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1、 万有引力定律是航天技术、人造卫星等现代科学技术的理论基础。万有引力与航天是圆周运动的一个特例，只不过提供向心力的是万有引力。知识点一 估算天体的质量和密度 1.有行星或卫星绕行的中心天体的质量和密度 由开普勒第三定律可知，所有绕中心天体运行的卫星或行星的运行周期的平方与其绕行椭圆轨道半长轴的三次方的比值是一个常数，这个常数与中心天体的质量有关，反过来，如果我们要计算一个天体的质量，只需找到围绕该天体运动的卫星或行星的运行周期和轨道半径就可以了。把绕中心天体运行的卫星或行星近似视为做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，建立方程求解。可分以下几种情况：（1）周期 T 和轨道半径 r 设中心天体
2、的质量为 M，绕中心天体运动的行星或卫星的质量为 m，据万有引力提供向心力，则有222()MmGmrrT，可得中心天体的质量为2324rMGT。（2）运行速度 v 和轨道半径 r 设中心天体的质量为 M，绕中心天体运动的行星或卫星的质量为 m，速度为 v，据万有引力提供向心力，则有22MmmvGrr，得2rvMG。3.运行速度v 和运行周期 T 设中心天体的质量为 M，绕中心天体运动的行星或卫星的质量为 m，速度为 v，运行周期为 T，则有22MmGm vrT，22MmvGmrr，由以上两式消去 r，解得32v TMG。注意：以上三种情况本质上是一样的，因为已知 v、T 和三个物理量中的任意两
3、个都可以求出第三个，如已知 v 和以利用vrT2求出；已知 v 和 T，可以利用2Tvr求出。求出天体质量后，再求出天体的体积 V=343R，则323)(33/4RrGTRMVM。当卫星环绕天体表面做圆周运动时，r=R，23GT。例 1 （20XX 届福建省四地六校高三联考）为了研究太阳演化的进程需知太阳的质量，已知地球的半径为 R，地球的质量为 m，日地中心的距离为 r，地球表面的重力加速度为 g，地球绕太阳公转的周期为 T，则太阳的质量为（）AgRTmr22324 B 32224mrgRT C 23224TrmgR D22234mgRTr 解析：根据2224TmrrmMG日，2RmmGgm
4、可得gRTmrM22324日，选项 A 正确。本题答案为 A。例 2 （20XX 届福建省南安一中高三期末考试）地球半径为R，在距球心r 处（rR）有一同步卫星，另有一半径为2R的星球A，在距球心 3r 处也有一同步卫星，它的周期是48h，那么A星球平均密度与地球平均密度的比值为（）A932 B38 C2732 D2716 解析：根据万有引力提供向心力有rTmrGMm22)2(可得，计算中心天体质量的公式为2324GTrM；根据题意，A星球的同步卫星的轨道半径是地球同步卫星轨道半径的 3 倍，而周期是地球同步卫星运行周期的2 倍，故A星球的质量是地球的4272323倍，即M星=427M地；已知
5、A星球的半径是地球半径的2 倍，那么其体积是地球体积的8 倍，即V星=8V地，所以322781427星地地星地星VVMM，选项C 正确。本题答案为C。例 3 （20XX 届北京市朝阳区高三期中统考、20XX 届福建省南安一中高三期末考试）天宫一号于 20XX 年 9 月 29 日成功发射，它将和随后发射的神州飞船在空间完成交会对接，实现中国载人航天工程的一个新的跨越。天宫一号进入运行轨道后，其运行周期为T，距地面的高度为 h，已知地球半径为 R，万有引力常量为 G。若将天宫一号的运行轨道看做圆轨道，求：（1）地球质量 M；（2）地球的平均密度。向心力的是万有引力知识点一估算天体的质量和密度有行
6、星或卫星绕行的中心天体的质量和密度由开普勒第三定律可知所有绕中心天体运行的卫星或行星的运行周期的平方与其绕行椭圆轨道半长轴的三次方的比值是一个常数这个常期和轨道半径就可以了把绕中心天体运行的卫星或行星近似视为做匀速圆周运动根据万有引力提供向心力建立方程求解可分以下几种情况周期和轨道半径设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为据万有引力提供向速度为据万有引力提供向心力则有得运行速度和运行周期设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为速度为运行周期为则有上两式消去解得由以注意以上三种情况本质上是一样的因为已知和三个物理量中的任意两个解析：（1）因为将天宫一号的运行轨道看做圆轨
