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1、2 0 1 1 年 福 建 高 考 理 科 数 学 真 题 及 答 案一、选 择 题（共 1 0 小 题，每 小 题 5 分，满 分 5 0 分）1（5 分）i 是 虚 数 单 位，若 集 合 S=1，0，1，则（）A i S B i2 S C i3 S D【解 答】解：S=1.0.1，i S，故 A 错 误；i2=1 S，故 B 正 确；i3=i S，故 C 错 误；S，故 D 错 误；故 选 B2（5 分）若 a R，则 a=2 是（a 1）（a 2）=0 的（）A 充 分 不 必 要 条 件 B 必 要 不 充 分 条 件C 充 要 条 件 D 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【解
2、 答】解：当 a=2 时，（a 1）（a 2）=0 成 立故 a=2（a 1）（a 2）=0 为 真 命 题而 当（a 1）（a 2）=0，a=1 或 a=2，即 a=2 不 一 定 成 立故（a 1）（a 2）=0 a=2 为 假 命 题故 a=2 是（a 1）（a 2）=0 的 充 分 不 必 要 条 件故 选 A3（5 分）若 t a n=3，则 的 值 等 于（）A 2 B 3 C 4 D 6【解 答】解：=2 t a n=6故 选 D4（5 分）如 图，矩 形 A B C D 中，点 E 为 边 C D 的 中 点，若 在 矩 形 A B C D 内 部 随 机 取 一 个 点 Q，
3、则 点 Q 取 自 A B E 内 部 的 概 率 等 于（）A B C D【解 答】解：由 几 何 概 型 的 计 算 方 法，可 以 得 出 所 求 事 件 的 概 率 为 P=故 选 C 5（5 分）（ex+2 x）d x 等 于（）A 1 B e 1 C e D e2+1【解 答】解：（ex+2 x）d x=（ex+x2）|01=e+1 1=e故 选 C 6（5 分）（1+2 x）3的 展 开 式 中，x2的 系 数 等 于（）A 8 0 B 1 2 C 2 0 D 1 0【解 答】解：展 开 式 的 通 项 为 Tr+1=2rC3rxr令 r=2 的 展 开 式 中 x2的 系 数
4、等 于 22C32=1 2故 选 B7（5 分）设 圆 锥 曲 线 r 的 两 个 焦 点 分 别 为 F1，F2，若 曲 线 r 上 存 在 点 P 满 足|P F1|：|F1F2|：|P F2|=4：3：2，则 曲 线 r 的 离 心 率 等 于（）A B 或 2 C 2 D【解 答】解：依 题 意 设|P F1|=4 t，|F1F2|=3 t，|P F2|=2 t，若 曲 线 为 椭 圆 则 2 a=|P F1|+|P F2|=6 t，c=t则 e=，若 曲 线 为 双 曲 线 则，2 a=4 t 2 t=2 t，a=t，c=t e=故 选 A8（5 分）已 知 O 是 坐 标 原 点，
5、点 A（1，1），若 点 M（x，y）为 平 面 区 域，上 的一 个 动 点，则 的 取 值 范 围 是（）A 1，0 B 0，1 C 0，2 D 1，2【解 答】解：满 足 约 束 条 件 的 平 面 区 域 如 下 图 所 示：将 平 面 区 域 的 三 个 顶 点 坐 标 分 别 代 入 平 面 向 量 数 量 积 公 式当 x=1，y=1 时，=1 1+1 1=0当 x=1，y=2 时，=1 1+1 2=1当 x=0，y=2 时，=1 0+1 2=2故 和 取 值 范 围 为 0，2 解 法 二：z=x+y，即 y=x+z当 经 过 P 点（0，2）时 在 y 轴 上 的 截 距 最
6、 大，从 而 z 最 大，为 2 当 经 过 S 点（1，1）时 在 y 轴 上 的 截 距 最 小，从 而 z 最 小，为 0 故 和 取 值 范 围 为 0，2 故 选：C9（5 分）对 于 函 数 f（x）=a s i n x+b x+c（其 中，a，b R，c Z），选 取 a，b，c 的 一 组 值计 算 f（1）和 f（1），所 得 出 的 正 确 结 果 一 定 不 可 能 是（）A 4 和 6 B 3 和 1 C 2 和 4 D 1 和 2【解 答】解：f（1）=a s i n 1+b+c f（1）=a s i n 1 b+c+得：f（1）+f（1）=2 c c Z f（1）+
