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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 解三角形常用学问点归纳与题型总结1、三角形三角关系：A+B+C=180 ； C=180 A+B ；. BtanC,.角平分线性质定理:角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比.锐角三角形性质：如ABC 就 60A90 ,0C60.tanA2、三角形三边关系：a+bc; a-bc 3、三角形中的基本关系：sinABsinC cosAB cosC,sinA2BcosC,cosA2BsinC,tanA2BcotC222tantan. （1）和角与差角公式sinsincoscossin; coscoscossinsin; tan1tantan（2）
2、 二倍角公式sin2 = 2cos sin 2sin21tan2. C 的外接cos2cos2sin22cos2111tan2sin21cos2,cos21cos222其中tanb a（ 3）帮助角公式（化一公式）yasinxbcosx2 ab2sinx4、正弦定理：在C 中, a 、 b 、 c分别为角、 C 的对边, R 为圆的半径,就有abcC2Rsinsinsin5、正弦定理的变形公式：化角为边：a 2 R sin,b 2 R sin,c 2 R sin C ；化边为角：sin a, sin b, sin C c；2 R 2 R 2 R a b c sin :sin : sin C ；
3、a b c a b c =2R sin sin sin C sin sin sin C6、两类正弦定懂得三角形的问题：已知两角和任意一边,求其他的两边及一角 . 已知两角和其中一边的对角,求其他边角 . 对于已知两边和其中一边所对的角的题型要留意解的情形（一解、两解、三解） 7、三角形面积公式：S C 1bc sin 1ab sin C 1ac sin=2R 2sinAsinBsinC= abc2 2 2 4 R= r a b c = p p a p b p c 海伦公式 28、余弦定理：在 C 中,有 a 2b 2c 22 bc cos,b 2a 2c 22 ac cos,1 名师归纳总结
4、- - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - c2a2b22abcosC 9、余弦定理的推论：cosb2c2a2,cosa2c2b2,cosCa22 bc22 bc2ac2ab注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化,当题中含有二次项时,常使用余弦定理；在变形中,留意三角形中其他条件的应用：10、余弦定理主要解决的问题：已知两边和夹角,求其余的量；已知三边求角11、如何判定三角形的外形：判定三角形外形时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式设 a 、 b 、 c 是C 的角、 C 的对边,就：如a2b22 c ,就C9
5、0；如a2b22 c ,就C90；如a2b22 c ,就C9012、三角形的五心：垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平分线相交于一点旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点题型之一 ：求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角 或二角一边或三边 ,求其它三个元素问题,进而求出三角形的三线 高线、角平分线、中线 及周长等基本问题1 （15 北京理科）在ABC 中,a 4,b 5,c 6,就 sin2 Asin C2 2 2sin 2 A 2 sin A cos A 2 a b c a试题分析：sin C
6、 sin C c 2 bc2 4 25 36 1616 2 5 64 6 62.（2005 年全国高考湖北卷 在 ABC 中,已知 AB , cos B,AC 边上的中线3 62 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - BD= 5 ,求 sinA 的值分析：此题关键是利用余弦定理,求出AC 及 BC,再由正弦定理,即得sinA30,解：设 E 为 BC 的中点,连接DE,就 DE/AB,且DE1 AB 2236,设 BEx在 BDE 中利用余弦定理可得：BD2BE2ED22BEEDcosBED,5x2822366x,解得
7、x1,x7（舍去）3又sin B36故 BC=2,从而2 AC2 AB2 BC2 ABBC cos B28,即 3AC221362 21故2A3,sin A70sin30146在 ABC 中,已知 a2,b 2 2 ,C15 ,求 A；答案：BA,且00A1800,A300题型之二 ：判定三角形的外形：给出三角形中的三角关系式,判定此三角形的外形1. 2005 年北京春季高考题在ABC 中,已知2sinAcosBsinC,那么ABC 肯定是（）A 直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D正三角形解法 1：由2sinAcosBsinCsinABsinAcosBcosAsinB,即 sinAcos
