 用 它 度 量 成 对 样 本 数 据 相 关 程 度 xy的 大 小.4=飘 1叫-财（月 5+（岭-喇（启 0-7（1叫 网 卜-田-loot在 研 究 体 重 与 身 高 之 间 的 相 关 程 度 时，如 果 体 重 的 单 位 不 变,把 身 高 单 位 由 米 改 为 厘 米，单 位 的 改 变 不 会 改 变 体 重 与 身 高 之 间 的 相 关 程 度.为 了 消 除 单 位 的 影 响，进 一 步 做“标 准 化”处 理 为 简 单
13、 起 见,把 上 述“标 准 化 处 理 后 的 成 对 数 据 分 别 记 为 仿 照 乙 的 构 造，可 以 得 到 xy4 K 3（以 切+（用（必 切+（L-可 以 切 分 别 燎 片 区 如 一 刀（i=1.2 3 司 警 的 回,”回 _修 回样 本 相 关 系 数 r 是 一 个 描 述 成 对 样 本 数 据 的 数 字 特 征，它 的 正 负 和 绝 对 值 的 大 小 可 以 反 映 成 对 样 本 数 据 的 变 化 特 征：当 r0时，称 成 对 样 本 数 据 正 相 关；当 其 中 一 个 数 据 的 值 变 小 时，另 一 个 数 据 的 值 通 常 也 变 小；
14、当 其 中 一 个 数 据 的 值 变 大 时，另 一 个 数 据 的 值 通 常 也 变 大。当,。时，称 成 对 样 本 数 据 负 相 关；当 其 中 一 个 数 据 的 值 变 小 时.，另 一 个 数 据 的 值 通 常 会 变 大:当 其 中 一 个 数 据 的 值 变 大 时，另 一 个 数 据 的 值 通 常 会 变 小。样 本 相 关 系 数 E(-x)(yi-y)J x j-n x y _ i=l_ _ i=l_我 们 称 r为 变 量 x 和 变 量 y 的 样 本 相 关 系 数.样 本 相 关 系 数 r的 取 值 范 围 为-1,1,样 本 相 关 系 数 r的 绝
15、 对 值 大 小 可 以 反 映 成 对 样 本 数 据 之 间 线 性 相 关 的 程 度：当 仍 越 接 近 1时，成 对 样 本 数 据 的 线 性 相 关 程 度 越 强；当 出 越 接 近 0 时，成 对 样 本 数 据 的 线 性 相 关 程 度 越 弱.样 本 相 关 系 数 r有 时 也 称 样 本 线 性 相 关 系 数 M 刻 画 了 样 本 点 集 中 于 某 条 直 线 的 程 度.当，=0时，只 表 明 成 对 样 本 数 据 间 没 有 线 性 相 关 关 系，但 不 排 除 它 们 之 间 有 其 他 相 关 关 系.一、典 例 解 析 例 1.根 据 下 表 中
16、 脂 肪 含 量 和 年 龄 的 样 本 数 据，推 断 两 个 变 量 是 否 线 性 相 关,计 算 样 本 相 关 系 数,并 推 断 它 们 的 相 关 程 度.参 考 数 据：屋 48.07,运 27.26,=19403.2,x j=341 8 1$?=1 1 1.77 解：先 画 出 散 点 图，如 右 图/=1 f=l*=1所 示 观 察 散 点 图，可 以 看 出 样 本 点 都 集 中 在 一 条 直 线 附 近，山 此 推 断 脂 肪 含 量 和 年 龄 线 性 相 关.050505050433221119403 2-1 4 X 48（J7X27.X 二 1 a-._ R
17、0-97V34181-14 X48072 X V1105L77-14 XZ7.362由 样 本 相 关 系 数 r-0.9 7,可 以 推 断 脂 肪 含 量 和 年 龄 这 两 个 变 量 正 线 性 相 关，且 相 关 程 度 很 强。脂 肪 含 量 与 年 龄 变 化 趋 势 相 同.1.线 性 相 关 系 数 是 从 数 值 上 来 判 断 变 量 间 的 线 性 相 关 程 度，是 定 量 的 方 法.与 散 点 图 相 比 较，线 性 相 关 系 数 要 精 细 得 多，需 要 注 意 的 是 线 性 相 关 系 数 r 的 绝 对 值 小，只 是 说 明 线 性 相 关 程 度