7、f（1）是 偶 数故 选：D1 0（5 分）已 知 函 数 f（x）=ex+x，对 于 曲 线 y=f（x）上 横 坐 标 成 等 差 数 列 的 三 个 点 A，B，C，给 出 以 下 判 断：A B C 一 定 是 钝 角 三 角 形；A B C 可 能 是 直 角 三 角 形；A B C 可 能 是 等 腰 三 角 形；A B C 不 可 能 是 等 腰 三 角 形 其 中，正 确 的 判 断 是（）A B C D【解 答】解：由 于 函 数 f（x）=ex+x，对 于 曲 线 y=f（x）上 横 坐 标 成 等 差 数 列 的 三 个 点 A，B，C，且 横 坐 标 依 次 增 大由
8、于 此 函 数 是 一 个 单 调 递 增 的 函 数，故 由 A 到 B 的 变 化 率 要 小 于 由 B 到 C 的 变 化 率 可 得 出角 A B C 一 定 是 钝 角 故 对，错 由 于 由 A 到 B 的 变 化 率 要 小 于 由 B 到 C 的 变 化 率，由 两 点 间 距 离 公 式 可 以 得 出 A B B C，故三 角 形 不 可 能 是 等 腰 三 角 形，由 此 得 出 不 对，对 故 选 B 二、填 空 题（共 5 小 题，每 小 题 4 分，满 分 2 0 分）1 1（4 分）运 行 如 图 所 示 的 程 序，输 出 的 结 果 是 3【解 答】解：a=
9、1，b=2，接 下 来：a=1+2=3故 最 后 输 出 3 故 答 案 为：3 1 2（4 分）三 棱 锥 P A B C 中，P A 底 面 A B C，P A=3，底 面 A B C 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，则三 棱 锥 P A B C 的 体 积 等 于【解 答】解：三 棱 锥 P A B C 中，P A 底 面 A B C，P A=3，底 面 A B C 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，所 以 底 面 面 积 为：；三 棱 锥 的 体 积 为：=故 答 案 为：1 3（4 分）盒 中 装 有 形 状、大 小 完 全 相 同 的 5 个 球，其 中 红 色 球
10、3 个，黄 色 球 2 个 若 从中 随 机 取 出 2 个 球，则 所 取 出 的 2 个 球 颜 色 不 同 的 概 率 等 于【解 答】解：从 中 随 机 取 出 2 个 球，每 个 球 被 取 到 的 可 能 性 相 同，是 古 典 概 型从 中 随 机 取 出 2 个 球，所 有 的 取 法 共 有 C52=1 0所 取 出 的 2 个 球 颜 色 不 同，所 有 的 取 法 有 C31 C21=6由 古 典 概 型 概 率 公 式 知 P=故 答 案 为1 4（4 分）如 图，A B C 中，A B=A C=2，B C=，点 D 在 B C 边 上，A D C=4 5，则 A D
11、的长 度 等 于【解 答】解：由 A 向 B C 作 垂 线，垂 足 为 E，A B=A C B E=B C=A B=2 c o s B=B=3 0 A E=B E t a n 3 0=1 A D C=4 5 A D=故 答 案 为：1 5（4 分）设 V 是 全 体 平 面 向 量 构 成 的 集 合，若 映 射 f：V R 满 足：对 任 意 向 量=（x1，y1）V，=（x2，y2）V，以 及 任 意 R，均 有 f（+（1）=f（）+（1）f（）则 称 映 射 f 具 有 性 质 P 先 给 出 如 下 映 射：f1：V R，f1（）=x y，=（x，y）V；f2：V R，f2（）=x
