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1、.-.文档.新人教版八年级上册数学 知识点总结归纳 第十一章三角形 第十二章全等三角形 第十三章轴对称 第十四章整式乘法和因式分解 第十五章分式 第十一章 三角形 1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组1.-.文档.成的角叫做三角形的角，简称三角形的角。2、三角形中的主要线段 1三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。2在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。3从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂
2、足之间的线段叫做三角形的高线简称三角形的高。3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性：1三角形有三条线段 2三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形 3首尾顺次相接 三角形用符号“表示，顶点是 A、B、C 的三角形记作“ABC，读作“三角形 ABC。5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下：不等边三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下：直角三角形有一个角为直角的三角形 三角形锐角三角形
3、三个角都是锐角的三角形 斜三角形 和因式分解第十五章分式第十一章三角形三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形组成三角形的线段叫做三角形的边相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点相邻两边所组文档成的角叫做三角的线段叫做三角形的角平分线在三角形中连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线从三角形一个顶点向它的对边做垂线顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线简称三角形的高三角形的稳定性三角形的形状是固定的三的形状三角形的特性与表示三角形有下面三个特性三角形有三条线段三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形首尾顺次相接三角形用符号表示顶点是的三角形记作读作三角形三角形的
4、分类三角形按边的关系分类如下不等边三角形.-.文档.钝角三角形有一个角为钝角的三角形 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。6、三角形的三边关系定理及推论 1三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。2三角形三边关系定理及推论的作用：判断三条线段能否组成三角形 当两边时，可确定第三边的围。证明线段不等关系。7、三角形的角和定理及推论 三角形的角和定理：三角形三个角和等于 180。推论：直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的角。
5、注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。8、三角形的面积=21底高 多边形知识要点梳理 定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。凸多边形 多边形 分类 1：凹多边形 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形 分类 2：叫做正多边形。非正多边形：和因式分解第十五章分式第十一章三角形三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形组成三角形的线段叫做三角形的边相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点相邻两边所组文档成的角叫做三角的线段叫做三角形的角平分线在三角形中连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线从三角形一个顶
6、点向它的对边做垂线顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线简称三角形的高三角形的稳定性三角形的形状是固定的三的形状三角形的特性与表示三角形有下面三个特性三角形有三条线段三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形首尾顺次相接三角形用符号表示顶点是的三角形记作读作三角形三角形的分类三角形按边的关系分类如下不等边三角形.-.文档.1、n 边形的角和等于 180n-2。多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于 360。3、n 边形的对角线条数等于 1/2 nn-3 只用一种正多边形：3、4、6/。镶嵌拼成 360 度的角 只用一种非正多边形全等：3、4。知识点一：多边形及有关概念 1、多边形的定义：在平面
7、，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.1多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点 角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的角，一个 n 边形有 n 个角。外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。2在定义中应注意：一些线段多边形的边数是大于等于 3 的正整数；首尾顺次相连，二者缺一不可;理解时要特别注意“在同一平面这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么此多边形为
8、凸多边形，反之为凹多边形见图 1.本章所讲的多边形都是指凸多边形.和因式分解第十五章分式第十一章三角形三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形组成三角形的线段叫做三角形的边相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点相邻两边所组文档成的角叫做三角的线段叫做三角形的角平分线在三角形中连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线从三角形一个顶点向它的对边做垂线顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线简称三角形的高三角形的稳定性三角形的形状是固定的三的形状三角形的特性与表示三角形有下面三个特性三角形有三条线段三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形首尾顺次相接三角形用符号表示顶点
