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1、2 0 1 3 年 山 西 省 吕 梁 中 考 数 学 真 题 及 答 案（满 分 1 2 0 分 考 试 时 间 1 2 0 分 钟）第 I 卷 选 择 题（共 2 4 分）一、选 择 题（本 大 题 共 1 2 小 题，每 小 题 2 分，共 2 4 分。在 每 个 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一项 符 合 要 求，请 选 出 并 在 答 题 卡 上 将 该 项 涂 黑）1 计 算 2（-3）的 结 果 是（）A 6 B-6 C-1 D 5【答 案】B【解 析】异 号 相 乘，得 负，所 以 选 B。2 不 等 式 组 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 为（）【答 案
2、】C【解 析】解（1）得：2 x，解（2）得：x 3，所 以 解 集 为2 3 x，选 C。3 如 图 是 一 个 长 方 体 包 装 盒，则 它 的 平 面 展 开 图 是（）【答 案】A【解 析】长 方 体 的 四 个 侧 面 中，有 两 个 对 对 面 的 小 长 方 形，另 两 个 是 相 对 面 的 大 长 方 形，B、C中 两 个 小 的 与 两 个 大 的 相 邻，错，D 中 底 面 不 符 合，只 有 A 符 合。4 某 班 实 行 每 周 量 化 考 核 制，学 期 末 对 考 核 成 绩 进 行 统 计，结 果 显 示 甲、乙 两 组 的 平 均 成 绩 相同，方 差 分
3、别 是 S 2 甲=3 6，S 2 乙=3 0，则 两 组 成 绩 的 稳 定 性：（）A 甲 组 比 乙 组 的 成 绩 稳 定 B 乙 组 比 甲 组 的 成 绩 稳 定C 甲、乙 两 组 的 成 绩 一 样 稳 定 D 无 法 确 定【答 案】B【解 析】方 差 小 的 比 较 稳 定，故 选 B。5 下 列 计 算 错 误 的 是（）A x 3+x 3=2 x 3 B a 6 a 3=a 2 C D【答 案】B【解 析】a 6 a 3 6 3 3a a，故 B 错，A、C、D 的 计 算 都 正 确。6 解 分 式 方 程 时，去 分 母 后 变 形 为（）A 2+（x+2）=3（x-
4、1）B 2-x+2=3（x-1）C 2-（x+2）=3（1-x）D 2-（x+2）=3（x-1）【答 案】D【解 析】原 方 程 化 为：，去 分 母 时，两 边 同 乘 以 x 1，得：2（x 2）3（x 1），选 D。7 下 表 是 我 省 1 1 个 地 市 5 月 份 某 日 最 高 气 温（）的 统 计 结 果：太 原 大 同 朔 州 忻 州 阳 泉 晋 中 吕 梁 长 治 晋 城 临 汾 运 城2 7 2 7 2 8 2 8 2 7 2 9 2 8 2 8 3 0 3 0 3 1该 日 最 高 气 温 的 众 数 和 中 位 数 分 别 是（）A 2 7，2 8 B 2 8，2 8
5、 C 2 7，2 7 D 2 8，2 9【答 案】B【解 析】2 8 出 现 4 次，最 多，所 以 众 数 为 2 8，由 小 到 大 排 列 为：2 7,2 7,2 7,2 8,2 8,2 8,2 8,2 9,3 0,3 0,3 1，所 以，中 位 数 为 2 8，选 B。8 如 图，正 方 形 地 砖 的 图 案 是 轴 对 称 图 形，该 图 形 的 对 称 轴 有（）A 1 条 B 2 条 C 4 条 D 8 条【答 案】C【解 析】这 是 一 个 正 八 边 形，对 称 轴 有 4 条。9 王 先 生 到 银 行 存 了 一 笔 三 年 期 的 定 期 存 款，年 利 率 是 4.
