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1、学习必备 欢迎下载 数学必修 4 基础知识与典型例题 三角函数 学习必备 欢迎下载 角 的 概 念 1.与 终边相同的角的集合：_ 第一象限角的集合：_ 2.角度与弧度的互换关系：_ 3.弧长公式：_ 扇形面积公式：_ 例 1.已知为第三象限角，则2所在的象限是()(A)第一或第二象限(B)第二或第三象限(C)第一或第三象限(D)第二或第四象限 三角函数的定 义 1.三角函数定义:在角终边上任取一点(,)P x y（与原点不重合），记2 2y x r，则 sin_,cos_,tan_ 2.各象限角的三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦 sin cos tan 1.同角三角函数基本关系:_ 2
2、.诱导公式:公式（一）公式（二）)2 sin(x k_;)sin(x_;)2 cos(x k_;)cos(x_;)2 tan(x k_;)tan(x_;公式（三）公式（四）)sin(x _;)sin(x _;)cos(x _;)cos(x _;)tan(x _;)tan(x _;公式（五）公式（六）)23sin(x_:)23sin(x_:例 2.已 知 角 的 终 边 经 过 点)3,4(P,求 cos sin 2 的值.例 3.若是 第 三 象 限 角,且cos cos2 2,则2是()(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角 例 4.若cos 0,sin2 0,且
3、则角的终边所在象限是（）(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限 例 5.化简：440 sin 1 2)25sin()4 tan()tan()23cos()sin(sin 3 cos 例 6.已知点 P(cos,sin)在直线2 0 x y 上，试求下列各三角函数式的值:（1）tan(2)2 23sin 4cos.象限角的集合角度与弧度的互换关系弧长公式扇形面积公式例已知为第三象限角则所在的象限是第一或第二象限第二或第三象限第一或第三象限第二或第四象限三角函数的定义三角函数定义在角终边上任取一点与原点不重合记则各 同角三角函数基本关系诱导公式公式一公式二公式三公式四公式五公式六
4、例已知角的终边经过点求的值例若是第三象限角且则是第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角且例化简例已知点上试求下列各三角函数在直线式的值学 三角函数恒等变形的基本策略常值代换特别是用的代换角的配凑用已知角表示未知角等降次与升次即倍角公式升次与降幂公式降次切化弦辅助角公式例设若则例例已知是方程两根且则等于或或例求下列各式的值例已知锐角满足求学学习必备 欢迎下载 1.三角函数的性质：函数 x y sin x y cos x y tan 三角函数公式)23cos(x_:)23cos(x_:公式（七）公式（八）)2sin(x_:)2sin(x_:)2cos(x_;)2cos(x_;3.两角和与差公式:
5、)sin(_;)cos(_;)tan(_;4.二倍角公式：2 sin_;2 tan_;2 cos_;降幂公式：2sin_ 2cos_ 注:变形公式：x x x 2 sin21cos sin；tan()(1 tan tan)tan tan,三角函数恒等变形的基本策略:常值代换：特别是用“1”的代换，2 2cos sin 1=45 tan 角的配凑:用已知角表示未知角 2()()、2()()、2 2、2 2、()、30)30(等 降次与升次。即倍角公式升次与降幂公式降次。切化弦。辅助角公式：)sin(cos sin2 2 x b a x b x a 例 7.设)2,0(,若,53sin 则)4co
6、s(2（）(A)57(B)51(C)27(D)4 例 8.223 sin 163 sin+313 sin 253 sin()1()2A 1()2B 3()2C 3()2D 例 9.已 知tan，tan是 方 程23 3 4 0 x x 两根，且，)2,2(，则 等于()(A)32(B)32或3(C)3或32(D)3 例 10.求下列各式的值：75 tan 175 tan 1 tan17+tan28+tan17 tan28 例 11.已 知 锐 角,满 足cos=53,cos(+)=135,求 cos.象限角的集合角度与弧度的互换关系弧长公式扇形面积公式例已知为第三象限角则所在的象限是第一或第二