9、是的三角形记作读作三角形三角形的分类三角形按边的关系分类如下不等边三角形.-.文档.凸多边形凹多边形 图 1(2)多边形通常还以边数命名，多边形有 n 条边就叫做 n 边形三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形 知识点二：正多边形 各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形 要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可.如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形 知识点三：多边形的对角线 多边形
10、的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.如图 2，BD 为四边形 ABCD的一条对角线。要点诠释：(1)从 n 边形一个顶点可以引(n3)条对角线，将多边形分成(n2)个三角形。(2)n 边形共有条对角线。证明：过一个顶点有 n3 条对角线(n3 的正整数)，又共有和因式分解第十五章分式第十一章三角形三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形组成三角形的线段叫做三角形的边相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点相邻两边所组文档成的角叫做三角的线段叫做三角形的角平分线在三角形中连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线从三角形一个顶点向它的对
11、边做垂线顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线简称三角形的高三角形的稳定性三角形的形状是固定的三的形状三角形的特性与表示三角形有下面三个特性三角形有三条线段三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形首尾顺次相接三角形用符号表示顶点是的三角形记作读作三角形三角形的分类三角形按边的关系分类如下不等边三角形.-.文档.n 个顶点，共有 n(n-3)条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，凸 n 边形，共有条对角线。知识点四：多边形的角和公式 1.公式：边形的角和为.2.公式的证明：证法 1：在边形任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成 个三角形，这个三角形的角和为，再减去一个周角，即得到边形
12、的角和为.证法 2：从边形一个顶点作对角线，可以作条对角线，并且边形被分成个三角形，这个三角形角和恰好是边形的角和，等于.证法 3：在 边形的一边上取一点与各个顶点相连，得个三角形，边形角和等于这个三角形的角和减去所取的一点处的一个平角的度数，即.要点诠释：(1)注意：以上各推导方法表达出将多边形问题转化为三角形问题来解决的根底思想。(2)角和定理的应用：多边形的边数，求其角和；多边形角和，求其边数。知识点五：多边形的外角和公式 1.公式：多边形的外角和等于 360.和因式分解第十五章分式第十一章三角形三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形组成三角形的线段叫做
13、三角形的边相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点相邻两边所组文档成的角叫做三角的线段叫做三角形的角平分线在三角形中连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线从三角形一个顶点向它的对边做垂线顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线简称三角形的高三角形的稳定性三角形的形状是固定的三的形状三角形的特性与表示三角形有下面三个特性三角形有三条线段三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形首尾顺次相接三角形用符号表示顶点是的三角形记作读作三角形三角形的分类三角形按边的关系分类如下不等边三角形.-.文档.2.多边形外角和公式的证明：多边形的每个角和与它相邻的外角都是邻补角，所以边形的角和加外角和为，外角和等于.注
14、意：n 边形的外角和恒等于 360，它与边数的多少无关。要点诠释：(1)外角和公式的应用：外角度数，求正多边形边数；正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与角和、外角和的关系：n 边形的角和等于(n2)180(n3，n 是正整数)，可见多边形角和与边数 n有关，每增加 1 条边，角和增加 180。多边形的外角和等于 360，与边数的多少无关。知识点六：镶嵌的概念和特征 1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一局部完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。这里的多边形可以形状一样，也可以形状不一样。2、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于 360；相邻的多
15、边形有公共边。3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：(1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的角之和为 360。(2)只用一种正多边形镶嵌地面 对于给定的某种正多边形，怎样判断它能否拼成一个平面图形，且不留一点空隙？解决问题的关键在于正多边形的角特点。当围绕一点拼在一起的几个正多边形的角加在一起恰好组成一个周角 360 时，就能铺成一个平面图形。和因式分解第十五章分式第十一章三角形三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形组成三角形的线段叫做三角形的边相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点相邻两边所组文档成的角叫做三角的线段叫做三角形的角
16、平分线在三角形中连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线从三角形一个顶点向它的对边做垂线顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线简称三角形的高三角形的稳定性三角形的形状是固定的三的形状三角形的特性与表示三角形有下面三个特性三角形有三条线段三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形首尾顺次相接三角形用符号表示顶点是的三角形记作读作三角形三角形的分类三角形按边的关系分类如下不等边三角形.-.文档.事实上，正 n 边形的每一个角为，要求 k 个正 n 边形各有一个角拼于一点，恰好覆盖地面，这样 360，由此导出 k2，而 k 是正整数，所以 n 只能取 3,4，6。因而，用一样的正多边形地砖铺地面，
17、只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。注意：任意四边形的角和都等于360。所以用一批形状、大小完全一样但不规那么的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意一样的三角形也可以铺满地面。(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面 用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角的问题。例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见以下图：又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，因为它们的交接处各角之和恰好为一个周角 360。规律方法指导 1角和与边数
