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1、二次函数复习与练习课二次函数一般考点：1、二次函数的定义2、二次函数的图象及性质3、求二次函数的解析式4、a，b，c符号的确定5、抛物线的平移法则6、二次函数与一元二次方程的关系7、二次函数的综合运用1、二次函数的定义定义：y=axbxc（a、b、c 是常数，a 0）l 条件：a 0 最高次数为2 代数式一定是整式1、y=-x，y=100-5x，y=3x-2x+5,其中是二次函数的有_个。2，函数 当m取何值时，（1）它是二次函数？（2）它是反比例函数？（1）若是二次函数，则 且当 时，是二次函数。（2）若是反比例函数，则 且当 时，是反比例函数。二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_对称
2、轴是_。（，）125 24x=12一般式y=ax+bx+c顶点式y=a(x-h)+k二次函数的解析式:(a0)对称轴:直线x=h 顶点:(h,k)二次函数的图象:是一条抛物线二次函数的图象的性质:开口方向;对称轴;顶点坐标;增减性;最值2、二次函数的图象及性质2、二次函数的图象及性质抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0,开口向上 a0,开口向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.xy0 xy0(0,c0,c)(0,c0,
3、c)二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_对称轴是_。（，-）125 24x=12x=12（，-）125 24(-2,0)(3,0)0 xy增减性:当 时,y随x的增大而减小当 时,y随x的增大而增大最值:当 时,y有最 值,是 小函数值y的正负性:当 时,y0当 时,y=0当 时,y0 x3x=-2或x=3-2x3练习 1、二次函数y=x2+2x+1写成顶点式为：_，对称轴为_，顶点为_12y=(x+2)2-112x=-2(-2，-1)2、已知二次函数y=-x2+bx-5的图象的顶点在y轴上，则b=_。1203、（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，
4、与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y0？已知二次函数2、已知抛物线顶点坐标（h,k），通常设抛物线解析式为_3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、(x2,0),通常设解析式为_1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为_y=ax2+bx+c(a0)y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-x1)(x-x2)(a0)一般式顶点式交点式或两根式3、求抛物线的解析式1、根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)
5、三点；(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1)；(3)、图象经过(0，0)，(12，0)，且最高点 的纵坐标是3。2、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。解：二次函数的最大值是2抛物线的顶点纵坐标为2又抛物线的顶点在直线y=x+1上当y=2时，x=1 顶点坐标为（1，2）设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又图象经过点（3，-6）-6=a(3-1)2+2 a=-2二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：y=-2x2+4xa=-2,b=4,c=04、a，b，c符号的确定aa,bca决定开口方向和大
6、小：a时开口向上，a时开口向下a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧a、b异号时对称轴在y轴右侧b时对称轴是y轴c决定抛物线与y轴的交点：c时抛物线交于y轴的正半轴c时抛物线过原点c时抛物线交于y轴的负半轴决定抛物线与x轴的交点：时抛物线与x轴有两个交点时抛物线与x轴有一个交点 时抛物线与x轴没有交点(上正、下负）(左同、右异)(上正、下负)=b2-4ac-2二次函数y=ax2+bx+c(a0)的几个特例：1）、当x=1 时，2）、当x=-1时，3）、当x=2时，4）、当x=-2时，y=y=y=y=6）、2a+b 0.xyo 1-1 2=5）、b-4ac 0.a+b+ca-b+
7、c4a+2b+c4a-2b+c例2:如图所示，二次函数y=ax2+bx+c 的图像开口向上，图像经过点（1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴.（1）问：给出五个结论：a0；b0;c0；a+b+c=0;a-b+c1.其中正确的结论的序号是（）（2）问：给出四个结论：abc0;a+c=1;a.其中正确的结论的序号是（）（22）aa00，bb00，cc00，abcabc00，错误；错误；由图象可知：对称轴由图象可知：对称轴x=-b2ax=-b2a00且对称轴且对称轴x=-b2ax=-b2a11，2a+b2a+b00，正确；，正确；由图象可知：当由图象可知：当x=-1x=-1时时y=2y=2，a-b