18、低，但 不 一 定 不 相 关，可 能 是 非 线 性 相 关.2.利 用 相 关 系 数 厂 来 检 验 线 性 相 关 显 著 性 水 平 时，通 常 与 0.75作 比 较，若|r|0.7 5,则 线 性 相 关 较 为 显 著，否 则 不 显 著.例 2.有 人 收 集 了 某 城 市 居 民 年 收 入（所 有 居 民 在 一 年 内 收 入 的 总 和）与 A 商 品 销 售 额 的 10年 数 据，如 表 所 示.画 出 散 点 图，判 断 成 对 样 本 数 据 是 否 线 性 相 关，并 通 过 样 本 相 关 系 数 推 断 居 民 年 收 入 与 A商 品 销 售 额 的
19、 相 关 程 度 和 变 化 趋 势 的 异 同.解：从 散 点 图 看，A 商 品 销 售 额 与 居 民 年 收 入 的 样 本 数 据 呈 现 线 性 相 关 关 系.x=38,y=39,1()1()1()Xxj2=14665,X y：=15835,2XiYj=15170,例 3.在 某 校 高 一 年 级 中 随 机 抽 取 2 5名 男 生，测 得 他 们 的 身 高、体 重、臂 展 等 数 据,如 下 表 所 示.解:通 过 计 算 得 到 体 重 与 身 高、臂 展 与 身 高 的 样 本 相 关 系 数 分 别 约 为 0.34和 0.78,都 为 正 相 关.其 中，臂 展
20、与 身 高 的 相 关 程 度 更 高.体 重 与 身 高、臂 展 与 身 高 分 别 具 有 怎 样 的 相 关 性？跟 踪 训 练 1.由 于 往 届 高 三 年 级 数 学 学 科 的 学 习 方 式 大 都 是“刷 题 讲 题 一 再 刷 题”的 模 式，效 果 不 理 想.某 市 一 中 的 数 学 课 堂 教 改 采 用 了“记 题 型 刷题 检 测 效 果”的 模 式，并 记 录 了 某 学 生 的 记 题 型 时 间 X单 位：/?）与 检 测 效 果 y 的 数 据 如 表 所 示.据 统 计 表 明，y 与 r之 间 具 有 线 性 相 关 关 系，请 用 相 关 系 数
21、r加 以 说 明（若|倨 0.75,则 认 为 y 与 f有 很 强 的 线 性 相 关 关 系，否 则 认 为 没 有 很 强 的 线 性 相 关 关 系）.参 考 公 式 及 数 据:相 关 系 数 r=_ _Z t)(y i-y)=1X(t i-()2-i=lE 8-y)2i=l_ 7 _ 7 _ _y=4.3,z 0 L y)2=7.08,Z(L f)8-y)=14,98.24i=l i=l心 14.08.解：由 题 得 t=1+2+3+4+5+6+7-G-=47 一 f)2=9+4+1+0+1+4+9=28,/=1通 过 具 体 的 问 题 情 境，引 发 学 生 思 考 积 极 参
22、 与 互 动，说 出 自 己 见 解。从 而 引 入 相 关 关 系 的 概 念，发 展 学 生 逻 辑 推 理、数 学 运 算、数 学 抽 象 和 数 学 建 模 的 核 心 素 养。Z 3-t)-y)z=l _ _ 14(j(-y/Z=10.990.75,所 以 y 与 1有 很 强 的 线 性 相 关 关 系.通 过 问 题 分 析，让 学 生 掌 握 判 断 相 关 关 系 与 函 数 关 系 的 区 别 与 联 系。发 展 学 生 逻 辑 推 理，直 观 想 象、数 学 抽 象 和 数 学 运 算 的 核 心 素 养。通 过 具 体 的 问 题 情 境 中 的 分 析，深 化 对 相
