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1、学习必备 欢迎下载 专题五 与平行四边形的性质有关的计算与证明_ 学生用书 B32_(教材 P90 作业题第 5 题)已知：如图 1，在 ABCD 中，过 AC 的中点 O 的直线分别交 CB，AD 的延长线于点 E，F.求证：BEDF.图 1 证明：在平行四边形 ABCD 中，点 O 是 AC 的中点，OAOC，AD BC，ADBC，FACECA，又AOFCOE，AOFCOE(ASA)，AFCE，AFADCEBC，即 DFBE.【思想方法】平行四边形对边平行、对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质可以作为判定平行四边形中三角形全等的条件 如图 2，已知 ABCD 的对角线 AC，BD 相交
2、于点 O，过点 O 任作一直线分别交 AD，CB 的延长线于 E，F，求证：OEOF.学习必备 欢迎下载 图 2 证明：在 ABCD 中，AOCO，AD BC，EF，EAOFCO.在AOE 和COF 中，EF，EAOFCO，AOCO，AOECOF(AAS)，OEOF.2013 南充如图 3，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，经过点 O 的直线交 AB于 E，交 CD 于 F.求证：OEOF.图 3 证明：四边形 ABCD 是平行四边形，OAOC，AB CD.OAEOCF.别交的延学生用书长线于点求证证明在平行四边形中点是的中点图又即思想方法平行四边形对边平行对边相等对
3、角相等对角线互相平分的性质可以作为判定平行四边形中三角形全等的条件如图已知的对角线相交于点过点任作一直线交于交于求证证明四边形是平行四边形图学习必备欢迎下载淮安如图在平行四边形中过中点作直线分别交于点求证图证明为中点四边形为平行四边形已知如图为的对角线为的中点于点与分别交于点求证证明在平行四边形中图学习必成的四部分的面积相等指出点的位置并说明理由解证明如图在平行四边形中图是的中点学习必备欢迎下载在与中又即当点与点重合时将平行四边形分成的四个部分的面积相变形答图等理由四边形是平行四边形由与等底同高可知面积学习必备 欢迎下载 AOECOF，OAEOCF(ASA)OEOF.2013 淮安如图 4，在
4、平行四边形 ABCD 中，过 AC 中点 O 作直线分别交 AD，BC 于点 E，F.求证：AOECOF.图 4 证明：O 为 AC 中点，OAOC.四边形ABCD 为平行四边形，AD BC.EAOFCO，AEOCFO.AOECOF.已知：如图 5，BD 为 ABCD 的对角线，O 为 BD 的中点，EFBD 于点 O，与 AD，BC 分别交于点 E，F.求证：DEDF.图 5 证明：在平行四边形 ABCD 中，AD BC，OBFODE.别交的延学生用书长线于点求证证明在平行四边形中点是的中点图又即思想方法平行四边形对边平行对边相等对角相等对角线互相平分的性质可以作为判定平行四边形中三角形全等
5、的条件如图已知的对角线相交于点过点任作一直线交于交于求证证明四边形是平行四边形图学习必备欢迎下载淮安如图在平行四边形中过中点作直线分别交于点求证图证明为中点四边形为平行四边形已知如图为的对角线为的中点于点与分别交于点求证证明在平行四边形中图学习必成的四部分的面积相等指出点的位置并说明理由解证明如图在平行四边形中图是的中点学习必备欢迎下载在与中又即当点与点重合时将平行四边形分成的四个部分的面积相变形答图等理由四边形是平行四边形由与等底同高可知面积学习必备 欢迎下载 O 为 BD 的中点，OBOD.在BOF 和DOE 中，OBFODE，OBOD，BOFDOE，BOFDOE.OFOE.EF BD 于
6、点 O，DEDF.如图 6，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC 的中点，过 O点作直线 EF 分别交 BC，AD 于 E，F.(1)求证：BEDF；(2)若 AC，EF 将平行四边形 ABCD 分成的四部分的面积相等，指出 E 点的位置，并说明理由 图 6 解：(1)证明：如图，在平行四边形 ABCD 中，AD BC，12，34.O 是 AC 的中点，AOCO，别交的延学生用书长线于点求证证明在平行四边形中点是的中点图又即思想方法平行四边形对边平行对边相等对角相等对角线互相平分的性质可以作为判定平行四边形中三角形全等的条件如图已知的对角线相交于点过点任作一直线交于交于求证证明四边形
7、是平行四边形图学习必备欢迎下载淮安如图在平行四边形中过中点作直线分别交于点求证图证明为中点四边形为平行四边形已知如图为的对角线为的中点于点与分别交于点求证证明在平行四边形中图学习必成的四部分的面积相等指出点的位置并说明理由解证明如图在平行四边形中图是的中点学习必备欢迎下载在与中又即当点与点重合时将平行四边形分成的四个部分的面积相变形答图等理由四边形是平行四边形由与等底同高可知面积学习必备 欢迎下载 在 AOF 与COE 中，34，12，AOCO，AOFCOE，AFCE.又ADBC，ADAFBCCE，即 BEDF.变形 5 答图(2)当 E 点与 B 点重合时，EF 将平行四边形 ABCD 分成