12、2+y，=（x，y）V；f3：V R，f3（）=x+y+1，=（x，y）V 其 中，具 有 性 质 P 的 映 射 的 序 号 为（写 出 所 有 具 有 性 质 P 的 映 射 的 序 号）【解 答】解：，则+（1）y2对 于，=x1+（1）x2 y1（1）y2=（x1 y1）+（1）（x2 y2）而=（x1 y1）+（1）（x2 y2）满 足 性 质 P对 于 f2（a+（1 b）=x1+（1）x22+y1+（1）y2，f2（a）+（1）f2（b）=（x12+y1）+（1）（x22+y2）f2（a+（1 b）f2（a）+（1）f2（b），映 射 f2不 具 备 性 质 P 对 于=x1+（
13、1）x2+y1+（1）y2+1=（x1+y1）+（1）（x2+y2）+1而=（x1+y1+1）+（1）（x2+y2+1）（x1+y1）+（1）（x2+y2）+1满 足 性 质 p故 答 案 为：三、解 答 题（共 6 小 题，满 分 8 0 分）1 6（1 3 分）已 知 等 比 数 列 an 的 公 比 q=3，前 3 项 和 S3=（）求 数 列 an 的 通 项 公 式；（）若 函 数 f（x）=A s i n（2 x+）（A 0，0）在 处 取 得 最 大 值，且 最 大 值为 a3，求 函 数 f（x）的 解 析 式【考 点】等 比 数 列 的 通 项 公 式；由 y=A s i n
14、（x+）的 部 分 图 象 确 定 其 解 析 式【专 题】综 合 题【分 析】（）根 据 等 比 数 列 的 前 n 项 和 的 公 式 及 q=3 化 简 S3=，得 到 关 于 首 项 的 方 程，求 出 方 程 的 解 得 到 首 项 的 值，然 后 根 据 首 项 和 公 比 即 可 写 出 数 列 的 通 项 公 式；（）由（）求 出 的 通 项 公 式 求 出 a3的 值，即 可 得 到 A 的 值，然 后 把 代 入 正 弦 函 数中 得 到 函 数 值 等 于 1，根 据 的 范 围，利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 即 可 求 出 的 值，把 的 值代 入 即 可
15、 确 定 出 f（x）的 解 析 式【解 答】解：（）由 q=3，S3=得：=，解 得 a1=，所 以 an=3n 1=3n 2；（）由（）可 知 an=3n 2，所 以 a3=3，因 为 函 数 f（x）的 最 大 值 为 3，所 以 A=3；又 因 为 当 x=时，f（x）取 得 最 大 值，所 以 s i n（2+）=1，由 0，得 到=则 函 数 f（x）的 解 析 式 为 f（x）=3 s i n（2 x+）【点 评】此 题 考 查 学 生 灵 活 运 用 等 比 数 列 的 前 n 项 和 的 公 式 及 通 项 公 式 化 简 求 值，掌 握 正 弦函 数 的 图 象 与 性 质
16、 以 及 会 利 用 待 定 系 数 法 求 函 数 的 解 析 式，是 一 道 中 档 题 1 7（1 3 分）已 知 直 线 l：y=x+m，m R（）若 以 点 M（2，0）为 圆 心 的 圆 与 直 线 l 相 切 于 点 P，且 点 P 在 y 轴 上，求 该 圆 的 方 程；（）若 直 线 l 关 于 x 轴 对 称 的 直 线 为 l，问 直 线 l 与 抛 物 线 C：x2=4 y 是 否 相 切？说 明理 由【考 点】直 线 与 圆 的 位 置 关 系；直 线 与 圆 锥 曲 线 的 综 合 问 题【专 题】计 算 题【分 析】（I）利 用 待 定 系 数 法 求 本 题 中
17、 圆 的 方 程 是 解 决 本 题 的 关 键，利 用 直 线 与 圆 相 切 的 数学 关 系 列 出 关 于 圆 的 半 径 的 方 程，通 过 求 解 方 程 确 定 出 所 求 圆 的 半 径，进 而 写 出 所 求 圆 的 方程；（I I）设 出 直 线 为 l 的 方 程 利 用 直 线 与 抛 物 线 的 位 置 关 系 解 决 该 题，将 几 何 问 题 转 化 为 代数 方 程 组 问 题，注 意 体 现 方 程 有 几 个 解 的 思 想【解 答】解：（I）设 所 求 圆 的 半 径 为 r，则 圆 的 方 程 可 设 为（x 2）2+y2=r2 由 题 意，所 求圆 与
