解三角形常用知识点归纳与题型总结_中学教育-中考.pdf

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1、1 解三角形常用知识点归纳与题型总结 1、三角形三角关系：A+B+C=180；C=180(A+B)；.角平分线性质定理:角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比.锐角三角形性质：若 ABC 则60 90,0 60 A C.2、三角形三边关系：a+bc;a-bc 3、三角形中的基本关系：sin()sin,A B C cos()cos,A B C tan()tan,A B C sin cos,cos sin,tan cot2 2 2 2 2 2A B C A B C A B C（1）和角与差角公式 sin()sin cos cos sin;cos()cos cos sin sin;tan ta

2、ntan()1 tan tan.（2）二倍角公式 sin2=2cossin.2 2 2 2cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin 221 tan1 tan.2 21 cos 2 1 cos 2sin,cos2 2（3）辅助角公式（化一公式）)sin(cos sin2 2 x b a x b x a y 其中ab tan 4、正弦定理：在C 中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C 的外接圆的半径，则有2sin sin sina b cRC 5、正弦定理的变形公式：化角为边：2 sin a R，2 sin b R，2 sin c R C；化边为角：sin2aR，sin2bR，si

3、n2cCR；:sin:sin:sin a b c C；sin sin sin sin sin sina b c a b cC C=2R 6、两类正弦定理解三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)7、三角形面积公式：1 1 1sin sin sin2 2 2CS bc ab C ac=2R2sinAsinBsinC=Rabc4=2)(c b a r=)()(c p b p a p p(海伦公式)8、余弦定理：在C 中，有2 2 22 cos a b c bc，2 2 22

4、 cos b a c ac，2 2 2 22 cos c a b ab C 9、余弦定理的推论：2 2 2cos2b c abc，2 2 2cos2a c bac，2 2 2cos2a b cCab 注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。在变形中，注意三角形中其他条件的应用：10、余弦定理主要解决的问题：已知两边和夹角，求其余的量。已知三边求角 11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 设a、b、c是C 的角、C的对边，则：若2 2 2a b c，则90 C；若2 2 2a b c，则90

5、C；若2 2 2a b c，则90 C 12、三角形的五心：垂心三角形的三边上的高相交于一点 重心三角形三条中线的相交于一点 外心三角形三边垂直平分线相交于一点 内心三角形三内角的平分线相交于一点 旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 题型之一：求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题 1（15 北京理科）在 中，则 试题分析：2.（2005年全国高考湖北卷)在 ABC 中，已知66cos,36 4 B AB，AC 边上的中线ABC 4 a 5 b 6 c sin 2si

6、nAC2 2 2sin 2 2 sin cos 2sin sin 2A A A a b c aC C c bc 2 4 25 36 1616 2 5 6 两边之比锐角三角形性质若则三角形三边关系三角形中的基本关系和角与差角公式二倍角公式辅助角公式化一公式其中正弦定理在中分别为角的对边为的外接圆的半径则有正弦定理的变形公式化角为边化边为角两类正弦定理解三角 边所对的角的题型要注意解的情况一解两解三解三角形面积公式海伦公式余弦定理在中有余弦定理的推论注明余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化当题中含有二次项时常使用余弦定理在变形中注意三角形中其他条件的应用余 正余弦定理实现边角转化统一成边的形式或

7、角的形式设是的角的对边则若则若则若则三角形的五心垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平3 BD=5，求 sinA 的值 分析：本题关键是利用余弦定理，求出 AC 及 BC，再由正弦定理，即得 sinA 解：设 E 为 BC 的中点，连接 DE，则 DE/AB，且36 221 AB DE，设 BE x 在 BDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 22 2 2，x x6636 223852，解得1 x，37 x（舍去）故 BC=2，从而328cos 22 2 2 B BC AB BC A