7、象限第二或第三象限第一或第三象限第二或第四象限三角函数的定义三角函数定义在角终边上任取一点与原点不重合记则各 同角三角函数基本关系诱导公式公式一公式二公式三公式四公式五公式六例已知角的终边经过点求的值例若是第三象限角且则是第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角且例化简例已知点上试求下列各三角函数在直线式的值学 三角函数恒等变形的基本策略常值代换特别是用的代换角的配凑用已知角表示未知角等降次与升次即倍角公式升次与降幂公式降次切化弦辅助角公式例设若则例例已知是方程两根且则等于或或例求下列各式的值例已知锐角满足求学学习必备 欢迎下载 三 角 函 数 的 图 像 和 性 质 一个周期内的图像 定义域
8、 值域 最小正周期 最值 当且仅当 x=_ 函数取最大值 1；当且仅当 x=_ 函数取最小值-1；当且仅当 x=_ 函数取最大值 1；当且仅当 x=_ 函数取最小值-1；无 单调性 增区间：减区间：增区间：减区间：增区间：减区间：奇偶性 对称轴方程 对称 中心 2.函数K x A y)sin(的性质：函数K x A y)sin(），（其中 0 0 A的最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；3.函数)0,0,0,0()sin(k A k x A y 的图象的作法：五点作图法，列表取点如下：x 0 2 23 2 x y 由函数x y sin 的图像变换得到函数k x A y)sin(
9、（0,0 A,）图像：由函数x y sin 的图像 _ 得函数x y sin 的图像 _ 得函数)sin(x y的图像 _ 得函数)sin(x A y的图像 _ 得函数k x A y)sin(的图像。由函数x y sin 的图像 _ 得函数)sin(x y的图像 _得函数)sin(x y的图像 _得函数)sin(x A y的图像 _ 得 三角函数 象限角的集合角度与弧度的互换关系弧长公式扇形面积公式例已知为第三象限角则所在的象限是第一或第二象限第二或第三象限第一或第三象限第二或第四象限三角函数的定义三角函数定义在角终边上任取一点与原点不重合记则各 同角三角函数基本关系诱导公式公式一公式二公式三
10、公式四公式五公式六例已知角的终边经过点求的值例若是第三象限角且则是第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角且例化简例已知点上试求下列各三角函数在直线式的值学 三角函数恒等变形的基本策略常值代换特别是用的代换角的配凑用已知角表示未知角等降次与升次即倍角公式升次与降幂公式降次切化弦辅助角公式例设若则例例已知是方程两根且则等于或或例求下列各式的值例已知锐角满足求学学习必备 欢迎下载 三 角 函 数 函数 k x A y)sin(的图像。注：以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象.函数sin()y A x 的图像和性质以函数sin y x 为基础,通过图像变换来把握.如sin y x 图像变化为
11、sin()y A x(A0,0)相应地，函数x y sin 的单调增区间 2,22 2k k 变为2 22 2k x k 的解集是函数sin()y A x 的增区间.例 12.下列函数中，最小正周期为2的是（）A)32 sin(x y B)32 tan(x y C)62 cos(x y D)64 tan(x y 例 13.将函数x y 4 sin 的图象向左平移12个单位，得到)4 sin(x y的图象，则等于（）A 12 B3 C 3 D12 例 14.函数22cos()()3 6 3y x x 的最小值是（）()2 A()3 B()1 C()1 D 例 15.若函数)sin()(x x f
12、的图象（部分）如图所示，则 和的取值是()(A)3,1(B)3,1(C)6,21(D)6,21 例 16.已知函数 x x x x x f cos sin sin21cos212 2 求 x f的最小正周期；求 x f的单调递增区间。平面向量 象限角的集合角度与弧度的互换关系弧长公式扇形面积公式例已知为第三象限角则所在的象限是第一或第二象限第二或第三象限第一或第三象限第二或第四象限三角函数的定义三角函数定义在角终边上任取一点与原点不重合记则各 同角三角函数基本关系诱导公式公式一公式二公式三公式四公式五公式六例已知角的终边经过点求的值例若是第三象限角且则是第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角