7、道，万有引力充当向心力，即）（）（hRTmhRMmG2224，解得232)(4GThRM。（2）地球的平均密度：3233)(334RGThRRM。【高考链接 1】（20XX 年高考 福建理综卷）“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。若测得“嫦娥二号”在月球（可视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行的周期 T，已知引力常量为 G，半径为 R的球体体积公式334RV，则可估算月球的（）A密度 B质量 C半径 D自转周期 解析：“嫦娥二号”在近月表面做周期已知的匀速圆周运动，由222MmGmRRT和343MVR，解得2324GTRM，23GT。由于月球半径 R未知，所以无法估算质量 M，但
8、可估算密度。本题答案为 A。注意：不能将“嫦娥二号”的周期与月球的自转周期混淆，无法求出月球的自转周期。【高考链接 2】（20XX 年高考 江苏理综卷）一行星绕恒星做圆周运动。由天文观测可得，其运动周期为 T，速度为 v，引力常量为 G，则（）A恒星的质量为32v TG B行星的质量为2324vGT C 行星运动的轨道半径为2vT D 行星运动的加速度为2 vT 解析：根据22MmGm vrT，22MmvGmrr，2 rvT得：32v TMG、2vTr，AC 正确，B 错误；根据2var、2vrrT得：2 vaT，D 正确。本题答案为 ACD。向心力的是万有引力知识点一估算天体的质量和密度有行
9、星或卫星绕行的中心天体的质量和密度由开普勒第三定律可知所有绕中心天体运行的卫星或行星的运行周期的平方与其绕行椭圆轨道半长轴的三次方的比值是一个常数这个常期和轨道半径就可以了把绕中心天体运行的卫星或行星近似视为做匀速圆周运动根据万有引力提供向心力建立方程求解可分以下几种情况周期和轨道半径设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为据万有引力提供向速度为据万有引力提供向心力则有得运行速度和运行周期设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为速度为运行周期为则有上两式消去解得由以注意以上三种情况本质上是一样的因为已知和三个物理量中的任意两个A.3pq B.31pq C.3pq D.3
10、qp 解析：设中心天体的质量为 M，半径为 R，当航天器在星球表面飞行时，由 222MmGmRRT和343MVR，解得23GT，即31TG；又因为3343MMMVRR，所以3RTM，312TqTp。答案：D【高考链接 4】（20XX 年高考 安徽理综卷）为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于 20XX 年 10 月发射第一颗火星探测器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为1h和2h的圆轨道上运动时，周期分别为T和2T。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为 G。仅利用以上数据，可以计算出（）A火星的密度和火星表面的重力加速度 B火星的质量和火星对“
11、萤火一号”的引力 C火星的半径和“萤火一号”的质量 D火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力 解析：由于万有引力提供探测器做圆周运动的向心力，则有 212112()()MmGmRhRhT；222222()()MmGmRhRhT，可 求 得 火 星 的 质 量23231222124()4()RhRhMGTGT和 火 星 的 半 径22321122311ThhTRTT ，根据密度公式得：333443MMMVRR。在火星表面的物体有2MmGmgR，可得火星表面的重力加速度2GMgR。故选项 A 正确。点评：万有引力在天体运动中的应用，几乎是每年高考中必考的题型。本类型要求考生熟练掌握万有引力
12、定律在处理有关第一宇宙速度、天体质量和密度、周期与距离以及同步卫向心力的是万有引力知识点一估算天体的质量和密度有行星或卫星绕行的中心天体的质量和密度由开普勒第三定律可知所有绕中心天体运行的卫星或行星的运行周期的平方与其绕行椭圆轨道半长轴的三次方的比值是一个常数这个常期和轨道半径就可以了把绕中心天体运行的卫星或行星近似视为做匀速圆周运动根据万有引力提供向心力建立方程求解可分以下几种情况周期和轨道半径设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为据万有引力提供向速度为据万有引力提供向心力则有得运行速度和运行周期设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为速度为运行周期为则有上两式消去