18、成正比：边数增加，角和增加；边数减少，角和减少.每增加一条边，角的和就增加 180 反过来也成立，且多边形的角和必须是 180 的整数倍.2多边形外角和恒等于 360，与边数的多少无关.3多边形最多有三个角为锐角，最少没有锐角如矩形；多边形的外角中最多有三个钝角，最少没有钝角.4在运用多边形的角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程和因式分解第十五章分式第十一章三角形三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形组成三角形的线段叫做三角形的边相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点相邻两边所组文档成的角叫做三角的线段叫做三角形的角平分线在三角形中连接一个顶点
19、和它对边的中点的线段叫做三角形的中线从三角形一个顶点向它的对边做垂线顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线简称三角形的高三角形的稳定性三角形的形状是固定的三的形状三角形的特性与表示三角形有下面三个特性三角形有三条线段三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形首尾顺次相接三角形用符号表示顶点是的三角形记作读作三角形三角形的分类三角形按边的关系分类如下不等边三角形.-.文档.思想是解决本节问题的常用方法.5在解决多边形的角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决.三角形是一种根本图形，是研究复杂图形的根底，同时注意转化思想在数学中的应用.经典例题透析 类型一：多边形角和及外角和定理应用 1一个多边形的
20、角和等于它的外角和的 5 倍，它是几边形？总结升华：此题是多边形的角和定理和外角和定理的综合运用.只要设出边数，根据条件列出关于 的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.举一反三：【变式 1】假设一个多边形的角和与外角和的总度数为 1800，求这个多边形的边数.【变式 2】一个多边形除了一个角外，其余各角和为 2750，求这个多边形的角和是多少？【答案】设这个多边形的边数为，这个角为，.【变式 3】一个多边形的角和与某一个外角的度数总和为 1350，求这个多边形的边数。类型二：多边形对角线公式的运用【变式 1】一个多边形共有 20 条对角线，那么多边形的边数是.A6 B7 C8 D9 【
21、变式 2】一个十二边形有几条对角线。总结升华：对于一个 n 边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的 n 的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的根底之上才能记得牢。类型三：可转化为多边形角和问题 和因式分解第十五章分式第十一章三角形三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形组成三角形的线段叫做三角形的边相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点相邻两边所组文档成的角叫做三角的线段叫做三角形的角平分线在三角形中连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线从三角形一个顶点向它的对边做垂线顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线
22、简称三角形的高三角形的稳定性三角形的形状是固定的三的形状三角形的特性与表示三角形有下面三个特性三角形有三条线段三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形首尾顺次相接三角形用符号表示顶点是的三角形记作读作三角形三角形的分类三角形按边的关系分类如下不等边三角形.-.文档.【变式 1】如下图，1+2+3+4+5+6=_.【变式 2】如下图，求ABCDEF 的度数。类型四：实际应用题 4如图，一辆小汽车从 P 市出发，先到 B 市，再到 C 市，再到 A 市，最后返回 P 市，这辆小汽车共转了多少度角？思路点拨：根据多边形的外角和定理解决.举一反三：【变式 1】如下图，小亮从 A 点出发前进 10m，向右
23、转 15，再前进 10m，又向右转 15，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共走了_m.【变式 2】小华从点 A 出发向前走 10 米，向右转 36，然后继续向前走10 米，再向右转 36，他以同样的方法继续走下去，他能回到点 A 吗？假设能，当他走回点 A 时共走了多少米？假设不能，写出理由。【变式 3】如下图是某厂生产的一块模板，该模板的边 ABCF，CDAE.按规定 AB、CD 的延长线相交成 80角，因交点不在模板上，不便测量.这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道 AB、和因式分解第十五章分式第十一章三角形三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形
24、组成三角形的线段叫做三角形的边相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点相邻两边所组文档成的角叫做三角的线段叫做三角形的角平分线在三角形中连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线从三角形一个顶点向它的对边做垂线顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线简称三角形的高三角形的稳定性三角形的形状是固定的三的形状三角形的特性与表示三角形有下面三个特性三角形有三条线段三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形首尾顺次相接三角形用符号表示顶点是的三角形记作读作三角形三角形的分类三角形按边的关系分类如下不等边三角形.-.文档.CD 的延长线的夹角是否符合规定，你知道需测哪一个角吗？说明理由.思路点拨：此题中将 AB
25、、CD 延长后会得到一个五边形，根据五边形角和为540，又由 ABCF，CDAE，可知BAE+AEF+EFC=360，从 540 中减去 80再减去 360，剩下C 的度数为 100，所以只需测C 的度数即可，同理还可直接测A 的度数.总结升华：此题实际上是多边形角和的逆运算，关键在于正确添加辅助线.类型五：镶嵌问题 5分别画出用一样边长的以下正多边形组合铺满地面的设计图。(1)正方形和正八边形；(2)正三角形和正十二边形；(3)正三角形、正方形和正六边形。思路点拨：只要在拼接处各多边形的角的和能构成一个周角，那么这些多边形就能作平面镶嵌。解析：正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形