13、且例化简例已知点上试求下列各三角函数在直线式的值学 三角函数恒等变形的基本策略常值代换特别是用的代换角的配凑用已知角表示未知角等降次与升次即倍角公式升次与降幂公式降次切化弦辅助角公式例设若则例例已知是方程两根且则等于或或例求下列各式的值例已知锐角满足求学学习必备 欢迎下载 1.向量的有关概念（1）向量:既有 _又有 _的量.向量的 _叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).（2）理解零向量、相等向量、单位向量、共线向量、相反向量的概念。注：向量不能比较大小，向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a与b相等,记为a b 共线向量又称为平行向量。规定:0与任一向量共线.0与任一向量
14、垂直。2.向量的运算 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与 减法 OA+OB=_ OBOA=_ 记OA=(x1,y1),OB=(x1,y2)则OA OB=_ OB OA=_ OA+AB=_ 实数与向量的乘积 AB=a，R 记a=(x,y)，则 a=_ 两个向量的数量积 b a_ 记1 1 2 2(,),(,)a x y b x y 则ab=_ 注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(ab)2=222 a a b b，但要注意两个向量的数量积不满足结合律，即)()(c b a c b a 3.运算性质及重
15、要结论：平面向量基本定理:如果1 2,e e是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量a,有且只有一对实数1 2,使1 1 2 2a e e。其中1 2,e e叫做表示这一平面内所有向量的 _;平面内任一向量都可以沿两个不共线向量1 2,e e的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.这说明如果1 1 2 2a e e 且 1 1 2 2a e e,那么 _.向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若),(y x A，则 OA=_ 当向量起点不在原点时，若),(1 1y x A),(2 2y x B，则 AB=_ 中点坐标公式：已知),(),(
16、2 2 1 1y x B y x A，则AB的中点坐标为 _ 三角形的重心坐标公式：ABC 三个顶点的坐标分别为),(),(),(3 3 2 2 1 1y x C y x B y x A,则ABC 的重心的坐标是 _ 设非零向量),(),(2 2 1 1y x b y x a，则b a/_ 设非零向量 1 1 2 2,a b x y x y，则 b a_ 象限角的集合角度与弧度的互换关系弧长公式扇形面积公式例已知为第三象限角则所在的象限是第一或第二象限第二或第三象限第一或第三象限第二或第四象限三角函数的定义三角函数定义在角终边上任取一点与原点不重合记则各 同角三角函数基本关系诱导公式公式一公式
17、二公式三公式四公式五公式六例已知角的终边经过点求的值例若是第三象限角且则是第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角且例化简例已知点上试求下列各三角函数在直线式的值学 三角函数恒等变形的基本策略常值代换特别是用的代换角的配凑用已知角表示未知角等降次与升次即倍角公式升次与降幂公式降次切化弦辅助角公式例设若则例例已知是方程两根且则等于或或例求下列各式的值例已知锐角满足求学学习必备 欢迎下载 两个向量数量积的重要性质：_(求线段的长度);_(求角度)。注:_叫做向量b在a方向上的投影。数量积的几何意义是数量积b a 等于a的模与b在a方向上的投影的积.若a=(x,y)，则a=_;如果1 1 1(,)P
18、 x y,2 2 2(,)P x y,则1 2PP=2 1 2 1(,)x x y y,_,这就是平面内两点间的距离公式.练习：1.河水的流速为 2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向 10m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A 10m/s B 2 26m/s C 4 6m/s D 12m/s 2.已知AM是ABC 的BC边上的中线，若AB=a,AC=b，则AM等于（）A.21(a-b)B.21(b-a)C.21(a+b)D.12(a+b)3.已知平面向量(3,1)a，(,3)b x，且a b，则x（）A 3 B 1 C 1 D 3 4.已知向量a(4,2)，b(x,3)，且a