18、 直 线 l：y=x+m 相 切 于 点 P（0，m），则 有，解 得，所 以 圆 的 方 程 为（x 2）2+y2=8（I I）由 于 直 线 l 的 方 程 为 y=x+m，所 以 直 线 l 的 方 程 为 y=x m，由 消 去 y得 到 x2+4 x+4 m=0，=42 4 4 m=1 6（1 m）当 m=1 时，即=0 时，直 线 l 与 抛 物 线 C：x2=4 y 相 切；当 m 1 时，即 0 时，直 线 l 与 抛 物 线 C：x2=4 y 不 相 切 综 上，当 m=1 时，直 线 l 与 抛 物 线 C：x2=4 y 相 切；当 m 1 时，直 线 l 与 抛 物 线
19、C：x2=4 y不 相 切【点 评】本 题 考 查 直 线 与 圆 的 位 置 关 系，直 线 与 抛 物 线 的 位 置 关 系，考 查 学 生 对 直 线 与 圆 相切，直 线 与 抛 物 线 相 切 的 问 题 的 转 化 方 法，考 查 学 生 的 方 程 思 想 和 运 算 化 简 能 力，属 于 基 本题 型 1 8（1 3 分）某 商 场 销 售 某 种 商 品 的 经 验 表 明，该 商 品 每 日 的 销 售 量 y（单 位：千 克）与 销售 价 格 x（单 位：元/千 克）满 足 关 系 式 y=+1 0（x 6）2，其 中 3 x 6，a 为 常 数 已知 销 售 价 格
20、 为 5 元/千 克 时，每 日 可 售 出 该 商 品 1 1 千 克（）求 a 的 值；（）若 该 商 品 的 成 品 为 3 元/千 克，试 确 定 销 售 价 格 x 的 值，使 商 场 每 日 销 售 该 商 品 所 获得 的 利 润 最 大【考 点】函 数 模 型 的 选 择 与 应 用；利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性【专 题】应 用 题【分 析】（）由 f（5）=1 1 代 入 函 数 的 解 析 式，解 关 于 a 的 方 程，可 得 a 值；（）商 场 每 日 销 售 该 商 品 所 获 得 的 利 润=每 日 的 销 售 量 销 售 该 商 品 的 单 利
21、润，可 得 日 销售 量 的 利 润 函 数 为 关 于 x 的 三 次 多 项 式 函 数，再 用 求 导 数 的 方 法 讨 论 函 数 的 单 调 性，得 出 函数 的 极 大 值 点，从 而 得 出 最 大 值 对 应 的 x 值【解 答】解：（）因 为 x=5 时，y=1 1，所 以+1 0=1 1，故 a=2（）由（）可 知，该 商 品 每 日 的 销 售 量 y=所 以 商 场 每 日 销 售 该 商 品 所 获 得 的 利 润 为从 而，f（x）=1 0（x 6）2+2（x 3）（x 6）=3 0（x 6）（x 4）于 是，当 x 变 化 时，f（x）、f（x）的 变 化 情
22、况 如 下 表：x（3，4）4（4，6）f（x）+0 f（x）单 调 递 增 极 大 值 4 2 单 调 递 减由 上 表 可 得，x=4 是 函 数 f（x）在 区 间（3，6）内 的 极 大 值 点，也 是 最 大 值 点 所 以，当 x=4 时，函 数 f（x）取 得 最 大 值，且 最 大 值 等 于 4 2答：当 销 售 价 格 为 4 元/千 克 时，商 场 每 日 销 售 该 商 品 所 获 得 的 利 润 最 大【点 评】本 题 函 数 解 析 式 的 建 立 比 较 容 易，考 查 的 重 点 是 利 用 导 数 解 决 生 活 中 的 优 化 问 题，属 于 中 档 题 1
23、 9（1 3 分）某 产 品 按 行 业 生 产 标 准 分 成 8 个 等 级，等 级 系 数 X 依 次 为 1，2，8，其 中X 5 为 标 准 A，X 3 为 标 准 B，已 知 甲 厂 执 行 标 准 A 生 产 该 产 品，产 品 的 零 售 价 为 6 元/件；乙 厂 执 行 标 准 B 生 产 该 产 品，产 品 的 零 售 价 为 4 元/件，假 定 甲、乙 两 厂 的 产 品 都 符 合 相 应的 执 行 标 准（）已 知 甲 厂 产 品 的 等 级 系 数 X1的 概 率 分 布 列 如 下 所 示：X15 6 7 8P 0.4 a b 0.1且 X1的 数 字 期 望