26、的每一个角分别是 60、90、120、135、150。(1)因为 902135 360，所以一个顶点处有 1 个正方形、2 个正八边形，如图(1)所示。(2)因为 602150 360，所以一个顶点处有 1 个正三角形、2 个正十二边形，如图(2)所示。(3)因为 60290120 360，所以一个顶点处有 1 个正三角形、1 个正六边形和 2 个正方形，如图(3)所示。总结升华：用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，实质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角的问题。举一反三：和因式分解第十五章分式第十一章三角形三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做
27、三角形组成三角形的线段叫做三角形的边相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点相邻两边所组文档成的角叫做三角的线段叫做三角形的角平分线在三角形中连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线从三角形一个顶点向它的对边做垂线顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线简称三角形的高三角形的稳定性三角形的形状是固定的三的形状三角形的特性与表示三角形有下面三个特性三角形有三条线段三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形首尾顺次相接三角形用符号表示顶点是的三角形记作读作三角形三角形的分类三角形按边的关系分类如下不等边三角形.-.文档.【变式 1】分别用形状、大小完全一样的三角形木板；四边形木板；正五边形木板；正六边形
28、木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是()A、B、C、D、解析：用同一种多边形木板铺地面，只有正三角形、四边形、正六边形的木板可以用，不能用正五边形木板，故【变式 2】用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是 8，那么第三块木板的边数应是()A、4B、5C、6D、8 【答案】A 提示：先算出正八边形一个角的度数，再乘以 2，然后用360 减去刚刚得到的积，便得到第三块木板一个角的度数，进而得到第三块木板的边数 练习 1多边形的一个角的外角与其余角的和为 600，求这个多边形的边数 2n 边形的角和与外角和互比为 13：2，求 n 3五边形 ABCDE
29、的各角都相等，且 AEDE，ADCB 吗？4将五边形砍去一个角，得到的是怎样的图形？5四边形 ABCD中，A+B=210，C4D求：C 或D 的度数 和因式分解第十五章分式第十一章三角形三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形组成三角形的线段叫做三角形的边相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点相邻两边所组文档成的角叫做三角的线段叫做三角形的角平分线在三角形中连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线从三角形一个顶点向它的对边做垂线顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线简称三角形的高三角形的稳定性三角形的形状是固定的三的形状三角形的特性与表示三角形有下面三个特性三
30、角形有三条线段三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形首尾顺次相接三角形用符号表示顶点是的三角形记作读作三角形三角形的分类三角形按边的关系分类如下不等边三角形.-.文档.6在四边形 ABCD中，ABACAD，DAC2BAC 求证：DBC2BDC 第十二章全等三角形 一、全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。2、全等三角形有哪些性质 1：全等三角形的对应边相等、对应角相等。2：全等三角形的周长相等、面积相等。3：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。3、全等三角形的判定 边边边：三边对应相等的两个三角形全等可简写成“
31、SSS)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等可简写成“SAS)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等可简写成“ASA)角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等可简写成“AAS)斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可简写成“HL)4、证明两个三角形全等的根本思路：二、角的平分线：1、性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2、判定角的部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。三、学习全等三角形应注意以下几个问题：1):要正确区分“对应边与“对边，“对应角与 “对角的不同含义；2：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；3
32、：“有三个角对应相等或“有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形和因式分解第十五章分式第十一章三角形三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形组成三角形的线段叫做三角形的边相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点相邻两边所组文档成的角叫做三角的线段叫做三角形的角平分线在三角形中连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线从三角形一个顶点向它的对边做垂线顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线简称三角形的高三角形的稳定性三角形的形状是固定的三的形状三角形的特性与表示三角形有下面三个特性三角形有三条线段三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形首尾顺次相接三角形用符号表示顶点
33、是的三角形记作读作三角形三角形的分类三角形按边的关系分类如下不等边三角形.-.文档.不一定全等；4：时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角、“公共边、“对顶角 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。2、全等三角形的表示和性质 全等用符号“表示，读作“全等于。如ABCDEF，读作“三角形 ABC全等于三角形 DEF。注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的