13、解得由以注意以上三种情况本质上是一样的因为已知和三个物理量中的任意两个星的方法，特别要关注当年度航天事件。针对练习 1 （20XX 届 安徽省高三期末考试）20XX 年 8 月 26 日消息，英国曼彻斯特大学的天文学家认为，他们已经在银河系里发现一颗由曾经的庞大恒星转变而成的体积较小的行星，这颗行星完全由钻石构成。若已知万有引力常量，还需知道哪些信息可以计算该行星的质量（）A该行星表面的重力加速度及绕行星运行的卫星的轨道半径 B该行星的自转周期与星体的半径 C围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及运行半径 D围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及公转线速度 针对练习 2 （20XX 届江苏省淮
14、安市高三期末调研测试）美国宇航局 20XX 年 12月 5 日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、可适合居住的行星“开普勒-22b”，它每 290 天环绕着一颗类似于太阳的恒星运转一周，距离地球约 600 光年，体积是地球的2.4 倍。已知万有引力常量和地球表面的重力加速度。根据以上信息，下列推理中正确的是（）A若能观测到该行星的轨道半径，可求出该行星所受的万有引力 B若已知该行星的密度和半径，可求出该行星的轨道半径 C根据地球的公转周期与轨道半径，可求出该行星的轨道半径 D若该行星的密度与地球的密度相等，可求出该行星表面的重力加速度【参考答案：1.CD 解析：由万有引力定律和牛顿第二定
15、律卫星绕中心天体运动的向 心 力 由 中 心 天 体 对 卫 星 的 万 有 引 力 提 供，利 用 牛 顿 第 二 定 律 得222224TmrmrrvmrMmG；若已知卫星的轨道半径 r 和卫星的运行周期 T、角速度或线速度 v，可求得中心天体的质量为GrGTrGrvM3223224，所以选项 CD 正确。2.D 提示：根据万有引力公式rTmF2)2(可知，要想求出该行星所受的万有引力，除了知道公转周期 T 和轨道半径 r 外，还要知道该行星的质量 m，所以选项 A 错误；若已知该行星的密度和半径，可求出该行星的质量，但求不出该行星的轨道半径，选项 B 错误；因为该行星围绕的类似于太阳的中
16、心天体不同于太阳，所以不能根据地球的公转周期与轨道半径以及该行星的公转周期，利用开普勒第三定律求出该行星的轨道半径，选项 C 错误；向心力的是万有引力知识点一估算天体的质量和密度有行星或卫星绕行的中心天体的质量和密度由开普勒第三定律可知所有绕中心天体运行的卫星或行星的运行周期的平方与其绕行椭圆轨道半长轴的三次方的比值是一个常数这个常期和轨道半径就可以了把绕中心天体运行的卫星或行星近似视为做匀速圆周运动根据万有引力提供向心力建立方程求解可分以下几种情况周期和轨道半径设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为据万有引力提供向速度为据万有引力提供向心力则有得运行速度和运行周期设中心天体的质
17、量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为速度为运行周期为则有上两式消去解得由以注意以上三种情况本质上是一样的因为已知和三个物理量中的任意两个在星球表面，物体的万有引力近似等于重力，所以有mgRMmG2可得2RMGg，可见，若该行星的密度与地球的密度相等，就可求出该行星的质量和半径，就可求出该行星表面的重力加速度，选项 D 正确。】2.没有行星或卫星绕行的天体质量 对于没有行星或卫星绕行的天体，若已知该天体的半径和它表面的重力加速度，可应用万有引力近似等于重力这一关系，建立方程求解，计算出它的质量。设待计算天体的质量为 M，半径为 R，它表面的重力加速度为0g，设该天体表面有一物体质量为 m，根据
18、万有引力近似等于重力，则有02MmmgGR，得此天体的质量为20R gMG。附带说明一点，由02MmmgGR得出20GMRg，此式在解析天体运动问题时很有用，被称为黄金代换式。例 4 （20XX 届浙江省宁波市高三期末考试）1798 年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量 G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人，若已知万有引力常量 G，地球表面处的重力加速度 g，地球半径为 R，地球上一个昼夜的时间为 T1（地球自转周期），一年的时间 T2（地球公转的周期），地球中心到月球中心的距离 L1，地球中心到太阳中心的距离为 L2你能计算出 ()A地球的质量GgRm2地 B太阳的质量223224