6、2 5%，若 到 期 后 取 出 得 到 本 息 和（本金+利 息）3 3 8 5 2 元。设 王 先 生 存 入 的 本 金 为 x 元，则 下 面 所 列 方 程 正 确 的 是（）A x+3 4.2 5%x=3 3 8 2 5 B x+4.2 5%x=3 3 8 2 5C 3 4.2 5%x=3 3 8 2 5 D 3(x+4.2 5%x)=3 3 8 2 5【答 案】A【解 析】一 年 后 产 生 的 利 息 为 4.2 5%x，三 年 后 产 生 的 利 息 为：3 4.2 5%x，再 加 上 本 金，得 到 3 3 8 5 2元，所 以，A 是 正 确 的。1 0 如 图，某 地
7、修 建 高 速 公 路，要 从 B 地 向 C 地 修 一 座 隧 道（B，C 在 同 一 水 平 面 上），为 了 测量 B，C 两 地 之 间 的 距 离，某 工 程 师 乘 坐 热 气 球 从 C 地 出 发，垂 直 上 升 1 0 0 m 到 达 A 处，在 A 处 观察 B 地 的 俯 角 为 3 0，则 B C 两 地 之 间 的 距 离 为（）A 1 0 0 m B 5 0 m C 5 0 m D m【答 案】A【解 析】依 题 得：A C 1 0 0，A B C 3 0，t a n 3 0 ACBC，B C 100100 333，选 A。1 1 起 重 机 将 质 量 为 6.
8、5 t 的 货 物 沿 竖 直 方 向 提 升 了 2 m，则 起 重 机 提 升 货 物 所 做 的 功 用 科 学 记 数法 表 示 为（g=1 0 N/k g）（）A 1.3 1 0 6 J B 1 3 1 0 5 J C 1 3 1 0 4 J D 1.3 1 0 5 J【答 案】D【解 析】质 量 m=6 5 0 0 k g，G=m g=6 5 0 0 0，做 功 为 W=6 5 0,0 2=1 3 0 0 0 0=1.3 1 0 5 J，选 D。1 2 如 图，四 边 形 A B C D 是 菱 形，A=6 0，A B=2，扇 形 B E F 的 半 径 为 2，圆 心 角 为 6
9、 0，则 图中 阴 影 部 分 的 面 积 是（B）A B C D【答 案】B【解 析】扇 形 B E F 的 面 积 为：S 1=60 4360=23，菱 形 A B C D 的 面 积 为 S A B C D=12 2 3 2 32，如 右 图，连 结 B D，易 证：B D P B C Q，所 以，B C Q 与 B A P 的 面 积 之 和 为 B A D 的面 积 为：3，因 为 四 边 形 B P D Q 的 面 积 为3，阴 影 部 分 的 面 积 为：第 卷 非 选 择 题（共 9 6 分）二、填 空 题（本 大 题 共 6 个 小 题，每 小 题 3 分，共 1 8 分。把
10、 答 案 写 在 题 中 的 横 线 上）1 3 分 解 因 式：【答 案】（）【解 析】原 式 提 取 公 因 式 a 即 可，本 题 较 简 单。1 4 四 川 雅 安 发 生 地 震 后，某 校 九（1）班 学 生 开 展 献 爱 心 活 动，积 极 向 灾 区 捐 款。如 图 是 该 班同 学 捐 款 的 条 形 统 计 图，写 出 一 条 你 从 图 中 所 获 得 的 信 息：【答 案】该 班 有 5 0 人 参 与 了 献 爱 心 活 动（只 要 与 统 计 图 中 所 提 供 的 信 息 相 符 即 可 得 分）【解 析】能 得 到 的 信 息 较 多，答 案 不 唯 一，读