8、的四个部分的面积相等 理由：四边形 ABCD 是平行四边形，OAOC，OBOD，由ABO 与AOD 等底同高可知面积相等，同理，ABO 与BOC 的面积相等，AOD 与COD 的面积相等，从而易知所分成的四个三角形面积相等 2013 漳州如图 7，ABCD 中，E，F 是对角线 BD 上两点，且BEDF.(1)图中共有_3_对全等三角形；(2)请写出其中一对全等三角形：_，并加以证明 图 7 解：(1)图中的全等三角形有：ABECDF，ABDCDB，ADECBF，别交的延学生用书长线于点求证证明在平行四边形中点是的中点图又即思想方法平行四边形对边平行对边相等对角相等对角线互相平分的性质可以作为
9、判定平行四边形中三角形全等的条件如图已知的对角线相交于点过点任作一直线交于交于求证证明四边形是平行四边形图学习必备欢迎下载淮安如图在平行四边形中过中点作直线分别交于点求证图证明为中点四边形为平行四边形已知如图为的对角线为的中点于点与分别交于点求证证明在平行四边形中图学习必成的四部分的面积相等指出点的位置并说明理由解证明如图在平行四边形中图是的中点学习必备欢迎下载在与中又即当点与点重合时将平行四边形分成的四个部分的面积相变形答图等理由四边形是平行四边形由与等底同高可知面积学习必备 欢迎下载 共有 3 对故填 3；(2)ABECDF.理由如下：在 ABCD 中，AB CD，ABCD，ABECDF，
10、在 ABE与CDF 中，ABCD，ABECDFBEDF，ABECDF(SAS)；ABDCDB.理由如下：在 ABCD 中，ADCB，ABCD，在 ABD 与CDB 中，ADCB，ABCD，BDDB，ABDCDB(SSS)；ADECBF.理由如下：在 ABCD 中，AD BC，ADCB，ADECBF.BEDF，DEBF，在 ADE 与CBF 中，ADCB，ADECBF.DEBF，ADECBF(SAS)2013 徐州如图 8，四边形 ABCD 是平行四边形，DE 平分ADC别交的延学生用书长线于点求证证明在平行四边形中点是的中点图又即思想方法平行四边形对边平行对边相等对角相等对角线互相平分的性质可
11、以作为判定平行四边形中三角形全等的条件如图已知的对角线相交于点过点任作一直线交于交于求证证明四边形是平行四边形图学习必备欢迎下载淮安如图在平行四边形中过中点作直线分别交于点求证图证明为中点四边形为平行四边形已知如图为的对角线为的中点于点与分别交于点求证证明在平行四边形中图学习必成的四部分的面积相等指出点的位置并说明理由解证明如图在平行四边形中图是的中点学习必备欢迎下载在与中又即当点与点重合时将平行四边形分成的四个部分的面积相变形答图等理由四边形是平行四边形由与等底同高可知面积学习必备 欢迎下载 交 AB于点 E，BF 平分ABC 交 CD 于点 F.(1)求证：DEBF；(2)连结 EF，写出
12、图中所有的全等三角形(不要求证明)图 8 解：(1)四边形 ABCD 是平行四边形，ADCB，AC，ADCCBA.DE 平分ADC，BF 平分ABC，ADE12 ADC，CBF12 CBA.ADECBF.ADECBF(ASA)DEBF(2)ADECBF；DEFBFE.2013 重庆已知：在平行四边形 ABCD 中，AEBC，垂足为 E，CECD，点 F 为 CE 的中点，点 G 为 CD 上的一点，连结 DF，EG，AG，12.(1)若 CF2，AE3，求 BE 的长；(2)求证：CEG12AGE.别交的延学生用书长线于点求证证明在平行四边形中点是的中点图又即思想方法平行四边形对边平行对边相等
13、对角相等对角线互相平分的性质可以作为判定平行四边形中三角形全等的条件如图已知的对角线相交于点过点任作一直线交于交于求证证明四边形是平行四边形图学习必备欢迎下载淮安如图在平行四边形中过中点作直线分别交于点求证图证明为中点四边形为平行四边形已知如图为的对角线为的中点于点与分别交于点求证证明在平行四边形中图学习必成的四部分的面积相等指出点的位置并说明理由解证明如图在平行四边形中图是的中点学习必备欢迎下载在与中又即当点与点重合时将平行四边形分成的四个部分的面积相变形答图等理由四边形是平行四边形由与等底同高可知面积学习必备 欢迎下载 图 9 解：(1)点 F 为 CE 的中点，CECD2CF4.又四边形
14、 ABCD 为平行四边形，ABCD4.在 Rt ABE中，由勾股定理，得：BEAB2AE2 7.(2)证明：如图，延长 AG，BC 交于点 H.变形 8 答图 CECD，12，CC，CEGCDF.CGCF.点 F 为 CE 的中点，即 CFEF12CE，又 CECD，CGGD12CD.ADBC，GADH，ADGGCH.ADGHCG.AGHG.AEH90，EG12AHGH.GEHH12AGE.别交的延学生用书长线于点求证证明在平行四边形中点是的中点图又即思想方法平行四边形对边平行对边相等对角相等对角线互相平分的性质可以作为判定平行四边形中三角形全等的条件如图已知的对角线相交于点过点任作一直线交于交于求证证明四边形是平行四边形图学习必备欢迎下载淮安如图在平行四边形中过中点作直线分别交于点求证图证明为中点四边形为平行四边形已知如图为的对角线为的中点于点与分别交于点求证证明在平行四边形中图学习必成的四部分的面积相等指出点的位置并说明理由解证明如图在平行四边形中图是的中点学习必备欢迎下载在与中又即当点与点重合时将平行四边形分成的四个部分的面积相变形答图等理由四边形是平行四边形由与等底同高可知面积