19、GTLm太 C月球的质量213124GTLm月 D可求月球、地球及太阳的密度 解析：在地球表面，物体的重力近似等于其万有引力，所以有2RmmGmg地，可求得：GgRm2地，所以选项 A 正确；太阳对地球的万有引力提供其绕太阳公转时的向心力，所以有222222LTmLmmG地地太，可求得：223224GTLm太，选项 B 正确；已知地球半径，还可以求出地球的密度，但根据题中条件，无法求出月球的质量及其密度和太阳的密度，所以选项 CD 错误。本题答案为 AB。向心力的是万有引力知识点一估算天体的质量和密度有行星或卫星绕行的中心天体的质量和密度由开普勒第三定律可知所有绕中心天体运行的卫星或行星的运行
20、周期的平方与其绕行椭圆轨道半长轴的三次方的比值是一个常数这个常期和轨道半径就可以了把绕中心天体运行的卫星或行星近似视为做匀速圆周运动根据万有引力提供向心力建立方程求解可分以下几种情况周期和轨道半径设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为据万有引力提供向速度为据万有引力提供向心力则有得运行速度和运行周期设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为速度为运行周期为则有上两式消去解得由以注意以上三种情况本质上是一样的因为已知和三个物理量中的任意两个例 5 假设我国某宇航员踏上一半径为 R 的球状星体，该宇航员在该星体上能否用常规方法测量出此星体的质量？如果能测出，需用何器材，简述
21、测量方法。解析：待测星体没有行星或卫星绕行，可应用在星体表面星体与宇航员间的万有引力近似等于宇航员的重力这一关系，测出该星体的质量。据02MmmgGR，得此星体的质量为20R gMG，由于半径 R已知，只要再测出该星体表面的重力加速度0g，就能测出此星体的质量。方法 1：在星体表面用天平称量出某物体 A的质量，再用弹簧秤悬吊物体 A处于平衡状态，读出弹簧秤的示数 F，则0g=F/m，所以该星体的质量为2R FMmG。方法2：使一物体由静止开始自由下落，用米尺测量下落的高度 h，用秒表测量下落的时间 t，则有2012hg t，022hgt，所以该星体的质量为222hRMGt。计算天体的质量有多种
22、方法，要审清题设条件，根据题设条件采用合适的方法。针对练习 1 “嫦娥一号”卫星发射过程先在近地圆轨道绕行 3 周，再长途跋涉进人近月圆轨道绕月飞行若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的 16，月球半径为地球半径的 14，据以上信息得（）A 绕月与绕地飞行周期之比为3:2 B 绕月与绕地飞行周期之比为2:3 C绕月与绕地飞行向心加速度之比为 1：6 D月球与地球质量之比为 1：96 针对练习 2 （20XX 届辽宁省五校协作体高三期末联合考试理综卷）在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，需要精确的重力加速度 g 值，g 值可由实验精确测定近年来测 g 值的一种方法叫“对称自由
23、下落法”，它是将测 g 归于测长度和时间，以稳定的氦氖激光为长度标准，用光学干涉的方法测距离，以铷原子钟或其他手段测时间，能将g 值测得很准，具体做法是：将真空长直管沿竖直方向放置，自其中 O 点向上抛小球又落到原处的时间为 T2，在小球运动过程中经过比 O 点高 H 的 P 点，小球离开 P 点到又回到 P 点所用的时间为 T1，测得 T1、T2和 H，可求得 g 等于（）A.21228TTH B.21224TTH C.212)(8TTH 向心力的是万有引力知识点一估算天体的质量和密度有行星或卫星绕行的中心天体的质量和密度由开普勒第三定律可知所有绕中心天体运行的卫星或行星的运行周期的平方与其
24、绕行椭圆轨道半长轴的三次方的比值是一个常数这个常期和轨道半径就可以了把绕中心天体运行的卫星或行星近似视为做匀速圆周运动根据万有引力提供向心力建立方程求解可分以下几种情况周期和轨道半径设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为据万有引力提供向速度为据万有引力提供向心力则有得运行速度和运行周期设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为速度为运行周期为则有上两式消去解得由以注意以上三种情况本质上是一样的因为已知和三个物理量中的任意两个 D.212)(4TTH【参考答案：1.ACD.提示：mg=m（T2）2R，T2gR,选项 A 正确 B 错误；“嫦娥一号”绕近地圆轨道与绕近月圆轨
25、道飞行时，万有引力提供向心力，而万有引力近似等于卫星重力，故其重力提供向心力，重力加速度近似等于向心加速度，故选项 C 正确；根据G2RMm=mg，得 M=GgR2,可知选项 D 正确.2.A 解析：根据题意，小球从 O 点自由下落到 P 点的时间为 T1/2，自由下落到原处的时间为 T2/2，所以有2122221221TgTgH，化简可求得，g=21228TTH，选项 A 正确。本题答案为 A。】知识点二 双星模型、多星模型 1.双星模型 宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固