34、位置上。3、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理：1边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可简写成“边角边或“SAS 2角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等可简写成“角边角或“ASA 3边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等可简写成“边边边或“SSS。直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL 定理斜边、直角边定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可简写成“斜边、直角边或“HL 4、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括一下三种：1平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变
35、换叫做平移变换。和因式分解第十五章分式第十一章三角形三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形组成三角形的线段叫做三角形的边相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点相邻两边所组文档成的角叫做三角的线段叫做三角形的角平分线在三角形中连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线从三角形一个顶点向它的对边做垂线顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线简称三角形的高三角形的稳定性三角形的形状是固定的三的形状三角形的特性与表示三角形有下面三个特性三角形有三条线段三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形首尾顺次相接三角形用符号表示顶点是的三角形记作读作三角形三角形的分类三角形按边的关
36、系分类如下不等边三角形.-.文档.2对称变换：将图形沿某直线翻折 180，这种变换叫做对称变换。3旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。第十二章轴对称 一、轴对称图形 1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的局部能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线成轴对称。2.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系轴对称图形轴对
37、称区别联系图形(1)轴对称图形是指()具 有特殊形状的图形,只对()图形而言;(2)对称轴()只有一条(1)轴对称是指()图形的位置关系,必须涉及()图形;(2)只有()对称轴.如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.BCACBAABC一个一个不一定两个两个一条知识回顾：4.轴对称的性质 关于某直线对称的两个图形是全等形。如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直和因式分解第十五章分式第十一章三角形三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫
38、做三角形组成三角形的线段叫做三角形的边相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点相邻两边所组文档成的角叫做三角的线段叫做三角形的角平分线在三角形中连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线从三角形一个顶点向它的对边做垂线顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线简称三角形的高三角形的稳定性三角形的形状是固定的三的形状三角形的特性与表示三角形有下面三个特性三角形有三条线段三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形首尾顺次相接三角形用符号表示顶点是的三角形记作读作三角形三角形的分类三角形按边的关系分类如下不等边三角形.-.文档.平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。如果两个图形的对
39、应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。二、线段的垂直平分线 1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上 三、用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于 x 轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于 y 轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.点x,y 关于 x 轴对称的点的坐标为_.点x,y 关于 y 轴对称的点的坐标为_.2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等 四、等腰三角形)知识
40、点回忆 1.等腰三角形的性质.等腰三角形的两个底角相等。等边对等角.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。三线合一 2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。等角对等边 五、等边三角形知识点回忆 1.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 600。2、等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形。有一个角是 600 的等腰三角形是等边三角形。3.在直角三角形中，如果一个锐角等于 300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。和因式分解第十五章分式第十一章三角形三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组
41、成的图形叫做三角形组成三角形的线段叫做三角形的边相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点相邻两边所组文档成的角叫做三角的线段叫做三角形的角平分线在三角形中连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线从三角形一个顶点向它的对边做垂线顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线简称三角形的高三角形的稳定性三角形的形状是固定的三的形状三角形的特性与表示三角形有下面三个特性三角形有三条线段三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形首尾顺次相接三角形用符号表示顶点是的三角形记作读作三角形三角形的分类三角形按边的关系分类如下不等边三角形.-.文档.1、等腰三角形的性质 1等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两