23、 关 系 数 的 理 解。发 展 学 生 逻 辑 推 理，直 观 想 象、数 学 抽 象 和 数 学 运 算 的 核 心 素 养。通 过 典 型 例 题 的 分 析 解 决，提 升 学 生 对 相 关 系 数 的 理 解 和 运 用。发 展 学 生 逻 辑 推 理，直 观 想 象、数 学 抽 象 和 数 学 运 算 的 核 心 素 养。三、达 标 检 测 1.判 断（正 确 的 打“J”，错 误 的 打“X”）.（1）变 量 之 间 只 有 函 数 关 系，不 存 在 相 关 关 系.（）（2）两 个 变 量 之 间 产 生 相 关 关 系 的 原 因 受 许 多 不 确 定 的 随 机 因
24、素 的 影 响.（）（3）两 个 变 量 的 相 关 系 数 越 大，它 们 的 相 关 程 度 越 强.（）（4）若 相 关 系 数 r=0,则 两 变 量 x,y 之 间 没 有 关 系.（）答 案：（1）（3）（4）错；（2）对 通 过 练 习 巩 固 本 节 所 学 知 识，通 过 学 生 解 决 问 题，发 展 学 生 的 数 学 运 算、逻 辑 推 理、直 观 想 象、数 学 建 模 的 核 心 素 2.下 列 各 图 中 所 示 的 两 个 变 量 具 有 相 关 关 系 的 是（）养。D 解 析：（1）为 函 数 关 系：（2）（3）为 相 关 关 系；（4）中，因 为 点 分
25、 布 得 比 较 分 散，两 者 之 间 无 相 关 关 系.3.对 变 量 x,y 有 观 测 数 据（为，y）（i=l,2,3,，10）,得 散 点 图 1；对 变 量 小。有 观 测 数 据（”5）0=1,2,3,，10）,得 散 点 图 2,由 这 两 个 散 点 图 可 以 断 定（）八 v30-60-25-5020-.40 一 15-*30-.,.10-二 20A-10一 1 1 1 1 1 1 1.01 2 3 4 5 6 7%0 1 2 3 4 5 6 7图 1 图 21.X”与 y 正 相 关，与。正 相 关 B.x 与 y 正 相 关，与。负 相 关.x 与 y 负 相 关
26、，与。正 相 关 D.x 与 y 负 相 关，与。负 相 关 C 解 析：由 题 图 1 可 知，点 散 布 在 从 左 上 角 到 右 下 角 的 区 域，各 点 整 体 呈 递 减 趋 势，故 x 与 y 负 相 关；由 题 图 2 可 知，点 散 布 在 从 左 下 角 到 右 上 角 的 区 域，各 点 整 体 呈 递 增 趋 势，故”与 正 相 关.4.在 建 立 两 个 变 量 y 与 x 的 回 归 模 型 中，分 别 选 择 了 4 个 不 同 模 型,它 们 的 相 关 系 数/有 如 下 四 个 选 项，其 中 拟 合 得 最 好 的 模 型 为（）A.模 型 1的 相 关
27、 系 数 r为 0.75B.模 型 2 的 相 关 系 数 r为 0.55C.模 型 3 的 相 关 系 数 r为 0.25D.模 型 4 的 相 关 系 数 r为 0.90D 解 析：D 中 相 关 系 数 r 的 绝 对 值 最 接 近 1,相 关 性 最 强，故 选 D.5.假 设 关 于 某 种 设 备 的 使 用 年 限 双 单 位:年）与 所 支 出 的 维 修 费 用 y（单 位：万 元）有 如 下 统 计 资 料：X 2 3 4 5 6y2.2 3.8 5.5 6.5 7.05 5 5 _己 知 4=9 0,汇*2140.8,2 通=1 1 2.3,市 y8.9,也-1.4.；
28、=1 1=1/=1 求 x,y；（2）对 x,y 进 行 线 性 相 关 性 检 验.2.2+3.8+5.5+6.5+7.0=5=5.5 _ _(2)2 以 一 5 x y=1 1 2.3-5 X 4 X 5=1 2.3,i=i5 _x 2=90 5 X 42=10,产 i5 _z y 5 y 2=140.8-125=15.8,/=Jz、，12.3 12.3 12.3-以/*=/1 0.987.10X15.8 V 1 5 8 平 义/两 所 以 有 把 握 认 为 x 与），之 间 具 有 线 性 相 关 关 系，去 求 回 归 直 线 方 程 是 有 意 义 的.四、小 结 判 断 变 量