24、E X1=6，求 a，b 的 值；（）为 分 析 乙 厂 产 品 的 等 级 系 数 X2，从 该 厂 生 产 的 产 品 中 随 机 抽 取 3 0 件，相 应 的 等 级 系数 组 成 一 个 样 本，数 据 如 下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用 这 个 样 本 的 频 率 分 布 估 计 总 体 分 布，将 频 率 视 为 概 率，求 等 级 系 数 X2的 数 学 期 望（）在（）、（）的 条 件 下，若 以“性 价 比”为 判 断 标 准，则 哪 个 工 厂 的 产 品 更 具 可 购买 性？说
25、明 理 由 注：（1）产 品 的“性 价 比”=；（2）“性 价 比”大 的 产 品 更 具 可 购 买 性【考 点】概 率 的 应 用；随 机 抽 样 和 样 本 估 计 总 体 的 实 际 应 用；离 散 型 随 机 变 量 的 期 望 与 方 差【专 题】计 算 题；应 用 题【分 析】（）根 据 题 意，结 合 期 望 的 计 算 与 频 率 分 布 列 的 性 质，可 得，解 即可 得 答 案；（）依 据 题 意 中，用 这 个 样 本 的 频 率 分 布 估 计 总 体 分 布，将 频 率 视 为 概 率，先 由 数 据 得 到样 本 的 频 率 分 布 列，进 而 可 得 其 概
26、 率 分 布 列，由 期 望 公 式，计 算 可 得 答 案；（）由 题 意 与（）的 结 论，可 得 两 厂 产 品 的 期 望，结 合 题 意，计 算 可 得 他 们 产 品 的“性价 比”，比 较 其 大 小，可 得 答 案【解 答】解：（）根 据 题 意，因 为 X1的 数 字 期 望 E X1=6，则 5 0.4+6 a+7 b+8 0.1=6，化 简可 得 6 a+7 b=3.2；又 由 X1的 频 率 分 布 列，可 得 0.4+a+b+0.1=1，即 a+b=0.5；即，解 可 得 a=0.3，b=0.2；（）由 已 知 得，样 本 的 频 率 分 布 列 为X23 4 5 6
27、 7 8f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1用 这 个 样 本 的 频 率 分 布 估 计 总 体 的 分 布，将 其 频 率 视 为 概 率，可 得 X2的 概 率 分 布 列 如 下：X23 4 5 6 7 8p 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1所 以 E X2=3 0.3+4 0.2+5 0.2+6 0.1+7 0.1+8 0.1=4.8 即 乙 产 品 的 等 级 系 数 的 数 学 期 望 等 于 4.8；（）乙 厂 的 产 品 更 具 有 可 购 买 性，理 由 如 下：甲 厂 产 品 的 等 级 系 数 的 数 学 期 望 等 于 6，价 格 为 6
28、元/件，所 以 其 性 价 比 为=1，乙 厂 产 品 的 等 级 系 数 的 数 学 期 望 等 于 4.8，价 格 为 4 元/件，所 以 其 性 价 比 为=1.2；据 此 乙 厂 的 产 品 更 具 有 可 购 买 性【点 评】本 题 考 查 概 率 的 实 际 运 用，是 应 用 性 的 题 目，整 体 难 度 不 大；解 题 时 需 要 认 真 分 析、理 解 题 意，并 根 据 题 意，选 择 合 适 的 数 学 统 计 量 来 计 算 应 用 2 0（1 4 分）如 图，四 棱 锥 P A B C D 中，P A 底 面 A B C D，四 边 形 A B C D 中，A B
29、A D，A B+A D=4，C D=，C D A=4 5（）求 证：平 面 P A B 平 面 P A D；（）设 A B=A P（i）若 直 线 P B 与 平 面 P C D 所 成 的 角 为 3 0，求 线 段 A B 的 长；（i i）在 线 段 A D 上 是 否 存 在 一 个 点 G，使 得 点 G 到 点 P，B，C，D 的 距 离 都 相 等？说 明 理 由【考 点】平 面 与 平 面 垂 直 的 判 定；点、线、面 间 的 距 离 计 算【专 题】压 轴 题；转 化 思 想；空 间 位 置 关 系 与 距 离【分 析】（I）根 据 线 面 垂 直 的 定 义 可 得 P