42、个底角相等简称：等边对等角 推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60。2等腰三角形的其他性质：等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角或直角，但顶角可为钝角或直角。等腰三角形的三边关系：设腰长为 a，底边长为 b，那么2ba 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为A，底角为B、C，那么A=180 2B，B=C=2180A 2、等腰三角形的判定 等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
43、简称：等角对等边。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形 推论 2：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。等腰三角形的性质与判定 等腰三角形性质 等腰三角形判定 中线 1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上的中线相1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；2、如果一个三角形的一边中线和因式分解第十五章分式第十一章三角形三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形组成三角形的线段叫做三角形的边相邻两边的公共
44、端点叫做三角形的顶点相邻两边所组文档成的角叫做三角的线段叫做三角形的角平分线在三角形中连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线从三角形一个顶点向它的对边做垂线顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线简称三角形的高三角形的稳定性三角形的形状是固定的三的形状三角形的特性与表示三角形有下面三个特性三角形有三条线段三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形首尾顺次相接三角形用符号表示顶点是的三角形记作读作三角形三角形的分类三角形按边的关系分类如下不等边三角形.-.文档.等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。垂直这条边 平分这个边的对角，那么这个三角形是等腰三角形 角平分线 1、等腰三角形顶角平分线垂
45、直平分底边；2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边 平分对边，那么这个三角形是等腰三角形；2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。高线 1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。1、如果一个三角形一边上的高平分这条边 平分这条边的对角，那么这个三角形是等腰三角形；2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。角 等边对等角 等角对等边 边 底的一半腰长周长的一半 两边相等的三角形是等腰三角形 4、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫
46、做三角形的中位线。1三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。2要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。和因式分解第十五章分式第十一章三角形三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形组成三角形的线段叫做三角形的边相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点相邻两边所组文档成的角叫做三角的线段叫做三角形的角平分线在三角形中连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线从三角形一个顶点向它的对边做垂线顶点和垂足之间的线段叫
47、做三角形的高线简称三角形的高三角形的稳定性三角形的形状是固定的三的形状三角形的特性与表示三角形有下面三个特性三角形有三条线段三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形首尾顺次相接三角形用符号表示顶点是的三角形记作读作三角形三角形的分类三角形按边的关系分类如下不等边三角形.-.文档.常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹
48、角所对的三角形的顶角相等。第十四章整式乘除与因式分解 一回忆知识点 1、主要知识回忆：幂的运算性质：am anamnm、n 为正整数 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 nma amn m、n 为正整数 幂的乘方，底数不变，指数相乘 nnnbaabn 为正整数 积的乘方等于各因式乘方的积 nmaa amn a0，m、n 都是正整数，且 mn 同底数幂相除，底数不变，指数相减 零指数幂的概念：a01 a0 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于 l 负指数幂的概念：appa1a0，p 是正整数 任何一个不等于零的数的pp 是正整数指数幂，等于这个数的 p 指数幂的和因式分解第十五章分式第十一章三角形
49、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形组成三角形的线段叫做三角形的边相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点相邻两边所组文档成的角叫做三角的线段叫做三角形的角平分线在三角形中连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线从三角形一个顶点向它的对边做垂线顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线简称三角形的高三角形的稳定性三角形的形状是固定的三的形状三角形的特性与表示三角形有下面三个特性三角形有三条线段三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形首尾顺次相接三角形用符号表示顶点是的三角形记作读作三角形三角形的分类三角形按边的关系分类如下不等边三角形.-.文档.倒数 也可表示为：
50、ppnmmnm0，n0，p 为正整数 单项式的乘法法那么：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式 单项式与多项式的乘法法那么：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 多项式与多项式的乘法法那么：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加 单项式的除法法那么：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式的法那么：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个