8、BcosAsinB0,得 sinAB0,得 AB应选 B 解法 2：由题意,得cosBsin C2sin Ac,再由余弦定理,得cosBa2c2b22a2aca2c2b2c,即 a 2b 2,得 ab,应选 B 2ac2 a如解法1,统一评注：判定三角形外形,通常用两种典型方法：统一化为角,再判定化为边,再判定如解法 2题型之三 ：解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理,并结合三角形的面积公式来解题1. 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2在ABC 中, sinAcosA2, AC2 , AB3,求tanA的
9、值和ABC 的面2积；答案： SABC1ACABsinA123246326C 2243. （07 浙江理 18）已知ABC的周长为21,且 sinAsinB2 sin（I）求边 AB 的长；（II ）如ABC的面积为1 sin 6C ,求角 C 的度数1,BCAC2AB ,1,解：（I）由题意及正弦定理,得ABBCAC2两式相减,得AB1BC AC1,AB2（II ）由ABC的面积1 2BC ACsinC1sinC ,得63由余弦定理,得cosCAC22BC2AB2ACBC22AC BCAC BC2AC BC2所以C60题型之四 ：三角形中求值问题1. 2005 年全国高考天津卷2 在ABC
10、中,和A、1B、C所对的边长分别为a、b、c,设a、b、c满意条件bc2c3bca2,求A 和tanB的值b24 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分析：此题给出一些条件式的求值问题,关键仍是运用正、余弦定理解：由余弦定理cosAb2c2a21,因此,A602 bc2在 ABC 中, C=180 A B=120 B. 2由已知条件,应用正弦定理1 23csinCsin120BBtan B1.bsinBsinsin120cosBcos 120sinB3cotB1,解得cot B2 ,从而2sinB22取得最大值,求当
11、 A 为何值时, cosA2cosB2CABC 的三个内角为A、 、C并求出这个最大值；解析：由 A+B+C= ,得B+C 2 = 22,所以有 cosB+C =sin A2；cosA+2cosB+C 2 =cosA+2sin A 2 =12sin 2A 2 + 2sinA 2=2sinA 2 1 2 2+ 3 2；当 sinA 2 = 12,即 A= 3时, cosA+2cos B+C2取得最大值为 3 2；3在锐角ABC 中,角 A, ,C 所对的边分别为 a, ,c,已知 sin A 2 2,（1）求3tan 2 B C sin 2 A的值；（2）如 a 2,SABC 2,求b的值；2
12、2解析：（ 1）由于锐角ABC 中, A BC ,sin A 2 2,所以 cosA 1,3 3就tan 2 B2 Csin 2 A2cos sin 22 BB2 CCsin 2 A221cos B ） （ 1 cosA）1cosA 1 71cos（ ）2 1cosA 3 3（2）由于 S ABC2,又 S ABC1bcsin A1bc 2 2,就 bc3；2 2 3将 a2,cosA1,c3 代入余弦定理：a 2b 2c 22bccos A 中,3 b4 2得 b6b 0 解得 b3 ；5 点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时, 敏捷逆用公式求得结果即可；名师归纳总结 - -
13、- - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4在ABC中,内角 A, ,C对边的边长分别是a, ,c,已知c2,C3（）如ABC 的面积等于 3 ,求a,b；（）如 sin C sin B A 2sin 2 A ,求ABC 的面积本小题主要考查三角形的边角关系,三角函数公式等基础学问,考查综合应用三角函数有关学问的才能2 2解：（）由余弦定理及已知条件得,a b ab 4,又由于ABC 的面积等于 3 ,所以1 ab sin C 3,得 ab 4 4 分2联立方程组 a 2 b 2 ab 4,解得 a 2,b 2 6 分ab 4,（）由题意得 s
14、in B A sin B A 4sin A cos A ,即sin B cos A 2sin A cos A , 8 分当 cos A 0 时,A,B,a 4 3,b 2 3,2 6 3 3当 cos A 0 时,得 sin B 2sin A ,由正弦定理得 b 2 a ,联立方程组 a 2b 2ab 4,解得 a 2 3,b 4 3b 2 a,3 3所以ABC 的面积 S 1ab sin C 2 3 12 分2 3题型之五（解三角形中的最值问题）1. （ 2022 江 西 理 ） 在 ABC中 , 角A , B, C 所 对 的 边 分 别 为a , b , c , 已 知cosCcosA3
15、sinA cosB0. 1,求 b 的取值范畴（1）求角 B 的大小； 2如ac答案：（1）6021 2,1）在内角的对边分别为, 已知. 2（2022 新课标 ） 求; 如, 求面积的最大值 . 答案：（1）452 2+1 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5.2022 新课标 理已知a b c 分别为ABC 的三个内角A B C 的对边, a =2,且2b sinAsinBcb sinC ,
16、就ABC 面积的最大值为3. 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6.在内角的对边分别为, 且. 3. .= .1求角 A 的大小2如 a=4,求 3b-c 的最大值答案：（1）6028 7.（2007 全国 1 理） 设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2bsinA. （）求 B 的大小；（）求 cosA+sinC 的取值范畴 . 解析：（）由 a 2 sin A ,依据正弦定理得 sin A 2sin B sin A ,所以 sin B 1,2由ABC 为锐角三角形得 B