11、图 可 得 各 组 的 人 数 分 别 为：2 0、5、1 0、1 5，加 起来 等 于 5 0。1 5 一 组 按 规 律 排 列 的 式 子：，,.则 第 n 个 式 子 是 _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】（n 为 正 整 数）【解 析】已 知 式 子 可 写 成：21a，,，分 母 为 奇 数，可 写 成 2 n-1，分 子 中 字 母 a 的指 数 为 偶 数 2 n。1 6 如 图，矩 形 A B C D 在 第 一 象 限，A B 在 x 轴 正 半 轴 上，A B=3，B C=1，直 线 y=x-1 经 过 点 C交 x 轴 于 点 E，双 曲 线 经 过 点 D，则
12、k 的 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _.【答 案】1【解 析】显 然 C 点 的 纵 坐 标 为 1，将 y=1 代 入，直 线 方 程 y=x-1，得 x=4，即 O B=4，又 A B=3，所 以，O A=1，所 以 D 点 坐 标 为(1,1)，代 入 双 曲 线 方 程，可 得 k=1。1 7 如 图，在 矩 形 纸 片 A B C D 中，A B=1 2，B C=5，点 E 在 A B 上，将 D A E 沿 D E 折 叠，使 点 A 落 在对 角 线 B D 上 的 点 A 处，则 A E 的 长 为 _ _ _ _ _ _.【答 案】【解 析】由 勾 股 定 理 求 得
13、：B D=1 3，D A=D A=B C=5，D AE=D A E=9 0，设 A E=x，则 AE=x，B E=1 2 x，B A=1 3 5 8，在 R t E AB 中，2 2 2(12)8 x x，解 得：x，即 A E 的 长 为1 8 如 图 是 我 省 某 地 一 座 抛 物 线 形 拱 桥，桥 拱 在 竖 直 平 面 内，与 水 平 桥 面 相 交 于 A，B 两 点，桥拱 最 高 点 C 到 A B 的 距 离 为 9 m，A B=3 6 m，D，E 为 桥 拱 底 部 的 两 点，且 D E A B，点 E 到 直 线 A B 的距 离 为 7 m，则 D E 的 长 为
14、_ _ _ _ _ m.【答 案】4 8【解 析】以 C 为 原 点 建 立 平 面 直 角 坐 标 系，如 右 上 图，依 题 意，得 B（1 8，9），设 抛 物 线 方 程 为：2y ax，将 B 点 坐 标 代 入，得 a 136，所 以，抛 物 线 方 程 为：2136y x，E 点 纵 坐 标 为 y 1 6，代 入 抛 物 线 方 程，1 6 2136x，解 得：x 2 4，所 以，D E 的 长 为 4 8 m。三、解 答 题（本 大 题 共 8 个 小 题，共 7 8 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤）1 9（本 题 共 2 个 小
15、题，每 小 题 5 分，共 1 0 分）（1）计 算：.【解 析】解：原 式=第 1 7 题=1-1=0（2）下 面 是 小 明 化 简 分 式 的 过 程，请 仔 细 阅 读，并 解 答 所 提 出 的 问 题。第 一 步=2（x-2）-x-6 第 二 步=2 x-4-x+6 第 三 步=x+2 第 四 步小 明 的 解 法 从 第（2 分）步 开 始 出 现 错 误，正 确 的 化 简 结 果 是。（3 分）【答 案】二2 0（本 题 7 分）解 方 程：（2 x-1）2=x(3 x+2)-7【解 析】解：原 方 程 可 化 为：4 x 2-4 x+1=3 x 2+2 x-7 x 2-6
16、x+8=0(x-3)2=1 x-3=1 x 1=2 x 2=42 1（本 题 8 分）如 图，在 A B C 中，A B=A C，D 是 B A 延 长 线 上 的 一 点，点 E 是 A C 的 中 点。（1）实 践 与 操 作：利 用 尺 规 按 下 列 要 求 作 图，并 在 图 中 标 明 相 应 字 母（保 留 作 图 痕 迹，不 写 作法）。作 D A C 的 平 分 线 A M。连 接 B E 并 延 长 交 A M 于 点 F。【解 析】解：作 图 正 确，并 有 痕 迹。连 接 B E 并 延 长 交 A M 于 点 F。（2）猜 想 与 证 明：试 猜 想 A F 与 B