29、的 相 关 性 通 常 有 两 种 方 式：1.散 点 图；2.相 关 系 数 r,前 者 只 能 粗 略 地 说 明 变 量 间 具 有 相 关 性,而 后 者 可 以 从 定 量 的 角 度 分 析 变 量 相 关 性 的 强 弱.五、课 时 练 通 过 总 结，让 学 生 进 一 步 巩 固 本 节 所 学 内 容，提 高 概 括 能 力。教 学 反 思 课 后 通 过 对 教 学 过 程 的 反 思 与 研 究，才 能 不 断 完 善 教 学 设 计 中 的 不 足，才 能 提 升 教 材 分 析 的 能 力 和 课 堂 教 学 实 效.1.多 元 展 示，多 方 评 价.在 教 学
30、过 程 中 我 借 问 题 牵 引，保 证 了 课 堂 教 学 的 顺 利 实 施；而 在 整 个 过 程 中，我 对 学 生 所 作 练 习、疑 问 及 时 解 析 评 价；学 生 之 间、小 组 之 间 的 互 相 评 价 补 充，使 学 生 共 享 成 果 分 享 喜 悦，坚 定 了 学 好 数 学 的 信 念，实 现 了 预 期 目 标.2.创 造 性 的 使 用 教 材.有 别 于 教 材，我 在 教 学 中,让 学 生 考 察 了 分 别 考 察 了 两 类 题 型 之 后 再 引 导 学 生 进 行 归 纳，这 样 更 贴 近 学 生 的 认 知 水 平，学 生 课 后 反 馈，
31、效 果 较 为 理 想.8.2 一 元 线 性 回 归 模 型 及 其 应 用 教 材 分 析 本 节 课 选 自 2019人 教 A 版 高 中 数 学 选 择 性 必 修 第 三 册，第 七 章 随 机 变 量 及 其 分 布 列，本 节 课 主 本 节 课 主 要 学 习 一 元 线 性 回 归 模 型 及 其 应 用.本 章 主 要 学 习 统 计 方 面 知 识，在 之 前 学 生 已 经 对 统 计 相 关 的 知 识 做 了 大 概 的 了 解，本 节 学 生 要 继 续 探 讨 的 是 变 量 之 间 的 相 关 关 系，变 量 之 间 有 两 类 关 系；函 数 关 系 和
32、相 关 关 系，它 们 的 联 系 与 区 别；并 了 解 线 性 相 关 及 相 关 系 数，为 了 解 线 性 回 归 的 基 本 思 想 和 方 法 以 及 求 回 归 直 线 的 方 程 和 相 关 性 检 验 做 准 备。教 学 目 标 与 核 心 素 养 课 程 目 标 学 科 素 养 教 学 过 程 教 学 设 计 意 图 核 心 素 养 目 标 A.能 通 过 具 体 实 例 说 明 一 元 线 性 回 归 模 型 修 改 的 依 据 与 方 法.b.通 过 对 具 体 问 题 的 进 一 步 分 析，能 将 某 些 非 线 性 回 归 问 题 转 化 为 线 性 回 归 问
33、题 并 加 以 解 决，提 高 数 学 运 算 能 力.c.能 通 过 实 例 说 明 决 定 系 数 R 的 意 义 和 作 2用，提 高 数 据 分 析 能 力。1.数 学 抽 象：一 元 线 性 回 归 模 型 2.逻 辑 推 理：最 小 二 乘 法 与 回 归 方 程 3.数 学 运 算：求 决 定 系 数 4.数 学 建 模：模 型 化 思 想 重 点 难 点 重 点：决 定 系 数 R 的 意 义 和 作 用 2难 点：某 些 非 线 性 回 归 问 题 转 化 为 线 性 回 归 问 题 课 前 准 备 多 媒 体 教 学 过 程 可 以 发 现，散 点 大 致 分 布 在 一
