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1、120142014 年四川高考理科数学真题及答案年四川高考理科数学真题及答案一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1已知集合2|20Ax xx，集合B为整数集，则ABA 1,0,1,2B 2,1,0,1C0,1D 1,02在6(1)xx的展开式中，含3x项的系数为A30B20C15D103为了得到函数sin(21)yx的图象，只需把函数sin2yx的图象上所有的点A向左平行移动12个单位长度B向右平行移动12个单位长度C向左平行移动1个单位长度D向右平行移动1个单位长度4若0ab，0cd，则一定有AabcdBabcdCa
2、bdcDabdc5执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的,x yR，则输出的S的最大值为A0B1C2D36六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，则不同的排法共有A192种B216种C240种D288种7 平面向量(1,2)a，(4,2)b，cmab（mR），且c与a的夹角等于c与b的夹角，则mA2B1C1D28 如图，在正方体1111ABCDABC D中，点O为线段BD的中点。设点P在线段1CC上，直线OP与平面1ABD所成的角为，则sin的取值范围是2A3,13B6,13C6 2 2,33D2 2,139已知()ln(1)ln(1)f xxx，(1,1)x。现有下列命
3、题：()()fxf x；22()2()1xff xx；|()|2|f xx。其中的所有正确命题的序号是ABCD10已知F是抛物线2yx的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2OA OB （其中O为坐标原点），则ABO与AFO面积之和的最小值是A2B3C17 28D10二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11复数221ii。12设()f x是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 1,1)x 时，242,10,(),01,xxf xxx，则3()2f。13如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m，则河流的宽度
4、BC 约等于m。（用四舍五入法将结果精确到个位。参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，331.73）14设mR，过定点 A 的动直线0 xmy和过定点 B 的动直线30mxym交于点(,)P x y，则|PAPB的最大值是。15以A表示值域为 R 的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数()x组成的集合：对于函数()x，存在一个正数M，使得函数()x的值域包含于区间,M M。例如，当31()xx，2()sinxx时，1()xA，2()xB。现有如下命题：设函数()f x的定义域为D，则“()f xA”的充要条件是“bR，aD，()f ab”
5、；函数()f xB的充要条件是()f x有最大值和最小值；若函数()f x，()g x的定义域相同，且()f xA，()g xB，则()()f xg xB；若函数2()ln(2)1xf xaxx（2x ，aR）有最大值，则()f xB。其中的真命题有。（写出所有真命题的序号）三解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。16已知函数()sin(3)4f xx。（1）求()f x的单调递增区间；（2）若是第二象限角，4()cos()cos2354f，求cossin的值。17一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现
6、音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分（即获得200分）。设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立。（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。418三棱锥ABCD及其侧视图、俯视图如图所示。设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MNNP。（1）证明：P为线段BC的中点；
7、（2）求二面角ANPM的余弦值。19设等差数列na的公差为d，点(,)nna b在函数()2xf x 的图象上（*nN）。（1）若12a ，点87(,4)ab在函数()f x的图象上，求数列na的前n项和nS；（2）若11a，函数()f x的图象在点22(,)a b处的切线在x轴上的截距为12ln2，求数列nnab的前n项和nT。20已知椭圆 C：22221xyab（0ab）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线3x 上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点,P Q。（）证明：OT 平分线段 PQ（其中 O
8、 为坐标原点）；（）当|TFPQ最小时，求点 T 的坐标。21已知函数2()1xf xeaxbx，其中,a bR，2.71828e 为自然对数的底数。5（1）设()g x是函数()f x的导函数，求函数()g x在区间0,1上的最小值；（2）若(1)0f，函数()f x在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围6参考答案参考答案一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。1A2C3A4D5C6B7D8B9C10B二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。112i121136014515三解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答须写出文字说明，证明过程或演
9、算步骤。16已知函数()sin(3)4f xx。（1）求()f x的单调递增区间；（2）若是第二象限角，4()cos()cos2354f，求cossin的值。解：（1）由232242kxk2234312kkx所以()f x的单调递增区间为22,34312kk（kZ）（2）由4()cos()cos2354f4sin()cos()cos2454因为cos2sin(2)sin2()2sin()cos()2444所以28sin()cos()sin()4544又是第二象限角，所以sin()04或25cos()48 由3sin()022444kk（kZ）所以33cossincossin244 由25515
10、cos()cos()(cossin)4842 222 2 7所以5cossin2 综上，cossin2 或5cossin2 17一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分（即获得200分）。设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立。（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分