17、C 有 怎 样 的 位 置 关 系 和 数 量 关 系，并 说 明 理 由。【解 析】解：A F B C 且 A F=B C理 由 如 下：A B=A C,A B C=C D A C=A B C+C=2 C由 作 图 可 知：D A C=2 F A C C=F A C.A F B C.E 是 A C 的 中 点，A E=C E,A E F=C E B A E F C E B A F=B C.2 2 本 题 9 分）小 勇 收 集 了 我 省 四 张 著 名 的 旅 游 景 点 图 片（大 小、形 状 及 背 面 完 全 相 同）：太 原以 南 的 壶 口 瀑 布 和 平 遥 古 城，太 原 以
18、 北 的 云 岗 石 窟 和 五 台 山。他 与 爸 爸 玩 游 戏：把 这 四 张 图 片 背面 朝 上 洗 匀 后，随 机 抽 取 一 张（不 放 回），再 抽 取 一 张，若 抽 到 两 个 景 点 都 在 太 原 以 南 或 都 在 太原 以 北，则 爸 爸 同 意 带 他 到 这 两 个 景 点 旅 游，否 则，只 能 去 一 个 景 点 旅 游。请 你 用 列 表 或 画 树 状图 的 方 法 求 小 勇 能 去 两 个 景 点 旅 游 的 概 率（四 张 图 片 分 别 用（H，P，Y，W 表 示）。【解 析】解：列 表 如 下：或 画 树 状 图 如 下：由 列 表（或 画 树
19、 状 图）可 以 看 出，所 有 可 能 出 现 的 结 果 共 有 1 2 种，而 且 每 种 结 果 出 现 的 可 能 性都 相 同，其 中 抽 到 的 两 个 景 点 都 在 太 原 以 南 或 以 北 的 结 果 共 有 4 种。P（小 能 力 能 到 两 个 景 点 旅 游）=2 3（本 题 9 分）如 图，A B 为 的 直 径，点 C 在 O 上，点 P 是 直 径 A B 上 的 一 点（不 与 A，B 重 合），过 点 P 作 A B 的 垂 线 交 B C 的 延 长 线 于 点 Q。（1）在 线 段 P Q 上 取 一 点 D，使 D Q=D C，连 接 D C，试 判
20、 断 C D 与 O 的 位 置 关 系，并 说 明 理 由。（2）若 c o s B=，B P=6，A P=1，求 Q C 的 长。解 析】解：（1）C D 是 O 的 切 线,理 由 如 下：连 接 O C,O C=O B,B=1.又 D C=D Q,Q=2 P Q A B,Q P B=9 0 B+Q=9 0 1+2=9 0 D C O=Q C B-(1+2)=1 8 0-9 0,O C D C,O C 是 O 的 半 径 C D 是 O 的 切 线(2)连 接 A C,A B 是 O 的 直 径,A C B=9 0.在 R t A B C 中,B C=A B c o s B=(A P+B
21、 P)c o s B=(1+6)=.在 R t B P Q 中 B Q=1 0 Q C=B Q-B C=1 0=2 4（本 题 8 分）某 校 实 行 学 案 式 教 学，需 印 制 若 干 份 数 学 学 案。印 刷 厂 有 甲、乙 两 种 收 费 方 式，除 按 印 数 收 取 印 刷 费 外，甲 种 方 式 还 需 收 取 制 版 费 而 乙 种 不 需 要。两 种 印 刷 方 式 的 费 用 y（元）与 印 刷 份 数 x（份）之 间 的 函 数 关 系 如 图 所 示：（1）填 空：甲 种 收 费 方 式 的 函 数 关 系 式 是.乙 种 收 费 方 式 的 函 数 关 系 式 是