8、B AC，即321 2 AC又630sin B，故2 2123sin306A，1470sin A 在 ABC 中，已知 a 2，b2 2，C 15，求 A。答案：0 0 00 180 30 B A A A，且，题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状 1.(2005 年北京春季高考题)在ABC 中，已知C B A sin cos sin 2，那么ABC 一定是（）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形 解法 1：由C B A sin cos sin 2 sin(A B)sinAcosB cosAsinB，即 sinAcosB cosAsinB

9、0，得 sin(A B)0，得 A B故选(B)解法 2：由题意，得 cosBsin2sin 2C cA a，再由余弦定理，得 cosB2 2 22a c bac 2 2 22a c bac 2ca，即 a2 b2，得 a b，故选(B)评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：统一化为角，再判断(如解法 1)，统一化为边，再判断(如解法 2)题型之三：解决与面积有关问题 主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题 1.两边之比锐角三角形性质若则三角形三边关系三角形中的基本关系和角与差角公式二倍角公式辅助角公式化一公式其中正弦定理在中分别为角的对边为的外接圆的半径则有正弦定理的变形公

10、式化角为边化边为角两类正弦定理解三角 边所对的角的题型要注意解的情况一解两解三解三角形面积公式海伦公式余弦定理在中有余弦定理的推论注明余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化当题中含有二次项时常使用余弦定理在变形中注意三角形中其他条件的应用余 正余弦定理实现边角转化统一成边的形式或角的形式设是的角的对边则若则若则若则三角形的五心垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平4 2在 ABC 中，sin cos A A 22，AC 2，AB 3，求A tan的值和 ABC 的面积。答案：S AC AB AABC 12122 32

11、 64342 6 sin()3.（07 浙江理 18）已知ABC 的周长为2 1，且sin sin 2 sin A B C（I）求边AB的长；（II）若ABC 的面积为1sin6C，求角C的度数 解：（I）由题意及正弦定理，得2 1 AB BC AC，2 BC AC AB，两式相减，得1 AB（II）由ABC 的面积1 1sin sin2 6BC AC C C，得13BC AC，由余弦定理，得2 2 2cos2AC BC ABCAC BC 2 2()2 12 2AC BC AC BC ABAC BC，所以60 C 题型之四：三角形中求值问题 1.(2005 年全国高考天津卷)在ABC 中，C

12、B A、所对的边长分别为c b a、，设c b a、满足条件2 2 2a bc c b 和321 bc，求A 和B tan的值 两边之比锐角三角形性质若则三角形三边关系三角形中的基本关系和角与差角公式二倍角公式辅助角公式化一公式其中正弦定理在中分别为角的对边为的外接圆的半径则有正弦定理的变形公式化角为边化边为角两类正弦定理解三角 边所对的角的题型要注意解的情况一解两解三解三角形面积公式海伦公式余弦定理在中有余弦定理的推论注明余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化当题中含有二次项时常使用余弦定理在变形中注意三角形中其他条件的应用余 正余弦定理实现边角转化统一成边的形式或角的形式设是的角的对边则若

13、则若则若则三角形的五心垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平5 分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理 解：由余弦定理212cos2 2 2 bca c bA，因此，60 A 在ABC中，C=1AB=1 B.由已知条件，应用正弦定理BBBCbcsin)120 sin(sinsin321,21cot23sinsin 120 cos cos 120 sin BBB B解得,2 cot B从而.21tan B 2ABC 的三个内角为A B C、，求当 A 为何值时，cos 2cos2B CA取得最大值

14、，并求出这个最大值。解析：由 A+B+C=，得B+C2=2 A2，所以有 cosB+C2=sinA2。cosA+2cosB+C2=cosA+2sinA2=1 2sin2A2+2sinA2=2(sinA2 12)2+32；当 sinA2=12，即 A=3 时,cosA+2cosB+C2取得最大值为32。3在锐角ABC 中，角A B C，所对的边分别为a b c，已知2 2sin3A，（1）求2 2tan sin2 2B C A 的值；（2）若2 a，2ABCS，求b的值。解析：（1）因为锐角 ABC 中，A B C，2 2sin3A，所以 cosA 13，则 22 2 22B CsinB C A