34、条 从 左 下 角 到 右 上 角 的 直 线 附 近，表 明 儿 子 身 高 和 父 亲 身 高 线 性 相 关.利 用 统 计 软 件，求 得 样 本 相 关 系 数 为 r-0.8 8 6,表 明 儿 子 身 高 和 父 亲 身 高 正 线 性 相 关，且 相 关 程 度 较 高160 165 170 175 180 185 父 亲 身 肩/cm探 究 2.根 据 表 中 的 数 据，儿 子 身 高 和 父 亲 身 高 这 两 个 变 量 之 间 的 关 系 可 以 用 函 数 模 型 刻 画 吗？表 中 的 数 据，存 在 父 亲 身 高 相 同 而 儿 子 身 高 不 同 的 情 况
35、.例 如，第 6 个 和 第 8 个 观 测 父 亲 的 身 高 均 为 172cm,而 对 应 的 儿 子 的 身 高 为 176cm和 174cm；同 样 在 第 3,4 个 观 测 中，儿 子 的 身 高 都 是 170cm,而 父 亲 的 身 高 分 别 为 173cm,169cm.可 见 儿 子 的 身 高 不 是 父 亲 身 高 的 函 数 同 样 父 亲 的 身 高 也 不 是 儿 子 身 高 的 函 数，所 以 不 能 用 函 数 模 型 来 刻 画.探 究 3：从 成 对 样 本 数 据 的 散 点 图 和 样 本 相 关 系 数 可 以 发 现，散 点 大 致 分 布 在
36、一 条 直 线 附 近 表 明 儿 子 身 高 和 父 亲 身 高 有 较 强 的 线 性 关 系.我 们 可 以 这 样 理 解，由 于 有 其 他 因 素 的 存 在，使 儿 子 身 高 和 父 亲 身 高 有 关 系 但 不 是 函 数 关 系.那 么 影 响 儿 子 身 高 的 其 他 因 素 是 什 么？影 响 儿 子 身 高 的 因 素 除 父 亲 的 身 外，还 有 母 亲 的 身 高、生 活 的 环 境、饮 食 习 惯、营 养 水 平、体 育 锻 炼 等 随 机 的 因 素，儿 子 身 高 是 父 亲 身 高 的 函 数 的 原 因 是 存 在 这 些 随 机 的 因 素.探
37、究 3：由 探 究 3 我 们 知 道，正 是 因 为 存 在 这 些 随 机 的 因 素，使 得 儿 子 的 身 高 呈 现 出 随 机 性 各 种 随 机 因 素 都 是 独 立 的，有 些 因 素 又 无 法 量 化.你 能 否 考 虑 到 这 些 随 机 因 素 的 作 用，用 类 似 于 函 数 的 表 达 式，表 示 儿 子 身 高 与 父 亲 身 高 的 关 系 吗？如 果 用 x 表 示 父 亲 身 高，Y 表 示 儿 子 的 身 高，用 e 表 示 各 种 其 他 随 机 因 素 影 响 之 和，称 e 为 随 机 误 差，由 于 儿 子 身 高 与 父 亲 身 高 线 性
38、相 关，所 以 Y=bx+a.一 元 线 性 回 归 模 型 用 X表 示 父 亲 身 高,V表 示 儿 子 身 高,e 表 示 随 机 误 差，假 定 随 机 误 差 e 的 均 值 为 0,方 2 ry=6z+a+e v差 为 与 父 亲 身 高 无 关 的 定 值。，则 它 们 之 间 的 关 系 可 以 表 示 为=，巩(1)我 们 称 式 为 Y 关 于 x 的 一 元 线 性 回 归 模 型(simple linear regression model).其 中,y称 为 因 变 量 或 响 应 变 量,X 称 为 自 变 量 或 解 释 变 量;4 和 b 为 模 型 的 未 知
39、 参 数,4称 为 截 距 参 数 力 称 为 斜 率 参 数;e是 y 与 法+”之 间 的 随 机 误 差，模 型 中 的 丫 也 是 随 机 变 量，其 值 虽 然 不 能 由 变 量 X 的 值 确 定，但 是 却 能 表 示 为 bx+a与 e 的 和(叠 加)，前 一 部 分 由 x所 确 定，后 一 部 分 是 随 机 的，如 果 e=0,那 么 丫 与 x 之 间 的 关 系 就 可 用 一 元 线 性 函 数 模 型 来 描 述.问 题 1.你 能 结 合 父 亲 与 儿 子 身 高 的 实 例，说 明 回 归 模 型 的 意 义？Y=b x+a+e,E(e)=0,D(e)=