30、A A B，再 结 合 D A A B 得 到 A B 平 面 P A D，最 后 根据 平 面 与 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 得 平 面 P A B 与 平 面 P A D 垂 直；（I I）（i）以 A 为 坐 标 原 点，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，根 据 已 知 数 据 设 出 B、P、E、C、D 的 坐标，用 法 向 量 的 方 法 结 合 数 量 积 计 算 公 式，可 得 线 段 A B 的 长；（i i）先 假 设 存 在 点 G 满 足 条 件，再 通 过 计 算 G B 之 长，与 G D 长 加 以 比 较，得 出 G B G D，与 已 知 条 件
31、 G B=G D=1 矛 盾，故 不 存 在 满 足 条 件 的 点 G【解 答】解：（I）证 明：P A 平 面 A B C D，A B 平 面 A B C D P A A B又 A B A D，P A A D=A A B 平 面 P A D又 A B 平 面 P A B，平 面 P A B 平 面 P A D（I I）（i）以 A 为 坐 标 原 点，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A x y z（如 图）在 平 面 A B C D 内，作 C E A B 交 于 点 E，则 C E A D在 R t C D E 中，D E=C D c o s 4 5=1，C E=C D s i n
32、4 5=1设 A B=A P=t，则 B（t，0，0），P（0，0，t）由 A B+A D=4，得 A D=4 t，所 以 E（0，3 t，0），C（1，3 t，0），D（0，4 t，0），设 平 面 P C D 的 法 向 量 为=（x，y，z）由，得取 x=t，得 平 面 P C D 的 一 个 法 向 量 为又，故 由 直 线 P B 与 平 面 P C D 所 成 的 角 为 3 0 得c o s（9 0 3 0）=即解 得 或 t=4（舍 去，因 为 A D=4 t 0）所 以 A B=（i i）假 设 在 线 段 A D 上 存 在 一 个 点 G 到 P、B、C、D 的 距 离
33、都 相 等由 G C=G D，得 G C D=G D C=4 5 从 而 C G D=9 0，即 C G A D所 以 G D=C D c o s 4 5=1设 A B=，则 A D=4，A G=A D G D=3 在 R t A B G 中，G B=这 G B=G D 与 矛 盾 所 以 在 线 段 A D 上 不 存 在 一 个 点 G，使 得 点 G 到 B、C、D 的 距 离 都 相 等 从 而，在 线 段 A D 上 不 存 在 一 个 点 G，使 得 点 G 到 点 P、B、C、D 的 距 离 都 相 等【点 评】本 小 题 主 要 考 查 空 间 中 的 线 面 关 系，考 查
34、面 面 垂 直 的 判 定 及 线 面 角 的 计 算，考 查 空间 想 象 能 力、推 理 论 证 能 力 和 运 算 能 力，考 查 转 化 思 想，属 于 中 档 题 2 1（1 4 分）本 题 设 有（1）、（2）、（3）三 个 选 考 题，每 题 7 分，请 考 生 任 选 2 题 作 答，满分 1 4 分，如 果 多 做，则 按 所 做 的 前 两 题 计 分，作 答 时，先 用 2 B 铅 笔 在 答 题 卡 上 把 所 选 题 目对 应 的 题 号 涂 黑，并 将 所 选 题 号 填 入 括 号 中（1）选 修 4 2：矩 阵 与 变 换设 矩 阵（其 中 a 0，b 0）（）