15、 A2tan sin sinB C2 2 2cos21 cos B C 1 1 cos A 1 71 cos A1 cos B C 2 1 cosA 3 3（）（）（）（2）ABC ABC1 1 2 2S 2 S bcsin A bc2 2 3 因为，又，则 bc 3。将 a 2，cosA 13，c3b代入余弦定理：2 2 2a b c 2bccos A 中，得4 2b 6b 9 0 解得 b3。点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。两边之比锐角三角形性质若则三角形三边关系三角形中的基本关系和角与差角公式二倍角公式辅助角公式化一公式其中正弦定理在中分别为

16、角的对边为的外接圆的半径则有正弦定理的变形公式化角为边化边为角两类正弦定理解三角 边所对的角的题型要注意解的情况一解两解三解三角形面积公式海伦公式余弦定理在中有余弦定理的推论注明余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化当题中含有二次项时常使用余弦定理在变形中注意三角形中其他条件的应用余 正余弦定理实现边角转化统一成边的形式或角的形式设是的角的对边则若则若则若则三角形的五心垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平6 4在ABC 中，内角A B C，对边的边长分别是a b c，已知2 c，3C（）若ABC 的面积等于3，求a

17、 b，；（）若sin sin()2sin 2 C B A A，求ABC 的面积 本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力 解：（）由余弦定理及已知条件得，2 24 a b ab，又因为ABC 的面积等于3，所以1sin 32ab C，得4 ab 4 分 联立方程组2 244a b abab，解得2 a，2 b 6 分（）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A，即sin cos 2sin cos B A A A，8 分 当cos 0 A 时，2A，6B，4 33a，2 33b，当cos 0 A 时，得sin 2sin

18、 B A，由正弦定理得2 b a，联立方程组2 242a b abb a，解得2 33a，4 33b 所以ABC 的面积1 2 3sin2 3S ab C 12 分 题型之五（解三角形中的最值问题）1.（2013 江 西 理）在 ABC 中，角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 为 a，b，c，已 知 cos(cos 3 sin)cos 0 C A A B.（1）求角 B 的大小；(2)若1 a c，求 b 的取值范围 答案：（1）60(2)12，1）2（2013 新课标）在内角 的对边分别为,已知.()求;()若,求 面积的最大值.答案：（1）45(2)2+1 两边之比锐角三角形性质若则三

19、角形三边关系三角形中的基本关系和角与差角公式二倍角公式辅助角公式化一公式其中正弦定理在中分别为角的对边为的外接圆的半径则有正弦定理的变形公式化角为边化边为角两类正弦定理解三角 边所对的角的题型要注意解的情况一解两解三解三角形面积公式海伦公式余弦定理在中有余弦定理的推论注明余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化当题中含有二次项时常使用余弦定理在变形中注意三角形中其他条件的应用余 正余弦定理实现边角转化统一成边的形式或角的形式设是的角的对边则若则若则若则三角形的五心垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平7 两边之比锐角三

20、角形性质若则三角形三边关系三角形中的基本关系和角与差角公式二倍角公式辅助角公式化一公式其中正弦定理在中分别为角的对边为的外接圆的半径则有正弦定理的变形公式化角为边化边为角两类正弦定理解三角 边所对的角的题型要注意解的情况一解两解三解三角形面积公式海伦公式余弦定理在中有余弦定理的推论注明余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化当题中含有二次项时常使用余弦定理在变形中注意三角形中其他条件的应用余 正余弦定理实现边角转化统一成边的形式或角的形式设是的角的对边则若则若则若则三角形的五心垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平8