11、数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。解：（1）X可能取值有200，10，20，1000033111(200)()(1)228P XC，1123113(10)()(1)228P XC，2213113(20)()(1)228P XC，3303111(100)()(1)228P XC故分布列为X2001020100P18383818（2）由（1）知：每盘游戏出现音乐的概率是33178888p 则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是00313775111()(1)88512pC（3）由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是133110()(200)10201008
12、8888E X 分这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少。18三棱锥ABCD及其侧视图、俯视图如图所示。设M，N分别为线段AD，AB的中点，P8为线段BC上的点，且MNNP。（1）证明：P为线段BC的中点；（2）求二面角ANPM的余弦值。解：（1）由三棱锥ABCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥ABCD中：平面ABD 平面CBD，2ABADBDCDCB设O为BD的中点，连接OA，OC于是OABD，OCBD所以BD 平面OACBDAC因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以/MNBD，又MNNP，故BDNP假设P
13、不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线从而BD 平面ABC，这与60DBC矛盾所以P为线段BC的中点（2）以O为坐标原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则(0,0,3)A，13(,0,)22M，13(,0,)22N，13(,0)22P于是13(,0,)22AN，33(0,)22PN，(1,0,0)MN 设平面ANP和平面NPM的法向量分别为111(,)mx y z和222(,)nxy z由00AN mPN m 11111302233022xzyz，设11z，则(3,1,1)m 9由00MN nPN n 222033022xyz，设21z，则(0,
14、1,1)n 210cos,5|52m nm nmn 所以二面角ANPM的余弦值10519设等差数列na的公差为d，点(,)nna b在函数()2xf x 的图象上（*nN）。（1）若12a ，点87(,4)ab在函数()f x的图象上，求数列na的前n项和nS；（2）若11a，函数()f x的图象在点22(,)a b处的切线在x轴上的截距为12ln2，求数列nnab的前n项和nT。解：（1）点(,)nna b在函数()2xf x 的图象上，所以2nanb，又等差数列na的公差为d所以1112222nnnnaaadnanbb因为点87(,4)ab在函数()f x的图象上，所以87842abb，所
15、以8724dbb2d又12a ，所以221(1)232nn nSnadnnnnn（2）由()2()2 ln2xxf xfx函数()f x的图象在点22(,)a b处的切线方程为222(2ln2)()aybxa所以切线在x轴上的截距为21ln2a，从而2112ln2ln2a，故22a 从而nan，2nnb，2nnnanb231232222nnnT 2341112322222nnnT所以23411111112222222nnnnT111211222nnnnn 10故222nnnT20已知椭圆 C：22221xyab（0ab）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。（1）求椭圆
16、C 的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线3x 上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点,P Q。（）证明：OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点）；（）当|TFPQ最小时，求点 T 的坐标。解：（1）依条件2222226324caabbabc所以椭圆 C 的标准方程为22162xy（2）设(3,)Tm，11(,)P x y，22(,)Q xy，又设PQ中点为00(,)N xy（）因为(2,0)F，所以直线PQ的方程为：2xmy22222(3)420162xmymymyxy所以222122122168(3)24(1)04323mmmmyymy ym 于是1202223yymym，
17、20022262233mxmymm11所以2262(,)33mNmm。因为3OTONmkk 所以O，N，T三点共线即 OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点）（）2|1TFm，22212224(1)|113mPQyymmm 所以222222|13|24(1)24(1)13TFmmPQmmmm，令21mx（1x）则2|2123()|32 62 6TFxxPQxx（当且仅当22x 时取“”）所以当|TFPQ最小时，22x 即1m或1，此时点 T 的坐标为(3,1)或(3,1)21已知函数2()1xf xeaxbx，其中,a bR，2.71828e 为自然对数的底数。（1）设()g x是函数()
18、f x的导函数，求函数()g x在区间0,1上的最小值；（2）若(1)0f，函数()f x在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围解：（1）因为2()1xf xeaxbx所以()()2xg xfxeaxb又()2xg xea因为0,1x，1xee所以：若12a，则21a，()20 xg xea，所以函数()g x在区间0,1上单增，min()(0)1gxgb 若122ea，则12ae，于是当0ln(2)xa时()20 xg xea，当ln(2)1ax时()20 xg xea，所以函数()g x在区间0,ln(2)a上单减，在区间ln(2),1a上单增，min()ln(2)22 ln(2)gxg
19、aaaab12 若2ea，则2ae，()20 xg xea所以函数()g x在区间0,1上单减，min()(1)2gxgeab综上：()g x在区间0,1上的最小值为min11,21()22 ln(2),222,2baegxaaabaeeaba（2）由(1)0f10eab 1bea，又(0)0f若函数()f x在区间(0,1)内有零点，则函数()f x在区间(0,1)内至少有三个单调区间由（1）知当12a 或2ea 时，函数()g x即()fx在区间0,1上单调，不可能满足“函数()f x在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求。若122ea，则min()22 ln(2)32 ln(2)1gxaaabaaae 令3()ln12h xxxxe（1xe）则1()ln2h xx。由1()ln02h xxxe所以()h x在区间(1,)e上单增，在区间(,)e e上单减max3()()ln1102hxheeeeeee 即min()0gx 恒成立于是，函数()f x在区间(0,1)内至少有三个单调区间(0)20(1)10geaga 21aea又122ea所以21ea综上，a的取值范围为(2,1)e