26、定点做同周期的匀速圆周运动，这种结构叫做双星。如图所示，双星有以下特点：（1）由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。（2）由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由2mrF=mv可得mr1，vm1，于是有Lmmmr2121，Lmmmr2112；（3）列式时须注意：万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，千万不可混淆。例 1 （20XX 届广西区柳铁一中高三月考理综卷）天文学家如果观察到一个星球独自做圆周运动，
27、那么就想到在这个星球附近存在着一个看不见的星体黑洞。星球与黑洞由万有引力的作用组成双星，以两者连线上某点为圆心做匀速圆周运动，那么（）A.它们做圆周运动的角速度与其质量成反比 B.它们做圆周运动的周期与其质向心力的是万有引力知识点一估算天体的质量和密度有行星或卫星绕行的中心天体的质量和密度由开普勒第三定律可知所有绕中心天体运行的卫星或行星的运行周期的平方与其绕行椭圆轨道半长轴的三次方的比值是一个常数这个常期和轨道半径就可以了把绕中心天体运行的卫星或行星近似视为做匀速圆周运动根据万有引力提供向心力建立方程求解可分以下几种情况周期和轨道半径设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为据万有
28、引力提供向速度为据万有引力提供向心力则有得运行速度和运行周期设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为速度为运行周期为则有上两式消去解得由以注意以上三种情况本质上是一样的因为已知和三个物理量中的任意两个量成反比 C.它们做圆周运动的半径与其质量成反比 D.它们所受的向心力与其质量成反比 解析：由于该双星和它们的轨道中心总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即它们做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同，选项 AB 错误；因为它们所受的向心力都是由它们之间的相互作用力来提供，所以大小必然相等，选项 D 错误；由rmF2可得mr1，选项 C 正确。本题答案为 C。点评
29、：双星模型的特点：角速度相等，周期相同，向心力大小相等。应用万有引力定律分析双星问题一定要注意两星中心之间的距离与星体做匀速圆周运动的轨道半径之间的关系。【高考链接 1】（20XX 年高考大纲版全国卷）如右图所示，质量分别为 m 和 M 的两个星球 A和 B 在引力作用下都绕 O 点做匀速周运动，星球 A和 B 两者中心之间距离为 L。已知 A、B 的中心和 O 三点始终共线，A和 B 分别在 O 的两侧。引力常数为 G。（1）求两星球做圆周运动的周期；（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球 A和 B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为 T1。但在近似处理问题时，
30、常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期 T2。已知地球和月球的质量分别为 5.98 1024kg 和 7.35 1022kg。求 T2与 T1两者平方之比。（结果保留 3 位小数）解析：（1）A 和 B 绕 O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则 A 和 B的向心力相等。且 A和 B 和 O 始终共线，说明 A 和 B 有相同的角速度和周期。因此由RMrm22，LRr，连立解得LMmmR，LMmMr 对 A根据牛顿第二定律和万有引力定律得：LmMMTmLGMm22)2(化简得：)(23mMGLT 向心力的是万有引力知识点一估算天体的质量和密度有行星或卫星绕行的中心天
31、体的质量和密度由开普勒第三定律可知所有绕中心天体运行的卫星或行星的运行周期的平方与其绕行椭圆轨道半长轴的三次方的比值是一个常数这个常期和轨道半径就可以了把绕中心天体运行的卫星或行星近似视为做匀速圆周运动根据万有引力提供向心力建立方程求解可分以下几种情况周期和轨道半径设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为据万有引力提供向速度为据万有引力提供向心力则有得运行速度和运行周期设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为速度为运行周期为则有上两式消去解得由以注意以上三种情况本质上是一样的因为已知和三个物理量中的任意两个（2）将地月看成双星，由得)(231mMGLT，将月球看作绕地心