40、72.可 以 解 释 为 父 亲 身 高 为，的 所 有 男 大 学 生 身 高 组 成 一 个 子 总 体，该 子 总 体 的 均 值 为 Fi+a,即 该 子 总 体 的 均 值 与 父 亲 的 身 高 是 线 性 函 数 关 系.而 对 于 父 亲 身 高 为.的 某 一 名 男 大 学 生，他 的 身 高 y 并 不 一 定 为 它 仅 是 该 子 总 体 的 i一 个 观 测 值，这 个 观 测 值 与 均 值 有 一 个 误 差 项 e=y(q+).i i问 题 2.你 能 结 合 具 体 实 例 解 释 产 生 模 型 中 随 机 误 差 项 的 原 因 吗？产 生 随 机 误
41、差 e的 原 因 有：(1)除 父 亲 身 高 外，其 他 可 能 影 响 儿 子 身 高 的 因 素，比 如 母 亲 身 高、生 活 环 境、饮 食 习 惯 和 锻 炼 时 间 等.(2)在 测 量 儿 子 身 高 时，由 于 测 量 工 具、测 量 精 度 所 产 生 的 测 量 误 差.(3)实 际 问 题 中，我 们 不 知 道 儿 子 身 高 和 父 亲 身 高 的 相 关 关 系 是 什 么，可 以 利 用 一 元 线 性 回 归 模 型 来 近 似 这 种 关 系，这 种 近 似 关 系 也 是 产 生 随 机 误 差 e 的 原 因.与 函 数 模 型 不 同，回 归 模 型
42、的 参 数 一 般 是 无 法 精 确 求 出 的，只 能 通 过 成 对 样 本 数 据 估 计 这 两 个 参 数。参 数 a和 b 刻 画 了 变 量 Y 与 变 量 x 的 线 性 关 系，因 此 通 过 样 本 数 据 估 计 这 两 个 参 数，相 当 了 寻 找 一 条 适 当 的 直 线，使 表 示 成 对 样 本 数 据 的 这 些 散 点 在 整 体 上 与 这 条 直 线 最 接 近.问 题 3：为 了 研 智 两 个 变 量 之 间 的 相 关 关 系，我 们 建 立 了 一 元 线 性 回 归 模 型 达 式 b x*a,e,刻 画 的 是 变 量 电 融 宿 双 僻
43、 都 弼 关 关 系，其 中 参 数 a和 b 未 知，我 们 能 否 通 过 样 本 数 据 估 计 参 数 a和 b?问 题 4.我 们 怎 样 寻 找 一 条“最 好”的 直 线，使 得 表 示 成 对 样 本 数 据 的 这 些 散 点 在 整 体 上 与 这 条 直 线 最“接 近”？目 标：从 成 对 样 本 数 据 出 发，用 数 学 的 方 法 刻 画“从 整 体 上 看，各 散 点 与 直 线 最 接 近”方 法：利 用 点 到 直 线 y=bx+a的“距 离”来 刻 画 散 点 与 该 直 线 的 接 近 程 度，然 后 用 所 有“距 离”之 和 刻 画 所 有 样 本
44、观 测 数 据 与 该 直 线 的 接 近 程 度.我 们 设 满 足 一 元 线 性 回 归 模 型 的 两 个 变 量 的 n 对 样 本 数 据 为(x y),(x,y(x,y)，由 y=bx+a+e 得|y-Sx+a)|=|e|.显 I.I 2 2 n n i i i i i i然|e|越 小，表 示 点(x,.y)与 点(x为 x+a)的“距 离”越 小，即 样 本 数 据 点 离 直 线 产 乐+a的 竖 直 距 i i i i i离 越 小。特 别 地，当 e=0时,表 示 点(x,y)在 这 条 直 线 上.i i i父 亲 身 高/cm21、-(如+初 因 此，可 以 用 来