22、.（2）该 校 某 年 级 每 次 需 印 制 1 0 0 4 5 0（含 1 0 0 和 4 5 0）份 学 案，选 择 哪 种 印 刷 方 式 较 合 算。【解 析】（1）y=0.1 x+6 y=0.1 2 x（2）解：由 0.1 x+6 0.1 2 x，得 x 3 0 0由 0.1 x+6=0.1 2 x，得 x=3 0 0由 0.1 x+6 0.1 2 x，得 x 3 0 0由 此 可 知：当 1 0 0 x 3 0 0 时，选 择 乙 种 方 式 较 合 算；当 x=3 0 0 时，选 择 甲 乙 两 种 方 式 都 可 以；当 3 0 0 x 4 5 0 时，选 择 甲 种 方 式
23、 较 合 算。2 5（本 题 1 3 分）数 学 活 动 求 重 叠 部 分 的 面 积。问 题 情 境：数 学 活 动 课 上，老 师 出 示 了 一 个 问 题：如 图，将 两 块 全 等 的 直 角 三 角 形 纸 片 A B C 和 D E F 叠 放 在 一 起，其 中 A C B=E=9 0，B C=D E=6，A C=F E=8，顶 点 D 与 边 A B 的 中 点 重 合，D E 经 过 点 C，D F 交 A C 于 点 G。求 重 叠 部 分（D C G）的 面 积。（1）独 立 思 考：请 解 答 老 师 提 出 的 问 题。【解 析】解：A C B=9 0 D 是 A
24、 B 的 中 点,D C=D B=D A,B=D C B又 A B C F D E，F D E=B F D E=D C B,D G B C A G D=A C B=9 0 D G A C又 D C=D A,G 是 A C 的 中 点,C G=A C=8=4,D G=B C=6=3 S D C G=C G D G=4 3=6（2）合 作 交 流：“希 望”小 组 受 此 问 题 的 启 发，将 D E F 绕 点 D 旋 转，使 D E A B 交 A C 于 点 H，D F 交 A C 于 点 G，如 图(2)，你 能 求 出 重 叠 部 分(D G H)的 面 积 吗？请 写 出 解 答 过
25、 程。【解 析】解 法 一：A B C F D E,B=1 C=9 0,E D A B,A+B=9 0,A+2=9 0,B=2,1=2 G H=G D A+2=9 0,1+3=9 0 A=3,A G=G D，A G=G H 点 G 是 A H 的 中 点，在 R t A B C 中，A B=1 0 D 是 A B 的 中 点，A D=A B=5在 A D H 与 A C B 中，A=A，A D H=A C B=9 0,A D H A C B,=,=,D H=,S D G H S A D H D H A D=5=（2 5 题（1）（2 5 题（2）解 法 二：同 解 法 一，G 是 A H 的
26、中 点，连 接 B H，D E A B，D 是 A B 的 中 点，A H=B H，设 A H=x 则 C H-在 R t B C H 中，C H 2+B C 2=B H 2，即（8-x）2+3 6=x 2，解 得 x=S A B H=A H B C=6=S=S A D H=S A B H=.解 法 三：同 解 法 一，1=2连 接 C D，由（1）知，B=D C B=1，1=2=B=D C B，D G H B D C,作 D M A C 于 点 M，C N A B 于 点 N，D 是 A B 的 中 点，A C B=9 0 C D=A D=B D，点 M 是 A C 的 中 点，D M=B
27、C=6=3在 R t A B C 中，A B=1 0，A C B C=A B C N，C N.D G H B D C,=（3）提 出 问 题：老 师 要 求 各 小 组 向“希 望”小 组 学 习，将 D E F 绕 点 D 旋 转，再 提 出 一 个 求 重（2 5 题（2）（2 5 题（2）叠 部 分 面 积 的 问 题。“爱 心”小 组 提 出 的 问 题 是：如 图(3)，将 D E F 绕 点 D 旋 转，D E，D F 分 别交 A C 于 点 M，N，使 D M=M N 求 重 叠 部 分(D M N)的 面 积、任 务：请 解 决“爱 心”小 组 所 提 出 的 问 题，直 接