21、5.(2014 新课标 理)已知,a b c分别为ABC 的三个内角,A B C的对边，a=2，且(2)(sin sin)()sin b A B c b C，则ABC 面积的最大值为 3.两边之比锐角三角形性质若则三角形三边关系三角形中的基本关系和角与差角公式二倍角公式辅助角公式化一公式其中正弦定理在中分别为角的对边为的外接圆的半径则有正弦定理的变形公式化角为边化边为角两类正弦定理解三角 边所对的角的题型要注意解的情况一解两解三解三角形面积公式海伦公式余弦定理在中有余弦定理的推论注明余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化当题中含有二次项时常使用余弦定理在变形中注意三角形中其他条件的应用余 正余

22、弦定理实现边角转化统一成边的形式或角的形式设是的角的对边则若则若则若则三角形的五心垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平9 6.在内角 的对边分别为,且=3(1)求角 A 的大小(2)若 a=4,求 3b-c的最大值 答案：（1）60(2)8 7.（2007 全国 1 理）设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a=2bsinA.（）求 B 的大小；（）求 cosA+sinC 的取值范围.解析：（）由2 sin a b A，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A，所以1sin2

23、B，由ABC 为锐角三角形得6B（）cos sin cos sin A C A A cos sin6A A 1 3cos cos sin2 2A A A 3 sin3A 由ABC 为锐角三角形知，2A 0，6A2 解得2A3 所以653A32，所以1 3sin2 3 2A 由此有3 33 sin 32 3 2A，所以，cos sin A C 的取值范围为3 32 2，8.三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，2 2（2A-2）=(a-b)sinB,三角形外接圆的半径为 2(1)求角 C 的大小(2)求 面积的最大值.答案：（1）60(2)3 32 两边之比锐角三角形性质

24、若则三角形三边关系三角形中的基本关系和角与差角公式二倍角公式辅助角公式化一公式其中正弦定理在中分别为角的对边为的外接圆的半径则有正弦定理的变形公式化角为边化边为角两类正弦定理解三角 边所对的角的题型要注意解的情况一解两解三解三角形面积公式海伦公式余弦定理在中有余弦定理的推论注明余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化当题中含有二次项时常使用余弦定理在变形中注意三角形中其他条件的应用余 正余弦定理实现边角转化统一成边的形式或角的形式设是的角的对边则若则若则若则三角形的五心垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平10 9，A

25、BC 的三个内角为A B C、，求当 A 为何值时，cos 2cos2B CA取得最大值，并求出这个最大值。解析：由 A+B+C=，得B+C2=2 A2，所以有 cosB+C2=sinA2。cosA+2cosB+C2=cosA+2sinA2=1 2sin2A2+2sinA2=2(sinA2 12)2+32；当 sinA2=12，即 A=3 时,cosA+2cosB+C2取得最大值为32。题型之六（图形中的解三角形）注意灵活利用图形来分析 2.两边之比锐角三角形性质若则三角形三边关系三角形中的基本关系和角与差角公式二倍角公式辅助角公式化一公式其中正弦定理在中分别为角的对边为的外接圆的半径则有正弦

26、定理的变形公式化角为边化边为角两类正弦定理解三角 边所对的角的题型要注意解的情况一解两解三解三角形面积公式海伦公式余弦定理在中有余弦定理的推论注明余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化当题中含有二次项时常使用余弦定理在变形中注意三角形中其他条件的应用余 正余弦定理实现边角转化统一成边的形式或角的形式设是的角的对边则若则若则若则三角形的五心垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平11 题型之七：正余弦定理解三角形的实际应用 利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知

27、识，例析如下：（一.）测量问题 1.如图 1 所示，为了测河的宽度，在一岸边选定 A、B 两点，望对岸标记物 C，测得 CAB=30，CBA=75，AB=120cm，求河的宽度。图 1 A B C D 两边之比锐角三角形性质若则三角形三边关系三角形中的基本关系和角与差角公式二倍角公式辅助角公式化一公式其中正弦定理在中分别为角的对边为的外接圆的半径则有正弦定理的变形公式化角为边化边为角两类正弦定理解三角 边所对的角的题型要注意解的情况一解两解三解三角形面积公式海伦公式余弦定理在中有余弦定理的推论注明余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化当题中含有二次项时常使用余弦定理在变形中注意三角形中其他条件