32、做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得LTmLGMm22)2(，化简得GMLT322，所以两种周期的平方比值为 01.11098.51035.71098.5)(242224212MMmTT。【高考链接 2】（20XX 年高考重庆理综卷）月球与地球质量之比约为 1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点 O做匀速圆周运动。据此观点，可知月球与地球绕 O 点运动的线速度大小之比约为（）A.1：6400 B.1：80 C.80：1 D.6400：1 解析：月球和地球绕 O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相
33、等，且月球和地球和 O 始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期。因此有RMrm22，所以mMRrVv，线速度和质量成反比，正确答案 C。说明：双星是宇宙中常见的天体系统，由于双星间相互作用的万有引力是各自做匀速圆周运动的向心力，且圆心是直线上的一点，双星的角速度、周期、向心力大小都相同，半径与双星质量成反比。如果两颗星的质量相差悬殊，如Mm，则Lr，0R，GMLT32，这是可以把大质量星看作静止的，小质量星围绕大质量星运动.轻杠两端各固定一个小球，轻杠绕杠上一点转动时，两球的运动与双星很类似，运动规律与双星规律可以类比理解。针对练习 两颗靠的较近的天体称为双星，它们以两者的连线上某点为圆
34、心做匀速圆周运动，而不会由于万有引力作用，使它们吸在一起（不考虑其他天体对它们的影响），已知两天体质量分别为1m和2m，相距为L，求它们运转的角速度.【参考答案：123()G mmL 解析：1m、2m间的万有引力分别提供两者的向心力，即2121 12m mGm rL，2122 22m mGm rL，又 12rrL。.联立以上三式，可得：向心力的是万有引力知识点一估算天体的质量和密度有行星或卫星绕行的中心天体的质量和密度由开普勒第三定律可知所有绕中心天体运行的卫星或行星的运行周期的平方与其绕行椭圆轨道半长轴的三次方的比值是一个常数这个常期和轨道半径就可以了把绕中心天体运行的卫星或行星近似视为做匀
35、速圆周运动根据万有引力提供向心力建立方程求解可分以下几种情况周期和轨道半径设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为据万有引力提供向速度为据万有引力提供向心力则有得运行速度和运行周期设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为速度为运行周期为则有上两式消去解得由以注意以上三种情况本质上是一样的因为已知和三个物理量中的任意两个123()G mmL.】2.多星模型 多星模型只是在双星模型的基础上进行了拓展，分析多星问题时，一定要注意每一个星体运动所需的向心力都是由其他星体对它的万有引力的合力提供的。例2 （20XX届云南省部分名校高三联考理综卷）宇宙间存在一些离其它恒星较远的三星
36、系统，其中有一种三星系统，如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其它星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则（）A.每颗星做圆周运动的线速度为GmR B.每颗星做圆周运动的角速度为3GmR3 C.每颗星做圆周运动的周期为 2R33Gm D.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 解析：根据几何关系可知，每颗星的轨道半径为 r=R33，每颗星在其他两颗星体的万有引力作用下围绕三角形中心 O 做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得 maTrmrmrmvRmG222222430cos2，所以 RGmv，33R
37、Gm，GmRT323，23RGma，可见，选项 ABC 正确，D 错误。本题答案为 ABC。例 3 （20XX 届甘肃省河西五市部分高中高三联考试题）宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用 设四星系统中每个星体的质量均为 m，半径均为 R，四颗星稳定分布在边长为 a 的正方形的四个顶点上已知引力常量为 G关于四星系统，下列说法错误的是 ()向心力的是万有引力知识点一估算天体的质量和密度有行星或卫星绕行的中心天体的质量和密度由开普勒第三定律可知所有绕中心天体运行的卫星或行星的运行周期的平方与其绕行椭圆轨道半长轴的三次方的比值是一个常数这个