35、若 a=2，b=3，求 矩 阵 M 的 逆 矩 阵 M 1；（）若 曲 线 C：x2+y2=1 在 矩 阵 M 所 对 应 的 线 性 变 换 作 用 下 得 到 曲 线 C：，求a，b 的 值（2）（本 小 题 满 分 7 分）选 修 4 4：坐 标 系 与 参 数 方 程在 直 接 坐 标 系 x O y 中，直 线 l 的 方 程 为 x y+4=0，曲 线 C 的 参 数 方 程 为（）已 知 在 极 坐 标（与 直 角 坐 标 系 x O y 取 相 同 的 长 度 单 位，且 以 原 点 O 为 极 点，以 x 轴 正半 轴 为 极 轴）中，点 P 的 极 坐 标 为（4，），判
36、断 点 P 与 直 线 l 的 位 置 关 系；（）设 点 Q 是 曲 线 C 上 的 一 个 动 点，求 它 到 直 线 l 的 距 离 的 最 小 值（3）（本 小 题 满 分 7 分）选 修 4 5：不 等 式 选 讲设 不 等 式|2 x 1|1 的 解 集 为 M（）求 集 合 M；（）若 a，b M，试 比 较 a b+1 与 a+b 的 大 小【考 点】逆 变 换 与 逆 矩 阵；椭 圆 的 参 数 方 程；绝 对 值 不 等 式 的 解 法【专 题】计 算 题；压 轴 题；选 作 题【分 析】（1）（）直 接 根 据 求 逆 矩 阵 的 公 式 求 解，即 M=，则 代入 a，
37、b 即 可 求 解（）设 出 曲 线 C：x2+y2=1 任 意 一 点 为（x0，y0）经 矩 阵 M 所 对 应 的 线 性 变 换 作 用 下 得 到 的点 为（x，y），即 可 根 据 矩 阵 乘 法 M（x0，y0）=（x，y）得 到 关 于 x0，y0与 x，y 间 的 关 系，即 将 之 代 入 得 到 的 含 x0，y0的 方 程 应 与 x2+y2=1 相 同，根 据 待 定 系 数 即可 运 算（2）（）将 P 的 极 坐 标（4，）根 据 公 式 化 为 直 角 坐 标 坐 标 为（0，4），则 根 据 直 角 坐 标 系 下 点 与 直 线 的 位 置 关 系 判 断
38、即 可（）根 据 曲 线 C 的 参 数 方 程 为，设 出 曲 线 C 上 任 一 点 到 直 线 l的 距 离 为 d，则 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 知 d=，即d=，而 2 s i n（）2，2，则 d 的 最 小 值 为（3）（）直 接 根 据 绝 对 值 不 等 式 的 意 义（|a b|表 示 a b 与 原 点 的 距 离，也 表 示 a 与 b之 间 的 距 离）知：1 2 x 1 1 即 可 求 解（）要 比 较 a b+1 与 a+b 的 大 小，只 需 比 较（a b+1）（a+b）与 0 的 大 小，而（a b+1）（a+b）=（a 1）（b 1）再
39、根 据 a，b M 即 可 得 到（a 1）（b 1）的 符 号，即 可 求 解【解 答】（1）解：（）将 a=2，b=3 代 入 即 得：（）设 出 曲 线 C：x2+y2=1 任 意 一 点 为（x0，y0）经 矩 阵 M 所 对 应 的 线 性 变 换 作 用 下 得 到 的点 为（x，y），M（x0，y0）=（x，y）将 之 代 入 得：即 a 0，b 0（2）（）解 P 的 极 坐 标 为（4，），P 的 直 角 坐 标 为（0，4）直 线 l 的 方 程 为 x y+4=0（0，4）在 直 线 l 上（）曲 线 C 的 参 数 方 程 为，直 线 l 的 方 程 为 x y+4=0
40、设 曲 线 C 的 到 直 线 l 的 距 离 为 d则 d=2 s i n（）2，2 d 的 最 小 值 为（3）（）解：|2 x 1|1 1 2 x 1 1即 0 x 1即 M 为 x|0 x 1（）a，b M a 1 0 b 1 0（b 1）（a 1）0（a b+1）（a+b）=a（b 1）+（1 b）=（b 1）（a 1）0即（a b+1）（a+b）【点 评】本 题 考 查 了 逆 变 换 与 逆 矩 阵，以 及 待 定 系 数 法 求 解 a，b 的 方 法，椭 圆 的 参 数 方 程，绝 对 值 不 等 式 的 解 法，作 差 法 比 较 大 小 的 相 关 知 识，属 于 基 础 题