45、 刻 画 各 样 本 观 测 数 据 与 直 线 y=bx+a的 整 体 接 近 程 度。在 实 际 应 用 中，因 为 绝 对 值 使 得 计 算 不 方 便,所 以 人 们 通 常 用 各 散 点 到 直 线 的 竖 直 距 离 的 平 方 之 和 Q(a,b)=Z(S x,+。)2Z=1来 刻 画“整 体 接 近 程 度”目/帧 而+M180 185父 亲 身 高/cm2X-(如+。)1;=1Q(a,Z?)=汇(-(如+a)2 残 差 平 方 和：=求 4,Z?的 值，使。(。力)最 小 记 还 迄 知 连 这 y在 上 式 中 产,)，。=1,2,3”.,)是 已 知 的 成 对 样
46、本 数 据,所 以。由“和 b 所 决 定，即 它 是 a 和 6 的 函 i i数，因 为。还 可 以 表 示 为 凡 即 它 是 随 机 误 差 的 平 方 和,这 个 和 当 然 越 小 越 好，所 以 我 们 取 使 Q 达 到 最 小 的。和 人 的 值,作 为 截 距 和 斜 率 的 估 计 值。下 面 利 用 成 对 样 本 数 据 求 使 Q 取 最 小 值 的 Q(a，b)=f(凹 一(如+。)2=(y g-a)2=J(yi-i-(y-b x)+(y-b x)-a)2=(%_ y)_ b(xi-x)+(y-h x)-a)2I=I=(X-y)一 W-幻+2之(F-y)-b(xt
47、-x)x(y-/?j)-a+n(y-b x)-a fZ(X-V)-K)x(y-bx)-a=(y-b x-a)(y,-y)-b(xi-x)(y-b x-a)(Z(Y-y)b2_l(xi-x)=(y-b x-)(n y-n y)-b(n x-n x)=0I=I/=iQ(a,匕)=之 Ky,-y)-伏 七 一 x)f+n(y-b x)-a 21=1当 Q(a,)取 最 小 时,H(y-x)-取 最 小 值 0，即=y-b x此 时，。(4,力)=t Kx-y)-b(x.t-x)2=b2(x;-)2-2 b(A-.-x)(3；-y)+(y,-y)2r-l i-l r-l r-l上 式 是 关 于 b
48、的 二 次 函 数，因 此 要 使 Q 取 得 最 小 值，当 且 仅 当 b 的 取 值 为 n.S(x-X)(j-J)b=i；i-(x.-x)2i=1 n n.J)L x；-n x Jb=-=-,n n7 E(x-x)2 Ex.2-n x2a=y-b x.八 r 八 y=bx-a我 们 将 称 为 y 关 于 x 的 经 验 回 归 方 程，也 称 经 验 回 归 函 数 或 经 验 回 归 公 式,其 图 形 称 为 经 验 回 归 直 线，这 种 求 经 验 回 归 方 程 的 方 法 叫 最 小：乘 法.注 意：1、经 验 回 归 必 过 叵 2、2麻 都 是 估 计 值.3、石 与
49、 符 号 相 同.问 题 5：利 用 下 表 的 数 据，依 据 用 最 小 二 乘 估 计 一 元 线 性 回 归 模 型 参 数 的 公 式，求 出 儿 子 身 高 y 关 于 父 亲 身 高 x 的 经 验 回 归 方 程。通 过 信 息 技 术，计 算 求 得 y O.8 3 9 JC+2 8.9 5 7问 题 6：当 x=176时，y*177，如 果 一 位 父 亲 身 高 为 176cm，他 儿 子 长 大 后 身 高 一 定 能 长 到 177cm吗？为 什 么？儿 子 的 身 高 不 一 定 会 是 177cm,这 是 因 为 还 有 其 他 影 响 儿 子 身 高 的 因 素
50、，回 归 模 型 中 的 随 机 误 差 清 楚 地 表 达 了 这 种 影 响，父 亲 的 身 高 不 能 完 全 决 定 儿 子 的 身 高，不 过，我 们 可 以 作 出 推 测，当 父 亲 的 身 高 为 176cm时，儿 子 身 高 一 般 在 177cm左 右.如 果 把 父 亲 身 高 为 176cm的 所 有 儿 子 身 高 作 为 一 个 子 总 体，那 么 177cm是 这 个 子 总 体 均 值 的 估 计 值.一 般 地，因 为 E(y)=fer+a,是 bx+a的 估 计 值，所 以 是 E(F)的 估 计 值.我 们 称 y 为 响 应 变 量 丫 的 观 测 值，