28、 写 出 D M N 的 面 积 是 请 你 仿 照 以 上 两 个 小 组，大 胆 提 出 一 个 符 合 老 师 要 求 的 问 题，并 在 图 中 画 出 图 形，标 明 字 母，不 必 解 答（注：也 可 在 图（1）的 基 础 上 按 顺 时 针 方 向 旋 转）。【答 案】注：此 题 答 案 不 唯 一，语 言 表 达 清 晰、准 确 得 1 分，画 图 正 确 得 1 分，重 叠 部 分 未 涂 阴 影 不 扣分。示 例：如 图，将 D E F 绕 点 D 旋 转，使 D E B C 于 点 M，D F 交 A C 于 点 N，求 重 叠 部 分（四 边形 D M C N）的 面
29、 积。2 6（本 题 1 4 分）综 合 与 探 究：如 图,抛 物 线 与 x 轴 交 于 A,B 两 点(点 B 在 点A 的 右 侧)与 y 轴 交 于 点 C,连 接 B C,以 B C 为 一 边,点 O 为 对 称 中 心 作 菱 形 B D E C,点 P 是 x 轴 上 的 一个 动 点,设 点 P 的 坐 标 为（m，0），过 点 P 作 x 轴 的 垂 线 l 交 抛 物 线 于 点Q（1）求 点 A,B,C 的 坐 标。（2）当 点 P 在 线 段 O B 上 运 动 时，直 线 l 分 别 交 B D，B C 于 点 M,N。试 探 究 m 为 何 值 时，四 边 形C
30、 Q M D 是 平 行 四 边 形，此 时，请 判 断 四 边 形 C Q B M 的 形 状，并 说 明 理 由。（3）当 点 P 在 线 段 E B 上 运 动 时，是 否 存 在 点 Q，使 B D Q 为 直 角 三 角 形，若 存 在，请 直 接 写 出点 Q 的 坐 标；若 不 存 在，请 说 明 理 由。解 析：（1）当 y=0 时，解 得，点 B 在 点 A 的 右 侧，（2 5 题（3）（2 5 题（4）点 A,B 的 坐 标 分 别 为：（-2，0），（8，0）当 x=0 时，y=-4 点 C 的 坐 标 为（0，-4），（2）由 菱 形 的 对 称 性 可 知，点 D
31、的 坐 标 为（0，4）.设 直 线 B D 的 解 析 式 为 y k x b，则.解 得，k=，b=4.直 线 B D 的 解 析 式 为.l x 轴，点 M，Q 的 坐 标 分 别 是（m，），（m，）如 图，当 M Q=D C 时，四 边 形 C Q M D 是 平 行 四 边 形.（）-()=4-(-4)化 简 得：.解 得，m 1=0，（舍 去）m 2=4.当 m=4 时，四 边 形 C Q M D 是 平 行 四 边 形.此 时，四 边 形 C Q B M 是 平 行 四 边 形.解 法 一：m=4，点 P 是 O B 中 点.l x 轴，l y 轴.B P M B O D.B
32、M=D M.四 边 形 C Q M D 是 平 行 四 边 形，D M C Q B M C Q.四 边 形 C Q B M 为 平 行 四 边 形.解 法 二：设 直 线 B C 的 解 析 式 为 y=k 1 x+b 1，则.解 得，k 1=，b 1=-4 直 线 B C 的 解 析 式 为 y=x-4又 l x 轴 交 B C 于 点 N.x=4 时，y=-2.点 N 的 坐 标 为（4，-2）由 上 面 可 知，点 M,Q 的 坐标 分 别 为：（4，2），Q(4,-6).M N=2-（-2）=4，N Q=-2-（-6）=4.M N=Q N.又 四 边 形 C Q M D 是 平 行 四 边 形.D B C Q，3=4，又 1=2，B M N C Q N.B N=C N.四 边 形 C Q B M 为 平 行 四 边 形.（3）抛 物 线 上 存 在 两 个 这 样 的 点 Q，分 别 是 Q 1（-2，0），Q 2（6，-4）.