38、常期和轨道半径就可以了把绕中心天体运行的卫星或行星近似视为做匀速圆周运动根据万有引力提供向心力建立方程求解可分以下几种情况周期和轨道半径设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为据万有引力提供向速度为据万有引力提供向心力则有得运行速度和运行周期设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为速度为运行周期为则有上两式消去解得由以注意以上三种情况本质上是一样的因为已知和三个物理量中的任意两个A四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动 B四颗星的轨道半径均为2a C四颗星表面的重力加速度均为2mGR D四颗星的周期均为 2242aaGm 解析：因为质量和大小完全相同的四颗星对称地分
39、布在正方形的四个顶点上，每颗星受到的万有引力大小相等且恒定不变，它们一定围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，选项 A 说法正确；由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径ar22，选项 B 说法错误；由万有引力定律可知gmRmGm2，则星体表面的重力加速度2RmGg，选项 C 说法正确；星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：22222242245cos2)2(TamamGamG，解得周期GmaaT)24(22，选项 D说法正确。本题答案为 B。点评：万变不离其宗，不管是双星模型还是多星模型，都
40、要利用万有引力提供向心力列式求解，所考查的内容都是我们熟系的主干知识。【高考链接】（高考广东物理卷）宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为 m。（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？解析：（1）222(2)GmmGmmvmRR
41、R，解得星体运动的线速度 54GmvR，星体运动的周期3245RRTvGm。向心力的是万有引力知识点一估算天体的质量和密度有行星或卫星绕行的中心天体的质量和密度由开普勒第三定律可知所有绕中心天体运行的卫星或行星的运行周期的平方与其绕行椭圆轨道半长轴的三次方的比值是一个常数这个常期和轨道半径就可以了把绕中心天体运行的卫星或行星近似视为做匀速圆周运动根据万有引力提供向心力建立方程求解可分以下几种情况周期和轨道半径设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为据万有引力提供向速度为据万有引力提供向心力则有得运行速度和运行周期设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为速度为运行周期为则
42、有上两式消去解得由以注意以上三种情况本质上是一样的因为已知和三个物理量中的任意两个（2）设第二种形式下星体做圆周运动的半径为 r，则相邻两星体之间的距离3sr，相 邻 两 星 体 之 间 的 万 有 引 力22233GmmGmFrr，由 星 体 做 圆 周 运 动 可 知223FmrT，联立上述各式解得34 315rR，星体之间的距离31235srR。针对练习 （20XX 届北师大附属实验中学高三期中试卷）宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，设每个星体的质量均为 m，四颗星稳定地分布在边长为 a 的正方形的四个顶点上，已知这四颗星均
43、围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量为 G，试求：（1）求星体做匀速圆周运动的轨道半径；（2）若实验观测得到星体的半径为 R，求星体表面的重力加速度；（3）求星体做匀速圆周运动的周期。知识点三 宇宙速度 1.三种宇宙速度的含义（1）第一宇宙速度(环绕速度)：v1=7.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度，最大绕行速度.（2）第二宇宙速度(脱离速度)：v2=11.2 km/s，是物体挣脱地球的引力束缚需要的最小发射速度（3）第三宇宙速度（逃逸速度）：v3=16.7 km/s，是物体挣脱太阳的引力束缚需要的最小发射速度.向心力的是万有引力知识点一估算天体的质量和密度有行星或卫星绕行