28、的应用余 正余弦定理实现边角转化统一成边的形式或角的形式设是的角的对边则若则若则若则三角形的五心垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平12 分析：求河的宽度，就是求 ABC 在 AB 边上的高，而在河的一边，已测出 AB 长、CAB、CBA，这个三角形可确定。解析：由正弦定理得sin sinAC ABCBA ACB，AC=AB=120m，又1 1sin2 2ABCS AB AC CAB AB CD，解得 CD=60m。点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。（二.）遇险问题 2 某舰艇测得灯塔

29、在它的东 15 北的方向，此舰艇以 30 海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东 30 北。若此灯塔周围 10 海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？解析：如图舰艇在 A 点处观测到灯塔S 在东 15 北的方向上；舰艇航行半小时后到达 B 点，测得 S 在东 30 北的方向上。在 ABC 中，可知 AB=30 0.5=15，ABS=150，ASB=15，由正弦定理得BS=AB=15，过点 S 作 SC 直线 AB，垂足为 C，则 SC=15sin30=7.5。这表明航线离灯塔的距离为 7.5 海里，而灯塔周围 10 海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。点评：有关

30、斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。（三.）追击问题 3 如图 3，甲船在 A 处，乙船在 A 处的南偏东 45 方向，距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度沿南 偏西 15 方向航行，若甲船以 28n mile/h 的速度航 行，应沿什么方向，用多少 h 能尽快追上乙船？解析：设用 t h，甲船能追上乙船，且在 C 处相遇。在 ABC 中，AC=28t，BC=20t，A

31、B=9，设 ABC=，BAC=。=180 45 15=120。根据余弦定理2 2 22 cos AC AB BC AB BC，2 2128 81 20 2 9 20()2t t t，2128 60 27 0 t t，（4t 3）（32t+9）=0，解得 t=34，t=932（舍）AC=2834=21 n mile，BC=2034=15 n mile。根据正弦定理，得315sin 5 32sin21 14BCAC，又=120，为锐角，=arcsin西 北 南 东 A B C 30 15 图 2 图 3 A B C 北 45 15 两边之比锐角三角形性质若则三角形三边关系三角形中的基本关系和角与差

32、角公式二倍角公式辅助角公式化一公式其中正弦定理在中分别为角的对边为的外接圆的半径则有正弦定理的变形公式化角为边化边为角两类正弦定理解三角 边所对的角的题型要注意解的情况一解两解三解三角形面积公式海伦公式余弦定理在中有余弦定理的推论注明余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化当题中含有二次项时常使用余弦定理在变形中注意三角形中其他条件的应用余 正余弦定理实现边角转化统一成边的形式或角的形式设是的角的对边则若则若则若则三角形的五心垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平13 5 314，又5 3147 21422，arcsi

33、n5 3144，甲船沿南偏东4 arcsin5 314的方向用34h 可以追上乙船。点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ABC、AB 边已知，另两边未知，两边之比锐角三角形性质若则三角形三边关系三角形中的基本关系和角与差角公式二倍角公式辅助角公式化一公式其中正弦定理在中分别为角的对边为的外接圆的半径则有正弦定理的变形公式化角为边化边为角两类正弦定理解三角 边所对的角的题型要注意解的情况一解两解三解三角形面积公式海伦公式余弦定理在中有余弦定理的推论注明余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化当题中含有二次项时常使用余弦定理在变形中注意三角形中其他条件的应用余 正余弦定理实现边角转化统一成边的形式或角的形式设是的角的对边则若则若则若则三角形的五心垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平