19、b，则x的值是()A 6 B 6 C 9 D 12 5.已知向量)2,3(a,)0,1(b，向量 a b 与b a 2 垂直，则实数的值为()A.71 B.71 C.61 D.61 6.已知a、b均为单位向量,它们的夹角为 60,那么|a+3b|=（）A 7 B10 C13 D 4 7.已知a=（3，4），b=（5，12），则a与b夹角的余弦值为（）A 6563 B65 C 513 D 13 8.已知向量a，b满足ab，|a|1，|b|2，则|2ab|()A 0 B 2 2 C 4 D 8 9.如图，ABC 为等腰三角形，30 B A，设，AC边上的高为BD若用b a,表示，则表达式为（）A
20、B C D 10.以 A(2，5)，B(5，2)，C(10，7)为顶点的三角形的形状是()A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 11.已知 12,5|,3|b a b a 且，则向量a在向量b上的投影为（）A 512 B 3 C 4 D 5 象限角的集合角度与弧度的互换关系弧长公式扇形面积公式例已知为第三象限角则所在的象限是第一或第二象限第二或第三象限第一或第三象限第二或第四象限三角函数的定义三角函数定义在角终边上任取一点与原点不重合记则各 同角三角函数基本关系诱导公式公式一公式二公式三公式四公式五公式六例已知角的终边经过点求的值例若是第三象限角且则是
21、第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角且例化简例已知点上试求下列各三角函数在直线式的值学 三角函数恒等变形的基本策略常值代换特别是用的代换角的配凑用已知角表示未知角等降次与升次即倍角公式升次与降幂公式降次切化弦辅助角公式例设若则例例已知是方程两根且则等于或或例求下列各式的值例已知锐角满足求学学习必备 欢迎下载 12.若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c 30，则x()A 6 B 5 C 4 D 3 13.若平面向量b与向量)2,1(a的夹角是o180，且5 3|b，则 b()A)6,3(B)6,3(C)3,6(D)3,6(14.已知向量)3,2(),2,1(b
22、 a，若向量c满足b a c/)(，)(b a c，则c（）A 7 7(,)9 3 B 7 7(,)3 9 C 7 7(,)3 9 D 7 7(,)9 3 15若OA=)8,2(，OB=)2,7(，则31AB=_ 16已知向量)2,1(,3 b a，且b a，则a的坐标是 _ 17若3 a,2 b，且a与b的夹角为060，则a b。18在平面四边形ABCD中，若ABDC，且|AB|BC|，则四 边形ABCD是 _ 19 已知4,3 ba，且向量a，b不共线，若向量a+kb与向量a-kb互相垂直，则实数k的值为 20.已知向量(cos,sin),(cos,cos),(1,0)a x x b x
23、x c.若6x，则向量a与c的夹角为；当9,2 8x 时，求函数()2 1 f x a b 的最大值为.21.已知 2,8,6,4,a b a b 则a _,b _,a与b的夹角的余弦值是 _.22.已知3 a，2 b，a且b的夹角为 60，求 b a b a3 2 的值。23.已知向量 A A a sin,cos，1,2 b，且b a，求A tan的值；若 x A x x f sin tan 2 cos R x，求 x f的值域。（12 分）24.已知向量 a(x23cos,x23sin),b(2cosx,2sinx),且 x-3,4.（1）求b a 及b a;（2）若b a b a x f
24、)(,求)(x f的最大值和最小值.象限角的集合角度与弧度的互换关系弧长公式扇形面积公式例已知为第三象限角则所在的象限是第一或第二象限第二或第三象限第一或第三象限第二或第四象限三角函数的定义三角函数定义在角终边上任取一点与原点不重合记则各 同角三角函数基本关系诱导公式公式一公式二公式三公式四公式五公式六例已知角的终边经过点求的值例若是第三象限角且则是第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角且例化简例已知点上试求下列各三角函数在直线式的值学 三角函数恒等变形的基本策略常值代换特别是用的代换角的配凑用已知角表示未知角等降次与升次即倍角公式升次与降幂公式降次切化弦辅助角公式例设若则例例已知是方程两根且则等于或或例求下列各式的值例已知锐角满足求学