44、的中心天体的质量和密度由开普勒第三定律可知所有绕中心天体运行的卫星或行星的运行周期的平方与其绕行椭圆轨道半长轴的三次方的比值是一个常数这个常期和轨道半径就可以了把绕中心天体运行的卫星或行星近似视为做匀速圆周运动根据万有引力提供向心力建立方程求解可分以下几种情况周期和轨道半径设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为据万有引力提供向速度为据万有引力提供向心力则有得运行速度和运行周期设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为速度为运行周期为则有上两式消去解得由以注意以上三种情况本质上是一样的因为已知和三个物理量中的任意两个第一宇宙速度是发射一个物体，使其成为地球卫星的最小速度，
45、是卫星绕地球运行的最大速度。若以第一宇宙速度发射一个物体，物体将贴着地球表面的轨道上做匀速圆周运动；若发射速度大于第一宇宙速度，物体将在椭圆轨道上离心运动；若物体发射的速度达到或超过 11.2 km/s 时，物体将能够摆脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的行星或飞到其他行星上；11.2 km/s 称为第二宇宙速度，如果物体的发射速度再大，达到或超过 16.7km/s 时，物体将能够摆脱太阳引力束缚，飞到太阳系外；16.7km/s 称为第三宇宙速度。例 1 （20XX 届陕西省西安八校高三期中联考）地球赤道上有一物体随地球的自转，所受的向心力为 F1，向心加速度为 a1，线速度为 v1，角速度为
46、1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略），所受的向心力为 F2，向心加速度为 a2，线速度为 v2，角速度为 2；地球的同步卫星所受的向心力为 F3，向心加速度为 a3，线速度为 v3，角速度为 3；地球表面的重力加速度为 g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则（）A123FFF B123aaga C123vvvv D132 解析：地球同步卫星的运动周期与地球自转周期相同，角速度相同，即 1=3，根据关系式 v=r 和 a=2r 可知，v1v3，a1v2v3 B v1v2a2a3 Da1a3a2 解析：地球同步卫星的运动周期与地球自转周期相同，即 e 和 q 的运动周期相同，角速
47、度相同，根据关系式 v=r 和 a=2r 可知，v1v3，a1a3；p 和 q 都围绕地球转动，它们受到的地球的引力提供向心力，即向marmvrMmG22，可得rGMv，2rMGa向，可见，轨道半径大的线速度和向心加速度均小，即 v3v2，a3a2，所以 v1v3v2，a1a3mv2r 时，卫星做近心运动，此时卫星的速度将变大；（卫星可以通过制动减速实现变轨，做近心运动）当 FF3 Ba1=a2=ga3 Cv1=v2=vv3 D1=32 解析：赤道上的物体随地球自转的向心力为万有引力在垂直地轴方向上的分力，近地卫星的向心力等于万有引力，同步卫星的向心力为同步卫星所在处的万有引力，故有 F1F3
48、；加速度：a1a2，a2=g，a3a2；线速度：v1=R，v3=（R+h），因此 v1v3；角速度 1=3v3vl a2a3al Bv3v2v1 a2a3al Cv2v3=v1 a2=a1a3 Dv2v3vl a3a2a1 解析：地球同步卫星的运动周期与地球自转周期相同，角速度相同，即T1=T3，1=3，根据关系式v=r和a=2r可知，v1v3，a1a3；近地卫星和同步卫星都围绕地球转动，它们受到的地球的引力提供向心力，即向marmvrMmG22，可得rGMv，2rMGa向，可见，轨道半径大的线速度和向心加速度均小，即v3v2，a3a2，所以v1v3v2，a1a3a2，选项 BCD错误，A正确
49、。本题答案为 A。向心力的是万有引力知识点一估算天体的质量和密度有行星或卫星绕行的中心天体的质量和密度由开普勒第三定律可知所有绕中心天体运行的卫星或行星的运行周期的平方与其绕行椭圆轨道半长轴的三次方的比值是一个常数这个常期和轨道半径就可以了把绕中心天体运行的卫星或行星近似视为做匀速圆周运动根据万有引力提供向心力建立方程求解可分以下几种情况周期和轨道半径设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为据万有引力提供向速度为据万有引力提供向心力则有得运行速度和运行周期设中心天体的质量为绕中心天体运动的行星或卫星的质量为速度为运行周期为则有上两式消去解得由以注意以上三种情况本质上是一样的因为已知和三个物理量中的任意两个