17、6（） cos A sin C cos A sin A cos A sin A6cos A 1cos A 3sin A 3sin A2 2 3由ABC 为锐角三角形知,0 A,A2 2 62 5解得 A 所以 A,3 2 3 3 6所以1 sin A 3由此有 33 sin A 33,2 3 2 2 3 2所以, cos A sin C 的取值范畴为 3 3,2 28. 三角形 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 三角形外接圆的半径为 21求角 C 的大小 2 求面积的最大值 .答案：（1）6023239 a,b,c, 2 2（. 2A- . 2）=a-bsinB, 名师归纳总结 -
18、- - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9,ABC 的三个内角为A、 、C,求当 A 为何值时, cosA2cosB2C取得最大值,并求出这个最大值；解析：由 A+B+C= ,得B+C 2 = 22,所以有 cosB+C =sinA2；cosA+2cosB+C 2 =cosA+2sin A 2 =12sin 2A 2 + 2sinA 2=2sinA 2 1 2 2+ 3 2；当 sinA 2 = 12,即 A= 3时, cosA+2cos B+C2取得最大值为 3 2；题型之六（图形中的解三角形）留意敏捷利用图形来分析2. 10 名师归纳
19、总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 题型之七：正余弦定懂得三角形的实际应用利用正余弦定懂得斜三角形,在实际应用中有着广泛的应用,如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的学问,例析如下：（一 .）测量问题1. 如图 1 所示,为了测河的宽度,在一岸边C 选定 A 、B 两点,望对岸标记物C,测得CAB=30, CBA=75,AB=120cm ,求河的宽度；名师归纳总结 11 A 图 1 D B 第 11 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析：求河的宽度,就是求AB
20、C 在 AB 边上的高,而在河的一边,已测出AB 长、CAB 、 CBA ,这个三角形可确定；S解析：由正弦定理得sinACsinAB, AC=AB=120m ,又CBAACBABC1AB ACsinCAB1AB CD ,解得 CD=60m ；22点评：虽然此题运算简洁,但是意义重大,属于“不过河求河宽问题” ；（二 .）遇险问题2 某舰艇测得灯塔在它的东15北的方向,此舰艇以30 海里 /小时的速度向正东前进,30分钟后又测得灯塔在它的东30北；如此灯塔四周10 海里内有暗礁,问此舰艇连续向东航行有无触礁的危急？解析：如图舰艇在A 点处观测到灯塔S西北15B 30东在东 15北的方向上； 舰
21、艇航行半小时后到达 B 点,测得 S 在东 30北的方向上；在 ABC 中,可知 AB=30 0.5=15,ABS=150, ASB=15 ,由正弦定理得A C 南图 2 BS=AB=15 ,过点 S 作 SC直线 AB ,垂足为 C,就 SC=15sin30 =7.5；这说明航线离灯塔的距离为7.5 海里,而灯塔四周10 海里内有暗礁,故连续航行有触礁的危急；点评：有关斜三角形的实际问题,其解题的一般步骤是：（ 1）精确懂得题意,分清已知与所求,特别要懂得应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图, 并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所讨论问题有关的一个或几个三角形,求解；（三 .）追击
22、问题通过合理运用正弦定理和余弦定理3 如图 3,甲船在 A 处,乙船在A 处的南偏东45北方向,距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度沿南偏西 15方向航行,如甲船以28n mile/h 的速度航A 45行,应沿什么方向,用多少h 能尽快追上乙船？解析：设用t h ,甲船能追上乙船,且在C 处相遇；在 ABC 中, AC=28t ,BC=20t ,AB=9 ,B 15设 ABC=, BAC= ； =1804515=120 ；依据余弦定理AC2AB2BC22AB BCcos,图 3 C 28t28120t22920t1,2,t=9 32（舍）128t260t270,（4t
23、3）（32t+9）=0,解得 t=3 4AC=283=21 n mile ,BC=203 4=15 n mile ；,又 =120, 为锐角, =arcsin4依据正弦定理, 得sinBCsin152135 32AC1412 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5 3,又5 3 147 2 142, arcsin5 3 144,214甲船沿南偏东4arcsin5 3 14的方向用3 4h 可以追上乙船；点评：航海问题常涉及到解三角形的学问,此题中的13 ABC 、AB 边已知,另两边未知,名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页