8、+c=2a-b+c=2，当当x=1x=1时时y=0y=0，a+b+c=0a+b+c=0；a-b+c=2a-b+c=2与与a+b+c=0a+b+c=0相加得相加得2a+2c=22a+2c=2，解得，解得a+c=1a+c=1，正确；，正确；a+c=1a+c=1，移项得，移项得a=1-ca=1-c，又，又cc00，aa11，正确，正确故（故（22）中，正确结论的序号是）中，正确结论的序号是 xy、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图 所示，则a、b、c的符号为（）A、a0,c0 B、a0,c0 C、a0,b0 D、a0,b0,c0,b0,c=0 B、a0,c=0 C、a0,b0,c0,b0
9、,b=0,c0,0 B、a0,c0,b=0,c0 D、a0,b=0,c0,0 BACooo练习：熟练掌握a，b，c，与抛物线图象的关系(上正、下负）(左同、右异)c（2011江苏宿迁,8,3分）已知二次函数yax2bxc（a0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）Aa0 B当x1时，y随x的增大而增大Cc0 D3是方程ax2bxc0的一个根Dxy-11O1（2011甘肃兰州，9，4分）如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)；（2）c1；（3）2ab0；（4)a+b+c0。你认为其中错误的有()A2个 B3个 C4个 D1个D练习:已知二次函数的图象如图所示，下列结论
10、：a+b+c=0 a-b+c 0 abc 0 b=2a其中正确的结论的个数是（）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个Dx-110y要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。5、抛物线的平移法则左加右减，上加下减练习二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象；二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2(x-3)2的图象。二次函数y=2x2的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。下3右3左1上2引申：y=2(x+3)2-4 y=2(x+1)
11、2+2判别式：b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象 一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根xyO与x轴有两个不同的交点（x1，0）（x2，0）有两个不同的解x=x1，x=x2b2-4ac0 xyO与x轴有唯一个交点有两个相等的解x1=x2=b2-4ac=0 xyO与x轴没有交点没有实数根b2-4ac0、二次函数与一元二次方程的关系w二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:w(1)有两个交点w(2)有一个交点w(3)没有交点=b2 4ac 0=b2 4ac=0=b2 4ac 0若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则=b2 4ac0例2:已知抛物线y=x
12、2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求ABP的面积。(1)证明:=22-4(-8)=360该抛物线与x轴一定有两个交点(2)解:抛物线与x轴相交时 x2-2x-8=0解方程得:x1=4,x2=-2AB=|4-(-2)|=6而P点坐标是(1,-9),PC=|-9|=9S=1/2 ABPC=27xyA BPcc(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有个交点.(2)已知抛物线 y=x2 8x+c的顶点在 x轴上,则c=.1116(3)一元二次方
13、程3x2+x-10=0的两个根是x1=-2,x2=5/3,那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是.（-2、0）（5/3、0）1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同 a=1或-1 又 顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,顶点为(1,5)或(1,-5)所以其解析式为:(1)y=(x-1)2+5(2)y=(x-1)2-5(3)y=-(x-1)2+5(4)y=-(x-1)2-5 展开成一般式即可.7、二
14、次函数的综合运用2.如图，已知抛物线y=ax+bx+3（a0）与 x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.Q(1,0)(-3,0)(0,3)y=-x-2x+3Q(-1,2)(3)设抛物线的对称轴与 x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由作MC的垂直平分线与对称轴有一个交点（MC为底边）。以M为圆心，MC为半径画弧，与对称轴有两交点;以C为圆心，MC为半径画弧，与对称轴有一个交点（MC为腰）。(1,0)(-3,0)(0,3)(-1,0)(4)如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标EF(1,0)(0,3)(-3,0)(a,-a-2a+3)3.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的 顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.分析:(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)(2)新抛物线向右平移5个单位,再向上平移4个单位即得原抛物线答案:y=-x2+6x-5